第三讲 一元二次方程的综合

第三讲 一元二次方程的综合

一、填空题

1. 三角形三边的长是3和4，第三边的长是方程x?12x?35?0的根，则此三角形的周长为________. 2. 某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是___________. 3. 若方程2x(x?3)?1的两根分别为x1、则x1?x2=_______, x1x2=________，x2，x1x2?x1x2=____ x1?x2=_________,

22222244?=__________ x1x24. 若方程x?4x?c?0的一个根为2?3，则方程的另一根为___________. 5. 已知方程x?3x?5?0的两个根为x1、x2，则x1?x2=__________.

6. 已知?、?是方程x?2x?5?0的两个实数根，则?2????2?的值为___________.

7. 若关于x的一元二次方程2x?2x?3m?1?0的两个实数根为x1、x2，且x1x2?x1?x2?4，则实数m的取值范围是_____________.

8. 已知关于x的一元二次方程x?mx?2m?1?0的两个实数根的平方和为23，则m的值为_______. 9. 已知关于x的方程x?3x?m?0的一个根是另一根的2倍，则m的值为___________.

10. 在Rt△ABC中，∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程

2222222x2?7x?c?7?0的两根，那么AB边上的中线长为__________.

11. 设x1、x2是一元二次方程x?4x?3?0的两个根，2x1(x2?5x2?3)?a?2，则a?________. 二、解答题

12. ．已知关于x的一元二次方程x?(2m?1)x?m?m?0 .（m?0)

（1）证明不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

2222x2（2）设方程的两个实数根分别为x1，（其中x1>x2），若y是关于m的函数，且y?1?结合函数的图象回答：当自变量m的取值满足什么条件时，y ≤2．

1

x2，x113. 给出一个定义：如果两个二次项系数为1的一元二次方程有一个相等的实数根，并且另外两个根互为相反数，那么这两个一元二次方程称为“友好方程”．例如：方程x2?2x?3?0的两个根为x1??1，x2?3；方程x2?4x?3?0的两个根为x1??1，x2??3，则方程x2?2x?3?0与x2?4x?3?0就是“友好方程”．

⑴ 请你写出方程x2?2x?8?0的“友好方程”；

⑵ 若关于x的一元二次方程x2??b?1?x?b?0与x2?cx?c?1?0是“友好方程”，求c的

值；

⑶ 请写出一个方程与其“友好方程”之间存在的关系（写出两种即可）．

14. 关于x的一元二次方程(x?2)(x?3)?m有两个实数根x1、x2， （1）求m的取值范围；

（2）若x1、x2满足等式x1x2－x1－x2+1=0，求m的值.

15. 已知一元二次方程(m?1)x2?2mx?m?3?0有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数，

（1）求m的值

（2）当m在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为x1、x2，求3x1(1?4x2)的值.

2

216. 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BDE的三边长，易知AE=2c，这时我们把形如ax?2cx?b?0的方程称为关于x的“勾系一元二次方程” 请解决下列问题：

（1） 构造一个“勾系一元二次方程”：__________________________

（2） 证明：关于x的“勾系一元二次方程”ax?2cx?b?0必有实数根；

（3） 若x??1是“勾系一元二次方程” ax?2cx?b?0的一个根，且四边形ACDE的周长

是62，求△ABC的面积.

2cAbCaccaDE222Bb

17. 问题：已知方程x?x?3?0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍 解：设所求方程的根为y，则y?2x，所以x?222yyy2y，把x?代入已知方程，得()??3?0 2222 化简，得y?2y?12?0，故所求方程为y?2y?12?0，这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”

请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所有方程化为一般形式）

（1） 已知方程x?x?1?0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍，则所求

方程为：___________________________

（2） 已知关于x的一元二次方程ax?bx?c?0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，

使它的根分别是已知方程根的倒数；

（3） 已知关于x的方程x?mx?n?0有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已

知方程根的平方.

3

22218. 根据题意列方程：

（1）某汽车销售公司2007年到盈利1500万元，2009年盈利2160万元，且从2007年到2009年，

每年盈利的年增长率相同，设每年盈利的年增长率为x，根据题意，列方程为______________ （2）某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率，设平均每

次降价的百分率为x，可列方程为___________________

（3）学校图书馆七月底有图书共计5万册，为了满足学生“十一”长假的阅读需求，预计到九月份

底增加到7.2万册，设这两个月的月平均增长率为x，则可列方程____________________ 19. 合肥百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了 迎接“十.一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量。增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？

20. 某商户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该商户决定销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该商户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

21. 某水果批发商城经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

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22. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出

500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)； (3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

23. 如图, 用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题： （1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与n（表示第n个图形）的关系式； （2） 上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值； （3） 黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（2）中，共需要花多少钱购买瓷砖？ （4） 否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明

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