湖南师大附中2019届高三文科数学上学期月考试卷(一)含解析

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湖南师大附中2019届高三文科数学上学期月考试卷（一）含解析湖南师大附中2019届高三月考试卷(一) 数学(文科) 命题人、审题人：洪利民王朝霞钱华本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数f(x)＝16－x－x2的定义域是(A) A.－3，2 B.－∞，－3∪2，＋∞ C.－3，2 D.－∞，－3∪2，＋∞ 【解析】解不等式6－x－x2>0得(x－2)(x＋3)<0??x∈－3，2.选A. 2．已知复数z＝21－i，给出下列四个结论：①|z|＝2；②z2＝2i；③z的共轭复数z－＝－1

＋i；④z的虚部为i.其中正确结论的个数是(B) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】由已知z＝1＋i，则|z|＝2，z2＝2i，z－＝1－i，z的虚部为1.所以仅结论②正确，选B. 3．已知命题p：若a>b，则a2>b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是(A) A．“p∨q”为真命题 B．“p∧q”为真命题 C．“?p”为真命题 D．“?q”为假命题【解析】由条件可知命题p为真命题，q为假命题，所以“p∨q”为真命题，故选择A. 4．如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BC→＝4BD→，CA→＝3CE→，则DE→＝(D) A.34b－13a, B.512a－34b， C.34a－13b, D.512b－34a，【解析】DE→＝DC→＋CE→＝34BC→＋13CA→＝34(AC→－AB）→－13AC→＝512b－34a.选D. 5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为(A) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定【解析】设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x 为最大边，其对应角最大．而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a ＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A. 6．与直线2x－y＋4＝0的平行的抛物线y＝x2的切线方程是(D) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 【解析】设P(x0，y0)为切点，则切点的斜率为y′|x＝x0＝2x0＝2，∴x0＝1.由此得到切点(1，1)．故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，故选D.

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7．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为(D) A.25 B.110 C.910 D.15 【解析】记其中被污损的数字为x.依题意得甲的5次综合测评的平均成绩为90，乙的5次综合测评的平均成绩为15(442＋x)，令15(442＋x)≥90，由此解得x≥8，即x的可能取值为8和9，由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为210＝15，故选D. 8．将函数y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π2个单位，所得图象对应的函数(A) A．在区间π12，7π12上单调递增 B．在区间π12，7π12上单调递减 C．在区间－π6，π3上单调递增 D．在区间－π6，π3上单调递减【解析】将函数y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π2个单位，所得函数变为y＝3sin2x －2π3，令2kπ－π2≤2x－2π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12(k∈Z)，令k＝0，π12≤x≤7π12.故函数在区间π12，7π12上单调递增，故选A. 9．设f(x)＝2ex－1，x<2，log3（x2－1），x≥2，则不等式f(x)>2的解集为(C) A．(1，2)∪(3，＋∞) B．(10，＋∞) C．(1，2)∪(10，＋∞) D．(1，2) 【解析】令2ex－1>2x<2，解得1<x<2.令log3x2－1>2x≥2，解得x为10，＋∞，不等式f(x)>2的解集为(1，2)∪(10，＋∞)，故选C. 10.执行如图所示的程序框图，若输入a，b，c分别为1，2，0.3，则输出的结果为(D) A．1.125 B．1.25 C．1.3125 D．1.375 【解析】模拟程序的运行，可得a＝1，b＝2，c＝0.3 执行循环体，m＝32，不满足条件f(m)＝0，满足条件f(a)f(m)＜0，b＝1.5，不满足条件|a－b|＜c，m＝1.25，不满足条件f(m)＝0，不满足条件f(a)f(m)＜0，a

＝1.25，满足条件|a－b|＜c，退出循环，输出a＋b2的值为1.375.故选D. 11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a8－1)3＋2 018(a8－1)＝1，(a2 011－1)3＋2 018(a2 011－1)＝－1，则下列结论正确的是(A) A．S2 018＝2 018，a2 011<a8 B．S2 018＝2 018，a2 011>a8 C．S2 018＝－2 018，a2 011≤a8 D．S2 018＝－2 018，a2 011≥a8 【解析】设f(x)＝x3＋2 018x，则由f(－x)＝－f(x)

知函数f(x)是奇函数．由f′(x)＝3x2＋2 018>0知函数f(x)＝x3

＋2 018x在R上单调递增．因为(a8－1)3＋2 018(a8－1)＝1，(a2 011

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－1)3＋2 018(a2 011－1)＝－1，所以f(a8－1)＝1，f(a2 011－1)＝－1，得a8－1＝－(a2 011－1)，即a8＋a2 011＝2，且a2 011<a8，所以在等差数列{an}中，S2 018＝2 018?a1＋a2 0182＝2 018?a8＋a2 0112＝2 018.故选A. 12．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是 A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞) 【解析】设g(x)＝f（x）x(x≠0)，则g′(x)＝x?f′（x）－f（x）x2. 当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. ∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如右图所示．当x>0时，由f(x)<0，得g(x)<0，由图知x>1，当x<0时，由f(x)<0，得g(x)>0，由图知－1<x<0，∴使得f(x)<0成立的x的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．故答案选B. 选择题答题卡

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A D A D D A C D A B 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．已知α为锐角，a＝34，sin α，bcos α，13，且a∥b，则α为__15°或75°__．【解析】因为a∥b，34×13－cos α×sin α＝0??sin 2α＝12，故α为15°或75°. 14．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A、B满足|OA→|＝|OB→|＝OA→?OB→＝2，由点集{P|OP→＝

λOA→＋μOB→，|λ|＋|μ|≤1，λ、μ∈R}所表示的区域的面积是__43__．

【解析】由|OA→|＝|OB→|＝OA→?OB→＝2知，〈OA→，OB→〉＝π3. 设OA→＝(2，0)，OB→＝(1，3)，OP→＝(x，y)，则x＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y3，λ＝12x－y3.由|λ|＋|μ|≤1，得|3x－y|＋|2y|≤23. 作出可行域，如右图阴影部分所示．则所求面积S＝2×12×4×3＝43. 15．在平面直角坐标系xOy中，以点A(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x－1)2＋y2＝2__．【解析】直线mx－y－2m－1

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＝0恒过定点P(2，－1)，当AP与直线mx－y－2m－1＝0垂直，即点P(2，－1)为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径r＝（1－2）2＋（0＋1）2＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2. 16．在平面几何里，已知直角△SAB的两边SA，SB互相垂直，且SA＝a，SB ＝b则AB边上的高h＝aba2＋b2；拓展到空间，如图，三棱锥S－ABC 的三条侧棱SB、SB、SC两两相互垂直，且SA＝a，SB＝b，SC＝c，则点S到面ABC的距离h′＝__abca2b2＋b2c2＋c2a2__．【解析】把结论类比到空间：三棱锥S－ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，SH⊥平面ABC，且SA＝a，SB＝b，SC＝c，则点S到平面ABC 的距离h′＝abca2b2＋b2c2＋c2a2. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＋b＝mc(m>0)． (1)当m＝3时，若B＝π6，求sin (A－C)的值； (2)当m＝2时，若c＝2，求△ABC面积最大值．【解析】(1)∵a＋b＝3c，∴sin A＋sin B＝3sin C，∴sin A＋12＝3sinA＋π6＝332sin A＋12cos A，4分化简得12sin A＋32cos A＝12，∴sinA＋π3＝12，∴A＋π3＝5π6，即A＝π2，∴C＝π3，∴sin (A－C)＝sin π6＝12.6分(2)∵c

＝2，∴a＋b＝22，∴b＝22－a，∴S△ABC＝12absin C≤12ab，8

分∴S△ABC≤12ab＝12a(22－a)＝－12a2＋2a，10分∴当a＝2时，－12a2＋2a取最大值1，此时a＝b＝2，c＝2满足C＝π2，∴△ABC 面积最大值为1.12分 18.(本题满分12分) 如图，四棱锥P－ABCD 中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E、F分别为线段AD、PC的中点． (1)求证：AP∥平面BEF； (2)设∠PDA＝30°，∠BAD

＝60°，求直线BF与平面PAC所成的角的大小．【解析】(1)证明：设AC∩BE＝O，连接OF、EC. ∵E为AD的中点，AB＝BC＝12AD，AD∥BC，∴AE∥BC，AE＝AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形.2分∴O为AC的中点.3分又F为PC的中点，在△PAC中，可得AP∥OF.4分又OF?计矫?BEF，AP?て矫?BEF.5分∴AP∥平面BEF.6分 (2)由题意知ED∥BC，ED＝BC. ∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE∥CD. 又AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD，∴AP⊥BE. ∵四边形ABCE为菱形，∴BE⊥AC. 又AP∩AC＝A，AP、AC?计矫?PAC，∴BE⊥平面PAC. ∴直线BF与

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平面PAC所成的角为∠BFO.8分不妨设AP＝2，∵∠PDA＝30°，∴AE ＝12AD＝2，又∵四边形ABCE为菱形，∠BAD＝60°，∴OB＝1，

∵Rt△BOF中，OF＝12AP＝1，OB＝1，∴∠BFO＝45°.11分故直线BF与平面PAC所成的角的大小为45°.12分 19．(本小题满分12分) 已知数列{an}中，Sn为其前n项和，且a1≠a2，当n∈N＋时，恒有Sn＝pnan(p为常数)． (1)求常数p的值； (2)当a2＝2时，求数列{an}的通项公式； (3)在(2)的条件下，设bn＝4（an＋2）an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<74. 【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1，∴a1＝pa1，??p＝1或a1＝0，当p＝1时，Sn＝nan则有S2＝2a2??a1＋a2＝2a2??a1＝a2与已知矛盾，∴p≠1，只有a1＝0.2分当n＝2时，由S2＝2pa2??a1＋a2＝2pa2，∵a1＝0又a1≠a2，∴a2≠0，∴p＝12.4分(2)∵a2＝2，Sn＝12nan，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2an－n－12an－1，6分 (n－2)an＝(n－1)an －1??ann－1＝an－1n－2，∴ann－1＝a21??an＝2n－2.8分当n＝1时，a1＝2×1－2＝0也适合，∴an＝2n－2.9分 (3)bn＝4（an ＋2）an＋1＝1n2<1（n－1）n＝1n－1－1n.10分当n＝1，2时，显然成立，当n≥3时有∴Tn<1＋14＋12－13＋…＋1n－1－1n＝74－1n<74.12分 20．(本题满分12分) 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，设点F1、F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A、B、P为椭圆C上三点，满足OP→＝35OA→＋45OB→，记线段AB中点Q的轨迹为E，若直线l：y＝x＋1与轨迹E交于M、N两点，求|MN|. 【解析】(1)由已知得2c＝4，b＝2，故c＝2，a＝22. ∴椭圆C的标准方程为x28＋y24＝1.4分 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵OP→＝35OA→＋45OB→，∴OP→＝35x1＋45x2，35y1＋45y2，∴点P坐标为35x1＋45x2，35y1＋45y2.5分∵点P在椭圆C上，∴1835x1＋45x22＋1435y1＋45y22＝1，∴925x218＋y214＋1625x228＋y224＋2425x1x28＋y1y24＝1，即925＋1625＋2425x1x28＋y1y24＝1，即x1x28＋y1y24＝0.6分令线段AB的中点坐标为Q(x，y)，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.7分∵A、B在椭圆C上，∴x218＋y214＝1，x228＋y224＝1，8分??x21＋x228＋y21＋y224＝2，∴（x1＋x2）

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2－2x1x28＋（y1＋y2）2－2y1y24＝2. ∵x1x28＋y1y24＝0，∴（2x）28＋（2y）24＝2，即Q点的轨迹E的方程为x24＋y22＝1.9分联立x24＋y22＝1，y＝x＋1，得3x2＋4x－2＝0. 设M(x3，y3)、N(x4，y4)，则x3＋x4＝－43，x3?x4＝－23.10分故|MN|＝1＋k2|x3－x4|＝1＋k2（x3＋x4）2－4x3x4＝453.12分第(2)问也可以用椭圆的参数方程解决，且可参考上述解答酌情给分． 21．(本题满分12分) 已知函数f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝2x＋ax3，a为实常数． (1)求g(x)的单调区间； (2)当a＝－1时，证明：??x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行．【解析】(1)g′(x)＝3ax2＋2，1分当a≥0时，g′(x)>0故g(x)的单调增区间为(－∞，＋∞).3分当a<0时，令g′(x)≥0得－－23a≤x≤－23a，g(x)的单调增区间为－－23a，－23a， g(x)的单调减区间为－∞，－－23a，－23a，＋∞.5分 (2)当a＝－1时，f′(x)＝ex－e－x，g′(x)＝2－3x2，??x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行．即??x0∈(0，1)使得f′(x0)＝g′(x0)，且f(x0)≠g(x0)，6分令h(x)＝f′(x)－g′(x)＝ex－e－x－2＋3x2， h(0)＝－2<0，h(1)＝e－1e－2＋3>0，∴??x0∈(0，1)使得f′(x0)＝g′(x0).7分∵当x∈0，63时g′(x)>0，当x∈(63，1)时g′(x)<0，∴所以g(x)在区间(0，1)的最大值为g63，g63＝469<2.9分而f(x)＝ex＋e－x≥2exe－x＝2，10分∴x∈(0，1)时f(x)>g(x)恒成立，∴f(x0)≠g(x0)．从而当a＝－1时，??x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行． 12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为x＝3cos α＋sin αy＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴位极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程ρsinθ＋π4＝22t(t为参数)． (1)求曲线M 和N的直角坐标方程； (2)若曲线N和曲线M有公共点，求t的取值范围．【解析】(1)由x＝3cos α＋sin α＝2sinα＋π3得x∈[－2，2]，又∵x2＝(3cos α＋sin α)2＝2cos 2α＋23sin αcos α

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＋1，所以曲线M的普通方程为y＝x2－1，x∈[－2，2]．由ρsinθ＋π4＝22t得22ρsin θ＋22ρcos θ＝22t，即ρsin θ＋ρcos θ＝t，所以曲线N的直角坐标方程为x＋y＝t.4分 (2)若曲线M、N 有公共点，则当曲线N过点(2，3)时满足要求，此时t＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立x＋y＝ty＝x2－1得x2＋x－t－1＝0，Δ＝1＋4(1＋t)＝0??t＝－54. 综上所述，t的取值范围是－54，5.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝3x＋2. (1)

解不等式f(x)<4－x－1； (2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若x－a－

f(x)≤1m＋1n(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)不等式f(x)<4－x－1即为3x＋2<4－x－1. 当x<－23时，即－3x－2－x＋1<4?荩?54<x<－23；当－23≤x≤1时，即3x＋2－x＋1<4?荩?23≤x<12；当x>1时，即3x＋2＋x－1<4无解．综上所述，原不等式的解集为－54，12.5分 (2)1m＋1n＝1m＋1n(m＋n)＝1＋1＋mn＋nm≥4，令g(x)＝x－a－f(x)＝x－a－3x＋2＝2x＋2＋a，x<－23，－4x－2＋a，－23≤x≤a，－2x－2－a，x>a，所以当x＝－23时，g(x)max＝23＋a，要使不等式恒成立，只需g(x)max＝23＋

a≤4??0<a≤103. 10分

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