第一章经典电动力学基础 - 副本

主要内容： 静电场的方程式 静磁场的方程式 电磁感应定律 麦克斯韦方程 电磁作用下的能量守恒定理 介质的电磁性质 介质中的麦克斯韦方程 介质界面上的电磁规律

§1.1 静电场的方程式 库仑定律： 真空中静止点电荷 Q 受到的静止点电荷 q 的作用力为z

qr'0

r r'

Q

ry

F

Qq 4 0 r r '2

e(r r ')

x

其中 r r ' 为从 q 指向 Q 的矢径， e(r r ') 表示 r r ' 方向上的单位矢量。 0 是真空介电常数。

电场强度：单位电荷在场中所受的力。

则静止点电荷 q 在真空中产生的电场 E 可由 库仑定律得知：z

源点r'0

r r'

场点

ry

E F /Q

q 4 0 r r '2

e(r r ')

x

电场强度的大小与源电荷电量成正比，与距离的平 方成反比，方向与距离矢量一致。

电场叠加原理： E(r ) E1 (r) E 2 (r)z源 场点r r'

则

r'0

ry

E (r )

(r ')4 0 r r '2

e(r r ')d '

x

其中 (r ') 为电荷密度， d ' 为对源的体积积分。

补充说明r xex yey zez r ' x ' ex y ' ey z ' ez r r ' ( x x ')ex ( y y ')ey ( z z ')ez r r ' ( x x ')2 ( y y ')2 ( z z ')2 ex e y ez x y z ' ex ey ez x ' y ' z '

高斯定理：电场对封闭曲面的通量等于其包含 的总电荷除以 0 1 E d s d

0

数学高斯定理

V

F d s ( F )d V

E 0 静电场的散度正比于源电荷密度。

环路定理：电场对封闭曲线的积分为零。

E dl 0 数学斯托克斯定理

F dl ( F ) d s E 0 静电场的旋度为0。

电势：将单位正电荷从无穷远移到 p 点所做的 功，等于电场力做的负功。

U p E dl

p

(r ') U (r ) d ' 4 0 r r '

E U 电场强度正比于电势的梯度，指向电势减小的方向。

§1.2 静磁场的方程式 毕奥-萨伐尔定律

0 B(r ) 4

j (r ') e(r r ') r r'2

d '

B A

0 A(r ) 4 洛伦兹力

r r ' d '

j (r ')

f j B

静磁场满足的微分方程

B 0 j B 0

§1.3 电磁感应定律 1831年法拉第得到变化的磁场产生电场的规律 t

E dl , B d s B E dl t d s B E t

§1.4 麦克斯韦方程 E 0 E B t B 0 B 0 j

洛伦兹力f E j B

电流连续性方程(电荷守恒定律)

j 0 t

真空中的麦克斯韦方程组

E 0 B E t B 0 E B 0 j 0 0 t

作业1 1、写出静电场和静磁场 的麦克斯韦方程微分形 式，说明是与什么实验 定律等价，阐述每个方 程的物理内涵。 1 2、写出一般情形的电场 和磁场的麦克斯韦方程 微分形式，说明与 1-1

中不同的项与什么实验 定律等价，阐述这些项 的物理内涵。 1 3、假设空间的电场分布 为E(r) r, (1)计算空间各点的散度， 说出空间的电荷分布， 并阐述这个散度的物理 内涵。 (2)计算空间各点的旋度 ，并且直观的说出这个 电场分布为何是无旋的 。

1 4、假设一个半径为 a的长直圆柱体导线，通 有电流，假设空间磁场 分布为： 0I 0Ir 当r a时，磁场为： B e ; 当 r a 时，磁场为： B e 。 2 2 r 2 a (1)计算空间各点的旋度， 说出空间的电流分布， 并阐述这个旋度的物理 内涵。 (2)计算空间各点的散度 ，并且直观的说出这个 磁场分布为何是无散的 。

作业1 5、有中心为 ,半径为R的均匀带电球，电荷密 度为 , 在 '处挖去一半径为 R / 2的空洞， ' R / 2,试算出空洞中 的电场强度。(提示， 用叠加原理)

作业(选做)1 6、从方程B A,A

0 4

j(r ')

r r'

d ' 出发， E 0 E B 0 B 0 j B , t

利用电流连续性方程 j 0和方程组 t 试推导出 B 0 j 0 0 E . t

真空中的麦克斯韦方程组

E 0 B E t B 0 E B 0 j 0 0 t

1 E d s d 0 E dl B d s t B ds 0 B dl 0 j d s 0 0 E d s t

§1.5 电磁作用下的能量守恒定理 能量守恒是物理学的普遍规律

I E电磁力做功， 使载荷体能 量的增加

B

封闭体积 V

电磁场能量 的减少

穿过V的表面， 流入的电磁能

单位时间内

d Wd dt d

S d

d W S dt电磁力做 功功率 电磁场能 量密度 电磁场能 流密度

电磁力做功功率

W E j E E ( B 0 ) 0 t 12 1 1 2 1 ( 0 E B ) ( E B) 2 t 0

0 d W S dt 电磁场能量密度和能流密度 2 1 1 2 1 ( 0 E B ), S E B 2 0 0

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fts1.html