2012年宜宾拔尖人才测试数学试题

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宜宾市2012年拔尖创新人才培养试点班招生文化测试 数学试卷 (考试时间:90分钟;全卷满分100分) 一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分)在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将正确选项填在括号内) 1. 要使153-+-x x 有意义,则实数x 应满足( ) A .31≤<x B .13≠≤x x 且 C .31<<x D .31≥<x x 或 2. 若实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,则代数式()22c a b a a c b -+--++化简为(

) A .a 2 B .b a 2- C .a 3- D .a 3. 如图是有16个小正方形拼成的方格图,图上有一深色三角形,若深色三角形的面积为421平方厘米,则此方格图中剩余部分的面积为(A .12平方厘米 B .427平方厘米 C .53平方厘米 D .9平方厘米 4. 若012=--x x ,则522234+-+-x x x x =( ) A .0 B .5 C .52+ D .52- 5. 若方程组???+=--=+433235k y x k y x 的解为???==b y a x ,且3<k ,那么b a -的取值范围是( ) A .51<-<-b a B .33<-<-b a C .11<-<-b a D .53<-<-b a 6. 如图,在四边形ABCD 中,∠A =∠C =90°,∠ABC =60°, AD =2,CD =5,则BD 的长等于( ) A .132 B .34 C .8 D .35

7. 设一元二次方程()00232>=-+-m m x x 的两实根分别为1x 、2x 且

0c a 2题图 3题图 6题图 D C B A

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1x <2x

A .1<C .1x 8. A 、

B 过点C

CF 、DE ①△③△A C 在题中横线上。

9. 如图,△ABC 的顶点都在正方形格纸的格点上,

则sinA = ;∠ABC = 。 10. 如图,在平面直角坐标系中,点B 的坐标是

(1,0),若点A 的坐标是()b a ,,将线段BA 绕点B 顺时针旋转90°得到线段A B ',则点A '的 坐标是 。

11. 如图,BC 是半径为1的⊙O 的直径,点P 在BC 的

延长线上,PA 是⊙O 的切线,A 为切点,AD ⊥BC 于 点D ,且点D 是OC 中点,则PB ·PC = 。

12. 方程

()()()()3

2

321211

=--+--x x x x 的解是 。13. 如图,P 是矩形ABCD 内一点,若PA =3,PB =4,PD =23,那么

PC = 。

14. 对实数a 和b ,定义运算“?”: ()

()?

??<≥=?b a a b a b b a ,,,设函数

12题图

P

D

C

B

A

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()()x x x y ?-?=20。有下列结论: ①当2=x 时,2-=y ; ②当22≤≤-x 时,函数y 的最小值为-2; ③当02<<-m 时,关于x 的方程()()020=-?-?m x x x 有两个不相等的实数根;其中正确的是 。(写成正确结论的序号) 三、简答题(本大题共6个小题,共58分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分8分) 某中学在全校1800名学生中开展“每天锻炼一小时”健身活动,之后随机调查了部分学生每天锻炼的时间情况,将所得数据作为样本统计整理,画出如图所示的统计图。 (1)求样本的众数和中位数; (2)经调查发现参加锻炼时间不足一小时的学生较多,因此,学校进一步要求参加锻炼时间不足55分钟的学生必须增加锻炼时间,请你用样本估计全校有多少学生要增加锻炼时间? (3)从样本中随机抽取锻炼时间为55分钟的学生2人作为宣传员,小伟是其中之一,求小伟被选中的概率。 16. (本小题满分10分) 某城市计划修建A 型、B 型停车点30个,可提供不超过9500辆自行车和8100辆电动车车位,设一个A 型停车点可停放自行车400辆,电动车250辆;一个B 型停车点可停放自行车150辆,电动车300辆. (1)请你为这个城市设计几种符合条件的停车点修建方案; (2)若修建一个A 型停车点费用是4300元,修建一个B 型停车点费用是5700元,应怎样安排修建,才能使修建费用最低?最低费用是多少?

(3)在(2)的条件下,若修建一个A 型停车点费用提高a 元,修建一个B 型停车点费用不变,又应该怎样安排修建,才能使修建费用最低?

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17. (本小题满分8分)

如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AE 平分∠BAC 交BC 于E ,CD ⊥AB 于D,交AE 于点P ,在BE 上取点F ,使BF =CE ,连结PF 。 (1)求证:PC =BF ; (2)求证:PF ∥AB 。

18. (本小题满分10分)

我们知道,将一枚硬币沿着直线滚动一圈,那么它滚过的距离正好是它的外沿的圆周长(如图1)。

如果将两枚同样大小的硬币平放在桌上,固定其中一枚,而另一枚则沿它的边缘滚动一周(如图2),这是滚动的硬币滚动了多少圈?

小明同学动手实验,结果是滚动了两圈。小明认真思考,发现一个规

律:原来那个滚动的硬币的圆心移动的路程是r π4,而沿着直线滚动时圆心移动的距离是r π2,

请你探究:

(1)如图3,将一个半径为r 的硬币在一段总长度为r π2,且由两条线段组成,其夹角为120°的轨道上滚动,硬币滚动了几圈?请简要说明理由。

F

E P

D

C

B

A

18题图1

18题图3

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(2)如图4,⊙O 沿着凸多边形n n A A A A A 1-321 的外侧(圆和边相切)作无滑动的滚动一周回到原来位置。 ①当⊙O 和凸n 边形周长相等时,⊙O 自身转动了几圈? ②当⊙O 的周长为a ,凸n 边形周长为b 时,请直接写 出⊙O 自身转动的圈数。 19. (本小题满分10分)

如图,在△ABC 中,AB =AC ,⊙O 为△ABC 的外接圆,BD 为⊙O 的直径,连结AD 交BC 于

E ,若AE =2,ED =4。 (1)求AB 的长; (2)过点A 作⊙O 的切线,交DB 的延长线于点

F ,求证:BD BF 21 .

F A n-1A 3218题图4

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20. (本小题满分12分)

如图所示,过点F(0,1)的直线

kx y =1y )和N (2x ,2y )两点(其中1<x l :1-=y 的垂线,垂足分别为1M 和(1)求OA ·OB 的值;

(2)求证:1FM 、1FN 分别是∠MFO (3)是否存在一定直线m ,使m 与以求出这条直线m

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/ft31.html

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