MIMO信道传播参数估计的随机最大似然算法 - 图文

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MIMO信道传播参数估计的随机最大似然算法

【摘要】 针对多输入多输出(MIMO)信道，该文提出用随机最大似然(ML)法来估计信道瞬态时空参数。信道测量和信道探测一般需要估计信道传播参数，这也是构建高级信道模型的关键步骤。该文算法采用von Mises角度分布模型，该模型适用于信道测量中得到的角度数据。该信号模型是随机的，相应算法用来估计漫散射分量特别有用。相比确定性算法，该算法具有更低的复杂度和更快的收敛性。这些优点是由于该模型具有较低维度和更简单的最优化方法。通过比较与Cramer-Rao下界(CRLB)的差距来研究该算法估计值的统计性能。仿真表明小样本时该算法的方差接近CRLB。该算法除用于推导外，应用于数据信道模型也能得到非常有意义的结果。

关键词 信道探测；参数估计

1引言

功能强大的多维信道模型常常需要信道探测和广泛的信道测量。多维信道模型是未来高频谱效率无线通信系统收发机结构制造和网络设计的重要工具。一个重要应用是多输入多输出(MIMO)通信系统的发展，MIMO系统采用多发射天线、多接收天线和相应的信道传播参数估计来进行信道探测。

无线传输中，一般将接收机收到的信号分解为镜像反射分量和漫散射分量。镜像分量通常被认为携带大部分功率并用很多参数未知的确定性信号来模拟。漫反射分量通常被认为是噪声，在模型中可以忽略不计。然而在文献[1]-[3]的测量中，漫散射分量非常显著甚至占主导地位，特别是在非视距(NLOS)情况下。散射体丰富的环境很适合MIMO系统的设计，因此系统设计时考虑散射分量很重要。针对由随机分布的障碍物和粗糙表面引起的波传播与漫散射，文献[4]-[5]中有其可分析、可计算模型的详尽介绍。

确定性算法一般用很多离散波模型来估计传播参数。该算法能得到高度非线性似然函数的最大值，但似然函数局部极大值可能会有收敛性问题。由于要估计很多离散波参数，计算的复杂度和估计变量数将变大。另外确定性算法采用文献[6]中的离散射线模型，用该模型从散射簇中估计一组传播波参数可能会有不太理想的估计效果。如果是这样的话，每个波形参数都被随机分布一个与任何物理现象都不对应的分布数，它仅属于估计过程中的一个假定值，如文献[8]中所述。

针对MIMO系统漫散射分量角度分布参数，该文使用了一种估计算法。该算法能避免出现高维优化和高度非线性函数。由于模型较低维度而具有的优点将得到更简单的优化问题。文献[9]中提出对漫散射分量时域特性的估计方法，但文献[9]没有估计角度分布参数。针对移动基站信道功率谱，文献[10]提出相似的角度分布估计模型。

文献[11]得出散射分量的最大似然估计值，其角度分布假定是高斯分布。由于角度扩展很小，天线阵列间的相关系数可近似展开成泰勒级数。文献[12]对于小角度扩展，认为每一射线源的空间特性可展开成一阶泰勒级数，进而得到广义阵列复合（GAM）模型，该模型能与众所周知的以子空间为基础的算法相结合，如MUSIC算法。通过假定小角度扩展，文献[13]认为可用围绕标称方向的、对称的两个射线的复合来近似表示一个分散的射线源。这种近似允许高效算法的使用，如ESPRIT算法和根值MUSIC算法。由此产生的算法被称为扩展ESPRIT算法，扩展根值MUSIC算法，等等。文献[14]和[15]中可以找到起源于这些算法的其它算法。

本文要估计散射体围绕接收端而得的漫散射分量。因此没有必要假设小角度扩展，文献[11]-[13]中的

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算法可能不适用。本文采用文献[16]中的MIMO相关信道模型，文献[16]假定接收机被大量散射体围绕。针对角度分布模型，我们采用von Mises分布（见文献[17]），该分布模型的范围有限，很适合角度数据。据称有人基于测量数据，认为该模型是角度概率密度函数很好的分析模型[18]。采用服从von Mises分布的角度概率密度函数的另一个好处是：它能提供MIMO信道相关矩阵的封闭表现形式，因此不需要假定角度扩展很小。该矩阵经分析能被描述成某一随机过程基础参数的函数，因此能用它来估计信道参数。有人已在信道探测中应用von Mises分布参数估计模型。估计参数包括功率角度谱(PAS)，功率延迟谱(PDS)，角度扩展和发射阵列定位角。该模型的Cramér–Rao下界能被求出并在仿真时比较估计值与CRLB均方误差（MSE）的差异。小样本时，估计值性能接近于CRLB性能，即该估计值是最佳优化值。

本文组成如下：第二节介绍本文的MIMO信号模型。第三节介绍参数估计算法。第四节得到本文模型的CRLB。第五节频率选择性信道中，本模型也能估计时域传输参数。最后在第六节用仿真得到的一些结果得出大样本时估计值与CRLB的性能差异。

2信号模型

本模型发射端是以仰角发射，因此没有地面散射体阻挡传输波，接收端被很多本地散射体包围。假设发射端和接收端之间是非视距传播。我们认为传播波是平面波（远程）且只发生了一次散射。这种模型被称为“单环”模型[19],[20]，为了研究相关衰落对MIMO信道容量的影响，文献[16]和[19]中使用了该模型；为了研究天线分布对信道容量的影响，文献[21]中也使用了该模型。图1介绍了传播环境。该模型得到的相关矩阵也适用于其他模型的推导，如文献[22]和[23]中的Saleh–Valenzuela(SVA)模型。故该文提出的估计算法及性能分析法可以直接应用于SVA模型。

假设发射端有M根天线，接收端有N根天线。那么定义接收端天线接收信号是N×1向量y(k),发射端天线发射信号是M×1向量u(k)，MIMO随机信道矩阵为N×M矩阵H(k)，随机噪声是N×1的向量n(k)。上述信号是以时间kTs抽样连续时间信号而成的离散时间信号，Ts表示抽样间隔。由上所述，接收信号的定义是：

y(k)?H(k)u(k)?n(k) (1)

图1信道探测环境

该模型中假定信号带宽是非常窄的，信道被认为是非频率选择性信道。n(k)的统计特性将在本文第三节给出。

信道探测中每个MIMO子信道所包含信息相互独立是非常重要的，即接收信号可被表示成N×M的矩阵Y(k),它的每一行代表一个接收天线，每一列代表一个发射天线。图1介绍了收发两端天线常用的交换探测排列方式，其他模型也能采用这种阵列排列方式。Y(k)的元素Y(i,j)表示该信号由天线j发射，由天线i接收。

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?y0,0(k),?y0,M?1(k)???? Y(k)???? (2)

?yN?1,0(k),?yN?1,M?1(k)???因此我们将(1)的信号模型修改为:

Y(k)?H(k)u(k)?N(k) (3)

Y(k)和N(k)是N×M矩阵，向量u(k)是发射序列。探测序列u(k)是由功率为Pu的周期M序列构成的。

该算法不需要发射不同的探测序列，因为每个MIMO子信道可以被单独测量。该算法适用于多阵列交换收发天线的信道探测，如文献[6],[7],[25],[26]所述。

公式(3)的信道矩阵代表被周围散射体反射后到达接收阵列所有波的集合。由于很难具体地将信道矩阵表示成基础波函数，文献[6],[7],[25]和[26]提出一个不同的信号模型，此时接收信号可以表示成由参数确定但未知的几个波与附加噪声的叠加。一旦接收信号能表示为某一特定基础波参数的函数，就能用像广义空间交替期望最大算法的最大似然估计法高度精确地估计传播参数。然而，由于必须估计所有波的参数，模型矩阵的维数会变的很大，算法也会因似然函数的局部极大值而出现收敛性问题。

文献[16]提出一个基于“单环”模型的MIMO信道模型，模型的相关矩阵能被解析描述并用来推导信道参数的估计值。在此描述中，漫散射分量被认为是某一基础随机过程的实现而不是确定性信号的集合。作者推出任意两个子信道的互相关矩阵的封闭形式解，假定每个子信道的入射角服从von Mises分布，当然入射角也可以服从其他分布。文献[19],[21],[27]中考虑了相似的模型，但角度分布被假定是均匀的。 灵活的角度分布规律可以将模型有趣地理解为一个扭曲的环。环中反射较强的那部分比环中反射较弱的那部分更接近接收端。另外假定一个角度分布是von Mises角度概率密度函数的有限混合，模型可被理解为很多具有不同半径的扭曲环的叠加。因此该模型适用于任意散射环境。本文所用模型和文献[22],[23]的SVA模型在单输入多输出(SIMO)系统中有相同的协方差矩阵，这也说明上述设想是正确的。

如果发射端和接收端都发生散射，文献[28]推导的“双环“模型可能更适用于此情况。该模型假定有两个散射环：一个在发射端，一个在接收端。该模型的每条射线都会散射两次。该模型的缺点是即使两环散射体的数量趋于无限，还是无法符合中心极限定理，信道系数也不能收敛到高斯随机变量。因此不能只用一阶和二阶统计数字描述信道特性。结合蒙特卡洛仿真法的射线跟踪法已被用来评估该模型的性能。

扩展SVA模型是收发两端散射交互模型。该模型假设在收发两端有丰富的散射环境，且发射端和接收端的散射相互独立。在这此假设下，即使无穷多的散射体，信道系数也能收敛到高斯变量。所以可用一阶和二阶统计数字来描述信道特性。

本文仅讨论接收端周围的局部散射波，本文的估计算法也能直接扩展到SVA模型中。

3.角度传播参数估计

本节中我们将一直使用下列假设：

a) 视距分量及镜像分量不存在（莱斯衰落信道）。 b) 接收端被大量局部散射体围绕。

c) 在一个测量周期内信道是固定的且我们假设E[H(k)]=0

d) 附加噪声vec(N(k))是零均值循环对称复数高斯过程，其自协方差矩阵Cn=E[vec(N(k))vecH(N(k))]

已知且和H(k)相互独立。

e) 接收信号vec(Y(k))是瞬态零均值复数循环高斯白噪声过程。

中心极限定理可以证明e假设是正确的，因为Y(k)是由无数波叠加而成，各个波的复振幅相互独立且同分布，

d假设没有假设特定结构来表示噪声协方差矩阵，仿真中假设噪声是空间白噪声。d假设和e假设表明vec(H)是循环高斯矩阵。由于c假设,H(k)的时间指数已下降到简化表示法。

我们将信道矩阵以栈的形式分解成列向量而使模型量化。此时vec(Y(k))=vec(H)u(k)+vec(N(k))。由于

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vec(Y(k))是零均值瞬态复数循环高斯白噪声，它的概率密度函数是：

f?1?1?exp(?Nstr{CyCy}) NsNM(?Cy)?是NM×tr{·}代表矩阵的迹，Cy是NM×NM接收信号协方差矩阵, CNM的采样协方差矩阵，其定义y是

Cy?E[vec(Y(k)vecH(Y(k))] (4)

??1 CyNsNs?1k?0?vec(Y(k)vecH(Y(k)) (5)

因此在移除不随信号变化的常数项后,对数似然函数可写成：

?1? L??logCy?tr{CyCy} (6)

利用a-e假设，由公式(3)推出：

Cy?E[(vec(H)u(k)?vec(N(k)))?(vec(H)u(k)?vec(N(k)))H]

?E[vec(H)vecH(H)]u(k)2?Cn

?PuCH?Cn (7)

Pu是发射序列u(k)的功率，CH是NM×NMMIMO信道协方差矩阵，其定义是：

H CH?E[ve(cH)vec( )H ] (8)

Cn是已知的NM×NM噪声协方差矩阵。Cn=E[vec(N(k))vecH(N(k))]。

为使MIMO信道协方差矩阵能表示成传播参数的函数，我们们采用文献[16]和[20]的模型。该信道模型假定在接受端周围有一个散射体环。

图2 接收端有局部散射体的2×2信道几何结构图。其中D是发射端和接收端的距离。R是围绕接收端的散射体环的

半径。dlm是接收端天线l和m间的距离。该信道模型假设接收机周围有一个散射体环。

除了假设a-e,还有下列假设： f) 发射端角扩展Δ很小； g) D≥R≥max(δpq,,dlm);

h) 接收阵列的位置是已知的，即β是已知的；

i) 对于发射天线?和接收天线l间的任一MIMO子信道hlp，其变量E[|hlp|]是相等和已知的。我们用Ω来表示这个变量并称其为路径损耗。

我们把相对于发射阵列与接收阵列间连线的最大角定义为发射端角度扩展Δ，此时离开发射端的波被接收端周围的散射体环反射。无线信道漫散射分量角度分布范围通常是2π，甚至散射体平均集中分布(此时κ很大)，上述结论也成立。这表明角度扩展与接收端周围散射体环半径及发射端和接收端间的距离有关，Δ≈arcsin(R/D),文献[20]也提到这种关系。

假设i是可由假设g推出，即发射端与接收端间的距离比散射环的半径大得多。这说明所有传输分量都经历了相似的路径损耗。

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利用假设f-i,可以得到任意两个子信道lp与mq的互相关系数?lp,mq，即

?lp,mq?1E[hlph?mq] ?Cpqcos? ?e??exp(cpq?sin(?)sin(?)?blmcos(???)f(?)d? (9)

??? Ω是路径损耗，f(θ)是θ的角度概率密度函数，Cp,q=j2πδpq/λ,bl,m= j2πdl,m/λ,λ是发射信号波长，hlp是信道矩阵H第l行、第p列元素。参数Δ和α分别表示发射端的角度扩展和发射阵列相对于发射端与接收端连线的角度。

简言之，我们假设序列中没有通用损耗，发射阵列和接收阵列都是均匀直线天线阵列（ULAs）。因为我们能确定每个天线对的互相关系数，其他任意的天线配置也能被使用。除ULA排列方式,其他天线排列方式要选取发射阵列和接收阵列的一对天线作为参考天线。那么对其他收发天线对，α，β要被重新定义为α+αpq和β+βlm, αpq,βlm分别表示相对发射阵列和接收阵列参考天线的角度。我们假设天线是各向同性的，因此不需考虑模型中场模式的影响。接收端是非各向同性天线，其影响可用f(θ)表示：

?f(?)?f'(?)gl(?)gm(?)

gl(θ)是第l个接收天线的场模式，f’(θ)是实际的角度概率密度函数。这文献[22],[23]的SVA模型相似。

角度概率密度函数必须满足f(θ)= f(θ+2πk)(k为任意常数)，所以不能采用高斯概率密度函数。合适的角度概率密度函数应该满足von Mises分布，定义是：

f(?)?1exp(?cos(???)) (10)

2?I0(k)μ是对称中心（“平均方向”）,κ的范围是0（各向同性散射）到∞（极度集中），I0(·)是修正后的贝塞尔第一类零阶函数。图3表示不同κ时的von Mises分布曲线，由von Mises概率密度函数，(9)式的互相关函数可写成：

?lp,mq?exp(Cpqcos?)I0(k)2I0({Cpq?2sin2?(11)

212?2Cpqsin??(blmsin???sin?)?2?blmcos(???)??2?blm})由(6)式的对数似然函数。我们能找到μ,κ,α,Δ的估计值。

?1??}?argmax?,??,??,? {??,?,?,?{?logCy?tr{CyCy}} (12)

其中tr{·}表示迹函数。为了实现优化，我们将采用序列二次规划算法，用Matlab的fmincon函数来实

现。

针对多径散射簇，文献[31]扩展了该模型，其角度分布是von Mises概率密度函数的叠加。由于本文篇幅所限，在这我们不讨论该扩展模型。文献[32]也用到相似的方法，其中用到了拉普拉斯及von Mises概率密度函数。在这种情况下，镜像分量和视距分量可被表示成一个或两个混合分量。每种混合分量都有非常不同的波形（见图3）。该算法的优点是镜像反射分量周围已存在本地散射分量[31]。

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图3 不同κ时的von Mises概率分布曲线(μ=0)

另一种观点是将模型看成是随机散射分量与确定镜像-视距分量的叠加。针对视距分量，文献[16]提出扩展模型。针对镜像分量估计，我们可直接取似然函数的最大值法或使用迭代过程，如RIMAX算法，此算法的确定性参数和随机分量可分别使用上述两种模型来估计（具体细节见文献[33]）。

4. CRAMéR–RAO下界

本节我们得出CRLB并得到大样本下估计量与理论下限性能的差距，这对估计量的逐步优化很必要。本文第五节的仿真结果将得出所得估计值与CRLB的性能差异。详细推导见附录1。

设θ={μ,κ,α,Δ}，Fisher信息矩阵的第{i,j}个元素为

{I}i,j?Nstr{CyDjCyDi} (13)

其中Di?D?是Cy=Cy(θ)对θi求导而成的导数。

i由式(7)和(10)，我们可以得到矩阵Cy(θ)第(p,q)块第(l,m)元素相对μ,κ,α,Δ的偏导数，即如下所示：

?1?1{blocpkD,q(u)},l?m?(p, ??PuexpCPuexp(C,pq?cos?(10?I))(1I/2)(??1?121/2??) ??)]q?11/21?1/2co?s(I))?I(?)(?)Cp?01,q[2?s?in(??)co?blsm()?? (14)?si n(1??{blockp,q(D?)}l,m??Puexp(Cp,qcos(?))[?I0?2(?)I1(?)I0(?1/2)?I0?1(?)I1(?1/2)??1/2]

2???2?1??Puexp(Cp,qcos(?))[?I0(?)I1(?)I0(?1/2)I0(?)I1(?1/2) 1??2?1/2(Cpq?sin(?)sin(?)???blmcos(???))] (15)

1???1{blockp,q(D?)}l,m??Pu[exp(Cp,qcos(?))I0(?)I1(?1/2)??1/2?exp(Cp,qcos(?))I0(?1/2)Cp,qsin(?)]

2?? ??Puexp(Cp,qcos(?))I0(?) (16) ?[I1(?1/22)??1/2(Cpq?2sin(?)cos(?)?Cpq?cos(?)(blmsin(?)??sin(?)))?I0(?1/2)Cpqsin(?)]

?16

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1???1{blockp,q(D?)}l,m??Puexp(Cp,qcos(?))I0(?)I1(?1/2)??1/2

2??

其中，

22??(Cpq?2sin2(?)?2Cpq?sin(?)(blmsin(?)??sin(?))?2?blmcos(???)??2?blm)

?1??Puexp(Cp,qcos(?))I0(?)I1(?1/2)??1/2?[C?sin(?)?Cpqsin(?)(blmsin(?)??sin(?))]2pq2 (17)

Ω是路径损耗，Pu是发射序列功率。I0(·)和I1(·)分别是修正后的贝塞尔第一类零阶和第一类一阶函数。 CRLB不等式可被用来评估每个作为(13)中费舍尔信息矩阵逆矩阵对角线元素的参数。

5.时域传播参数估计

如果我们认为造成角度和时间扩展的机理高度相关，功率方位角延迟谱可以当成是特定的谱函数，那么我们可以把(3)的模型扩展应用到频率选择性信道。基于上述理解，我们将模型概括为：

Y(k)?H?w(l)u(k?l)?N(k) (18)

l?0L?1 其中L是信道冲击响应矩阵非零元素的最大数目。由于w(k)是复值，可被写成w(k)=|w(k)|ejθ(k),我们假设k=0,…L-1时,θ(k)是相互独立且在[0,2π]内均匀分布，|w(k)︱是确定值。

式(6)假设观测值是独立同分布的，但如果信道是频率选择性的，则不需要这种假设。与需优化的算法相比，该算法会有一些性能损失。但预计这种损失不会很明显，因为所有空间信息都已包含在矩阵H中。因此与需要更多优化的算法相比，该算法的估计值能以低复杂度得出。正如第6节所示，本文所用算法即使在频率选择性信道中也能得到可靠估计值。

如附录2所示，由a-d假设和上述w(k)的假设，我们能得到：

Cy?PCuH?Cn (19)

其中，Pu在(7)中已被定义。因此角度参数估计可以采用与窄带模型相同的算法。本节我们集中讨论时

域参数，它可采用标准估计算法得到。

人们已在一些测量活动中研究了功率延迟谱(PDS)，我们在这里简要探讨一下。实验数据表明功率延迟谱能用指数衰减函数来精确近似，即

w(k)?e2?(1/?d)(k?kd),k?0 (20)

kd是离散群延迟或到达时间(TOA)，我们要估计簇的到达时间(TOA)和指数衰减因子ζd。

假设发射信号是长为NsM的序列，其循环自相关函数为r(i), r(i)中r(0)=Ns和r(i)=-1,0

?Ns?1k?0?[h?w(l)u(k?l)?nnml?0L?1nm(k)]u?(k?i) (21)

其中，hnm是矩阵H第(n,m)个元素，nnm(k)是矩阵N(k)第(n,m)个元素。利用发射序列自相关特性并假

设u(k)与测量噪声n(k)间的循环自相关影响可忽略不计，我们得到：

rnm(i)?Nshnmw(i)u(k?i) (22)

yu27

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yu2由式(11)可得E[|hnm|2]=1,假设hnm和w(k)是相互独立的。对所有天线的rnm(i)均一化处理，我们能得

到：

1 r(i)?NMyuyu(i)?Ns2Puw(l) (23) ??rnmn?1m?1NM22其中，Pu?u(k)

那么我们能推导出以下时域参数的估计算法：

a) 计算

2?(l))??(l)?(w

INMNs?121NMINs2Pu2 (24)

?????u(k?l)?ynm(k?(i?1)Ns)i?1n?1m?1k?0其中I是快拍数，Ns是一次快拍的样本数。

b) 由于ξ(l)的噪声属性，实际中不方便将ξ(l)最高峰值作为到达时间的估计值，而是将满足ξ(k)≥ε(ε

是固定门限值)的首个样本k作为估计值。由于信道探测中，信噪比一般较大，ε的选取并不是个困难问题。本文仿真中，我们取ε=0.02。其他应用是基于标准检测理论来确定ε。 c) 由序列ξ(l) ,l=k,…,Ns-1，我们能计算延迟因子ζd。由式(20)logw(k)2??k/?，ζ可采用文献

d

d[36]的多项式最小二乘法得到。

有人已在CDMA接收机中使用了类似算法，文献[34],[37]中采用了与M序列有相似特性的序列。

6.仿真结果

本节我们使用仿真中获得的数据来验证理论结果及评价估计量的有效性。 A． 仿真1：与CRLB的性能比较

仿真中，发射端和接收端都是由M=N=4均匀直线天线阵列构成的。接收信号可以被写成：

vec(Y(k))?Rw(k)?vec(N(k)) (25)

R1/2是由E[vec(H)vecH(H)]经Cholesky分解得到，w(k)和vec(N(k))是变量已知的循环复数高斯白噪声过程，E[w(k)wH(k)]是单位矩阵。每个天线的信噪比(SNR)经20dB处理后被定义为SNR=10log10[E[|y(k)|2]/ E[|n(k)|2]。路径损耗Ω=1。本文认为即使式(25)中R1/2及w(k)不是直接和式(3)中H(k)及u(k)相对应，(25)与(3)中向量vec(Y(k))也有相同的统计量。因为

E[Rw(k)W(k)](R)?R(R)?E[vec(H)vec(H)]

图(4)把仿真估计值与CRLB的均方误差(MSE)看成是样本量的函数来进行比较。仿真算法运行200次得到MSE曲线。接收阵列角度β=90°，对称中心μ=70°+β，κ={5,30,200}，发射阵列角度Δ=10°。我们发现小样本时，对所有κ值，仿真估计值的MSE曲线接近CRLB的MSE曲线。图(5)把仿真估计值与CRLB的均方误差(MSE)看成是信噪比(SNR)的函数。所有参数估计值的MSE曲线都接近CRLB的MSE曲线。 B．仿真2时域扩展信道

仿真中，我们将评估信道估计算法在时间延迟信道上的性能。发射端有一个天线，接收端有11个均匀直线天线阵列。我们把信道看成是很多波的叠加来进行仿真，并定义：

1/2H1/2H1/21/2HH1/28

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vec(Y(k))?其中

xn(k)??x(k)?vec(N(k)) (26)

nn?1Nw1ej?c(?n)u(k??n),n?1,?,Nw (27) Nwψ是随机相位，C(Φn)是导向向量，ηn是第n个传输波延迟。为了模拟散射信号，我们需要无穷多的散射波，仿真时我们用10000个散射波来近似模拟信道。随机相位ψ均匀分布在[0,2π]内。到达接收端的角度Φn服从μ=75.78°+β和κ=26.93°时的von Mises分布。当延迟因数ζd=2.34μs，时间延迟服从指数分布。

探测序列是长为127的复数M序列，符号持续时间Tp=1/(4.096×106)s，抽样间隔Ts=Tp/2。随机噪声是一个复数高斯白噪声过程。一次快拍测量需要运行50次才能得到结果。

图6和图7分别是功率水平谱估计值和功率延迟谱估计值与它们真实值的比较。由式(12)得出参数估

??27.08，von Mises概率密度函数便能得到功率水平谱的仿真估计值。由第5节??75.78??和?计值??得出ζd=2.51μs和群延迟(TOA)是16个抽样时间，便得到功率延迟谱仿真估计值。真实的功率水平谱和功

率延迟谱可分别由延时因子ηn的直方图和角度Φn(Δη=Tp，Δθ=1°)得出。文献[16]认为直方图和功率水平谱密切相关。频谱仿真估计值与真实值非常稳合。

图4 κ取5,30,200时，仿真估计值与CRLB的MSE可看成是样本量的函数。接收阵列和发射阵列都是4个均匀直线

天线阵列。对所有的κ值，在小样本量时，估计值的MSE曲线接近CRLB的MSE曲线。

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图5 对每个未知参数，仿真估计值与CRLB的MSE可看成是SNR的函数，发射阵列和接收端阵列4个ULA阵列。

小样本时，仿真估计值的MSE曲线接近CRLB的MSE曲线。

??75.78???和??27.08?， 由von Mises概率分布函数可得到功率水图6 功率水平谱真实值与仿真值比较。当估计参数?平谱仿真估计值。接收端有11个ULA天线阵列。

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图7 功率延迟谱真实值与仿真值比较。当ζd=2.51μs和群延迟为16个抽样时间，由指数衰落函数能得到功率延迟谱仿

真估计值。接收端有11个ULA天线阵列

C．I-METRA MIMO信道 在最后的仿真中，我们采用经实验验证过的I-METRA MIMO信道模型[38]来仿真信道。该信道模型是双向的，且已被微微小区和微小区中的测量数据验证过。该模型是广泛使用的可靠的信道模型，其参数可基于测量结果得出。

码速率是每秒3.84个微码片，载波频率为2.15GHZ，速度是0.01km/h。发射端有一个天线，接收端有4个ULA天线阵列。12条传播路径产生于瞬时到达时间,此时常数k=0，到达角由一个von Mises分布随机产生。每条路径功率可由对应到达角的von Mises概率密度函数得到。本仿真设置值和文献[38]的设置值不完全一样，该设置值用来仿真围绕标称方向。探测序列是长度为1023的M序列。由METRA模型得到的信号经归一化后使每个天线的SNR≥20dB。

图8是本文估计算法得出的角度分布估计值和真实的功率方位谱在一个信道中的性能进行比较。即使仿真中所用的信道模型并不完全和第二节，第三节所提出的信道模型一致，角度分布估计曲线仍然与功率水平谱包络相似。因为在小样本和低SNR的情况下，随机最大似然法应用于确定信号估计，将会有比确定最大似然估计法更好的性能。

图8 功率水平谱真实值与估计值比较。信道模型采用经实验验证的I-METRA MIMO信道模型。由于模型是确定的且

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只有12个镜像路径。角度分布估计曲线与功率水平谱包络很相似。

7.结论

本文采用随机最大似然法来估计MIMO信道信号的角度分布。由于MIMO系统需要丰富的散射环境，模拟和估计漫散射分量非常重要。为了计算参数未知的信道协方差矩阵，我们使用文献[16]的信道模型。该模型的基本分布模式是非常适合于定向数据的角度von Mises分布。该估计算法适用于不同的散射模型，也适用于使用任意混合模型的散射环境[31]。

该随机模型是有更紧凑表示形式的信道传输模型，特别是对有漫散射分量的信道。而且因为只要更少的参数，随机模型和确定性模型相比，其计算复杂度降低且可以使用更简单的优化方法。

我们能得出模型的CRLB并通过与其比较来评价估计值的大样本性能。仿真结果表明所有估计参数在小样本时的估计性能近似于CRLB性能。

为了评估本文算法所得估计值的质量，在提出一些假设的情况下，我们使用两个不同的信道模型。仿真结果表明该算法能得到精确的功率水平谱和功率延迟谱估计值。

附录1

对数似然等式如下：

N?1?} (28) L{?}??Nslog??NslogCy(?)?Nstr{Cy(?)Cy为了计算L(θ)相对于各个参数的偏导数，我们利用如下关系：

C(X)?tr{AX}?dC(X)?tr{AdX} (29) C(X)?logX?dC(X)?tr{X?1dX} (30) C(X)?X?1?dC(X)??X?1(dX)X?1 (31) 由上述表达式，我们算出

N?1?} dL{?}??Nsdlog??NsdlogCy(?)?Nstr{dCy(?)Cy?1rC?)dC()?} ??Nst{y(y??1?(Nt{r?()(dC(?1)y)?CC} y)syCy??1?)C?1(?)(dC(?))} (32) ??Nstr{(I?Cy(?)Cyyy因此利用(23)式，我们得到

?L(?)?1??1??Nstr{IN?CyCy)CyDi} (33) ??i其中，Di=Dθi

然后我们对和式(33)中不同的因变量进行第二次求导，得到

?1??1?(IN?CyCy)?1?(CyDi)?2L{?}?1???Nstr{[]CyDi?(IN?CyCy)[]}

??i??j??j??j?1?(CyDi)?CD?(I?CC?)[ ??Nstr{CDjCCyiNy?1y?1y?1y?1y??j]} (34)

那么我们可以得到

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?2L{?}?1?1 E[]??Nstr{CyDjCyDi} (35)

??i??j其中，Cy?(1/Ns)Ns?1k?0?E[y(k)y(k)H],Fisher信息矩阵第{i,j}项元素为

?1?1 {I}i,j?Nstr{CyDjCyDi} (36)

Di是Cy(θ)相对于θi的求导。

附录2

在公式(18)中接收信号Y(k)的协方差矩阵为Cy Cy?E[vec(Y(k))vec(Y(k))]

H?E[(?vec(H)ej?(l)w(l)u(k?l)?vec(N(k)))l?0L?1?(?vec(H)He?j?(l)w(l')u?(k?l')?vec(N(k)))]l'?0L?1

'?E[vec(H)vecH(H)]

???E[ej(?(l)??(l))]w(l)w(l')u(k?l)u(k?l')?Cnl?0l'?0L?1L?1' (37)

Cn是噪声协方差矩阵，其在假设H矩阵是常量时用到，H，N(k)和θ(k)是相互独立的。 当l?l时，公式(37)简化为

C?CH'y'?w(l)2u(k?l)?Cn (38)

l?0L?12CH=E[vec(H)vecH(H)]。本文假设信道探测技术是基于时分复用的，保护时间被认为长于信道冲击响应。因此，当k≥0时，长卷积收敛到

?w(l)l?0L?12u(k?l)?Pu?w(l) (39)

l?02L?12Pu=|u(k-l)|2。因为路径损耗的影响已通过Ω被考虑进去，由假设i)和假设(9),我们有当k≥0,有

?w(l)l?0L?12?1，因此

Cy?PCuH?Cn (40) 当l≠l，我们得出式（41）

C?CH''y''??L?1L?1E[ej(?(l)??(l))]w(l)w(l')u(k?l)u(k?l')?Cn (41)

'l?0l'?0,l?l'13

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式（41）中ejθ的期望值很容易由下式求得：

j? E[e]??2?01j?ed??0 (42) 2? 因此

''' Cy?Cy?Cy?Cn?PCuH?Cn (43)

参 考 文 献

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Cássio B. Ribeiro1977年生于巴西，并于2000年在里约热内卢联合大学获得电子工程学士学位，在2002年从里约热内卢联合大学(UFRJ)获得硕士学位，现正在UFRJ和芬兰赫尔辛基理工大学攻读博士学位， 他当前研究的方向是统计信号过程及参数估计方法。

Esa Ollila1944年出身于芬兰，并与1994年在芬兰奥卢大学获得数学硕士学位，在2002年从芬兰韦斯屈莱大学获得统计学博士学位，

他在2002年加入赫尔辛基科技大学信号处理实验室。他目前是里面的高等研究员，他目前的研究方向主要集中在随机信号处理和鲁棒性和非参数统计方法。

Visa Koivunen曾从芬兰的奥卢大学电子工程系获得荣誉博士学位。

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1992年到1995，他一直是费城宾夕法尼亚大学的客座研究员，1996年在奥卢大学电子工程系任教。1997年8月至1999年8月，他是芬兰坦佩雷理工大学信号处理实验室副教授。从1999年起，他是芬兰赫尔辛基科技大学电子与通信工程系教授。他是获得芬兰科学院提名的SMARAD 中心无线与通信工程主要研究员之一。从2003年起，他一直宾夕法尼亚大学的兼职教授。他的研究方向主要包括统计学，通信以及传感器阵列信号处理。他已在国际会议和期刊上发表了180篇文章。

Koivunen博士现在是IEEE信号处理期刊的副主编。他是信号处理期刊编委会的成员之一。他也是IEEE的信号处理通信技术委员会委员

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1992年到1995，他一直是费城宾夕法尼亚大学的客座研究员，1996年在奥卢大学电子工程系任教。1997年8月至1999年8月，他是芬兰坦佩雷理工大学信号处理实验室副教授。从1999年起，他是芬兰赫尔辛基科技大学电子与通信工程系教授。他是获得芬兰科学院提名的SMARAD 中心无线与通信工程主要研究员之一。从2003年起，他一直宾夕法尼亚大学的兼职教授。他的研究方向主要包括统计学，通信以及传感器阵列信号处理。他已在国际会议和期刊上发表了180篇文章。

Koivunen博士现在是IEEE信号处理期刊的副主编。他是信号处理期刊编委会的成员之一。他也是IEEE的信号处理通信技术委员会委员

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ft33.html