四边形的内角和(公开课)

毕浦中学

柴春杰

请你欣赏

美国国防部的五角大楼

五角大楼俯视图

荷兰:荷兰盾 荷兰 荷兰盾

缅甸:缅元 缅甸 缅元

海地:古德 海地 古德

澳门:元 澳门 元

生活中的几何图形 根据以下这些图， 根据以下这些图，你能抽象出它们是什么几何 图形吗？ 图形吗？

三角形

长方形

四边形

六边形

八边形

5.1 多边形第1课 四边形

C的三条线段首尾顺 定义： 不在同一条直线上的三条线段 定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺 相接所形成的图形叫三角形 次相接所形成的图形叫三角形 。

A 四边形的定义…

BA D

由不在同一条直线上的四条线段首尾 由不在同一条直线上的四条线段首尾 同一条直线上的四条线段 顺次相接所形成的图形叫做 所形成的图形叫做四边形 顺次相接所形成的图形叫做四边形 。

B

C

A D G B C E

H

F四边形的各条边不都在任意 一条边所在直线的同一侧. 一条边所在直线的同一侧.

四边形的各条边都在任意 一条边所在直线的同一侧. 一条边所在直线的同一侧.

凸四边形

凹四边形

我们现在所学的是凸多边形， 温馨提示：我们现在所学的是凸多边形，即多边形的各边 都在任意一条边所在直线的同一侧。 都在任意一条边所在直线的同一侧。

三角形的元素

四边形的元素

A边

A

D内角 (角)

B

●

C顶点 △ ABC

B●

C四边形ABCD 顶点 四边形

角

运用 类比 的思想方法可以让我们辨别 不同概念之间的区别和联系. 不同概念之间的区别和联系

猜想与实验

所有三角形的三个内角和都为180°,试 ° 所有三角形的三个内角和都为 猜想四边形的四个内角和的度数 猜想四边形的四个内角和的度数 ？

猜想以后请同学们动手实验， 猜想以后请同学们动手实验， 证实你的猜想！ 证实你的猜想！

自己动手

把四边形问题转化为三角形进行讨论, 把四边形问题转化为三角形进行讨论 在一张纸上任意画一个四边形, 在一张纸上任意画一个四边形 转化的思想 即把未知转化为已知,把 体现了转化的思想,即把未知转化为已知 体现了转化的思想 即把未知转化为已知 把 剪下他的四个角,把它们拼在 剪下他的四个角 把它们拼在 复杂转化为简单. 复杂转化为简单 一起(顶点重合 你发现了什么? 顶点重合),你发现了什么 一起 顶点重合 你发现了什么

A

内角和 定 理：D

四边形的内角和是360° 四边形的内角和是360° 360连接AC, 连接AC,它把四边形分成两 个三角形. 个三角形.四边形的四个角的 和就是这两个三角形的内角和， 和就是这两个三角形的内角和， 因此， 因此，四边形的内角和等于 2×180 °=360 °

B

C

畅想

天地

数 学 智 多 星

你还有其他添辅助线方法求四边形的内 角和吗？ 角和吗？

O

O

A D

A

E

D

B

E

F

C

B

C

1.已知四边形 已知四边形ABCD中， ∠A=80 °, ∠B=60°, 已知四边形 中 = = 150 ° ∠C=70°则∠D=_____. 则 2. 如图，四边形风筝的四个 如图， 内角∠ 内角∠A, ∠B, ∠C,∠D的 ， 的 度数之比为1: : : 度数之比为 ：1:0.6:1 求 它的四个内角的度数。 它的四个内角的度数。A

解：设∠A= x,∠B= x,∠C=0.6x,∠D=x,则 = ∠ ∠ ∠ 则

x + x + 0.6x + x =360° °解得： 解得：x=100 ∴ ∠A= ∠B= ∠D= 100 ° = = =

D B

° ∠C =100 °×0.6 =60°

C

1. 如果四边形的四个内角都相等 那么这四个角都为 90 ° 如果四边形的四个内角都相等,那么这四个角都为 度 2. 如右图，在四边形 如右图，在四边形ABCD中， 中 ∠A=85 °,∠D=110 °, ∠1的 = 的 外角是71 外角是 °,则∠1=109 ° =____, ° ∠2=____。 = 56° 。E D A 85 ° 110 °

71 ° 1 B

2 C

3、已知∠A 、∠B 、∠C 、∠D是四边形ABCD的四个内 已知∠ 是四边形ABCD的四个内 A:∠B:∠C:∠ 求四个内角的度数。 角， ∠A:∠B:∠C:∠D= 1:2:3:3 ,求四个内角的度数。

4.已知四边形 已知四边形ABCD中,∠A与∠C互补 互补, 已知四边形 中∠ 与 互补 的度数吗？ ∠B比∠D大15 ° 你知道∠D的度数吗？ B呢？ ∠B=80 ° ,你知道∠ 的度数吗 ∠ 呢 比= 大

D A

4

3

探 究 新 知一 ： 边形的 ：

E

1B C

F

2

三角形 的外角： 四边形 的外角：由 角形的角的一边与另 边一边的反向延长线组成的 1 角

外角的 360

边形的外角

C小红有每天坚 小红有每天坚 持跑步的好习 惯，右图就是 小明清晨沿一 个四边形广场 逆时针方向跑 步的效果图. 步的效果图

D

A

B

小红原先站在A处面朝 。按逆时针方向跑一圈回到A 小红原先站在 处面朝B。按逆时针方向跑一圈回到 处面朝 使面仍朝B。 处，然后转一个角度 ∠1使面仍朝 。你知道她旋转了多 使面仍朝 少度吗？这也验证了四边形的什么定理？ 少度吗？这也验证了四边形的什么定理？

1. 四边形定义：在同一平面内，不在同 四边形定义：在同一平面内， 一条直线上的四条线段首尾顺次相接 形成的图形。 形成的图形。 2. 定理：四边形的内角和等于 定理：四边形的内角和等于360 ° 3. 推论：四边形的外角和等于 推论：四边形的外角和等于360 ° 4. 重要数学方法 已知) (已知) 类比 未知) (未知) 三角形的概念 四边形的概念 (未知) 未知) 四边形问题转化

(已知) 已知) 三角形问题

作业： 作业：

1、作业本(1) 、作业本( ) 2、书本 组第4、 题 、书本P96—B组第 、5题 组第

谢 谢 大 家再 见

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