3几何光学基本原理

1．证明反射定律符合费马原理。 证明：费马原理是光沿着光程为最小值、最大值或恒定值的路径传播。B∫ nds = min . max 或恒值A′ ，在介质 n 与 n' 的界面上，入射光 A 遵守反射定律 i1 = i1,经 O 点到达 B 点， 如果能证明从 A 点到 B 点的所有光程中 AOB 是最小光程， 则说明反射定律 符合费马原理。 设 C 点为介质分界面上除 O 点以外的其他任意一点，连接 ACB 并说明光程 ? ACB>光程? AOB由于 ? ACB 与 ? AOB 在同一种介质里，所以比较两个光程的大小，实际上就是比较两 个路程 ACB 与 AOB 的大小。′ 从 B 点到分界面的垂线，垂足为 o′ ，并延长 BO ′ 至 B ，使 O ′B ′ = O ′B ，连接 OB ′ ，根′ 据几何关系知 OB = OB ′ ，再结合 i1 = i1 ，又可证明∠ AOB ′ = 180 °，说明 AOB ′ 三点在′ ′ 一直线上， AOB ′ 与 AC 和 CB ′ 组成Δ ACB ′ ，其中 AOB ? AC + CB 。 ′ ′ ′ 又∵ AOB = AO + OB = AO + OB = AOB , CB = CB ∴ AOB ? AC + CB = ACB即符合反射定律的光程 AOB 是从 A 点到 B 点的所有光程中的极小值，说明反射定律符合费 马原理。 B A i’ O C O‘n n’B‘12、根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程 都相等.由此导出薄透镜的物象公式。 证明：由 QBA～FBA 得：OF\AQ=BO\BQ=f\s′ 同理，得 OA\BA= f \ s ′ ,BO\BA=f\s由费马定理：NQA+NQ A′ =NQ Q′结合以上各式得：(OA+OB)\BA=1 得证 3． 眼睛 E 和物体 PQ 之间有一块折射率为 1.5 的玻璃平板(见题 3.3 图),平板的厚度 d 为 30cm. 求物 PQ 的像 与物体 PQ 之间的距离 为多少? 解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为：1 2 pp ′ = d (1 ? ) = 30(1 ? ) = 10cm n 3 ，即像与物的距离为 10cmQEn=1 题 3.3 图4． 玻璃棱镜的折射棱角 A 为 60 度,对某一波长的光其折射率为 1.6.计算(1)最小偏向角;(2) 此时的入射角;(3)能使光线从 A 角两侧透过棱镜的最小入射角.θ0+ A解：由最小偏向角定义得 n=sin2A /sin 2 ,得 θ 0 =46゜１６′θ0+ A由几何关系知，此时的入射角为:i=21 -1 1.6=５３゜８′当在 C 处正好发生全反射时：i2 = sin’=38゜41′,i2=A- i2 =21゜19′’∴ i1= sin-1(1.6sin21゜19′)= 35゜34′ ∴ ｉmin＝３５゜３4′2５． 图示一种恒偏向棱角镜,它相当于一个 30 度-60-90 度棱镜与一个 45 度-45 度度棱镜按图 示方式组合在一起.白光沿 i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变 θ1 ，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为 r.求证：如果 束 i 与 r 垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）． 解：Qsin θ1 =n 2 则 θ 2 = θ1 ，且光sin θ 1 = nsin i1n 1 sin θ 1 = 2 , 则 sini = 2

, i =30。 若 1 1则 i2=30。,而 sin θ 2 = nsin i2∴ θ1 = θ 2 Q θ 1 + α 1 = 90。，而 θ 1 = θ 2。 ∴ θ 2 + α 1 = 90 ，∴ γ ⊥ i 得证。６．高５cm 的物体距凹面镜的焦距顶点 12cm，凹面镜的焦距是１０cm,求像的位置及高度， 并作光路图．′ 解：∵ f = ?10cm, s = ?12cm1 1 1 + = f′ 又 s s′1 1 1 + =? 10 ，即 s ′ = ?60cm ， ∴ 12 s ′ ?β =?y′ s′ = y s∴y′ = ?ys ′ s =-25cm即像在镜前 60cm 处，像高为 25cm ７．一个５cm 高的物体放在球面镜前１０cm 处成 1cm 高的虚像．求（１）此像的曲率半 径；（２）此镜是凸面镜还是凹面镜？ 解：由题知物体在球面镜前成虚象，则其为反射延长线的交点，β=∵y s′ =? y′ s3s′ = ?∴y ′s 1 1 2 = 2cm + = y ， 又 s s′ r， ∴ r = 5cm? 0，所以此镜为凸面镜。８．某观察者通过一块薄玻璃板去看凸面镜中他自己的像．他移动着玻璃板，使得在玻璃板 中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起，若凸面镜的焦距为１０cm ,眼睛距凸面镜 顶点的距离灵 40cm,问玻璃板观察者眼睛的距离为多少?1 1 1 1 1 1 + = ? ? = ? s ′ = 8cm s′ s f ′ s ′ 40 10 解：根据题意，由凸面镜成像公式得： d = 24cm ∴凸透镜物点与像点的距离 d = s + s ′ = 48cm ， 则玻璃距观察者的距离为 2 。9.物体位于凹面镜轴线上焦点之外,在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平 行的玻璃板,其厚度为 d1,折射率为 n.试证明:放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向 物体移动 d(n-1)/n 的一段距离的效果相同。解：证明：将玻璃板置于凹面镜与焦点之间，玻璃折射成像，由三题结果得ｄ 0 ＝ｄ（１－ １＼ｎ），即题中所求。 10.欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处,问这透明球体的 折射率为多少?n ' n n '? n ? = r 解：设球面半径为 r，物距和相距分别为 s 和 s ′ ,由物像公式: s' sS= ∞ , s ′ =2r,n=1,得 n ' =2 11.有一折射率为 1.5,半径为 4cm 的玻璃球,物体在距球表面 6cm 处,求(1)物所在的像到球心 之间的距离;(2)像的横向放大率.解：Qn′ n n′ ? n ? = , n ′ = 1.5, n = 1, r = 4cm s′ s r 的玻璃球。对第一个球面， s = ?6cm∴1 .5 1 1 .5 ? 1 ? = s′ ? 6 4 ，∴ s ′ = ?36cm4对第二个球面 s 2 = ?36 ? 8 = ?44cm1 1.5 1 ? 1.5 ? = ′ s 2 ? 44 ?4 ∴∴s ′ = 11 2′ ∴从物成的像到球心距离 ol = s 2 + r = 15cmβ = β1 β 2 =ns ′ = 1 .5 n ′s12.一个折射率为 1.53,直径为 20cm 的玻璃球内有两个小气泡.看上去一个恰好在球心,另一个 从最近的方向看去,好像在表面与球心连线的中点.求两气泡的实际位置n′ n n′

? n ? = r ，当 s ′ =日时，s= r, 气泡在球心。 解 ：由球面镜成像公式： s ′ s r ′ = 2 时，s=6.05cm ，气泡在距球心 3.95 cm 处。 当s13.直径为 1m 的球形鱼缸的中心处有一条小鱼,若玻璃缸壁的影响可忽略不计,求缸外观察者 所看到的小鱼的表观位置和横向放大率.n′ n n′ ? n ? = r , 又 s=r， ∴ s ′ =r=15cm, 即鱼在原处。 解：由: s ′ sy' s ' n β= y = s n' =1.3314.玻璃棒一端成半球形,其曲率半径为 2cm.将它水平地浸入折射率为 1.33 的水中,沿着棒的 轴线离球面顶点 8cm 处的水中有一物体,利用计算和作图法求像的位置及横向放大率,并作光 路图.n′ n n′ ? n ? = r 解: s ′ s1.5 1.33 1.5 ? 1.33 ? = s′ ?8 2∴ s ′ = ?18cmβ=ns ′ 1.33 × (?18) = =2 n ′s 1.5 × (?8)5∵φ=n′ ? n rf′=n ′r n′ 1 .5 × 2 3 = = = = 17.65cm n ′ ? n φ 1.5 ? 1.33 0.17 ? nr n 1.33 × 2 2.66 =? = = = ?15.65cm φ 1.5 ? 1.33 0.17 n′ ? nf =15.有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面,其曲率半径为 10cm.一物点在主轴上 距离 20cm 处,若物和镜均浸在水中,分别用作图法和计算法求像点的位置.设玻璃的折射率为 1.5,水的折射率为 1.33. 解：（！）对于凸透镜：由薄透镜焦距公式得： f = ? f ' =-39.12 ,f' f + =1 s ，s=20cm, 得 s ′ =-40.92 由透镜成像公式： s '（2）对于凹透镜：由薄透镜焦距公式得: f= - f ' =39.12f' f + =1 s 由透镜成像公式： s ' ，s=20cm, 得 s ′ =-13.2（3）作图：‘S F O （1）F O S（2）616.一凸透镜在空气中的焦距为 40cm,在水中时焦距为 136.8cm,问此透镜的折射率为多少(水 的折射率为 1.33)?若将此透镜置于 CS2 中(CS2 的折射率为 1.62),其焦距又为多少?f =?解：由题意知凸透镜的焦距为： 又∵在同一介质中 n1 = n2 ， f = ? f 'n1 (n ? n1 n2 ? n + ) r1 r2′ 设 n1 = n2 = n1 1 1 n = ?( ? 1)( ? ) f′ n′ n r2 ∴1 1 ? n r2 是一常数， 因为对同一凸透镜而言1 n == ?( ? 1)t ′ ′ n′ 设 f′ ，当在空气中时 n1 = 1, f1 = 40 ，在水中时 n2 = 1.33, f 2= 136.8n n 1 1 = ( ? 1)t = ?( ? 1)t 40 1 1.33 ， 136.8∴两式相比，可 n=1.54，将其代入上式得t = 0.04631 1.54 = （ ? 1） 0.0463 × 1.62 ∴在 CS 2 中即 n ′ = 1.62时 ， f ′ ，′ 得 f = ?437.4cm .即透镜的折射率为 1.54，在 CS2 中的焦距为-437.4cm 17.两片极薄的表玻璃,曲率半径分别为 20cm 和 25cm.将两片的边缘粘起来,形成内含空气的双凸透镜,把它置 于水中,求其焦距为多少?f =?解：由薄透镜焦距公式：n1 (n ? n1 n2 ? n + ) r1 r2 ，其中 n=1,n1=n2=1.33, r1=20cm,r2=25cm,得f = ? f ' =-44.8cm18.会聚透镜和发散透镜的焦距都是１０cm,求(1)与主轴成 30 度的一束平行光入射到

每个透 镜上,像点在何处?(2)在每个透镜左方的焦平面上离主轴 1cm 处各置一发光点,成像在何处? 作出光路图.f' f + =1 。 s 解：(1)由 s ' ，s = ∞ , 对于会聚透镜： s ′ x= f ' =10cm, s ′ y= s ′ xtg30 =5.8cm 或者s ′ y= s ′ xtg(-30 。 )=-5.8cm， 像点的坐标为(10,|5.8|) 同理，对于发散透镜：像点的坐标为(-10,|5.8|)7S (10,5.8) F 30。，30。O（a）F O S(-10,-5.8)(b)f' f + =1 s (2) 由 s ' ，s =f , 对于会聚透镜： s ′ x= ∞ ，即经透镜后为一平行光束。对于发散透镜： s ′ x=-5cm，又β=y' s' s' = y' = y y s ， s =0.5cm，考虑到物点的另一种放置，y' =s' y s =-0.5cm，像点的坐标为(-5,|0.5|)20.比累对切透镜是把一块凸透镜沿直径方向剖开成两半组成,两半块透镜垂直光轴拉开一点 距离,用挡光的光阑 K 挡住其间的空隙(见题 3.20 图),这时可在屏上观察到干涉条纹.已知点光 源 P 与透镜相距 300cm ,透镜的焦距 f’=50cm,两半透镜拉开的距离 t=1mm,光屏与透镜相距 l=450cm.用波长为 632.8nm 的氦氖激光作为光源,求干涉条纹的间距.P11 PKP28解 ： 分 成 两 半 透 镜 ， 对 称 轴 仍 是 PKO,P1,P2 构 成 两 相 干 光 源 ， 相 距 为′ ′ d, , s ′ = f ·s\( f +s)=60cm, r 0 =L- S ′ =390cm, 上半透镜相当于 L 的主轴与光心上移 0.5mm,下半透镜相当于 L 的主轴与光心下移 0.5mm,d=2 y +t=0.12cm.′?y = r0 λ/d=2.056mm.21.把焦距为 10cm 的会聚透镜的中央部分 C 切去,C 的宽度为 1cm,把余下的两部分粘起来(题 3.21 图).如在其对称轴上距透镜 5cm 处置一点光源，试求像的位置． 解：该透镜是由 A、B 两部分胶合而成，这两部分的主轴都不在光源的中心轴线上，A 部分 的主轴在系统中心线下方 0.5cm 处，B 部分的主轴系统中心线上方 0.5cm 处，f' f + =1 由透镜成像公式： s' s ，经 A 成像得 s ′ =-10cm ，经 B 成像的 s ′ =-10cm，这两个像点在垂直于主轴的方向上的距离为 3cm.２２． 一折射率为 1.5 的薄透镜,其凸面的曲率半径为 5cm,凹面的曲率半径为 15cm,9ERROR: syntaxerror OFFENDING COMMAND: --nostringval-STACK: 19220 3834 352

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