高等数学常微分方程讲义,试题,答案

第四章 常微分方程

§4.1 基本概念和一阶微分方程

（甲） 内容要点 一、基本概念

1、 常微分方程和阶 2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程 二、变量可分离方程及其推广

1、

dy

p(x)Q(y)dx

(Q(y) 0) 2、齐次方程：

dy dx

y f x

三、一阶线性方程及其推广

1、

dydy

P(x)y Q(x) 2、 P(x)y Q(x)y dxdx

( 0,1)

四、全微分方程及其推广（数学一）

1、 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足

Q P

x y

2、 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三） （乙）典型例题 例1、求y x

2

2

Q p (RQ) (RP)

但存在R(x,y)，使 x y x y

dydy

xy的通解。 dxdx

解：y (x xy)

22

dy

0dx

y

dyy2 x dxxy x2 y

1 x

2

yduu2

令 u,则u x udx x(1 u)du 0

xdxu 11 udx

du u x C1 ln|xu| u C1

xu e

例2

C1 u

ce, y ce

dyy

的通解 dxx y4

u

yx

求微分方程

dxx y4dx1

解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程 即 x y3是一阶

dyydyy

11

dy 14 dy 133yy

dy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e ye

y 3

例3

设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解

x

x

x

解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程

x,方程化为

dy

(e x 1)y 1 dx

x xdy

(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx

再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4

设

12

12

故所求解y e e

x

x e x

12

满

足

以

下

条

件

F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )

内

f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex

（1）求F(x)所满足的一阶微分方程 （2）求出F(x)的表达式

解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e

2dx

4e

2x

e 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x

将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是 例5

2

F(x) e2x e 2x

dy2

(1 y)的通解 求微分方程(y x) xdx

sec2udu

sec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2

secvdv

化简为sin(u v)

dudzdudz 1 再令z u v,则 1,方程化为 sinz 1 sinz dvdvdvdv

sinz(sinz 1) 1

dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,

1 sinz

v c2

1 sinz1 sinz z v c 2

cosz

z tanz secz v c z

最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。

§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）

（甲）内容要点

一、可降阶的高阶微分方程

二、线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程

y p(x)y q(x)y 0

（1）

二阶非齐次线性方程

y p(x)y q(x)y f(x) （2）

1、 若y1(x),y2(x)为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合C1y1(x) C2y2(x)（C1,C2为任意常数）仍

为同方程的解，特别地，当y1(x) y2(x)( 为常数)，也即y1(x)与y2(x)线性无关时，则方程的通解为

y C1y1(x) C2y2(x)。

2、 若(x)为二阶非齐次线性方程的一个特解，而C1y1(x) C2y2(x)为对应的二阶齐次线性方程的通解（C1,C2为

独立的任意常数）则y (x) C1y1(x) C2y2(x)是此二阶非齐次线性方程的通解。 3、 设y1(x)与y2(x)分别是y p(x)y q(x)y f1(x)与

y p(x)y q(x)y f2(x)的特解，则y1(x) y2(x)是 y p(x)y q(x)y f1(x) f2(x)的特解

三、二阶常系数齐次线性方程

y py qy 0,

特征方程

p,q为常数

2 p q 0

特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式

（1）当 p 4q 0,特征方程有两个不同的实根 1, 2则方程的通解为 （2）当 p 4q 0,特征方程有而重根 1 2，则方程的通解为

222

y C1e 1x C2e 2x y (C1 C2x)e 1x

x

（3）当 p 4q 0,特征方程有共轭复根 i , 则方程的通解为 y e(C1cos x C2sin x) 四、二阶常系数非齐次线性方程

方程 通解

y py qy f(x)其中p,q为常数

y C1y1(x) C2y2(x)

其中C1y1(x) C2y2(x)为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次

线性方程的一个特解y如何求？

我们根据f(x)的形式，先确定特解y的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解y,常见的f(x)的形式和相对应地y的形式如下： 1、f(x) pn(x), 其中pn(x)为n 次多项式

（1）若0不是特征根，则令y Rn(x) a0xn a1xn 1 an 1x an其中ai(i 0,1,2, ,n)为待定系数。 （2）若0是特征方程的单根，则令y xRn(x) （3）若0是特征方程的重根，则令y x2Rn(x) 2、f(x) pn(x)e x 其中pn(x)为n次多项式， 为实常数

（1）若 不是特征根，则令y Rn(x)e x （2）若 是特征方程单根，则令y xRn(x)e x （3）若 是特征方程的重根，则令y x2Rn(x)e x

3、f(x) pn(x)e xsin x或f(x) pn(x)e xcos x 其中pn(x)为n次多项式， , 皆为实常数 （1）若 i 不是特征根，则令 e x[Rn(x)cos x Tn(x)sin x] 其中Rn(x) a0xn a1xn 1 an 1x an ai(i 0,1, n)为待定系数

Tn(x) b0xn b1xn 1 bn 1x bn bi(i 0,1, n)为待定系数

（2）若 i 是特征根，则令y xe x[Rn(x)cos x Tn(x)sin x] 五、欧拉方程（数学一）

xny(n) p1xn 1y(n 1) pn 1xy pny 0, 其中pi(i 1,2, ,n)为常数称为n阶欧拉方程，令x et代入方程，

变为t是自变量，y是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线性微分方程 （乙） 典型例题

例1 求(1 x)y y ln(x 1)的通解

解：令y p,则y p ,原方程化为(x 1)p p ln(x 1)

p

1ln(x 1)p 属于一阶线性方程 x 1x 1

dx ln(x 1) x1 C11 1

ln(x 1)dx C ln(x 1) 1 dx C 11 x 1x 1 x 1

p e

1

dxx 1

C

y ln(x 1) 1 1 dx C2 (x C1)ln(x 1) 2x C2

x 1

例2 求下列微分方程的通解 yy (y ) 1 0

2

解 令y p,则y p

dp

，原方程化为 dy

yp

dp

p2 1 dy

1pdpdy2

lnp ln|y| C1 C12 2yp 1

dy

C1y2 dx

p C1y2

当C1 01C11

lnC1y C1y2 x C2

当C1 0 C1

arcsin C1y x C2

例3 求y 2y 3y 2ex的通解

解 先求相应齐次方程y 2y 3y 0的通解，其特征方程为 2 3 0 特征根为 1 3, 2 1，因此齐次方程通解为Y C1e

3x

2

C2ex

1

，故原方程的通解为 2

设非齐次方程的特解为y,由于 1为特征根，因此设y xAex,代入原方程可得A

y C1e 3x C2ex

1xxe 2

例4 求方程y y 2y 2cos2x的通解

特征根为 1 2, 2 1，因此齐次方程的通解为Y C1e

2x

C2ex

设非齐次方程的特解为y,由于题目中 0, 2, i 2i不是特征根，因此设y Acos2x Bsin2x，代入原方程可得( 2A 2B 4A)cos2x ( 2B 2A 4B)sin2x 2cos2x

6A 2B 2

6B 2A 0

__

3131

sin2x 解联立方程得A ,B ，因此y cos2x

10101010

31 2x

C2ex cos2x sin2x 故原方程的通解为 y C1e

1010

例5 解y cosx 2y sinx 3ycosx e

x

解：令u＝ycosx，则u y cosx ysinx,u y cosx 2y sinx ycosx，原方程变为u 4u e

x

sin2x 解出 u C1cos2x C2

1x

e 5

cos2xsin2x1excos2x1ex

) y C1 C2 C2sinx (c2 2c2＝C1

cosxcosx5cosxcosx5cosx

例6 设函数y＝y（x）在 , 内具有二阶导数，且y 0,x x y 是y＝y（x）的反函数.

dx d2x

0变换为y＝y（x）满足的微分方程； （1） 试将x＝x（y）所满足的微分方程2 y sinx dy dy

（2） 求变换后的微分方程满足初始条件y（0）＝0，y 0

3

3

的解. 2

解 （1）由反函数导数公式知

dx1dx 即y 1.

dyydy

dxd2x2

上式两端关于x求导，得 y 2 y

dydy

代入原微分方程得y y sinx （*）

dxy 2

dxy dy

。 0.所以2 23

dyy y （2）方程（*）所对应的齐次方程y y 0的通解为Y C1ex C2e x 设方程（*）的特解为y＝A cosx+ Bsinx ，

__

11

代入方程（*）求得A＝0，B＝－，故y＝－sinx，从而y y sinx的通解是

221

y(x) C1ex C2e x sinx.

2

3

由y(0) 0,y 0 ，得C1 1,C2 1，

2

1x x

故所初值问题的解为y(x) e e sinx.

2

__

例7．设f（x）＝xsinx－ (x t)f(t)dt，其中f（x）连续，求f（x）

x

解：由表达式可知f（x）是可导的，两边对x求导，则得f x xcosx sinx 再对两边关于x求导，得 f x xsinx 2cosx f(x)

即 f x f x xsinx 2cosx 属于常系数二阶非齐次线性方程. 对应齐次方程通解 y C1cosx C2sinx，

f t dt

x

非齐次方程特解设y x Ax B cosx x Cx D sinx 代入方程求出系数

__

__

A,B,C,D 则得

y

123

xcoxs xsixn，故f（x）的一般表达式 4413

f(x) x2cosx xsinx C1cosx C2sinx

44

123

xcosx xsinx 44

由条件和导数表达式可知f（0）＝0，f 0 0可确定出C1 0,C2 0因此f(x)

x

2x

x

x

例8 已知y1 xe e，y2 xe e，y3 xex e2x e x是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.

解：由线性微分方程的解的结构定理可得，

y1 y3 e x，y1 y2 e2x e x， y1 y3 y1 y2 e2x

是该方程对应的齐次方程的解，由解e

x

与e

2x

的形式，可得齐次方程为y y 2y 0.

设该方程为y y 2y f(x)，代入y1 xex e2x，得f x 1 2x ex. 所以，该方程为y y 2y 1 2x ex， 其通解为 C1e x C2e2x xex e2x.

§4.3 微分方程的应用

一、微分方程在几何问题方面的应用

例1 求通过（3，0）的曲线方程，使曲线上任意点处切线与y轴之交点与切点的距离等于此交点与原点的距离。 解：设曲线y＝（yx）上任意一点M（x，y），则其切线方程为Y－y＝y X x ，故切线与y轴交点A的坐标为 0,y xy ，

由题意AM AO 所以x2 xy

__________

2

12

2yy y x 2

x y xy .这样，

yx 3 0

1 u u x 2

令y u, x

ux 3 0

3 3 2

解得 u 3x x，即y2 3x x2，则 x y2

2 2

例 2 设函数f（x）在 1, 上连续，若曲线y＝f（x），直线x＝1，x＝t（t>1）与x轴围成平面图形绕x轴旋转一周

22

所成旋转体的体积V（t）＝解：由题意可知

t

3

2

f t f 1 ，试求y＝f（x）所满足的微分方程，并求y

x 2

2

的解. 9

V t f2 x dx

1

t

t3

2

f t f 1 则3 f2 x dx t2f t f 1

1

t

两边对t求导，3f

2

t 2tf t t2f t t＝x，f（t）＝f（x）＝y，得

2

ydydudy y y

u x， x2y 3y2 2xy， 3 2 令u ,y xu,

xdxdxdx x x

这样，x

du

3u u 1 ，当u 0,u 1时 dx

u 1dudx

cx3，方程通解为 3 两边积分后得uuu 1x

y x cx3y，再由y

二、其它应用（略）

x 2

x2

，可得c＝-1 y 3

1 x9

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