信息论与编码陈运主编答案完整版

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信息论与编码陈运第三版答案第五章推荐度：
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信息论与编码课后习题答案详解

2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？

解：

四进制脉冲可以表示4 个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3}

八进制脉冲可以表示8 个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 二进制脉冲可以表示2 个不同的消息，例如：{0, 1} 假设每个消息的发出都是等概率的，则：

四进制脉冲的平均信息量H X( 1) = logn = log4 = 2 bit symbol/ 八进制脉冲的平均信息量

H X( 2) = logn = log8 = 3 bit symbol/

二进制脉冲的平均信息量H X( 0) = logn = log2 =1 bit symbol/ 所以：

四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2 倍和3 倍。

2.2 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？

解：

设随机变量X 代表女孩子学历 X P(X)

x1（是大学生） x2（不是大学生）

0.25 0.75

设随机变量Y 代表女孩子身高

y1（身高>160cm）

0.5

y2（身高<160cm）

0.5

P(Y)

已知：在女大学生中有75%是身高160 厘米以上的即：

p y( 1 / x1) = 0.75 bit

求：身高160 厘米以上的某女孩是大学生的信息量

p x p y( ) ( / x) log 0.25

x( 1 / y1 ) = ?log p x( 1 / y1 ) = ?log = ?

p y( 1 ) 0.5

11 1

×0.75

=1.415 bit即：I

2.3 一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问

(1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？

·1·

(2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？

解：

(1) 52 张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：p

x( i ) =

I x( i ) =?log p x( i ) = log52!= 225.581 bit

(2) 52 张牌共有4 种花色、13 种点数，抽取13 张点数不同的牌的概率如下：

413

p x( i ) =

C5213

413

I x( i ) = ?log p x( i ) = ?log

C5213 =13.208 bit

2.4 设离散无记忆信源???P X(X )??? = ???x3/8

x2 =1 x3 = 2 x4 = 3?，其发出的信息为

1/4 1/4 1/8 ?

(202120130213001203210110321010021032011223210)，求 (1) 此消息的自信息量是多少？

(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？解：

(1) 此消息总共有14 个0、13 个1、12 个2、6 个3，因此此消息发出的概率是：

p = ??3??14 ×?? 1 ??25 ×??1??6 ?8?

? 4?

?8?

此消息的信息量是：I =?log p =87.811 bit

(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是：I n/ = 87.811/ 45 =1.951 bit

2.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？解：男士： p x( Y ) = 7%

I x( Y ) = ?log p x( Y ) = ?log0.07 = 3.837 bit

·2·

p x( N ) = 93%

I x( N ) = ?log p x( N ) = ?log0.93 = 0.105 bit H X(

0.93log0.93)0.366 bit symbol/

) p x( )log p x( ) (0.07log0.07

女士：

H X(

) p x( )log p x( )

?X ? ? x 2.6 设

信源=

x2 x3

x4 x5

x6 ?

，求这个信源的熵，并解释为什么

(0.005log0.0050.995log0.995)0.045 bit symbol/

?P X( )?? ??0.2 0.19 0.18

0.17 0.16 0.17??

H(X) > log6不满足信源熵的极值性。

解：

H X

p x p x

=?(0.2log0.2 + 0.19log0.19 + 0.18log0.18+ 0.17log0.17 + 0.16log0.16 + 0.17log0.17)= 2.657 bit symbol/

H X( ) >log 62 = 2.585

不满足极值性的原因是

。

2.7 证明：H(X3/X1X2) ≤ H(X3/X1)，并说明当X1, X2, X3是马氏链时等式成立。证明：

H X( 3 / X X1 2 ) ?H X( 3 / X1)

= ?∑∑∑ p x x x( i1 i2i3 )log p x( i3 / x xi1 i2 ) + ∑∑ p x x( i1 i3 )log p x( i3 / xi1)

i1 i2

= ?∑∑∑ p x x x( i1 i2i3 )log p x( i3 / x xi1 i2 ) + ∑∑∑ p x x x( i1 i2i3 )log p x( i3 / xi1)

i2 i3

p x( i3 / xi1)

= ∑∑∑i1

i2 i3

p x x x( i1 i2

)log p x( i3 / x xi1 i2 )

·3·

? p x( i3 / xi1) 1???log2 e

≤ ∑∑∑i1

i2 i3

p x x x( i1 i2

)???p x( i3 / x xi1 i2 ) ? ?

= ??

∑∑∑ p x x(

?i1 ?

i1 i2

) (p xi3 / xi1) ?∑∑∑ p x x x( i1 i2i3 )??log2 e

i1 i2

? ? ?

= ??∑∑ p x x( i1 i2 )?∑ p x( i3 / xi1)? ?1??log2 e

?i1 = 0

?i3 ? ?

∴H X( 3 / X X1 2) ≤ H X( 3 / X1)

p x( i3 / xi1) 1 0时等式等等当? = p x( i3 / x xi1 2i )

? p x( i3 / xi1) = p x( i3 / x xi1 2i )

? p x x( i1 2i ) (p xi3 / xi1) = p x( i3 / x xi1 2i ) (p x xi1 2i ) ? p x( i1) (p xi2 / xi1) (p xi3 / xi1) = p x x x( i1 2 3i ? p x( i2 / xi1) (p xi3 / xi1) = p x x( i2 3i / xi1) ∴等式等等的等等是X1, X2, X3是马氏链_

)

2.8证明：H(X1X2 。。。Xn) ≤ H(X1) + H(X2) + … + H(Xn)。证明：

H X X( 1

/ X X1 I X(

...X n ) = H X( 1)+ H X(2 / X1)+ H X( 3 2 )+...+ H X( n / X X1 2...X n?1 )

;X1 ) ≥ 0 ? H X(

) ≥ H X(

/ X1 ) I X( 3;X X1 3 / X X1

) ≥ 0 ? H X( 3 ) ≥ H X(

)

...

I X( N;X X1 2...Xn?1) ≥ 0 ? H X( N ) ≥ H X( N / X X1 2...Xn?1)

∴H X X( 1 2...Xn) ≤ H X( 1)+H X( 2)+H X( 3)+ +... H X( n)

2.9 设有一个信源，它产生0，1序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按P(0) = 0.4，P(1) = 0.6的概率发出符号。 (1) 试问这个信源是否是平稳的？ (2) 试计算H(X2), H(X3/X1X2)及H∞；

(3) 试计算H(X4)并写出X4信源中可能有的所有符号。

解： ·4·

(1)

这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间．．．．而且不论以前发生过什么符号．．．．．．．．．．．……” (2)

H X(2 ) = 2H X() = ?2×(0.4log0.4+ 0.6log0.6) =1.942 bit symbol/ H X(

/ X X1

) = H X(

) = ?∑ p x( i )log p x( i ) = ?(0.4log0.4+

0.6log0.6) = 0.971 bit symbol/ i

H∞ = lim H X(

/ X X1

...X N?1 ) = H X(

) = 0.971 bit symbol/

N?>∞

(3)

H X(4 ) = 4H X() = ?4×(0.4log0.4+ 0.6log0.6) = 3.884 bit symbol/ X 4的所有符号：

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101

1110 1111

2.10 一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源X的符号集为{0, 1, 2}。求平稳后信源的概率分布； (2) 求信源的熵H∞。

解：

(1)

?p e( 1 ) = p e p e( 1 ) ( 1 /e1 ) + p e( 2 ) (p e1 /e2 ) ?

?p e( 2 ) = p e( 2 ) (p e2 /e2 ) + p e( 3 ) (p e2 /e3 ) ?

?p e( 3 ) = p e( 3 ) (p e3 /e3 ) + p e p e( 1 ) ( 3 /e1 ) ?p e( 1 ) = p p e?( 1 ) + p p e? ( 2 ) ??

·5·

(1)

?p e( 2 ) = p p e?( 2 ) + p p e? ( 3 ) ???p e( 3 ) = p p e?( 3 ) + p p e? ?p e( 1 ) = p e( 2 ) = p e( 3 ) ?

?p e( 1 ) + p e( 2 ) + p e( 3 ) =1 ?p e( 1 ) =1/3 ?

?p e( 2 ) =1/3 ?

?p e( 3 ) =1/3

?p x( 1 ) = p e( 1 ) (p x1 /e1 ) + p e( 2 ) (p x1 /e2 ) = p p e?( 1 ) + p p e?( 2 ) = (p + p)/3 =1/3 ??

?p x( 2 ) = p e( 2 ) (p x2 /e2 ) + p e( 3 ) (p x2 /e3 ) =p p e?( 2 ) + p p e?( 3 ) = (p + p)/3 =1/3 ???p x( 3 ) = p e( 3 ) (p x3 /e3 ) + p e p x( 1 ) ( 3 /e1 ) = p p e? ?X

? 0

2 ?

( 3 ) + p p e? ( 1 ) = (p + p)/3 =1/3

( 1 )

?P X( )?? = ??1/3 1/3 1/3? ?

(2)

p e p e( ) (

/e )log p e( j /ei ) i j

?111

= ??3 p e( 1 /e1)log p e( 1 /e1) + 3 p e( 2 /e1)log p e( 2 /e1) + 3 p e( 3 /e1)log p

e( 3 /e1) ?

1 1

+ 3 p e(

? ? /e )log p e( 1 /e3) + 3 p e( 2 /e3)log p e( 2 /e3) + 3 p e( 3 /e3)log p e( 3 /e3)??

·6·

1 1 1 1 1 1

p log p log log p log p log ? =? ? ? + ? + ? ? + ? ? + ? ? + ? p ? log p3 3 p p 3 p p 3 3 p p 3 ??

= ?p?log p + p?log p bit symbol/

()

2.11黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X={黑，白}。设黑色出现的概率为 P(黑) = 0.3，白色出现的概率为P(白) = 0.7。

(1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H(X)；

(2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为P(白/白) = 0.9，P(黑/白) = 0.1，P(白/黑) =

0.2，

P(黑/黑) = 0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵H2(X);

(3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较H(X)和H2(X)的大小，并说明其物理含义。解：(1)

H X( ) =?∑ p x( i )log p x( i ) =?(0.3log0.3+ 0.7log0.7) = 0.881 bit symbol/

(2)

?p e( 1 ) = p e p e( 1 ) ( 1 /e1 )+ p e( 2 ) (p e1 /e2 ) ?

?p e( 2 ) = p e( 2 ) (p e2 /e2 )+ p e p e( 1 ) ( 2 /e1 ) ?p e( 1 ) = 0.8 (p e1 )+ 0.1 (p e2 ) ?

?p e( 2 ) = 0.9 (p e2 )+ 0.2 (p e1 ) ?p e( 2 ) = 2 (p e1 ) ?

?p e( 1 )+ p e( 2 ) =1 ?p e( 1 ) =1/3 ?

?p e( 2 ) = 2/3

H∞ = ?∑∑ p e p e( i ) ( j /ei )log p e( j /ei )

= ???1×0.8log0.8+ 1×0.2log0.2+ 2 ×0.1log0.1+ 2

×0.9log0.9?? ?3 3 3

3 ?

0.553 = bit symbol/

(3)

η1 = H 0 ?H∞ = log2?0.881 =11.9% H 0 log2

7·

· 44.7%

H(X) > H2(X)

表示的物理含义是：无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度，有记忆信源的结构化信息较多，能够进行较大程度的压缩。

2.12 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；

(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … ,

12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。解：

(1)

p x( i ) =× + ×

I x( i ) = ?log p x( i ) = ?log

(2)

= 4.170 bit

p x( i ) =

× =

I x( i ) = ?log p x( i ) = ?log

(3)

两个点数的排列如下： 11 12 13 14 21 22 23 24 31 41 51 61

32 42 52 62

33 43 53 63

34 44 54 64

= 5.170 bit

16 26 36 46 56 66

15 25 35 45 55 65

共有21 种组合：其中11，22，33，44，55，66 的概率是

其他15 个组合的概率是·8·

H X(

(4)

) = ?

∑

?1 1 1 1 ?

p x( i )log p x( i ) = ??6× 36log36+15×18log18??=

4.337 bit symbol/ i

参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：

?P X()??X ??= ?????

1214

195 3656

176 3685

3612 1813919 10121

18111 12361 ??????

H X() = ?∑i p x( i )log p x( i )

= ???2× 1 log 1 + 2× 1 log 1 + 2× 1 log 1 + 2× 1log1 + 2× 5 log 5 + 1log 1?? ? 36 36 18 18 12 12 9 9 36 36 6 3.274 = bit symbol/

(5)

p x( i ) =

× ×11=

I x( i ) = ?log p x( i ) = ?log

=1.710 bit

2.13 某一无记忆信源的符号集为{0, 1}，已知P(0) = 1/4，P(1) = 3/4。 (1) 求符号的平均熵；

(2) 有100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”和（100 - m）个“1”）

的自信息量的表达式； (3) 计算(2)中序列的熵。

解： (1)

H X(

(2)

) = ?

∑

?1133?

p x( i )log p x( i ) = ??4log 4 + 4log 4??=

0.811 bit symbol/ i

·9·

p x( i ) = ?? 14???m ×???34???100?m =

3100?m

I x( i ) = ?log p x( i ) = ?log

(3)

34100100?m

4100= 41.5+1.585m bit

H X( 100) =100H X() =100×0.811= 81.1 bit symbol/

2.14 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下：

若把这些频度看作概率测度，求：

(1) 忙闲的无条件熵；

(2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵； (3)

从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。

解： (1)

根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下：

?X ?P X( ?

? ??x1忙闲x2 )?? = ???10363 ??

10340 ???

H X( ) = ?

∑

2 p x( i )log p x( i ) = ??10363 log10363 +10340 log10340

???= 0.964 bit symbol/ i

(2)

设忙闲为随机变量X，天气状态为随机变量Y，气温状态为随机变量Z

H XYZ() = ?∑∑∑ p x y z( i jk )log p x y z( i

j k

)

= ???12 log 12 + 8 log 8 + 27 log 27 + 16 log 16 ·10·

?103 103 103 103 103 103 103 103

+ 8 log 8 + 15 log 15 +

log 5 + 12 log 12 ? 103 103

103 103

103?

103 103 103

= 2.836 bit symbol/ H YZ(

) = ?∑∑ p y z( j

)log p y z( j k ) j k

= ??? 20 log 20 + 23 log 23 + 32 log 32 + 28 log 28 ?? ?103 103 103 103 103 103 103 103? 1.977 = bit symbol/

H X YZ( / ) = H XYZ( ) ?H YZ(

(3)

) = 2.836?1.977 = 0.859 bit symbol/

I X YZ( ; ) = H X( ) ?H X YZ( / ) = 0.964?0.859 = 0.159 bit symbol/ 2.15 有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为

Y X x1 =0 1 /8 3 /8 x 2 =1 3 /8 1 /8 y 1 =0 y =1 2 并定义另一随机变量Z = XY（一般乘积），试计算：

(1) H(X), H(Y), H(Z), H(XZ), H(YZ)和H(XYZ)；

(2) H(X/Y), H(Y/X), H(X/Z), H(Z/X), H(Y/Z), H(Z/Y), H(X/YZ), H(Y/XZ)和H(Z/XY)；

(3) I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z), I(X;Y/Z), I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。

解： (1)

p x

p x y p x y p x

·11·

p x y

H X() =?∑ p x( i )log p x( i ) =1 bit symbol/

p y

p x y p x y p y

p x y

H Y( ) =?∑ p y( j )log p y( j ) =1 bit symbol/

Z = XY 的概率分布如下：

?Z ? ??z1 = 0 ??P Z( )??=??? 78 z2 =1?? 18 ???

?7711?

H Z( ) =?∑k2 p z( k ) =???8 log 8+ 8log8??= 0.544 bit symbol/

·12·

p x( 1) = p x z( 1 1)+ p x z( 1 2) p x z( 1 2) = 0 p x z( 1

) = p x( 1) = 0.5 p z( 1) =

p x z( 1 1)+ p x z( 2 1)

p z( 2) = p x z( 1 2)+

p x z( 2 2)

H XZ( ) =?

∑∑

?1133 11?

p x z( ik )log p x z( ik ) =??2log 2 + 8log8+ 8log8??=1.406 bit symbol/

·13·

p y( 1) = p y z( 1 1)+ p y z( 1 2) p y z( 1 2) = 0 p y z( 1 1) = p y( 1) = 0.5 p z( 1) = p y z( 1 1)+ p y z( 2 1)

p z( 2) = p y z( 1 2)+ p y z( 2 2)

H YZ(

?1133

) =?k p y z( j k )log p y z( j k ) =??2log 2 + 8log8+

8log18??=1.406 bit symbol/ j ?

p x y z( 1 1 2) = 0 p x y z( 1 2 2) =

∑∑

0 p x y z( 2 1 2) = 0 p x y z( 1 1 1)+ p x y z( 1 1 2) = p x y( 1 1) p x y z( 1 1 1) = p x y( 1 1) =1/8 p x y z( 1 2 1)+ p x y z( 1 1 1) = p x z( 1 1)

p x y z( 2 1 1)+ p x y z( 2 1 2) = p x y( 2 1)

·14·

p x y z( 2 2 1) = 0

p x y z( 2 2 1)+ p x y z( 2 2 2) = p x y( 2 2)

H XYZ( ) =?∑∑∑ p x y z( i

)log2 p x y z( i j

)

?11 33 33 11?=??log+ log+ log+ log?=1.811 bit symbol/ ?8 8 8 8 8 8 8 8?

(2)

H XY( ) =?

∑∑

?1133 33 11?

p x y( ij )log2 p x y( ij ) ==??8log8 + 8log8+ 8log8+ 8log8??=1.811 bit symbol/

) = H XY( )?H Y( ) =1.811 1? = 0.811 bit symbol/

H X Y( H Y X( H X Z( H Z X( H Y Z(

/ / / / /

) = H XY(

)?H X( ) =1.811 1? = 0.811 bit symbol/

) = H XZ( )?H Z( ) =1.406?0.544 = 0.862 bit symbol/

) = H XZ( )?H X( ) =1.406? =1 0.406 bit symbol/

) = H YZ(

)?H Z( ) =1.406?0.544 = 0.862 bit symbol/

·15·

H Z Y( H X YZ(

/ /

) = H YZ( )?H Y( ) =1.406? =1 0.406 bit symbol/

) =1.811 1.406? = 0.405 bit symbol/

) = H XYZ( )?H YZ(

H Y XZ( / ) = H XYZ( )?H XZ( ) =1.811 1.406? = 0.405 bit symbol/ H Z XY( / ) = H XYZ( )?H XY( ) =1.811 1.811? = 0 bit symbol/

(3)

I X Y( ; ) = H X( symbol/ I X Z( ;

)?H X Y( / ) = ?1 0.811= 0.189 bit

) = ?1 0.862 = 0.138 bit symbol/

) = H X()?H X Z(

I Y Z( ;) = H Y( )?H Y Z( / ) = ?1 0.862 = 0.138 bit symbol/

) = 0.862?0.405 =

I X Y Z( ; / ) = H X Z( / )?H X YZ( / 0.457 bit symbol/

I Y Z X( ; / ) = H Y X( / )?H Y XZ( / ) = 0.862?0.405 = 0.457 bit

symbol/ I X Z Y( ; / ) = H X Y( / )?H X YZ( / ) = 0.811?0.405 = 0.406 bit symbol/

2.16 有两个随机变量X和Y，其和为Z = X + Y（一般加法），若X和Y相互独立，求证：H(X)

≤ H(Z), H(Y) ≤ H(Z)。

证明：

?Z = X +Y

∴ p z( k / xi ) = p z( k ?xi ) = ??p y( j ) (zk ?xi )∈Y

?0 (zk ?xi )?Y

H Z X(

/ ) = ?∑∑i

p x z( i

)log p z( / x) = ?∑i p x( )k k i i ??∑k

p z( k / xi )log p z( k / xi )??

? ?

= ?∑ p x( i )?∑ p y( j )log2 p y( j )?= H Y( ) i ?j

?H Z( ) ≥ H Z X( / ) ∴H Z( ) ≥ H Y( ) 同理可

得H Z( ) ≥ H X( )。

1 ?λx

2.17 给定声音样值X的概率密度为拉普拉斯分布p x( ) = λe ,?∞

并证

明它小于同样方差的正态变量的连续熵。解：

·16·

log=

e | |x dx log=

其中：

e e xdx

Xp x p x dx p x e?λ

p x dx p x e | |x dx

| |x

? e

? e e xdx

= e?λx log2 e?λ

x 0+∞

?∫0+∞e?λxdloge?λ

(

)= ????e

?λx0+∞

???log2 e = log2 e

2 2e

∴Hc (X) = log +log2 e = log bit symbol/ λ

e y ydy

e x xdx = 0

E X p x xdx e y d y

e x xdx

e y ydy

E x m E x p x x dx e x dx

x dx

= ?∫0+∞x de2?λx = ????e?λx x2 0+∞ ?∫0+∞e?λxdx2 ??? = ∫0+∞e?λxdx2 = 2∫0+∞e?λx xdx = ? 2 ∫0+∞xde?λx = ?λ

?∫0+∞e?λxdx???

2 ???e?λx x 0+∞

λ λ

∴Hc (X正态) = 1 log2πσe 2 = log πe >Hc (X) = log

·17·

λ λ

x2 + y2 ≤r2 ，求H(X), H(Y), 其他

2.18 连续随机变量X和Y的联合概率密度为：p x y( , ) =?πr

??0

H(XYZ)和I(X;Y)。（提示：

解：

xdx ） 1 )

X p x p x dx

2 r 2 ?x 2

= ∫?r2?x2 πr 2 dy = πr 2 (?r ≤ x ≤ r)

r2?x2 r2?x2

p x( ) = ∫?r2?x2 p xy dy( Hc

=? ?r px

∫

2 r 2 ? x 2 2 r π ( )logdx ( )log

p x

r 2 x dx2

= ?

πr

log p x r 2 x dx2

log e

·18·

log r log e bit symbol /

其中：

p x r 2 x dx2

r x

r 2 xdx2

πr

0 令x =4

r cos θππ r logsin )

2 ∫ 2 r sinθ r θdr ( cosθ

4 0 =? r 2 πr 2 sin 2 π ∫ 2θlogsin r θd

θ=4 π 2 0 sin 2 θlogsin r θd π∫

r 2 x dx2=4 π 2 sin 2 log rd 4 π2

π∫ 0 θθ + sin 2 logsin d ∫0 θ θθ

=4π

π log∫ r 2 1 ? cos2θ d π 0 2 θ +4 π 2 1 ? cos2 θlogsin π∫ 0

2 θdθ

19·

其中：

= π1 =? = ?π= ?π

1 ????sin 2 logsinθ

2 0

π02 ?

∫π

sin 2θd logsinθ????

∫

2 sinθ cosθ 2 e

cosθ log e d

θ sin

π θ

2 2

cos 2 θθd

= ?πlog 2

∫

2 log 2 e∫0π2 1+ cos22 θdθ

1 log e π2 dθ?1 log 2 e∫0π2 cos2θθd

∫π

1 1

= ? 2 log 2 e ?2πlog 2 esin 2θ 02

p y( )

y 2 ? r ?

2 2 r y ?

r2?y2 1 2 r 2 ?y2 = ∫p xy dx( ) = ∫?r2?y2 πr 2 dx = πr 2 (?r ≤ y ≤ r) p y( ) = p x( )

·20·

HC ( )Y

Hc (XY) = ?∫∫ p xy()log p xy dxdy( )

H (X) log r log ebit/symbol

1 r 2 dxdy )

= ?∫∫R p xy( )logπ= logπr 2 ∫∫ p xy dxdy(

= log2πr 2bit/symbol

Ic (X Y; ) = Hc (X) + H Yc ( ) ?Hc (XY) = 2log2πr ?log2 e ?logπr 2 = log2π?log2 ebit/symbol

2.19 每帧电视图像可以认为是由3?10个像素组成的，所有像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现，问每帧图像含有多少信息量？若有一个广播员，在约10000个汉字中选出1000个汉字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少（假设汉字字汇是等概率分布，并彼此无依赖）？若要恰当的描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？解：

H X() = logn = log128 = 7 bit symbol/

X( N ) = NH X( ) = 3 10× symbol/

×7 = 2.1 10×

bit

H X() = logn = log10000 =13.288 bit symbol/

X( N ) = NH X( ) =1000 13.288× =13288 bit symbol/

N = H X( N ) = 2.1 10X( ) 13.288

× 6 =158037H

·21·

2.20 设X = X X1 2...X N 是平稳离散有记忆信源，试证明：

H X X( 1 2...X N ) = H X( 1)+ H X( 2 / X1)+ H X( 3 / X X1 2)+...+ H X( N / X X1 2...X N?1)。

证明：

H X X(

1 2

...X N )

= ?∑∑ ∑...p x x( i1 i...xiN )log p x x( i1 i...xiN )

= ?∑∑ ∑...p x x( i1 i...xiN )log p x( i1 ) (p xi2 / xi1 )... (p xiN / xi1...xiN?1 )

i1 i2

? = ?∑ ∑ ∑?

... ?

p x

p x x( i1 i...xiN )?log p x( i1 ) ?∑∑ ∑?...

x( i1 i...xiN )?log p x( i2 / xi1 ) i1 ?i2 iN

...?∑∑ ∑... p x x( i1 i...xiN )logp x( iN / xi1...xiN?1 )

= ?∑ p x( i1 )log p x( i1 ) ?∑∑ p x x( i1 i)log p x( i2 / xi1 )

i1 i1

...?∑∑ ∑... p x x( i1 i...xiN )logp x( iN / xi1...xiN?1 )

i1 i2

= H X(1) + H X(2 / X1) + H X(3 / X X12 ) +...+ H X(N / X X1 2...X N?1)

2.21 设X = X X1 2...X N 是N维高斯分布的连续信源，且X1, X2, … , XN的方差分别是

σσ σ12, 22,..., N2 ，它们之间的相关系数ρ(X Xi j ) = 0(i j, =1,2...,N i, ≠ j) 。试证明：N维高斯分布的

连续信源熵

Hc (X) = Hc (X X12...X N ) = 12 ∑Ni log2πσe i2

证明：相关系数ρ

(x x

i j

)= 0 ,(i

j =1,2,..., N, i ≠ j)，说明XX X1 2... N

是相互独等的。

·22·

?H (X )

log2 e 2

= πσi

∴Hc (X) = Hc (X1 )+ Hc (X 2 )+...+ Hc (X N )

1 N

i=1

2.22 设有一连续随机变量，其概率密度函数p x( ) = ?

(1) 试求信源X的熵Hc(X)；

(2) 试求Y = X + A (A > 0)的熵Hc(Y)； (3) 试求Y = 2X的

熵Hc(Y)。

解： 1)

Hc (X) = ?∫R f x( )log f x dx( )= ?∫R f x( )logbx dx2

= ?logb?∫R f x dx( ) ?∫R f x( )logx dx2

= ?logb?2b∫R x2 logxdx

= ?logb?2ba3 log a3

9 e bx3 ba3 ?FX ( )x = ,FX ( )a = =1 3 3

2 a3

∴Hc (X) = ?logb? ?log bit symbol/

3 e

?0 ≤ x ≤ a ? 0 ≤ y ?A ≤ a ∴A ≤ y ≤ a + A

FY ( )y = P Y(≤ y) = P X(+ A ≤ y) = P X(≤ y ?A)

?bx2

= ∫Ay A?bx 0

dx2

f y( ) = F y′( ) = b y( H Yc ( ) = ?∫R f y( )log f y dy( ) = ?logb?∫R f

y dy( ) = ?logb ?2b∫R (y ?A)2 log(y

?A d y) ( 0 ≤ x ≤ a

其他

·23·b

3(y

?A)2

2ba3

= ?logb ?

log bit symbol/ 9 e

ba3 =1 2

a3 e

?FY ( )y = b (y ?A)3 ,F aY ( + A) =

3 3 ∴H Yc ( ) = ?logb? ?log 3)

bit symbol/

?0 ≤ x ≤ a ? 0 ≤ ≤ a

∴0 ≤ y ≤ 2a

FY ( )y = P Y(≤ y) = P(2X ≤ y) = P X(≤ )

= ∫0bx dx

24y

b 2

f y( ) = F y′( ) = y

b 2

H Yc ( ) = ?∫R f y( )log f y dy( )= ?∫R f y( )log 8 y dy

= ?log 8 ?∫R f y dy( ) ?∫R f y( )log y dy

·24·

ydyb 2ba3 8a3

log ? log 8 9 e

2ba3 a3 9?2ba3 logb ? log + 9 e 3

?FY ( )y = y3 ,FY (2 )a = ba3 =1b 24 3

H Yc ( ) = ?logb? ?log +1 bit symbol/

a33

·25·= ? = ?

∴

?X ? ? x1 ?=? ?P X( )? ?0.6

x2 ?通过一干扰信道，接收符号为Y = { y1, y2 }，信道转移矩 ? 0.4?

3.1 设信源?

?5 1?

?6 ?，求：阵为?1 3

?? ?4 4?

(1) 信源X中事件x1和事件x2分别包含的自信息量；

(2) 收到消息yj (j=1,2)后，获得的关于xi (i=1,2)的信息量； (3) 信源X和信宿Y的信息熵；

(4) 信道疑义度H(X/Y)和噪声熵H(Y/X)； (5) 接收到信息Y后获得的平均互信息量。解：

I x( 1) =?log2 p x( 1) =?log 0.62 = 0.737 bit

I x( 2 ) =?log2 p x( 2 ) =?log 0.42 =1.322 bit

p y( 1) = p x p y( 1) ( 1 / x1)+ p x( 2 ) (p y1 / x2 ) = 0.6× +

0.4× =

0.6 p y( 2 ) = p x p y( 1) ( 2 / x1)+ p

·17·

x( 2 ) (p y2 / x2 ) = 0.6× + 0.4× =

0.4

p y( 1 / x1) 5/6

I x y( 1; 1) = log2= log2 = 0.474 bit

p y( 1) 0.6

p y( 2 / x1) 1/6

I x y( 1; 2 ) = log2= log2

p y( 2 ) 0.4 p y( 1 / x2 ) 1/4 I x( 2; y1) = log2 p y( 1)

= log2

=?1.263 bit =?1.263 bit 0.6

p y( 2 / x2 ) 3/4

I x( 2; y2 ) = log2 = log2 = 0.907 bit

p y( 2 ) 0.4

H X() =?∑ p x( i )log p x( i ) =?(0.6log0.6 + 0.4log0.4)log2 10 = 0.971 bit symbol/

H Y( ) =?∑ p y( j )log p y( j ) =?(0.6log0.6 + 0.4log0.4)log2 10 = 0.971 bit symbol/

H Y X(

·18·

/ )

∑∑ p x p y( ) ( / x)log p y( / x)

(0.6

= 0.715 bit symbol/ ?H X( ) + H Y X( /) = H Y( ) + H X Y( / ∴H X Y(

) = H X( ) + H Y X( /

)

) ?H Y( )

= 0.971+ 0.715?0.971 = 0.715 bit symbol/

I X Y(

; ) = H X( ) ?H X Y(

/ 1?

) = 0.971?0.715 = 0.256 bit symbol/

?3 3??

3.2 设二元对称信道的传递矩阵为?1

?3 3?

(1) 若P(0) = 3/4, P(1) = 1/4，求H(X), H(X/Y), H(Y/X)和

I(X;Y)；

(2) 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布；解：

H X p x ) 0.811 bit

symbol/

H Y X(

/ ) ∑∑ p x p y( i ) ( j / xi )log p y( j / xi )

=?(

= 0.918 bit symbol/

× + × + × + × )×log 102

·19·

p y

p x y p x p y x p y x

p x yp x

p y

p x y p x p y

p x y

x p x p y x

= 0.980 bit symbol/

H Y( ) =?∑ p y( j ) =?(0.5833×log 0.58332 + 0.4167×log 0.4167)2 I X Y(

; ) = H X(

) ?H X Y(

) = H Y( ) ?H Y X( /

)

H X Y( / ) = H X( ) ?H Y( ) + H Y X( / ) = 0.811?0.980 + 0.918 = 0.749 bit symbol/ I X Y( ; ) = H X( ) ?H X Y( / ) == 0.811?0.749 = 0.062 bit symbol/

C = max (I X Y; ) = log2 m ?H mi = log 22 + (

)×log 102 = 0.082 bit symbol/

p x( i ) =

3.3 设有一批电阻，按阻值分70%是2KΩ，30%是5 KΩ；按瓦分64%是0.125W，其余是

0.25W。现已知 2 KΩ阻值的电阻中 80%是 0.125W，问通过测量阻值可以得到的关于瓦数的平均信息量是多少？解：对本题建立数学模型如下：

?X阻值? ?x1 = ΚΩ2 x2 = ΚΩ5? ?

? =?

?Y瓦数? ?y1 =1/8

? =?

y2 =1/ 4?

·20·

?P X( ) ? ? 0.7 0.3 ? = 0.2 求：I X Y( ; )

以下是求解过程：

?P Y( ) ? ? 0.64 0.36 ?p y( 1 / x1) = 0.8, p y( 2 / x1)

p x y( 1 y( 1

) = p x( 1 ) (p y1 / x1 ) = 0.7×0.8 = 0.56 p x

) = p x( 1 ) (p y2 / x1 ) = 0.7×0.2 = 0.14

??p y( 1 ) = p x y( 11 ) + p x y( 2 ??p y( 2 ) = p x y( 12 ) + p x y( 2

)

∴ p x y( 21 ) = p y( 1 ) ?p x y( 11 ) = 0.64 ?0.56 = 0.08

)

∴ p x y( 22 ) = p y( 2 ) ?p x y( 12 ) = 0.36 ?0.14 = 0.22

H X( ) =?∑ p x( i ) =?(0.7×log 0.72 + 0.3×log 0.32)= 0.881 bit symbol/

H Y( ) =?∑ p y( j ) =?(0.64×log 0.642+ 0.36×log 0.362 )= 0.943 bit symbol/

H XY()

∑∑ p x y(

)log p x y( ij )

=?(0.56×log 0.562 + 0.14×log 0.142 + 0.08×log 0.082 + 0.22×log 0.222 ) 1.638 = bit symbol/

I X Y(; ) = H X() + H Y( ) ?H XY() = 0.881+ 0.943?1.638 = 0.186 bit symbol/

3.4 若X, Y, Z是三个随机变量，试证明

(1) I(X;YZ) = I(X;Y) + I(X;Z/Y) = I(X;Z) + I(X;Y/Z)；

证明：

p x( i / y zj k ) I X YZ( ; )

=∑∑∑ p x y z( i j k )log

p x( i )

p x( i / y j zk ) (p xi / y j )

=∑∑∑ p x y z( i

j k

)log

p x p x( i ) ( i / y j ) p x( i / y j )

p x( i / y zj k )

=∑∑∑ p x y z( i

k )log

j k

)log

p x( i ) )

+∑∑∑ p x y z( i

p x( i / y j )

= I X Y( ; ) + I X Z Y( ; /

·21·

p x( i / y zj k ) I X YZ( ; )

=∑∑∑ p x y z( i j k )log

p x( i )

p x( i / y zj k ) (p xi / zk )

=∑∑∑ p x y z( i

j k

)log

p x p x( i ) ( i / zk ) p x( i / zk )

p x( i / y zj k )

∑∑∑ p x y z(

+i j k

)log

∑∑∑ p x y z(

)log

p x( i )

p x( i / zk )

= I X Z( ; ) + I X Y Z( ;

(2) I(X;Y/Z) = I(Y;X/Z) = H(X/Z) – H(X/YZ)；

证明：

p x( i / y zj k ) I X Y Z( ; / )

=∑∑∑ p x y z( i j k )log

p x( i / zk )

p x( i / y zj k ) (p y zj k ) =∑∑∑

p x y z( i j k )log

p x( i / zk ) (p y zjk ) p x y z( i j

) =∑∑∑

p x y z( i j

)log

p x( i / zk ) (p zk ) (p y j / zk ) p x y z( i

)

=∑∑∑ p x y z( i

j k )log

p x z( ik ) (p y j / zk )

p x y z( i

)

=∑∑∑ p x y z( i

j k )log

p x z( ik ) (p y j / zk )

p y( j / x zi k ) =∑∑∑ p x y

z( i j k )log

p y( j / zk )

= I Y X Z( ; / )

p x( i / y zj k ) I X Y Z( ; / )

=∑∑∑ p x y z( i j k )log

22·

)

· i j k

p x( i / zk )

j k

=?∑∑∑ p x y z( i

)log p x( i / zk ) +∑∑∑ p x y z( i

j k

)log p x( i / y zj k )

=?∑∑∑?

p x y z( i

)?log p x( i / zk ) ?H X YZ( / )

k ?j

∑∑ p x z(

)log p x( i / zk ) ?H X YZ( / i

= H X Z( / ) ?H X YZ( / )

(3) I(X;Y/Z) ≥0，当且仅当(X, Y, Z)是马氏链时等式成立。

证明：

p x( i / y zj k )

?I X Y Z(

;

/ ) =∑∑∑ p x y z( i

j k

)log

p x( i / zk )

∴?I X Y Z(

;

/ ) =∑∑∑ p x y z( i

j k

)log

p x( i / y zj k )

≤∑∑∑i

j k

p x y z( i

j k

)????p xp x((i /i /y zzj k )k ) ????log2 e

=???∑∑∑ p x y z( i

)

p x( i / zk ) ?∑∑∑ p x y z( i j

p x( / y z )

?i j k i j k i j k

? ? ?

=??∑∑∑?

p y z( j k )?p x( i / zk ) ?1??log2 e

?i ?j k

? ?

? ? =?∑ p x( i / zk ) ?1?log2 e

= 0

∴I X Y Z(

;

)

)???log2 e

) ≥ 0

·23·

当 ? =1 0 p x( i / y zj k )

p x( i / zk )

时等式成立

? p x( i / zk ) = p x( i / y zj k )

? p y z( j k ) (p xi / zk ) = p x( i / y zjk ) (p y zj k ) ? p z( k ) (p y j / zk ) (p xi / zk ) = p x y z( i j ? p y( j / zk ) (p xi / zk ) = p x y z( i ? p y( j / zk ) (p xi / zk ) = p x y( i j / zk )

所以等式成立的条件是X, Y, Z 是马氏链

)

)/ p z( k )

3.5若三个随机变量，有如下关系：Z = X + Y，其中X和Y相互独立，试证明：

(1) I(X;Z) = H(Z) - H(Y)； (2) I(XY;Z) = H(Z)； (3) I(X;YZ) = H(X)； (4) I(Y;Z/X) = H(Y)；

(5) I(X;Y/Z) = H(X/Z) = H(Y/Z)。

解： 1)

?Z = X +Y

?p y( j ) (zk ?xi )∈Y ∴ p z( k / xi ) =

p z( k ?xi ) = ?

?0 (zk ?xi )?Y

H Z X(

) = ?∑∑ p x z( i ?

)log2 p z( k / xi ) ?

=?∑ ∑p x( i )?

p z( k / xi )log2 p z( k / xi )?i ?k

? ?j

=?∑ ∑p x( i )? = H Y( )

p y( j )log2 p y( j )?i

∴I X Z( ;) = H Z( ) ?H Z X( / ) = H Z( ) ?H Y( )

?Z = X +Y

??1 (xi + y j ) = zk

∴ p z( k / x yi j ) =?

??0 (xi + y j ) ≠ zk H Z XY(

·24·

/) =?∑∑∑ p x y z( i

j k

)log2 p z( k / x yi j )

=?∑∑ p x y( i

)?∑ p z( k / x yi j )log2 p z( k / x yi j )? ?k ?

) = H Z( ) ? =0 H Z( )

= 0

∴I XY Z( ;) = H Z( ) ?H Z XY(

?Z = X +Y

??1 xi = zk ?y j ∴ p x( i / y zj k ) = ? ??0 xi ≠ zk ?y j

H X YZ(

/) =?∑∑∑ p x y z( i

j k

)log2 p x( i / y zj k )

=?∑∑ p y z( j

)?∑ p x( i / y zj k )log2 p x( i / y zj k )?

?i ?

= 0

∴I X YZ(

;

) = H X( ) ?H X YZ( / ) = H X( ) ? =0 H X(

?Z = X +Y

??1 y j = zk ?xi ∴ p y( j / x zi k ) =? ??0 y j ≠ zk ?xi

H Y XZ(

/) = ?∑∑∑ p x y z( i

j k

)log2 p y( j / x zi k )

? =?∑∑ p x z( i

)?∑ p y( j / x zi k )log2 p y( j / x zi k )?

= 0

∴I Y Z X( ; /) = H Y X( /) ?H Y XZ( / ) = H Y( ) ? =0 H Y( )

?Z = X +Y

??1 xi = zk ?y j ∴ p x( i / y zj k ) =? ??0 xi ≠ zk ?y j

)

25··

H X YZ(

/) = ?∑∑∑ p x y z( i

j k

)log2 p x( i / y zj k )

=?∑∑ p y z( j

)?∑ p x( i / y zj k )log2 p x( i / y zj k )?

?i ? ; /

) = H X Z(

/) ?H X YZ(

/) = H X Z( /

) ? =0 H X Z( /

= 0

∴I X Y Z(

)

?Z = X +Y

??1 y j = zk ?xi ∴ p y( j / x zi k ) =? ??0 y j ≠ zk ?xi

H Y XZ(

) = ?∑∑∑ p x y z( i

j k

)log2 p y( j / x zi k )

=?∑∑ p x z( i

? ?

) ?H Y XZ( /

) = H Y Z( /

) ? =0 H Y Z( /

)

)?∑ p y( j / x zi k )log2 p y( j / x zi k )? ?j

= 0

∴I X Y Z( ; ?0.98 0.02?

/ ) = H Y Z( /

3.6 有一个二元对称信道，其信道矩阵为?

?。设该信源以1500二元符号/秒的速度

?0.02 0.98?

传输输入符号。现有一消息序列共有 14000 个二元符号，并设P(0) = P(1) = 1/2，问从消息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列无失真的传递完？解：信道容量计算如下：

max

C = max (I X Y; ) = [H Y( ) ?H Y X( = log 22 + (0.98×log 0.982 + 0.02×log 0.02)2

= 0.859 bit symbol/

)

/ ]= H max ( )Y ?H mi

也就是说每输入一个信道符号，接收到的信息量是0.859 比特。已知信源输入1500 二元符号/秒，那么每秒钟接收到的信息量是：

I1 =1500symbol s/ ×0.859bit symbol/ =1288 bit s/

现在需要传送的符号序列有140000 个二元符号，并设P(0) = P(1) = 1/2，可以计算出这个符号序列的信息量是

I =14000×(0.5×log 0.52 + 0.5×log 0.5)2

14000 = bit

·26·

要求10 秒钟传完，也就是说每秒钟传输的信息量是1400bit/s，超过了信道每秒钟传输的能力（1288 bit/s）。所以10 秒内不能将消息序列无失真的传递完。

3.7 求下列各离散信道的容量（其条件概率P(Y/X)如下：） (1) Z信道 (2) 可抹信道 (3) 非对称信道 (4) 准对称信道

???1s1?0s??? ???1? ?ss12 s2ss11 1? ?ss12 s2 ??? 1? ?1 1 1 1? ???13 13 16 16??? ???22???

?4 4?

解： 1) Z 信道

这个信道是个一般信道，利用一般信道的计算方法： a.

由公式

p y( j

/ xi

)log2

p y( j

/ xi

) =

∑ ∑ p y( j

/ xi

)β

j ，求βj

j ?1×log21=β1

?slog2 s + ?(1s)log2 (1?s) = sβ1 + ?(1s)β2 ?β1 = 0

? s

?β= s

2 log2 s + log (12 ?s) = ?

1?s

log2 ??(1?s s) ??

b. 由公式C = log2??

∑2 ??，求C

∑

C = log2 ??? 2βj ???= log2 ??1+ ?(1s s) 1?ss ??bit symbol/

? ?

c. 由公式p

y( j ) = 2βj ?C ，求p(yj)

p y( 1) =

= 1 s 2β1?C

1 +?(1 ss) 1? s s 1 ?s

= (1 ? ss) s 1 +?(11 ss

) ? s ?6 3 6 3?

·27·

p y( 2 ) = 2β2?C

d. 由公式p y( j ) =

∑ p x p y( ) ( / x) ，求p(x)

i 由方程组：

?p y( 1) = p x( 1)+ p x s( 2 ) ? ?p y( 2 ) = p x( 2 )(1?s)

解得

s 1 ?s s 1 ?s p x( 1)

1 ? s

1 +?(1) ss

p x( 2)

s 1 ?s 1 +?(1) ss

s 1 ?s =

因为s 是条件转移概率，所以0 ≤ s ≤ 1，从而有p(x1)，p(x2) ≥0，保证了C 的存在。

2) 可抹信道

可抹信道是一个准对称信道，把信道矩阵分解成两个子矩阵如下：

?1? ?s1 s2 s2 ? ?s1? M1 =? ?,M 2 =? ?

? s2 1? ?s1 s2 ? ?s1?

C = max (I X Y; ) =?∑m p yk( k )log2 p y( k ) ?Hmi

k=1

?p y( 1) = p x p y( 1) ( 1 / x1) + p x( 2 ) (p y1 / x2) = ? ?(1 s1s2 )/ 2+ s2 / 2 = ?(1 s1)/ 2

?p y( 2 ) = p x p y( 1) ( 2 / x1) + p x( 2) (p y2 / x2 ) = s2 / 2+ ? ?(1 s1 s2 )/2 = ?(1 s1 )/2 ?p y( 3) = p x p y( 1) ( 3 / x1)+ p x( 2 ) (p y3 / x2 ) = s1 /2+ s1 / 2 = s1

∑ p y( )

p y( j )∈M

p y( k ) = mk

p y

= = = ?(1 s1)/ 2 m1 2

∑ p y( )

·28·

p y( )∈M

p y( )

p y( 2 ) =

k=1

m p yk( k )log2 p y( k )?Hmi

=?(2×

+ s1 log2 s1) +[(1?s1 ?s2 )log2 (1?s1 ?s2 ) + s2 log2 s2 + s1 log2 s1 ]

=? ?(1 s1)log2

+ ?(1

s1 ?s2 )log2 (1?s1 ?s2 ) + s2 log2 s2bit symbol/

3) 非对称信道

这个信道是个一般信道，利用一般信道的计算方法 a. 由公式

，求β

∑ p y( j

/ xi

)log2

p y( j

/ xi

) =∑ p y( j

/ xi

)β

j ?1 1 1 1 1 1 ??2log2 2 + 2log2 2 = 2β β1 + 2 2 ?

?14log2 14 + 34log2 34 = 14β β1 + 34 2

?β1 =?1.3775 ?

?β2 =?0.6225

b. 由公式C = log2??

∑2 ??，求C

??∑2βj ???= log 22

[

?1.3775

+ 2?0.6225 ]

= 0.049 bit symbol/

C = log2 ?

c. 由公式p y( ) = 2

βj j ?C

，求p(yj)

p y(

1) = 2β1?C = 2?1.3775 0.049?= 0.327

p y(

2 ) = 2β2?C = 2?0.6225 0.049?= 0.628

d. 由公式p y( j ) =

∑ p x p y( i

) ( j

/ xi

) ，求p(xi

)

·29·

由方程组：

? 1 1

??0.372 = 2 p x( 1)+ 4 p x( 2 )

?0.628 =

2 p x( 1)+

34 p x( 2 )

解得

?p x( 1) = 0.488 ?

?p x( 2 ) = 0.512 p(x1)，p(x2) ≥0，保证了C

的存在。

(4) 准对称信道

把信道矩阵分解成三个子矩阵如下：

?1 1? ?1? ?1? M1 = ?13 16??,M 2 = ??13??,M 2

= ??16?? ? ?? ?? ?? ?6 3? ?3? ?6?

C = max (I X Y; ) =?∑m p yk

( k )log2 p y( k ) ?H

k=1

1 1 1 1 1

?p y( 1) = p x( 1) (p y1 / x1) + p x( 2 ) (p y1 / x2 ) = 2 × + ×3 2 6 = 4 ?

?p y( 2 ) = p x( 1) (p y2 / x1) + p

x( 2 ) (p y2 / x2 ) = 12 × + ×16 12

13 = 14

p y( 3 ) = p x( 1) (p y3 / x1) + p

x( 2 ) (p y3 / x2 ) = 1 × + ×1 1 1 = 1

2 3 2 3 3

?p y( 4 ) = p x( 1) (p y4 / x1) + p x( 2 ) (p y4 / x2 )

30·

∑ p y( )

p y( j )∈M

p y( k ) =

∑ p y( )

p y(

j )∈M1 p y( 1) + p y( 2 ) ?1 2

p y( j )

p y( j )∈M2

1 ? 1 p y( 1) = =

=? + ?/ 2 = m1

∑

y( 3 ) 1

p y( 2 ) = = = m2 1

∑ p y( )

py( 3 ) = 3

py( j )∈ M 3

m 3

py( 4 ) 1

= = 1 6 ) log 2 py( k ) ? H mi

C =?

mpy ( ∑

k=1

1 1 1 1 1 1 ?1 1 1 1 1 1?

=?(2× ×4 log2 4 + 3log2 3 + 6 log2 6) +??3log2 3 + 3log2 3 + 6 log2 6?? = 0.041 bit symbol/

3.8 已知一个高斯信道，输入信噪比（比率）为3。频带为3kHz，求最大可能传输的消息率。若信噪比提高到15，理论上传送同样的信息率所需的频带为多少？解：

? PX ?

??= 3000×log 12 ( + =3) 6000 bit s/

Ct =W log 1

W =

?? + PN ? ? Ct =

6000 =1500 Hz

log 1???? + PPNX ????log 1 152 ( + )

3.9 有二址接入信道，输入X, X和输出Y的条件概率P(Y/XX)如下表（ε< 1/2），求容量界限。

·31·

X 1 X 2 Y 00 01 10 11

0 1- ε 1 /2 1 /2 ε 1 ε 1 /2 1 /2 1- ε 1 3.10 有一离散广播信道，其条件概率为p y x x x( / 1

? 2π

2σ ?2( y x? ? ?1 x x3)2 ??

? ??

（已知E X

[ ]=σ

2 l,l =1,2,3）。

?X ? ? x

3.11 已知离散信源?

?=?

?P X( )? ?0.1

x2 x3

0.3 0.2

x4 ?

?，某信道的信道矩阵为 0.4?

?0.2 0.3 0.1 0.4? ? ? 0.6 0.2 0.1 0.1 ? ?试求： ?0.5 0.2 0.1 0.2?

?0.1 0.3 0.4 0.2?? ?

(1) “输入x3，输出y2”的概率； (2) “输出y4”的概率；

(3) “收到y3的条件下推测输入x2”的概率。

解： 1)

p x y( 32 ) = p x( 3 ) (p y2 / x3 ) = 0.2×0.2 = 0.04

p y( 4 ) = p x p y( 1) ( 4 / x1)+ p x( 2 ) (p y4 / x2 )+ p x( 3) (p y4 / x3) + p x( 4 ) (p y4 / x4 )

= 0.1 0.4× + 0.3×0.1+ 0.2×0.2+ 0.4×0.2 = 0.19

p y( 3 ) = p x p y( 1) ( 3 / x1)+ p x( 2 ) (p y3 / x2 )+ p x( 3 ) (p y3 / x3 )+ p x( 4 ) (p y3 / x4 )

·32·

0.1 0.1=

× + 0.3 0.1× + 0.2×0.1+0.4×0.4 = 0.22

p x( 2 ) (p y3 / x2 ) 0.3 0.1×

p x( 2 / y3 ) = = = 0.136

p y( 3 ) 0.22

3.12 证明信道疑义度H(X/Y) = 0的充分条件是信道矩阵[P]中每列有一个且只有一个非零元

素。证明：

[P]每列有一个且只有一个非零元素 =〉 H(X/Y) = 0 取[P]的第j 列，设p y( j /

xk ) ≠ 0而其他p y( j / xi ) = 0 (i ≠ k i, =1,2,...,n)

p x y( kj ) p x( k ) (p y j / xk ) p x( k ) (p y j / xk )

p x( k / y j ) = = = =1 p y( j ) ∑ p x p y( i ) ( j / xi ) p x( k ) (p y j / xk )

i p x y( i j ) p x p

y( i ) ( j / xi ) 0

p x( i / y j ) = = = = 0 (i ≠ k) p y( j ) p y( j ) p y( j ) ??0 p y( j / xi ) = 0

∴ p x( i / y j ) =?

??1 p y( j / xi ) ≠ 0

H X Y(

) ∑∑ p x y( i j )log p x( i / y j ) ?

=?∑ ∑p y( j )?

p x( i / y j )log p x( i / y j )?j ?i

= 0 bit symbol/

3.13 试证明：当信道每输入一个X值，相应有几个Y值输出，且不同的X值所对应的Y值不相互重合时，有H(Y) – H(X) = H(Y/X)。证明：

信道每输入一个X 值，相应有几个Y 值输出，且不同的X 值所对应的Y 值不相互重合。这种信道描述的信道转移矩阵[P]的特点是每列有一个且只有一个非零元素。

p y( j / xk ) ≠ 0 而其他p y( j / xi ) = 0 (i ≠ k i, =1,2,...,n)

取[P]的第j 列，设

p x y( kj ) p x( k ) (p y j / xk ) p x( k ) (p y j / xk )

p x( k / y j ) = = = =1 p y( j ) ∑ p x p y( i ) ( j / xi ) p x( k ) (p y j / xk )

i p x y( i j ) p x p

y( i ) ( j / xi ) 0

p x( i / y j ) = = = = 0 (i ≠ k) p y( j ) p y( j ) p y( j )

·33·

??0 p y( j / xi ) = 0

∴ p x( i / y j ) =?

??1 p y( j / xi ) ≠ 0

H X Y(

) ∑∑ p x y( i j )log p x( i / y j ) ?

=?∑ ∑p y( j )?

p x( i / y j )log p x( i / y j )?j ?i

/) = H Y( ) ?H Y X( /

)

= 0 bit symbol/

?I X Y(; ) = H X( ) ?H X Y( ∴H Y X(

) = H Y( ) ?H X( ) + H X Y( / ) = H Y( ) ?H X( )

3.14 试求以下各信道矩阵代表的信道的容量：

? 1

(1) [P] = ?

0 1 0? 0

0 0?? 1

(2) [P] = ?

0 1?

0 0??

?1 0 0? ? ? ?1 0 0? ?0 1 0? ?0 1 0?? ?0 0 1? ??0 0 1??

?0.1 0.2 0.3 0.4

(3) [

P] = ?

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0.3 0.7 0

解：

这个信道是一一对应的无干扰信道

??0

0 0 0 0 0

3.15 设二进制对称信道是无记忆信

?_?p

道，信道矩阵为

0.4 0.2 0.1

??p

C = log2 n = log 42 = 2 bit /symbol

这个信道是归并的无干扰信道

0 ? ?0 ?0.3??

C = log2 m = log 32 =1.585 bit /symbol

这个信道是扩展的无干扰信道

C = log2 n = log 32 =1.585 bit /symbol

·34·

_ ?，其中：p > 0，p< 1，p + p=

p??

1，p >> p。试写出N = 3次扩展无记忆信道的信道矩阵[P]。

解：

000 001 010 011 100 101 110 111

?000p3 p p2 p p2 p p2 p p2 p p2 p p2

?2 001?p p

?2 010?p p 3

p3 ? ? p p? 2 ? p p?

p p

p p p p p p p p p p 011?p p2 p p2 p p2 p3 p3 p p2 p p2 p p2 ?[ ]P= 100 ??p p2 p p2 p p2

p3 p3 p p2 p p2 p p2 ??

101?p p2 ?110 ?p p2 111?3

p p2 p3

p3 p p2

p p2 p p2

p3 p p2

p p2 p3

?p p2 p p2 ?? ? p ?

p p p p p p p p p p p p

3.16 设信源X的N次扩展信源X = XX…X通过信道{X, P(Y/X), Y}的输出序列为Y = YY…Y。试证明：

(1) 当信源为无记忆信源时，即X, X, …, X之间统计独立时，有∑I X( k ;Yk ) ≤ I X Y(

;

)；

k=1

(2) 当信道无记忆时，有∑I X(

k=1

;Yk ) ≥ I X Y( ; )；

(3) 当信源、信道为无记忆时，有∑I X(

k=1

;Yk ) = I X( N ;Y N ) = NI X Y( ; )；

(4) 用熵的概念解释以上三种结果。证明：

I X( N;Y N) = H X( N) ?H X( N /Y N)

H X( N) = H X(1) + H X(2 / X1) + +... H X( N / X1...XN?1)

·35·

= H X(

) + H X(2 ) + +... H X(N)

H X( N /Y N) = H X Y( /N) + H X Y X(2 /

) + +... H X(

/Y XN

...XN?1)

N 1

∴I X( N;YN) =[H X( 1) + H X(2 ) + +... H X( N)]?H X Y(

=H X(

[

) ?H X Y(

[

)] [+ H X(

/N) + H X Y X(2 /

) + +... H X(

/Y XN

) ?H X Y X( /

N 1

)+ +... H X(

][

) ?H X( N

/Y XN1...XN?1)

]

=∑H X( k=1 ?H X( k /Y XN

[

) ?H X( k /Y XN 1...Xk?1)

/Yk)

]

...X) H X(

∴H X( k) ?H X( k /Y XN 1...Xk?1)≥[H X( k) ?H X( k /Yk)]= I X Y(k; k)

N ∴I X( N;Y N) ≥∑I X Y(k; k)

k=1

[]

I X( N ;Y N ) = H Y( N )?H Y( N / X N )

H Y( N ) = H Y( 1)+ H Y( 2 /Y1)+ +...H Y( N /Y1...YN?1)

nN mN

H Y( N / X N ) =?∑∑ p a b( ij )log p b( j / ai )

i n

j n

=?∑ ∑...∑ ∑...

...xiN )

i1 iN j1 jN n n m m

p x x( i1 i...x y yiN

j1 j2

...y jN )log p y y( j1

...yjN / x xi1

=?∑ ∑...∑ ∑...

xi2 )... (p y jN / xiN )

i1 iN j1 jN n n m m

p x x( i1 i...x y yiN

j1 j2

...yjN )log p y( j1 / xi1 ) (p y j2 /

=?∑ ∑...∑ ∑...

i1 iN j1 jN n n m m

p x x( i1 i...x y yiN

j1 j2

...y jN )log p y( j1 / xi1) ...y jN )log p y( j2 / xi2 )

·36·

?∑ ∑...∑ ∑...

p x x( i1 i...x y yiN

j1 j2

...

?∑ ∑...∑ ∑...

p x x( i1 i...x y yiN

j1 j2

...y jN )log p y( jN / xiN )

i1 iN j1

= H Y( 1 / X1)+ H Y( 2 / X 2 )+ +... H Y( N / X N )

∴I X(N ;Y N ) =[H Y( 1)+ H Y( 2 /Y1)+ +...H Y( N /Y1...YN?1)] [?H Y( 1 / X1)+ H Y( 2 / X 2 )+ +...H Y( N / X N )] =[H Y( 1)?H Y( 1 / X1)] [+ H Y( 2 /Y1)?H Y( 2 / X 2 )]+ +... [H Y( N /Y1...YN?1)?H Y( N / X N )]

)

=∑[H Y( k /Y1...Yk?1)?H Y( k / X k ]

k=1

?H Y( k /Y1...Yk?1) ≤ H Y( k )

∴[H Y( k /Y1...Yk?1)?H Y( k / X k )] [≤ H Y( k )?H Y( k / X k )]= I X(k ;Yk )

∴I X( N ;Y N ) ≤∑I X( k ;Yk )

k=1

如果信源、信道都是无记忆的。上面证明的两个不等式应同时满足，即：

I X(

) ≥∑I X(

;Yk )k=1

I X(

) ≤∑I X(

;Yk )k=1

必然推出，I X(

;Y N ) ≡∑I X(

;Yk )，而如果X N ,Y N 是平稳分布，即X1 = X 2 = ... = X N =

X ，k=1

Y1 = Y2 = ... = YN = Y ，那么I X(

k=1

;Y ) ≡∑I X(k ;Yk ) = NI X(

;Yk )。

流经信道的信息量也是信宿收到的信息量，它等于信源信息的不确定度减去由信道干扰造成的不确定度。

·37·

当信源无记忆、信道有记忆时，对应于本题的第一种情况。信源是无记忆的，信源的不确定度等于N 倍的单符号信源不确定度，信道是有记忆的，信道干扰造成的不确定度小于N 倍单符号信道的不确定度。因此，这两部分的差值平均互信息量大于N 倍的单符号平均互信息量。

当信源有记忆、信道无记忆时，对应于本题的第二种情况。信源是有记忆的，信源的不确定度小于N 倍的单符号信源不确定度，信道是无记忆的，信道干扰造成的不确定度等于N 倍单符号信道的不确定度。因此，这两部分的差值平均互信息量小于N 倍的单符号平均互信息量。

当信源无记忆、信道无记忆时，对应于本题的第三种情况。信源是无记忆的，信源的不确定度等于N 倍的单符号信源不确定度，信道是无记忆的，信道干扰造成的不确定度等于N 倍单符号信道的不确定度。因此，这两部分的差值平均互信息量等于N 倍的单符号平均互信息量。

3.17 设高斯加性信道，输入、输出和噪声随机变量X, Y, N之间的关系为Y = X + N，且E[N]

= σ。试证明：当信源X是均值E[X] = 0，方差为σ

2 X

的高斯随机变量时，信道容量达其容量

C，且C = 12 ?

log ??σ

???。

?1+σ2 ?证明：

C = max (I X Y; ) = max[H Y( ) ?H

Y X( n,? ??

)]

p xy() = p x n( , = ?y x J)

?X Y,? ?X = X n Y, = ? X

?X ?n ?X n, ?

?X = 1 ?1=1

0 1

∴J? ?=

?X Y, ? ?X ?n ?Y ?Y

∴p xy( ) = p xn()

∴p x p y x( ) ( / ) = p x p n( ) ( ) ∴p y x( / ) = p n( )

H Y X(

X Y,

) =?∫∫p xy(

)log p y x dxdy( / )

=?X n∫∫, p xn J( )log p n( ) J dxdn =?∫ p x dx p n( ) ∫ ( )log p n dn( )

X n

·38·

=?∫ p n( )log p n dn( )

n = H n( )

∴C = max (I X Y; ) = H Y( )max ?H n( ) 根据概率论中的结论：n 是正态分布，X 是正态分布，则Y = X + n

也是正态分布，而且σ σ σ就是说σ

X取最大值。因为当

2 Y

= X2 + n2 。所以H Y( )max =log2πσe Y2 ，前提是σ2

Y取最大值，也

X 是均值为零的正态分布时，H X( )max =log2πσe X2 ，所以这是满足H

Y( )max = log2πσe Y2 的前提条件。

∴C = max (I X Y; ) = H Y( )max ?H n( )

= 12log 1??? +σ?σ

???

3.18 设加性高斯白噪声信道中，信道带宽 3kHz，又设{(信号功率+噪声功率)/噪声功率}=10dB。试计算该信道的最大信息传输速率C。解：

Ct =W log 1???? + PPNX ????

PX + PN

=10

Ct =W log 1

?PX ?

??= 3000×log 102 = 9966 bit s/ ??? + PN ?

3.19 在图片传输中，每帧约有2.25?10个像素，为了能很好地重现图像，能分16个亮度电平，

并假设亮度电平等概分布。试计算每分钟传送一帧图片所需信道的带宽（信噪功率比为 30dB）。解：

H = log2 n = log 162

=10

I 9 10× 6

= 4 bit symbol/

I = NH = 2.25 10× 6 × = ×4 9 106bit

·39·

Ct = = =1.5 10× 5bit s/ t 60

? P ?

Ct =W log 1??? + PNX ???

1.5 10× 5

W = t = =15049 zH

log 1???? + PPNX ????log (1 1000)2 +

3.20 设电话信号的信息率 5.6?10比特/秒，在一个噪声功率谱为 N= 5?10 mW/Hz、限频 F、限输入功率P的高斯信道中传送，若F=4kHz，问无差错传输所需的最小功率P是多少瓦？若F→∞，则P是多少瓦？解：

-6

? + ? Ct =W log 1???WNPX 0 ???

??4000

?1???= 4000× ×5 10×??25.6 10× 4 ?1??= 0.328 W

PX =WN0 ???2C

F →∞

PX ? ? ?

Ct =

log2 e

C Nt 0 5.6 10× 4 × ×5 10?9

PX = = =1.94 10×W log2 e log 2.718282

·40·

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