1、2 第一、二讲走进名校

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课第一、二讲走进名书名校品味全国中考

（诊断与评价、纠错与收获）

1、（嘉祥）如图，P是矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB为（） A．4.5 B．23 C．32 D．4

A D

3 ?

4 5

【解析】

过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H．设AG=DH=a，BG=CH=b，AE=BF=c，DE=CF=d，

222222222222

则 AP=a+c，CP=b+d，BP=b+c，DP=d+a，

2222

于是AP+CP=BP+DP，又因为PA=3，PD=4，PC=5，

2222222

故PB=AP+CP-PD=3+5-4=18，则PB=3．故选C．

2、（2013?泸州）如图，在等腰直角△ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）CD+CE=OA；

（4）AD+BE=2OP?OC．其中正确的结论有（） 1个 A．B． 2个 C． 3个 D． 4个 C。

【解析】结论（1）错误。理由如下：

图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE：由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC。 ∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE。

在△AOD与△COE中，∵同理可证：△COD≌△BOE。结论（2）正确。理由如下： ∵△AOD≌△COE，∴S=S。

△AOD

△COE

，∴△AOD≌△COE（ASA）。

∴S

四边形CDOE

=S+S=S+S=S=S，

△COD

△COE

△COD

△AOD

△AOC

△ABC

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍。结论（3）正确。理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴CE=AD。∴CD+CE=CD+AD=AC=结论（4）正确。理由如下： ∵△AOD≌△COE，∴AD=CE。 ∵△COD≌△BOE，∴BE=CD。

在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD+CE=DE，∴AD+BE=DE。

OA。

∵△AOD≌△COE，∴OD=OE。

又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形。∴DE=2OE，∠DEO=45°。

∵∠DEO=∠COE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE。∴∴DE=2OE=2OP?OC。∴AD+BE=2OP?OC。

，即OP?OC=OE。

综上所述，正确的结论有3个。故选C。 3、（2013?鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（） 6 8 10 12 A．B． C． D．

分析：MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可，作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，则可判断四边形AA′NM是平行四边形，得出AM=A′N，由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小．过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB．

解：作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM， ∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4， ∴AA′=MN=4，

∴四边形AA′NM是平行四边形， ∴AM+NB=A′N+NB=A′B，

过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课易得AE=2+4+3=9，AB=2，A′E=2+3=5，

在Rt△AEB中，BE==，

在Rt△A′EB中，A′B==8．

故选B．

4、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（） A． B． C． D． 2 ），点C

【解析】

试题分析：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案：

作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小. ∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD. ∵B（3，

），∴AB=

，OA=3，∠B=60°.

由勾股定理得：OB=2

由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，∴AM=.∴AD=2×=3.

∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°.

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课 ∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°.

∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°.∴AN=AD=.

由勾股定理得：DN=.

∵C（，0），∴.

在Rt△DNC中，由勾股定理得：.

∴PA+PC的最小值是故选B.

5、如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（） A. （1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）

根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课

解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2013÷6=335…3，

∴当点P第2013次碰到矩形的边时为第336个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（8，3）．故选D．

在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为；当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为____________．（1，4）；（5，0）．

试题分析：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知：（1）当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4）；

（2）每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2014÷6=335…4，

∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．

6、一条直线y=kx+b，其中k+b=﹣5、kb=6，那么该直线经过（）

A．第二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、三、四象限

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课【解析】∵k＋b=－5，kb=6，∴kb是一元二次方程解得，一次函数①当②当③当④当

，，，，

或

。∴k＜0，b＜0。的图象有四种情况：时，函数时，函数时，函数时，函数

的两个根。

的图象经过第一、二、三象限；的图象经过第一、三、四象限；的图象经过第一、二、四象限；的图象经过第二、三、四象限。

∴直线y=kx+b经过二、三、四象限。故选D。

7、（2013?遵义）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=﹣x图象上的两点，下列判断中，正确的是（）

A y1?y2 B y1?y2 C 当x1?x2时，y1?y2 D 当x1?x2时，y1?y2

根据正比例函数图象的性质可知．【解析】

根据k＜0，得y随x的增大而减小．故选C．

8、（2013?黔西南州）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（）

A x>3 B x<3 C x>

33 D x< 22

解：将点A（m，3）代入y=2x得，2m=3，解得，m=，

∴点A的坐标为（，3），

把y=3 ，x=3/2，代入y=ax+4，得3/2a+4=3, ∴a=-2/3

原不等式为2x<-2/3x+4 2x+2/3x<4 8/3X<4 ∴x<3/2

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课故选D ．

分析：先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A

的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（）

A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3

解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3）， ∴3=2m，m=，

∴点A的坐标是（，3），

∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜；故选A．

9、（2013福省福州）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y+b），B（x，y），下列结论正确的是（）

A．a＞0 B．a＜0 C．b=0 D．ab＜0

∵根据函数的图象可知：y随x的增大而增大， ∴y+b＜y，x+a＜x， ∴b＜0，a＜0，

∴选项A、C、D都不对，只有选项B正确，故选B．

10、（2013?天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：

①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；

②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；

③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（）

如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：

①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米； ②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；

③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

试题分析：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，与图象不符合。

②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象。 ③如图所示：

当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3。符合函数图象。

综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的为②③，个数是2。故选C。 11、（2013?衢州）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）

A． B． C． D．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（） A． B． C． D．相信自己，充实自己，成功就在你的足下，勤奋伴你梦想成真！

初二数学 2014寒假讲义第一、二次课根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点p在DC山运动时，y随着x的增大而增大，当点p在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可．【解析】

当点P由点A向点D运动时，y的值为0；当点p在DC上运动时，y随着x的增大而增大；当点p在CB上运动时，y不变；

当点P在BA上运动时，y随x的增大而减小．故选B．

12、(2013浙江丽水) 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折

线AC-CB运动，到点B停止。过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示。当点P运动4秒时，PD的长是（）

[来源:21世纪教育网]A.

321cm B. cm C. cm D. 2cm

222

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC-CB运动，到点B停止，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示，当点P运动5秒时，PD的长是（）

A．1.5cm B．1.2cm C．1.8cm D．2cm

根据图2可判断AC=3，BC=4，则可确定t=5时BP的值，利用sin∠B的值，可求出PD．【解析】由图2可得，AC=3，BC=4，当t=5时，如图所示：

，

此时AC+CP=5，故BP=AC+BC-AC-CP=2， ∵sin∠B=

=，

∴PD=BPsin∠B=2×==1.2cm．故选B．

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课

13、如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）

A． B． C． D．

根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S，可得答案．【解析】

根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段； ①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-Vt×1=4-Vt， ②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3， ③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，分析选项可得，A符合；故选A．

14、“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法： ①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米； ②兔子和乌龟同时从起点出发； ③乌龟在途中休息了10分钟； ④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是 ①③④ ．（把你认为正确说法的序号都填上）

分析：结合函数图象及选项说法进行判断即可．解：根据图象可知：

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确；兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误；

乌龟在30﹣﹣40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确； y1=20x﹣200（40≤x≤60），y2=100x﹣4000（40≤x≤50），当y1=y2时，兔子追上乌龟，此时20x﹣200=100x﹣4000，解得：x=47.5，

y1=y2=750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确．综上可得①③④正确．

故答案为：①③④．

15、（2013?张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．

首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长．【解析】

由勾股定理得：OP4=∵OP1=

；得OP2=

，

；依此类推可得OPn=

．

∴OP2012=，故答案为：

16、(嘉祥)如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第

三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积

Sn＝______．

16、

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17、

初二数学 2014寒假讲义第一、二次课【解析】根据正方形的性质可知，当面积为1时，边长为1，对角线长为

第4个正方形边长长可求出正方形的面积

，第5个边长为4，第6个边长为

，以

为边的对角线长为2，依次可推出

，知道边

，第7边长个为8，第8边长个为8

17、著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过画一种图工具所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为 cm．

试题分析：如图，连接OP，

＝128 第n个正方形的面积Sn=（）

∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，

∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP=AB。 ∵AB=20cm， ∴OP=10cm。

(2013 鄂州)(3分)著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为____________cm．

分析：连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．解：连接OP，

∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点， ∴OP=AB， ∵AB=20cm， ∴OP=10cm，故答案为：10．

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课 18、（2013?包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，进而得出答案．

【解析】

连接EE′，

∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3， ∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，

∴EE′=2，∠BE′E=45°， ∵E′E2+E′C2=8+1=9， EC2=9，

∴E′E2+E′C2=EC2，

∴△EE′C是直角三角形， ∴∠EE′C=90°， ∴∠BE′C=135°．故答案为：135．

19、如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（-2，3），嘴唇C点的坐标为（-1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是

先确定右眼B的坐标，然后根据向右平移几个单位，这个点的横坐标加上几个单位，纵坐标不变，由此可得出答案．【解析】

∵左眼A的坐标是（-2，3），嘴唇C点的坐标为（-1，1）， ∴右眼的坐标为（0，3），

向右平移3个单位后右眼B的坐标为（3，3）．故答案为：（3，3）．

20、某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系

试题分析：根据20本及以下单价为25元，20本以上，超过20本的部分打八折分别求出付款金额y与购书数x的函数关系式，再进行整理即可得出答案：

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课根据题意得：解：根据题意得： y=

25x (0≤x≤20)

，即。

25×20+0.8×25(x-20) (x＞20)

整理得：

25x (0≤x≤20)

20x+100 (x＞20)

则付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系是y=

25x (0≤x≤20)

20x+100 (x＞20)

故答案为：y= 25x (0≤x≤20)

20x+100 (x＞20)

．本题采取分段收费，根据20本及以下单价为25元，20本以上，超过20本的部分打八折分别求出付款金额y与购书数

x的函数关系式，再进行整理即可得出答案

21、如图，已知一条直线经过点A(0，2)、点B(1，0)，将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为____________．

y=﹣2x﹣2

分析：先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．解：设直线AB的解析式为y=kx+b，把A(0，2)、点B(1，0)代入，

得，解得，

故直线AB的解析式为y=﹣2x+2；

将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC时，因为平移后的图形与原图形平行，故平移以后的函数解析式为：y=﹣2x﹣2．

故答案为y=﹣2x﹣2．

22、已知a、b可以取﹣2、﹣1、1、2中任意一个值（a≠b），则直线y=ax+b的图象不经过第四象限的概率是．

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。因此，列表或画树状图得出所有等可能的结果数，找出a与b都为正数，即为直线y=ax+b不经过第四象限的情况数，即可求出所求的概率：列表如下： ﹣2 ﹣1 1 2 ﹣2 （﹣1，﹣2）（1，﹣2）（2，﹣2） ﹣1 （﹣2，﹣1）（1，﹣1）（2，﹣1） 1 （﹣2，1）（﹣1，1）（2，1） 2 （﹣2，2）（﹣1，2）（1，2） ∵所有等可能的情况数有12种，其中直线y=ax+b不经过第四象限情况数有2种， ∴直线y=ax+b的图象不经过第四象限的概率是23、（2013?广安）已知直线y=

S1+S2+S3+…+S2012= ．

。（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则

令x=0，y=0分别求出与y轴、x轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出Sn，再利用拆项法整理求解即可．

【解析】令x=0，则y=令y=0，则-解得x=

，

=（

-），

-）=（-）=

．

，

=0，

所以，Sn=?

所以，S1+S2+S3+…+S2012=（-+-+-+…+故答案为：

．

24、如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．（2013兰州）填空题如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．相信自己，充实自己，成功就在你的足下，勤奋伴你梦想成真！

初二数学 2014寒假讲义第一、二次课

分析：根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．解答：解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4）， ∴AB==5，

由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4 5 3=12， ∵2013÷3=671，

∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点， ∵671×12=8052，

∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．故答案为：（8052，0）．

如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形

的直角顶点的坐标为____（8040，0）

解：∵点A（-3，0），B（0，4），

相信自己，充实自己，成功就在你的足下，勤奋伴你梦想成真！

初二数学 2014寒假讲义第一、二次课 ∴OB=4，OA=3， ∴AB=

√ 42+32 =5，

∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换，

∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5=12个单位，而2011=3×670+1， ∴三角形

和三角形④的状态一样，

所以三角形的直角顶点的横坐标为670×12=8040，纵坐标为0．故答案为（8040，0）．

如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④?．

（1）求△OAB的斜边长AB；

（2）三角形⑩有两个顶点落在x轴上，试求点A到最远顶点的距离．解析（1）根据勾股定理，可求出AB的长度；

（2）观察图形，可知对△OAB连续作旋转变换，每三次一循环，则三角形⑩与三角形①的放置相同；又三角形③在x轴上与A点的最远距离是3+1×12，三角形⑥在x轴上与A点的最远距离是3+2×12，三角形⑨在x轴上与A点的最远距离是3+3×12，所以，三角形⑩这在x轴上与A点的最远距离是3+3×12+4=43．

解答（1）在直角△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=4+3=5；（2分）（2）观察可知，三角形⑨在x轴上与A点的最远距离是3+3×12，三角形⑩与三角形④的放置相同，

所以，三角形⑩这在x轴上与A点的最远距离是3+3×12+4=43．（6分）

如图，在直角坐标系中，已知点A（-4，0），B（0，3），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，那么第（7）个三角形的直角顶点的坐标是______，第（2013）的直角顶点的坐标是______．

由图可知，第4个三角形与第1个三角形的所处形状相同，即每三次旋转为一个循环组依次循环， ∵一个循环组旋转过的长度为12，2×12=24，

∴第7个直角三角形的直角顶点与第6个直角三角形的直角顶点重合，为（24，0）； ∵2013÷3=671，

∴第（2013）的直角顶点为第671循环组的最后一个直角三角形的直角顶点， 12×671=8052，

∴第（2013）的直角顶点的坐标是（8052，0）．

相信自己，充实自己，成功就在你的足下，勤奋伴你梦想成真！

初二数学 2014寒假讲义第一、二次课故答案为：（24，0）；（8052，0）．

25、（2013成都市）已知点（3,5）在直线y?ax?b（a,b为常数，且a?0）上，则

a的值为__________. b?5。

。【解析】∵点（3，5）在直线y=ax+b上，∴5=3a+b，即b﹣5=﹣3a。∴

26、若最简二次根式和是同类二次根式．求x、y的值．

根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解．【解析】 ∵最简二次根式

和

是同类二次根式，

∴3x-10=2，2x+y-5=x-3y+11，

即

解得：．

27、已知实数a,b,c均大于0，以a?b，4a?b，a?4b为三角形的三边，求三角形的面积是多少？

D A28、(嘉祥)如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB:BC:CD:DA＝2：2：3：1，

且∠B＝90°，求?DAB的度数．

连接AC，由已知和等腰三角形的性质可知∠BAC=45°，在△DAC中利用勾股定理的逆定理可∠DAC=90°，从而求出∠DAB的度数．

BC222222【解析】连接AC．

设DA=k，则AB=2k，BC=2k，CD=3k． ∵∠B=90°，AB：BC=2：2，

222222

∴∠BAC=45°，AC=AB+BC=4k+4k=8k，

222

∵（3k）-k=8k， ∴∠DAC=90°，

∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=135°．

29、(嘉祥) 某园艺公司要对一块直角三角形的花圃进行扩建改造．测得这块三角形花圃的两直角边长分

别为6m、8m，现计划将其扩建成等腰三角形，且扩建部分是以．求扩建．8m．．为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．

后的等腰三角形花圃的周长。

相信自己，充实自己，成功就在你的足下，勤奋伴你梦想成真！

初二数学 2014寒假讲义第一、二次课

（2011 广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．

答案：

解：在Rt△ABC中，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，

（1）如图,当AB=AD时，CD=6m，△ABD的周长为10m+10m+6m+6m=32m；（2）如图2,当AB=BD时，CD=4m，AD=4

m，△ABD的周长是10m+10m+4

，

=（20+4

）m；

（3）如图3，当DA=DB时，设AD=x，则CD=x-6，则

∴x=，∴△ABD的周长是10m+ +-6+6=

答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或20+4

（4）如图4延长AC到D，使CD=AC=8m，连接DB，则△ABD的周长是10m+10m+8m+8m=36m

m或m。

答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或（20+4）m或m或36m

30、如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的

结果均可用a，b的代数式表示）．（1）求S△DBF；

（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；

（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？

相信自己，充实自己，成功就在你的足下，勤奋伴你梦想成真！

初二数学 2014寒假讲义第一、二次课如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．

（1）根据图形的关系，可得AF的长，根据三角形面积公式，可得△DBF的面积；（2）连接AF，由题意易知AF∥BD；△DBF与△ABD同底等高，故面积相等；

（3）分析可得：当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值；分两种情况讨论可得其最大最小值．

【解析】

（1）∵点F在AD上， ∴AF2=a2+a2，即AF=∴DF=b-a，

a，

∴S△DBF=DF×AB=×（b-a）×b=b2-ab；

（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD，

∴四边形AFDB是梯形，

∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底，由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等， ∴S△DBF=S△ABD=b2；

（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆，第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值，因为△BFD的边BD=

b，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值．

如图②所示DF⊥BD时，S△BFD的最大值=S△BFD=b?（+a）=，

S△BFD的最小值=S△BFD=b?（-a）=，

第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值．

∴S△BFD的最大值=

．（如果答案为4a2或b2也可）．

31、如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.

相信自己，充实自己，成功就在你的足下，勤奋伴你梦想成真！

初二数学 2014寒假讲义第一、二次课（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0????90?）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；

若不成立，请说明理由.

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.

① 求证：BD⊥CF；

② 当AB＝4，AD＝2时，求线段BG的长.

CCC EE GFEDD 图1 F 图2 F 图3

45°θ

ABABADB

图13.2图13.3图13.1

如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立。

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G。 ①求证：BD⊥CF；

②当AB=4，AD=时，求线段BG的长。

解（1）BD=CF成立，理由：

∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形， ∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF；（2）①证明：设BG交AC于点M，

∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM， ∵∠BMA=∠CMG， ∴△BMA∽△CMG，

∴∠BGC=∠BAC=90°，∴BD⊥CF，

相信自己，充实自己，成功就在你的足下，勤奋伴你梦想成真！

初二数学 2014寒假讲义第一、二次课 ②过点F作FN⊥AC于点N， ∵在正方形ADEF中，AD=DE=

，

∴AE==2，∴AN=FN=AE=1，

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4， ∴CN=AC﹣AN=3，BC=∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM=∵△BMA∽△CMG，

=4=，

=tan∠FCN=．∴AM=AB=，

，

∴，∴，∴CG=，

∴在Rt△BGC中，BG==。

32、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．

当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．【解析】

由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=

=3，

相信自己，充实自己，成功就在你的足下，勤奋伴你梦想成真！

初二数学 2014寒假讲义第一、二次课 ∴OE=OD-DE=5-3=2， ∴此时点P坐标为（2，4）；（2）如答图②所示，OP=OD=5．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE=∴此时点P坐标为（3，4）；

（3）如答图③所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．

=3，

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=∴OE=OD+DE=5+3=8， ∴此时点P坐标为（8，4）．

综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．

33.如图,A(0,1),M(3,2),N(4,4).动点P从点A出发,沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动,且过点P的直线l:y=-x+b也随之移动,设移动时间为ts. (1)当t=3时,求l的解析式.

(2)若点M,N位于l的异侧,确定t的取值范围.

(3)直接写出t为何值时,点M关于l的对称点落在坐标轴上.

=3，

答案 (1)直线y=-x+b交y轴于点P(0,b),

由题意,得b>0,t≥0,b=1+t, 当t=3时,b=4 ∴y=-x+4.

相信自己，充实自己，成功就在你的足下，勤奋伴你梦想成真！

初二数学 2014寒假讲义第一、二次课 (2)当直线y=-x+b过M(3,2)时,得2=-3+b, 解得b=5, 5=1+t,∴t=4, 当直线y=-x+b过N(4,4)时,得4=-4+b, 解得b=8, 8=1+t,∴t=7, ∴M,N异侧时t的取值范围是4

34、（2013成都市）某物体从P点运动到Q点所用时间为7秒，其运动速度V（米/秒）关于时间t（秒）的函数关系如图所示。某学习小组经过探究发现：该物体前3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积。有物理学知识还可知：该物体前n（3?n?7）秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形BDMN的面积之和。根据以上信息，完成下列问题：

（1）当3?n?7时，用含t的代数式表示运动速度V；

（2）分别求该物体在0?n?3和3?t?7时，运动的路程s（米）关于时间t（秒）的函数关系式；并求该物体从P点运动到Q点总路程的

7时所用的时间。 10解：（1）设直线BC的解析式为v=kt+b，由题意，得

，

解得： ∴v=2t-4；

（2）由题意，得

S=， ∴P点运动到Q点的路程为：72-4×7+9=49-28+9=30， ∴30×=21， ∴t2-4t+9=21，

整理得，t2-4t-12=0，

解得：t1=-2（舍去），t2=6．

∴该物体从P点运动到Q点总路程的时所用的时间为6秒．

35、在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.

（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元?

（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低.

解析：（1）设电脑、电子白板的价格分别为x,y元，根据等量关系：1台电脑+2台电子白板凳3.5万元，2台电脑+1台电子白板凳2.5万元，列方程组即可.

（2）设购进电脑x台，电子白板有(30-x)台，然后根据题目中的不等关系列不等式组解答.

相信自己，充实自己，成功就在你的足下，勤奋伴你梦想成真！

初二数学 2014寒假讲义第一、二次课解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：

解得：

答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元. （2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台，

则解得： 15≤a≤17 ，即a=15，16，17．

故共有三种方案：

方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为万元；

方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为万元；

方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为万元；

所以，方案三费用最低.

36、为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：

每月用气量不超出75m3的部分超出75m3不超出125m3的部分超出125m3的部分单价（元/m3） 2.5 a a+0.25 （1）若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费 150 元；

（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课

分析：

（1）根据单价×数量=总价就可以求出3月份应该缴纳的费用；

（2）结合统计表的数据）根据单价×数量=总价的关系建立方程就可以求出a值，再从0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可；

（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175﹣x）m3，分3种情况：x＞125，175﹣x≤75时，75＜x≤125，175﹣x≤75时，当75＜x≤125，75＜175﹣x≤125时分别建立方程求出其解就可以．解：（1）由题意，得60×2.5=150（元）；（2）由题意，得

a=（325﹣75×2.5）÷（125﹣75），a=2.75，∴a+0.25=3，设OA的解析式为y1=k1x，则有2.5×75=75k1，∴k1=2.5， ∴线段OA的解析式为y1=2.5x（0≤x≤75）；设线段AB的解析式为y2=k2x+b，由图象，得

，解得：，

∴线段AB的解析式为：y2=2.75x﹣18.75（75＜x≤125）；

（385﹣325）÷3=20，故C（145，385），设射线BC的解析式为y3=k3x+b1，由图象，得

，解得：，

∴射线BC的解析式为y3=3x﹣50（x＞125）

（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175﹣x）m3，当x＞125，175﹣x≤75时，

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课 3x﹣50+2.5（175﹣x）=455，

解得：x=135，175﹣135=40，符合题意；当75＜x≤125，175﹣x≤75时， 2.75x﹣18.75+2.5（175﹣x）=455，解得：x=145，不符合题意，舍去；当75＜x≤125，75＜175﹣x≤125时，

2.75x﹣18.75+2.75（175﹣x）=455，此方程无解． ∴乙用户2、3月份的用气量各是135m3，40m3．

37、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：3?L?2． AA

P P

CBB

设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：3?L?2

证明：（1）顺时针旋转△BPC60°，可得△PBE为等边三角形．

即得要使PA+PB+PC=AP+PE+EF′最小，只要AP，PE，EF′在一条直线上，即如下图：可得最小L= 3

（2）过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F．由于∠APD＞∠AFP=∠ADP，推出AD＞AP ① 又∵BD+DP＞BP ②

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课和PF+FC＞PC ③ 又∵DF=AF ④ 由①②③④可得：最大L＜2；由（1）和（2）即得：3?L?2

38、如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°，（1）求B、C两点的坐标；

（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；

（3）若点M在直线DE上，使以O、F、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，tan∠ACO=（1）求B、C两点的坐标；

（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；

，

（3）若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）利用三角函数求得OA以及OC的长度，则C、B的坐标即可得到；

（2）直线DE是AC的中垂线，利用待定系数法以及互相垂直的两直线的关系即可求得DE的解析式；（3）分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得N的坐标．【解析】

（1）在直角△OAC中，tan∠ACO=∴设OA=

x，则OC=3x，

x）2=AC2，．

，6）； =

，

根据勾股定理得：（3x）2+（即9x2+3x2=144，解得：x=2故C的坐标是：（6

，0），B的坐标是（6

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课（2）直线AC的斜率是：-=-，则直线DE的斜率是：．

x+b，

F是AC的中点，则F的坐标是（3，3），设直线DE的解析式是y=

x-6；

则9+b=3，解得：b=-6，则直线DE的解析式是：y=

（3）OF=AC=6， ∵直线DE的斜率是：

．∴DE与x轴夹角是60°，

当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，

则∠NOC=60°或120°．

当∠NOC=60°时，过N作NG⊥y轴，则NG=ON?sin30°=6×=3， OG=ON?cos30°=6×

，则N的坐标是（3，3

）；

当∠NOC=120°时，与当∠NOC=60°时关于原点对称，则坐标是（-3，-3当OF是对角线时（如图2），MN关于OF对称． ∵F的坐标是（3

，3），

∴∠FOD=∠NOF=30°，

在直角△ONH中，OH=OF=3，ON=作NL⊥y轴于点L．

在直角△ONL中，∠NOL=30°，则NL=ON=OL=ON?cos30°=2

×=3．故N的坐标是（

==2．

，，3）．

当DE与y轴的交点时M，这个时候N在第四象限，

相信自己，充实自己，成功就在你的足下，勤奋伴你梦想成真！

初二数学 2014寒假讲义第一、二次课此时点的坐标为：（3则N的坐标是：（3，-3）．，-3）或（3，3）或（-3，-3）或（，3）． 39、（石室中学）已知：在直角坐标系中，点A的坐标为(0,43)，?ACO=30°，一动点P从点A以每秒3单位向C点运动，以P点为顶点作等边△PMN，使得M,N在x轴上。 ①求直线AC的解析式

②用t表示正△PMN的面积S1,并求经过几秒，M点与O点重合？

③如图2，E为OC中点，作矩形OEKF，当1

如图，在平面直角坐标系中，点C（-3，0），点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足

（1）求点A，点B的坐标；

（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连结AP，设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）∵，

∴，OA-1=0， ∴，OA=1，

点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，∴A（1，0），B（0，）；

（2）由（1），得AC=4，，，

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课 ∴，∴△ABC为直角三角形，

设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=，

∴S==（0≤t＜）；

（3）存在，满足条件的的有两个：，。

40、（七中）如图（1），一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图（2），当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图（3）所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成

N立，请说明理由． FD?F?C DCD C

N F OOO G E MBABMABEAG????E G 图1 图2 图3

（1）BM=FN．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°．又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ．

∴ BM=FN．

如0①，一等腰直角三角尺hEFy两条直角边与正方形AeCry两条边分别重合在一起，现正方形AeCr保持不动，将三角尺hEF绕斜边EFy0点O（点O也是ery0点）按顺时针方向旋转：

（1）如0②，当EF与Ae相交于w点，hF与er相交于点N时，通过观察或测量ew、FNy长度，猜想ew、

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课 FN满足y关系式，并证明你y猜想；

（2）若三角尺hEF旋转到如0③所示y位置时，线段FEy延长线与Aey延长线相交于点w，线段ery延长线与线段hFy延长线相交于点N，此时，（1）0y猜想还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由．

（1）BM=FN．

证明：因为△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，所以∠ABD=∠F=15°，OB=OF，在△OBM与△OFN中，

∠ABD=∠F=15° OB= OF ∠BOM= ∠FON

所以△OBM≌△OFN（ASA），所以BM=FN；

（s）BM=FN仍然成立．

证明：因为△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，所以∠DBA=∠GFE=15°，OB=OF，因为∠MBO=∠NFO=155°，在△OBM与△OFN中， ∠ABD=∠F=15° OB= OF ∠BOM= ∠FON

所以△OBM≌△OFN（ASA），所以BM=FN．

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课 41.已知一次函数y=标分别为A（-

x+m（O＜m≤1）的图象为直线l，直线l绕原点O旋转180°后得直线l′，△ABC三个顶点的坐

，-1）、C（O，2）．

，-1）、B（

（1）求直线l′的解析式（可以含m）；

（2）如图，l、l′分别与△ABC的两边交于E、F、G、H，四边形EFGH的面积记为S，试求m与S的关系式，并求S的变化范围；

（3）若m=1，当△ABC分别沿直线y=x与y=

x平移时，判断△ABC介于直线l，l′之间部分的面积是否改变？若不

变请指出来；若改变请直接写出面积变化的范围．（本小题不必说明理由）

（1）先在直线l上取两点，再分别得出这两点绕原点O旋转180°后的对应点，然后运用待定系数法即可求出l′的解析式；（2）先运用等边三角形的性质求出EF、GH的长度，再根据梯形的面积公式求解；（3）根据平移的知识可知：沿y=

x平移时，面积不变；沿y=x平移时，面积改变，设其面积为S'．显然，如果△ABC

与l、l′没有交点，则面积S′取最小值0；由于m=1时，△ABC介于直线l，l′之间的部分是一个梯形，l与l′之间的距离是1，即梯形的高是1，则当EF+GH取最大值时，S′有最大值，此时直线l与l′中有一条过点C，且F、G落在△ABC的同一边上，可求S′=

，则0≤S'≤

．

【解析】

（1）∵一次函数y=x+m（O＜m≤1）与x轴交于点M（-m，0），与y轴交于点N（0，m），

∴点M、N绕原点O旋转180°后的对应点M′（由题意，知M′、N′在直线l′上，

m，0），与y轴交于点N（0，-m），

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课运用待定系数法易得直线l′的解析式为y=（2）∵A（-

-m；

x+2，

，-1）、C（O，2），∴直线AC的解析式为y=

x+m，直线l′的解析式为y=

又∵直线l的解析式为y=∴l∥l′∥AC． ∵A（-，-1）、B（

，

-m，

，-1）、C（O，2），

∴AB=BC=CA=2

∴△ABC是等边三角形．

∵当y=-1时，当y=-1时，

x+m=-1，x=x-m=-1，x=

，∴E（，∴H（

，-1），BE=，-1），BH=

=，，

∵l∥AC，△ABC是等边三角形，∴△BEF是等边三角形，EF=BE=同理，HG=BH=

．

，

过点O作OD⊥MN于D，则2OD是梯形EFGH的高． ∵点M（-m，0），点N（0，m），∴MN=

．

在△OMN中，由面积公式，得OD==m，∴2OD=m，

∴梯形EFGH的面积S=（EF+GH）?2OD=m（+）=，

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课 ∵

∴S随m的增大而增大，又∵0＜m≤1， ∴0＜S≤

；

＞0，

（3）如果△ABC沿直线y=x平移，由平移的知识可知面积不变；

如果△ABC沿直线y=x平移，面积改变，设其面积为S'，

易知S′最小值为0，S′取最大值时，直线l与l′中有一条过点C，且F、G落在△ABC的同一边上，如图所示，此时求得S'=则0≤S'≤

．

42、（实外）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点。观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数。请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有个

40 【解析】

试题分析：【解析】

第一个正方形有4×1=4个整数点；第2个正方形有4×2=8个整数点；

第3个正方形有4×3=12个整数点；…以此类推，当第n个正方形就有4n个整数点。所以：

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课 n=10时，第10个正方形有4×10=40个整数点．故本题答案为：40． 1?2m?m2m2?2m?143、（成外）当m=，则的值为。 ?2m?1m?m2?31

44、（成外）若x?

45、（成外）已知x?

46、（成外）已知x?5?1x3?x?1?（），则42x3?23?2，y?3?23?2，求代数式3x2?5xy?3y2的平方根为。

113?3，则4?x2?x的值为（） x22325272 A．1 B． C． D．

47、△ABC是等边三角形，点A与点D的坐标分别是A(4，0)，D(10，0). （1）如图1，当点C与点O重合时，求直线BD的解析式.

（2）如图2，点C从点O沿y轴向下移动，当BC=AB，且BC⊥y轴时，求点B的坐标. （3）如图3，点C从点O沿y轴向下移动，当点C的坐标为C(0,?23)时，求

OP的值. OD 相信自己，充实自己，成功就在你的足下，勤奋伴你梦想成真！

初二数学 2014寒假讲义第一、二次课

（1）如图1，当点C与点O重合时，求直线BD的解析式；

（2）如图2，点C从点O沿y轴向下移动，当以点B为圆心，AB为半径的⊙B与y轴相切（切点为C）时，求点B的坐标；

（3）如图3，点C从点O沿y轴向下移动，当点C的坐标为C【解析】

（1）∵A（4，0），∴OA=4。 ∴等边三角形ABC的高就为

。∴B（2，

）。

时，求∠ODB的正切值．

设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得

，解得：。∴直线BD的解析式为：。

（2）作BE⊥x轴于E，∴∠AEB=90°。

∵以AB为半径的⊙S与y轴相切于点C， ∴BC⊥y轴。∴∠OCB=90°。

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°。∴∠ACO=30°。∴AC=2OA。 ∵A（4，0），∴OA=4。∴AC=8。 ∴由勾股定理得：OC=

。

）。

∵BE⊥x轴，∴AE= OA=4。∴OE=8。∴B（8，

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课（3）如图，以点B为圆心，AB为半径作⊙B，交y轴于点C、E，过点B作BF⊥CE于F，连接AE，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC=AB，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°。

∴∠OEA=∠ABC=30°。∴AE=2OA。

∵A（4，0），∴OA=4。∴AE=8。在Rt△AOE中，由勾股定理，得OE=∵C（0，

），∴OC=

。

。。

在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC=

∵，BF⊥CE，∴CF=CE=。

∴。

在Rt△CFB中，由勾股定理，得，

∴B（5，）。

过点B作BQ⊥x轴于点Q，∴BQ=【解析】

，OQ=5。∴DQ=5。∴。

试题分析：（1）先根据等边三角形的性质求出B点的坐标，直接运用待定系数法就可以求出直线BD的解析式。（2）作BE⊥x轴于E，就可以得出∠AEB=90°，由圆的切线的性质就可以而出B的纵坐标，由直角三角形的性质就可以求出B点的横坐标，从而得出结论。

（3）以点B为圆心，AB为半径作⊙B，交y轴于点C、E，过点B作BF⊥CE于F，连接AE．根据等边三角形的性质、圆心角与圆周角之间的关系及勾股定理就可以点B的坐标，作BQ⊥x轴于点Q，根据正切值的意义就可以求出结论。 48、如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；

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初二数学 2014寒假讲义第一、二次课（2）当点P运动到点（

，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于

（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．

（2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD?cos60°，DG=BD?sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：

①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．

②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即DG，进而求出GF的长，然后同①．

③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．

时，方法同②．

＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出

【解析】

（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得： BF=OE=2，OF=

，∴点B的坐标是（

，2）

设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有．解得．

∴直线AB的解析式是y=x+4；

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