2018-2019高三高考数学二轮复习专题训练+17+Word版含答案

数学

数列通项公式的求法01

一、构造构造辅助数列

1、递推公式满足an?1?c?an?g?n?型 ①当g(n)为常数

思路：利用待定系数法，将an?1?can?d化为an?1?x?c?an?x?的形式，从而构造新数列?an?x?是以a1?x为首项，以c为公比的等比数列。（待定系数法，构造等比数列）

，a1?2，求数列?an?的通项公式。 例1：数列?an?满足an?1?2an?1 解：

故由an?1?2an?1,得an?1?1?2(an?1)，即

an?1?1?2，得新数列?an?1?是以

an?1n?1 a1?1?2?1?1为首项，以2为公比的等比数列，即通项an?2?1。 ?an?1?2n?1，

②当g(n)为类一次函数

思路：利用待定系数法，构造数列?an?kn?b?，使其为等比数列；

例2：已知数列{an}满足an?1?2an?(2n?1)，且a1?2，求数列?an?的通项公式。

n?1 设an?1?k(n?1)?b?2(an?kn?b)，解得k?2,b?1，求得an?5?2?2n?1。

③当g(n)为类指数函数

思路：观察g(n)的形式，如果g(n)的底数与an的系数c相同时，则把an?1?c?an?g?n?两边同时除以cn?1，从而构造出一个等差数列；如果g(n)的底数与an的系数c不相同时，可

以利用待定系数法构造一个等比数列，其具体构造方法有两种，详见例4题。

n 例3：已知数列{an}满足an?1?2an?3?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。

解：an?1?2an?3?2两边除以2nn?1，得

an?1an3an?1an3，则????，

2n?12n22n?12n2数学

故数列?an3?an?3是以1为首项，以为公差的等差数列，得， ?1?(n?1)?nn222?2?3212所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2n。

n 例4：已知数列?an?满足a1?1，an?1?3an?2（n?N?），求数列?an?的通项公式。

解法1：设an?1?x?2n?1?3(an?x?2n)?x?1?{an?2n}G.P.从而an?3?2。 解法2：由an?1?3an?2知

nnnan?13an1an33，令，则 b?b?b???b??11n?1nnn?1nn2222222n ∴bn?()n，从而an?3?2。

例5：在数列?an?中，a1??1,an?1?2an?4?3n?1,求数列?an?的通项公式。 解：原递推式可化为：an?1???3n?2(an???3n?1)，

比较系数得???4，①式即是：an?1?4?3n?2(an?4?3n?1)。 则数列{an?4?3 ∴an?4?3补充练习：

1、已知数列{an}满足a1?1，an?1?2an?1，求数列{an}的通项公式。 解：

n?1n?132n}是一个等比数列，其首项a1?4?31?1??5，公比是2。

??5?2n?1，即an?4?3n?1?5?2n?1。

an?1?2an?1(n?N*),?an?1?1?2(an?1),

??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列。

n*?an?1?2n.，即an?2?1(n?N)。

2、已知数列{an}中，a1?1，an?1?解：在an?1?n11an?()n?1，求数列{an}的通项公式。 2211an?()n?1两边乘以2n?1得：2n?1?an?1?(2n?an)?1 22bnn11n??。 ??nn22n2令bn?2?an，则bn?1?bn?1，解之得：bn?b1?n?1?n??11，所以an?3、已知

a1?1，当n?2时，

an?1an?1?2n?12，求数列{an}的通项公式。

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