信号处理习题

《信号处理》习题

第一章 Z－Transform and Digital Filter

11．已知x(n)?()nu(?n)，求其z变换反收敛域

211?z?1122．已知X(z)?, z?，请用部分分式法或留数法求其反变换x(n)。

3121?z?1?z?2483．已知w(n)?x(n)*y(n)?m????x(m)y(n?m)，式中，x(n)、y(n)和w(n)的Z变换分别以

?X(z)、Y(z)和W(z)表示。求证：W(z)=X(z).Y(z)。

?bn , n?04．已知数字信号x(n)??n , b?a , 求其z变换X(z)和收敛域。

??a , n??15．已知一线性非移变离散稳定系统的差分方程为：

y(n)?x(n)?131x(n?1)?y(n?1)?y(n?2) 348试求：

1） 传递函数H(z)的表达式； 2） 画出该系统的信号流图；

3） 画出该系统的脉冲响应h(n)，试问该系统若作为数字滤波器，是IIR还是

FIR滤波器？

第二章 Hilbert Transform

1．在2.1节我们已经看到，单位圆外部的z变换完全由其在单位圆上的虚部值和h(0)值确定。

(a) 试由h(n)?h0(n)u?(n)?h(0)?(n)，导出H(z)?Hl(ejw)?h(0)?112?Hl(v)(z?v) ?c(z?v)vdv?h(0)，|z|>1。

(b) 当

??sin? 21???2?cos?时，试利用(a)的导出求H(z)。

2．利用Re[H(ejw)]推导H(z)在单位圆之上的积分表示式，条件是h(n)为一个稳定的实序列，n>0时，h(n)=0。

3．研究一个z变换为的非最小相位因果信号x(n)。X(z)的零点是Zk，k=1, 2, …, M, 并且|Z1|<|Z2|< … <|ZM|。我们建议把序列x(n)予以指数加权，求得一个最小相位的新序列

y(n)，即

y(n)??nx(n)

试问?应该如何选择才能使y(n)是最小相位的？ (a) 两个最小相位序列之卷积仍是最小相位序列。

(b) 两个最小相位序列之和未必是最小相位序列。（举一例来说明最小相位序列和非

最小相位序列都可由两个最小相位序列之和组成。）

5．令hmin(n)表示z变换为Hmin(z)的最小相位序列。如果h(n)是一个非最小相位的因果序列，其傅立叶变换的幅度等于| Hmin(ejw)|，试证明： 4．试证明下面两种说法的正确性：

|h(0)|?|hmin(0)| （提示：利用初值定理）

6．序列x(n)的偶部定义为：xe(n)?x(n)?x(?n)，假设x(n)是一个有限时宽实序列，定2义为n<0和n≧N时，x(n)=0。令x(k)表示x(n)的N点离散傅立叶变换。（提示：

x(n)?(0,N?1),x(?n)?(0,?(N?1)]），则xe(n)的长度为2N-1）

(a) xe(n)的离散傅立叶变换是否等于Re[X(k)]？ (b) 试求出以x(n)表示的Re[X(k)]的离散傅立叶反变换。

?(n)，其中x(n)和x?(n)是实序列。序列z(n)的z7．研究一个复序列z(n), z(n)?x(n)?jx变换Z(z)在单位圆的下半部分为零。即????2?时，Z(ejw)=0。z(n)的实部为

?1?2 , n?0??1x(n)??? , n??2

?4?0 , 其它??

试求Z(ejw)的实部和虚部。

第三章 Discrete Random Signals

1．令x(n)和y(n)是不相关的随机信号，试证：若

w(n)?x(n)?y(n)

则 和

mw?mx?my

222 ?w??x??y2．研究一个随机过程，它的取样序列x(n)的形式为

x(n)?cos(w0n??)

式中?是一个均匀分布的随机变量，其概率密度函数如图3.1所示。试计算它的均值和自相关序列?xx(m,n)。这个随机过程是否为广义平稳过程？

P0(?)

1 2?0 2? θ

图3.1

3．一个如图3.2所示的单位冲激响应为

?2sin2(?n/2)? , n?0 h(n)????n? n?0?0 , 的理想希尔伯特变换器，受到时域离散随机信号xr(n)的激励。

理想的希尔伯特变换器 xi(n)

图3.2

(a) 求自相关序列?xixi(m)的表示式。

(b) 求互相关序列?xrxi(m)的表示式。证明这时?xrxi(m)???xrxi(?m)。 (c) 求如下复解析信号的自相关序列：x(n)?xr(n)?jxi(n)。 (d) 求上述复解析信号的功率谱。

xr(n) 24．令x(n)是白色随机序列，其均值为零、方差为?x。设有一个级联系统，由两个线性

时域离散系统按图3.3的形式构成， x(n)是它的输入。 (a) ???(b) ???2w2y2x?hk?0?21(k)是否正确？

2y?hk?0?22(k)是否正确？

(c) 令h1(n)?anu(n)和h2(n)?bnu(n)。试确定图3.3的整个系统的单位取样响应，并

2由此求出?w。如果你认为(b)是正确的，那么它与(c)的答案是否一致？

x(n) h1(n) y(n) 图3.3

h2(n) w(n) 第四章 Homomorphic Signal Processing

1．如下表的每一个系统变换都是同态的，各输入运算业已指明。请确定各输出运算。

系统变换T[x(n)] x(z)?T[x(n)]?x(z)?T[x(n)]?输入运算 卷积 乘法 乘法 乘法 n??????x(n)z?n ?x(n)z?n ??n???y(n)?T[x(n)]?x2(n) y(n)?T[x(n)]?|x(n)| 2．试确定下列哪几个系统不能构成以乘法为输入、输出运算的同态系统：

(a) y(n)=3 x(n)。 (b) y(n)= x2(n)。 (c) y(n)= x(n)/ x(n-1)。

3．研究一类以卷积为输入和输出的同态系统。试证明若输入x(n)=?(n)，则输出y(n)=?(n)。

?1(n)和x?2(n)表示它们的复倒谱。4．x1(n)和x2(n)表示两个序列，x若x1(n)*x2(n)??(n)，?1(n)和x?2(n)之间的关系 试确定x?(0)?log[x(0)]。 ?1(n)表示它的复倒谱。证明x5．设x(n)表示一个最大相位序列，x?(n)之间的递推关系，请利用该递推式6．当x(n)为最小相位型时，下式表示了x(n)和x计算序列x(n)?anu(n)的复倒谱。

??0 , n?0??(n)??lg[x(0)] , n?0 递推式为：x?x(n)n?1kx(n?k)??x(k) , n?0??x(0)?x(0)k?0n

第五章 Power Spectrum Estimation上机

（一）设输入音频信号Xa(t)?cos(2?ft)，取f=1KHz，fs=20KHz，N=128，W(n)为三角

?(k)及不分段的Bw(k)，打印出曲线图、列窗序列。用计算机求出功率谱估值Pxxxx出程序（注明所用语言）。 测量流程图为：

K1 Xa(t) 取样 fs=20KHz 三角窗加权 规范运算 N/2点ODFT D(2k) u(n)?[x'(n)?jx'(n?N/2)e?jn?/N R2+I2 除NU或除N 补奇数谱线 内存U w?(k) Bxx(k)或PxxK2 w?(k) 注：K1断开，K2合上得Bxx(k)；K1合上，K2断开得Pxx?(k)及Bw(k)时的编程流程图如下（供参考） 用计算机求P。

xxxx开始 输入N及Ts=1/fs 对音视频信号取 N=128个样点为X(k) 规范运算 u(n)?[x(n)?jx(n?N/2)e?jn?/N 取实部Y(N)，虚部Z(N) 三角窗加权 求：U?X1(k)?X(k)W(k) ?Wn?0N?12(n) 规范运算 u(n)?[x1(n)?jx1(n?N/2)e?jn?/N 取实部Y1(N)，虚部Z1(N) N/2点ODFT，得偶数谱线，其实部为C(k)，虚部D(k) 求模的平方R2+I2 除NU 由ODFT谱线的共轭奇偶对称补奇数谱线 wBxx(k)N/2点ODFT，得偶数谱线，其实部为A(k)，虚部B(k) 求模的平方R2+I2 除N 由ODFT谱线的共轭奇偶对称补奇数谱线 ?(k) Pxx结束 w（二） 如有兴趣，对上题求分段的Bxx(k)。用2:1覆盖分段，设各段的长度M=32。请

w画出测量流程图、计算机流程图，打印出Bxx(k)曲线图。

第六章：案例分析

请完成案例分析：就你所从事的专业方向，举出信号处理技术的应用实例。 要求：（1）给出案例题目；（2）原理分析（300字以上）；（3）给出实现框图（在此基础上给出程序代码则更好）。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fvep.html