数学模型第三版（高等教育出版社）课后习题答案

《数学模型》作业解答

第七章（2008年12月4日）

1． 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：

（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k?1时段的价格yk?1由第k?1和第k时段的数量xk?1和xk决定，如果仍设xk?1仍只取决于yk，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.

（2）若除了yk?1由xk?1和xk决定之外，xk?1也由前两个时段的价格yk和yk?1确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.

解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：

x?xk??yk?1?f(k?1)? 2?xk?1?h(yk)? 在P0(x0,y0)点附近用直线来近似曲线f,h，得到

x?xk??yk?1?y0???(k?1?x0),??0 ?(1) ? 2? ??0 ?(2)?xk?1?x0??(yk?y0) , 由（2）得 xk?2?x0??(yk?1?y0) ?(3) （1）代入（3）得 xk?2?x0????(xk?1?xk?x0) 2? 2xk?2???xk?1???xk?2x0?2??x0

对应齐次方程的特征方程为 2?????????0

2 特征根为?1,2????(??)2?8?? ?4当???8时，则有特征根在单位圆外，设???8，则

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?1,2?(??)2?8???? ?()??2424??2 ??1,2?1 ? ???2

即平衡稳定的条件为 ???2与P207的结果一致.

（2）此时需求函数、供应函数在P0(x0,y0)处附近的直线近似表达式分别为：

xk?1?xk?y?y???(?x0),??0 ?(4)0?k?12 ? yk?yk?1?xk?1?x0??(?y0) , ??0 ?(5)2?由（5）得，2(xk?3?x0)?β(yk?2?y0?yk?1?y0) ?(6) 将（4）代入（6），得 2(xk?3?x0)?????(??xk?2?xk?1x?xk??x0)??(k?1?x0)? 22?? 4xk?3???xk?2?2??xk?1???xk?4x0?4??x0

对应齐次方程的特征方程为 4??????2???????0 ?(7) 代数方程（7）无正实根，且???, ?别为?1,?2,?3，则

32αβ??不是（7）的根.设（7）的三个非零根分, ?24??????????23?14???? ??????????1223312?????1?2?3???4?对（7）作变换：??3????12, 则

??p??q?0,

1?2?218?3?3?2?2), q?(????) 其中 p?(2???34124126第一章作业解答第 2 页 共 35 页

?q??1?3??2??q?用卡丹公式：??2?w3??2??q23??w???32??其中w?qpqqp()2?()3?3??()2?()323223qpqqp()2?()3?w23??()2?()3 23223qpqqp()2?()3?w3??()2?()323223?1?i3, 2求出?1,?2,?3，从而得到?1,?2,?3，于是得到所有特征根

??1的条件.

2．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?f(xk)和xk?1?g(关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.

解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk?f(xk)和xk?1?g(yk?yk?1).试建立2yk?yk?1). 2设曲线f和g相交于点P0(x0,y0)，在点P0附近可以用直线来近似表示曲线f和g：

yk?y0???(xk?x0),??0 ----------------------（1）

xk?1?x0??(yk?yk?1?y0),??0 --------------------（2） 2从上述两式中消去yk可得

2xk?2???xk?1???xk?2(1???)x0,k?1,2,?， -----------（3） 上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求P0点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：

2?????????0

容易算出其特征根为

2?1,2????(??)2?8?? ---------------（4） ?4当???8时，显然有

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????(??)2?8???? -----------（5） ?2???44从而?2 ?2，?2在单位圆外．下面设???8，由(5)式可以算出 ?1,2?要使特征根均在单位圆内，即

??2

?1,2?1，必须 ???2．

故P0点稳定平衡条件为 ???2．

3． 已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和xk?1?g(yk).试建2xk?1?xk)和xk?1?g(yk). 2设曲线f和g相交于点P0(x0,y0)，在点P0附近可以用直线来近似表示曲线f和g：

yk?1?y0???(xk?1?xk?x0),??0 --------------------（1） 2 xk?1?x0??(yk?y0),??0 --- ----------------（2）

由（2）得 xk?2?x0??(yk?1?y0) --------------------（3） （1）代入（3），可得xk?2?x0????(xk?1?xk?x0) 2 ? 2xk?2???xk?1???xk?2x0?2??x0,k?1,2,?， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求P0点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：

2?????????0

容易算出其特征根为

2?1,2????(??)2?8?? ---------------（4） ?4当???8时，显然有

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????(??)2?8???? -----------（5） ?2???44从而?2 ?2，?2在单位圆外．下面设???8，由(5)式可以算出 ?1,2?要使特征根均在单位圆内，即

??2

?1,2?1，必须 ???2．

故P0点稳定平衡条件为 ???2．

《数学模型》作业解答

第八章（2008年12月9日）

1． 证明8.1节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质： （1） A的秩为1，唯一非零特征根为n； （2） A的任一列向量都是对应于n的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：A满足

aij?ajk?aik，i,j,k?1,2,?,n

于是对于任意两列i,j，有

aik?aij，?k?1,2,?,n?.即i列与j列对应分量成比例. ajk从而对A作初等行变换可得：

?b11b12?00初等行变换A??????????0?0?b1n??0??? B ?????0?这里B?0.?秩?B??1，从而秩?A??1

再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P，使PA?B，于是

?c11c12?00?1?1?PAP?BP?????0?0?c1n??0???C ?????0?易知C的特征根为c11,0,?,0（只有一个非零特征根）.

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