求最大公约数和最小公倍数的方法探析

求最大公约数和最小公倍数的方法探析

求最大公约数和最小公倍数的方法多样，按照教材由基本到最优化的计算方法步步探讨，看看各自的利弊和特点。

例如求12和9的最大公约数和最小公倍数.通常有以下4种方法：

1、

它们的公约数 它们的公倍数

它们的最大公约数和最小公倍数分别是3和36

2、分解质因数法：

12=3×2 ×2 9=3×3

它们的最大公约数是3。最小公倍数是3×2×2×3=36

3、短除法：

4 3

它们的最大公约数是3

最小公倍数是3×4×3=36

4、特殊情况法

1）两数互质时：例如8和11 它们的最大公约是1最小公倍数是两数积88

2）一个数是另一个数的倍数时：例如3和12 它们的最大公约是较小数3最小公倍数是较大数12。

5、求最小公倍数的方法：大数翻倍法。例如：6和8 8的1倍、2倍......倍,其中最先同时是6的倍数的24即是它们的最小公倍数.

尽管在初学时我们是按照有繁到简、有难到易的这种逐步抽象顺序来学的，总结的短除法非常方便，而且相当多数同学，也常认为在使用了方法5、4或方法3时似乎就掌握了一把万能钥匙，足以解决所有相关题目，其实有时候的确如此。

但实际上，仍然会遇到问题障碍。

例如：求65与117的最大公约数和最小公倍数。利用法5显然数比较大，简单的几倍过后，没有收获；利用法4，不是倍数关系，但也同时不易辨别它们是否互质关系。利用法3，同样我们也不易找到它们的公约数。于是部分学生转而就把它当成了互质数来计算，这样就错了。

这时全面了解所有方法的显得尤其重要。

所以通常在求最小公倍数和最大公约数的时候,我们选择的方法依次是5-4-3-2-1，直到问题被解决。

所以进而我们使用了法2：起先我们不知道他们共有什么约数，但是我们知道他们里面有5和3，于是当我们分解彻底，我们发现这个隐藏的公约数问题就迎刃而解了。例如，65=5×13 117= 3×3×13 他们的最大公约数是13，最小公倍数是3×3×13 ×5=585 当然在完全没有办法的情况下，也可以使用最古老原始的方法1。

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