《走向高考》2013 高三数学（人教A版）总复习同步练习8-5双曲线

8-5双曲线 基础巩固强化

x22

1.(文)(2011·烟台调研)与椭圆4＋y＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )

x22

A.4－y＝1 x2y2

C.3－3＝1 [答案] B

[解析] 椭圆的焦点F1(－3，0)，F2(3，0)， 由双曲线定义知2a＝|PF1|－|PF2| ＝?2＋3?2＋1－?2－3?2＋1 ＝8＋43－8－43＝22， ∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝1， x22

∴双曲线方程为2－y＝1.

x2y2

(理)已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是

1＋k1－k( )

A．－1

[解析] 由题意知(1＋k)(1－k)>0， ∴－1

x2y2

2．(2011·湖南湘西联考)已知双曲线m－7＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，

B．k>0

D．k>1或k<－1 x22

B.2－y＝1

2y

D．x2－2＝1

△ABF2的周长为20，则m的值为( )

A．8 C．16 [答案] B

[解析] 由已知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16.

据双曲线定义，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B.

y2x2

3．(文)(2011·巢湖质检)设双曲线m－2＝1的一个焦点为(0，－2)，则双曲线的离心率为( )

A.2 C.6 [答案] A

[解析] 由条件知m＋2＝4，∴m＝2， ∴离心率e＝

2

＝2. 2

B．2 D．22 B．9 D．20

x2y2

(理)(2011·浙江金华十校模拟)若椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率3x2y2

为2，则双曲线a2－b2＝1的离心率为( )

5A.4 3C.2 [答案] B

5B.2 5D.4

a2－b233c3

[解析] 因为椭圆的离心率e＝2，即a＝2，也即a2＝4，a2＋b25c′b21b25

所以a2＝4，则1＋a2＝4，即a2＝4，则双曲线离心率e′＝a＝5

2，故选B.

x2y2

4．(文)(2011·山东理，8)已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )

x2y2

A.5－4＝1 x2y2

C.3－6＝1 [答案] A

[解析] 依题意：⊙C方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心C(3,0)，半径r＝2，∴双曲线的右焦点F2为(3,0)，即c＝3.又双曲线的渐近线方b

程为y＝±ay＝0， ax，即bx±

|3b|

∴22＝2，即b＝2，∴a2＝9－4＝5，故选A.

a＋b

(理)过双曲线2x2－y2－2＝0的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有( )

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 [答案] B

[解析] 过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若l⊥x轴，则|AB|＝4；若l经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B.

5．(文)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两

x2y2

B.4－5＝1 x2y2

D.6－3＝1

点，则k的取值范围是( )

?1515?A.?－，3? 3???15?

? C.?－

3，0??

?15?

? B.?0，3????15

? D.?－3，－1??

[答案] D

15

[解析] 直线与双曲线右支相切时，k＝－3，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，当k＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y＝－x＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，

15

∴－3

x2y2

(理)(2011·南昌一模)设F为双曲线16－9＝1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴|FN|－|FM|上方的交点分别为M、N，则的值为( ) |FA|

2

A.5 5C.4 [答案] D

[解析] 对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得F(－5,0)，A(5,0)，|FN|－|NA|＝8，|FM|＝|NA|，所以|FN|－|FM|＝8，|FN|－|FM|84

＝10＝5，选D. |FA|

x2y2

6．(2011·新泰一中模拟)设P是双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)左支上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是( )

5

B.2 4D.5

A．内切 C．内切或外切 [答案] A

B．外切 D．不相切

[解析] 取PF2的中点M，则2|OM|＝|F1P|，且O、M为两圆圆心，OM为圆心距．

由双曲线定义可知|PF2|－|PF1|＝2a， 即2|MF2|－2|OM|＝2a，∴|OM|＝|MF2|－a， 即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切．

x2y2

7．(2011·辽宁大连模拟)若双曲线a2－9＝1(a>0)的一条渐近线方程为3x－2y＝0，则a的值为________．

[答案] 2

3[解析] ∵焦点在x轴上，∴渐近线方程为y＝±ax， 3

又一条渐近线方程为y＝2x，∴a＝2.

x2y2

8．(文)(2011·辽宁理，13)已知点(2,3)在双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．

[答案] 2

[解析]

?42－92＝1，

由条件知，?ab

?a2＋b2＝4，

2??a＝1，∴?2 ??b＝3.

c

∴a＝1，c＝2，∴e＝a＝2.

5

(理)(2011·长沙二模)设椭圆C1的离心率为13，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．

x2y2

[答案] 16－9＝1

[解析] 由已知得在椭圆中a＝13，c＝5，曲线C2为双曲线，由x2

此知道在双曲线中a＝4，c＝5，故双曲线中b＝3，双曲线方程为16－y2

9＝1.

x2y2

9．(2011·宁波二模)设双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的b

渐近线y＝ax交于点A(不同于O点)，则△OAF的面积为________．

[答案] ab

b

[解析] 因为右焦点F(c,0)到渐近线y＝ax，即bx－ay＝0的距离为

|bc|1

＝b，所以|OA|＝2a，故△OAF的面积为×2a×b＝ab. 222a＋b

x22

10．(文)设双曲线C：a2－y＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

→5→

(2)设直线l与y轴的交点为P，若PA＝12PB，求a的值． x22

[解析] (1)将y＝－x＋1代入双曲线a2－y＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0①

2

??1－a≠0，

由题设条件知，?4 22

?4a＋8a?1－a?>0，?

解得0

1

a2＋1，

6

∵02且e≠2. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)． →5→∵PA＝12PB，

55

∴(x1，y1－1)＝12(x2，y2－1)．∴x1＝12x2， ∵x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0， 172a2522a2∴12x2＝－，x＝－，

1－a21221－a22a2289

消去x2得，－＝，

1－a26017

∵a>0，∴a＝13. (理)(2012·湖南师大附中第七次月考)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切．过点P(－4,0)7

作斜率为4的直线l，交双曲线左支于A，B两点，交y轴于点C，且满足|PA|·|PB|＝|PC|2.

(1)求双曲线的标准方程；

1

(2)设点M为双曲线上一动点，点N为圆x＋(y－2)＝4上一动点，2

2

求|MN|的取值范围．

[解析] (1)设双曲线的渐近线方程为y＝kx， 因为渐近线与圆(x－5)2＋y2＝5相切， 则

|5k|1

＝5，即k＝±， 22k＋1

1

所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.

7

设双曲线方程为x2－4y2＝m，将y＝4(x＋4)代入双曲线方程中整理得，3x2＋56x＋112＋4m＝0.

112＋4m56

所以xA＋xB＝－3，xAxB＝. 3

因为|PA|·|PB|＝|PC|2，点P、A、B、C共线，且点P在线段AB上，则(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，即(xB＋4)(－4－xA)＝16.

所以4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.

56112＋4m于是4·(－3)＋＋32＝0，解得m＝4. 3

2

x

故双曲线方程是x2－4y2＝4，即4－y2＝1.

1

(2)设点M(x，y)，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为D，则x2－4y2＝4，点D(0,2)．

所以|MD|2＝x2＋(y－2)2＝4y2＋4＋(y－2)2 23636

＝5y2－4y＋8＝5(y－5)2＋5≥5. 65

所以|MD|≥5，

1125－5

从而|MN|≥|MD|－2≥10. 125－5

故|MN|的取值范围是[10，＋∞).

能力拓展提升

11.(文)(2011·皖南八校联考)已知抛物线x2＝43y的准线过双曲x2

线m2－y2＝－1的一个焦点，则双曲线的离心率为( )

32A.4 C.3 [答案] C

[解析] 易知抛物线的焦点坐标为(0，3)，其准线方程为y＝－x2

3，∵双曲线m2－y2＝－1的焦点坐标为(0，±m2＋1)， ∴m2＋1＝3＝c2，∴c＝3， c

∴双曲线的离心率为e＝a＝3.

(理)(2011·山东潍坊一中期末)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线x2y2

a2－b2＝1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )

5＋1A.2 C.2＋1 [答案] C

?p?

[解析] 由AF⊥x轴知点A坐标为?2，p?，代入双曲线方程中得，

??

310B.4 3D.3

B.3＋1 22＋1D.2

p2p2

4a2－b2＝1，∵双曲线与抛物线焦点相同，

p

∴c＝2，即p＝2c，

224c4c

又b2＝c2－a2，∴4a2－2＝1，

c－a2c

由e＝a代入整理得，e4－6e2＋1＝0， ∵e>1，∴e2＝3＋22，∴e＝2＋1.

x2y2

12．(文)(2011·浙江文，9)已知椭圆C1：a2＋b2＝1(a>b>0)与双曲

2

y

线C2：x2－4＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直

径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则( )

13

A．a2＝2 1

C．b2＝2 [答案] C [解析]

B．a2＝13 D．b2＝2

由已知双曲线渐近线为y＝±2x.圆方程为x2＋y2＝a2，则|AB|＝2a.不妨取y＝2x与椭圆交于P、Q两点，且P在x轴上方，则由已知|PQ|

12a＝3|AB|＝3，

a5a25a

∴|OP|＝3.则点P坐标为(15，15)， 5a220a2225225

又∵点P在椭圆上，∴a2＋b2＝1.①

112?a＝2，?

又∵a2－b2＝5，∴b2＝a2－5.②，解①②得?12

??b＝2.故选C.

x2y2

(理)(2011·江西南昌调研)设圆C的圆心在双曲线a2－2＝1(a>0)的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l：x－3y＝0截得的弦长等于2，则a＝( )

A.14 C.2 [答案] C

2[解析] 由条件知，圆心C(a2＋2，0)，C到渐近线y＝ax的2?a2＋2?

距离为d＝＝2为⊙C的半径，又截得弦长为2，∴圆心C

2＋a2a2＋2

到直线l：x－3y＝0的距离2＝1，∴a2＝2，∵a>0，∴a＝2.

13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y＝0，若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．

7

[答案] 9 B.6 D．2

[解析] 由题意知双曲线方程可设为m2x2－y2＝1，从而e＝77

m＋1>3?m>22，故所求概率是9，故填9. 214．(2012·辽宁文，15)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．

[答案] 23

[解析] 本题考查了双曲线的概念．

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据双曲线的定义及已知条件可得|m－n|＝2a＝2，m2＋n2＝4c2＝8，∴2mn＝4，

∴(|PF1|＋|PF2|)2＝(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn＝12， ∴|PF1|＋|PF2|＝23.

[点评] 充分利用PF1⊥PF2, 将||PF1|－|PF2||＝2a，转化到|PF1|＋|PF2|是解决本题的关键，也可以设|PF2|＝x，利用定义及PF1⊥PF2建立x的方程求解．

15．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．

(1)求双曲线方程；

→→(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0； (3)在(2)中求△F1MF2的面积． [解析] (1)因为e＝2，

所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ， 因为双曲线过点(4，－10)， 所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6， 所以c＝23.

所以F1(－23，0)，F2(23，0)． 所以kMF1＝

mm

，kMF2＝，

3＋233－23

m2m2

kMF1·k MF2＝＝－3.

9－12

因为点(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2＝3. 故kMF1·k MF2＝－1，所以MF1⊥MF2. →→所以MF1·MF2＝0.

(3)△F1MF2的底边|F1F2|＝43，

△F1MF2的高h＝|m|＝3，所以S△F1MF2＝6.

x2y2

16．(文)双曲线C与椭圆8＋4＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q→→→8

点(Q点与C的顶点不重合)，当PQ＝λ1QA＝λ2QB，且λ1＋λ2＝－3时，求Q点的坐标．

x2y2

[解析] (1)设双曲线的方程为a2－b2＝1. x2y2

由椭圆8＋4＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)， ∴对于双曲线C：c＝2.

又y＝3x为双曲线C的一条渐近线，

b

∴a＝3，解得a2＝1，b2＝3. y2

∴双曲线C的方程为x－3＝1.

2

(2)如图所示，由题意知，直线l的斜率k存在且不等于零．

设l的方程为y＝kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q(－4

k，0)．

→→∵PQ＝λ44

1QA，∴(－k，－4)＝λ1(x1＋k，y1)． ∴?4?－4k＝λ4?41?x1＋?，即?x1＝－kλ1－k，

k??－4＝λ4

1y1，

?

?y1＝－λ1.

∵A(x1，y1)在双曲线C上， ∴161＋λ1k2(λ1)2－16

3λ21

－1＝0.

∴16＋32λ161＋16λ21

－3k2－k2λ2

1＝0. ∴(16－k

2

)λ2

161＋32λ1＋16－3

k2＝0.

同理有(16－k

2

1622

)λ2＋32λ2＋16－k＝0.

3

若16－k2＝0，则直线l过顶点，不合题意． ∴16－k2≠0.

162

∴λ1、λ2是二次方程(16－k)x＋32x＋16－3k＝0的两根．∴λ1

2

2

328

＋λ2＝2＝－3. k－16

∴k2＝4.此时Δ>0，∴k＝±2. ∴所求点Q的坐标为(±2,0)．

x22(理)(2011·临沂模拟)已知椭圆C1的方程为4＋y＝1，双曲线C2

的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，→→且OA·OB>2(其中O为原点)，求k的取值范围．

x2y2

[解析] (1)设双曲线C2的方程为a2－b2＝1， 则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2， x22

得b＝1，故C2的方程为3－y＝1.

2

x22

(2)将y＝kx＋2代入3－y＝1中得， (1－3k2)x2－62kx－9＝0.

由直线l与双曲线交于不同的两点得

2

??1－3k≠0，? 222

?Δ＝?－62k?＋36?1－3k?＝36?1－k?>0，?

1

∴k≠3且k2<1①

2

设A(xA，yA)，B(xB，yB)， －962k

则xA＋xB＝，xx＝ 1－3k2AB1－3k2→→由OA·OB>2得，xAxB＋yAyB>2， xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋2)(kxB＋2) ＝(k2＋1)xAxB＋2k(xA＋xB)＋2

2

－93k＋762k2

＝(k＋1)·＋2k·＋2＝2 1－3k21－3k23k－1

3k2＋7－3k2＋9

于是2>2，即2>0，

3k－13k－112

解此不等式得3

133

由①②得3

?3??3??故k的取值范围为－1，－?∪?，1?.

3??3??

x2y2

1．(2012·河南郑口中学模拟)已知F为双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，点P为双曲线右支上任意一点，则以线段PF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的位置关系是( )

A．相离 C．相交 [答案] B

[解析] 设双曲线左焦点为F1，PF的中点为C，则由双曲线的

B．相切 D．不确定

定义知，|PF1|－|PF|＝2a，∵C、O分别为PF、F1F的中点，∴|PF1|＝2|CO|，|PF|＝2|PC|，

∴|CO|－|PC|＝a，即|PC|＋a＝|CO|，∴两圆外切．

2．(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)焦点在x轴上，中心在1原点的双曲线的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的离心率为( )

5

A.4 5C.2 [答案] C

c2－a21b1b21

[解析] 由题意得a＝2，∴a2＝4，∴a2＝4， 55∴e＝4，∵e>1，∴e＝2.

2

B．5 D.5

3．(2012·浙江文，8)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

A．3 C.3 [答案] B

[解析] 本题考查了椭圆与双曲线中离心率e的求法．设椭圆长2aa

轴长为2a，则双曲线实半轴长为4＝2，

因为椭圆与双曲线有公共焦点， cae12

所以离心率的比值e＝c＝2.

2

a

x2y2x2y2

4．若椭圆m2＋n2＝1(m>n>0)和双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为( )

A．m－a C．m－a [答案] C

[解析] (|PF1|＋|PF2|)2＝4m2，(|PF1|－|PF2|)2＝4a2， ∴|PF1|·|PF2|＝m2－a2.∴选C.

2

2

B．2 D.2

1

B.2(m－a) 12

D.2(m－a2)

5．(2011·新课标全国理，7)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )

A.2 C．2 [答案] B

2b2[解析] 依题意：|AB|＝a， 2b2b2∴a＝2·2a，即a2＝2，∴e＝

b21＋a2＝3，选B. B.3 D．3

x2y2x2y2

6．已知椭圆3m2＋5n2＝1和双曲线2m2－3n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( )

15

A．x＝±2y 3

C．x＝±4y [答案] D

[解析] 由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2， ∴m2＝8n2，

3|n|3

∴双曲线渐近线的斜率k＝±＝±4. 2|m|3

方程为y＝±4x.

y2

7．(2011·浙江杭州月考)双曲线x－b2＝1的右焦点到双曲线一条

2

15

B．y＝±2x 3

D．y＝±4x

渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．

[答案]

5

y2

[解析] 双曲线x－b2＝1的右焦点F(c,0)到渐近线bx＋y＝0的

2

|bc|

距离：2＝b＝2，又a＝1.

b＋1

c

∴c＝a＋b＝5，c＝5.∴双曲线的离心率e＝a＝5.

2

2

2

10．(2011·北京海淀期末)如图，已知|AB|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3，…，n，….利用这两组同心圆可以画出以A，B为焦点的双曲线，若其中经过点M、N、P的双曲线的离心率分别记为eM、eN、eP，则它们的大小关系是________(用“<”连接)．

[答案] eM

[解析] 由图知|AB|＝10，经过M，N，P的双曲线的半焦距均为75，由|MB|－|MA|＝7知过点M的双曲线实半轴长为2，同理可知过N，P的双曲线的实半轴长分别为1,2，因此可知eN>eP>eM.

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