【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修5双基限时练15]
更新时间:2023-05-28 15:08:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修5双基限时练15]
双基限时练(十五)
一、选择题
1.在△ABC中,sin2A·sin2B=1,则△ABC是( ) A.等腰三角形 C.等边三角形
B.等腰直角三角形 D.直角三角形
sin2A=1,解析 在△ABC中,由sin2A·sin2B=1,知
sin2B=1.
又A、B为△ABC的内角,∴A=B=45°. ∴△ABC为等腰直角三角形,故选B. 答案 B
2.在△ABC中,sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于( ) A.30° C.120°
B.60° D.150°
解析 由正弦定理,可知a2=b2+c2+bc,由余弦定理,可知A=120°.
答案 C
3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径是( )
A.3 C.2
B.5 D.62
1
解析 ∵S△ABC=2sinB=2,∴c=2. 又b2=a2+c2-2ac·cosB
2
=1+32-2×1×42×2=25, b
∴b=5,又2R=sinB2.
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4.在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则AC边上的高为( ) 3
A.22 3C.2
3B.3 D.33
1
解析 由余弦定理可知13=9+16-2×3×4×cosA,得cosA=2,又A为三角形的内角,
π33∴A=3,∴h=AB·sinA=2答案 B
5.在△ABC中,A=60°,且最大边的长和最小边的长是方程x2
-7x+11=0的两根,则第三边的长为( )
A.2 C.4
B.3 D.5
解析 设最大的边长为x,最小的边长为y.
x+y=7由韦达定理 ,A=60°,
xy=11
∴y≤a≤x,由余弦定理,得
a2=x2+y2-2xycos60°=(x+y)2-3xy=49-33=16,故a=4. 答案 C
6.在钝角△ABC中,a=1,b=2,则最大边c的取值范围是( ) A.1<c<3 C.5<c<3
B.2<c<3 D.22<c<3
a2+b2-c2
解析 由cosC=2ab<0得c2>a2+b2=5.∴c>5.又c<a+b,∴5<c<3.
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二、填空题
7.在△ABC中,sinA=2cosBsinC,则三角形为____________. 解析 由已知得sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC, ∴sin(B-C)=0,∴B=C. 答案 等腰三角形
8.在△ABC中,若m=(sinA,cosA),n=(cosB,sinB),m·n=sin2C,则角C=________.
1解析 ∵m·n=sinAcosB+cosAsinB=sin2C,得cosC=2C为π△ABC的内角,∴C=3.
π答案 3
9.在△ABC中,AB=分成
,∠ACB的平分线CD把三角形面积
两部分,则cosA=________.
解析 ∵CD是∠ACB的平分线, ∠ACB1
AC·CD·2
S△ACD2∴ S△BCD1∠ACB
CD·sin22·ACsinB3
=BC=sinA2.
2sinAcosA33
又B=2A,∴sinA2,∴cosA4. 3答案 4 三、解答题
2
10.在△ABC中,sinA+cosA2,AC=2,AB=3,求tanA的
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值和△ABC的面积.
2
解 ∵sinA+cosA2cos(A-45°)=2, 1∴cos(A-45°)=2.又0°<A<180°, ∴A-45°=60°,∴A=105°,
13tanA=tan(45°+60°)==-2-3,
13sinA=sin105°=sin(45°+60°)
2+=sin45°cos60°+cos45°sin60°=4 1
S△ABC2·AB·sinA
2+631
=2×2×3×4=426).
5
11.△ABC中,D为BC上的一点,BD=33,sinB=13,cos∠ADC3
=5,求AD.
3π
解 由cos∠ADC=5>0,知B<2. 124
由已知得cosB=13sin∠ADC=5, 从而sin∠BAD=sin(∠ADC-B) =sin∠ADC·cosB-cos∠ADCsinB 4123533=51351365ADBD
由正弦定理,得sinB.
sin∠BAD
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533×13
BD·sinB
∴AD==33=25.
sin∠BAD
65
12.已知锐角△ABC中,bsinB-asinA=(b-c)sinC,其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边.
(1)求角A的大小;
(2)3cosC-sinB的取值范围. 解 (1)由正弦定理得b2-a2=(b-c)·c. 即b2+c2-a2=bc.
b2+c2-a2bc1∴cosA=2bc2bc=2π
又∵A为三角形内角,∴A=3. 22
(2)∵B+C3π,∴C=3-B. ∵△ABC为锐角三角形, π 0<B2,
∴ 2π 0<-B< 32ππ∴6<B<2.
2
又∵3cosC-sinB3cos 3-B -sinB
π 31
=-2B+2sinB=sinB-3 , πππππ
∵6<B<2,∴-6<B-3<61π1∴-2B-32.
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11
即3cosC-sinB的取值范围为 -2,2.
思 维 探 究
3
13.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,cosB=5→·→=-21. 且ABBC
(1)求△ABC的面积; (2)若a=7,求角C.
→·→=-21,∴BA→·→=21. 解 (1)∵ABBCBC
→·→=|BA→|·→|·∴BABC|BCcosB=accosB=21.∴ac=35, 34∵cosB=5sinB=5114
∴S△ABC=2sinB=2×35×514. (2)∵ac=35,a=7,∴c=5.
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=32, cb
∴b=42.由正弦定理sinCsinB. c542
∴sinC=bB×52.
4∵c<b且B为锐角,∴C一定是锐角.∴C=45°.
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