“南水北调”水的分配

“南水北调”水的分配

摘要

本文主要研究的是“南水北调”水的分配问题。

对生活用水的分配，我们首先考虑保障人民的生活用水，即先按2000年人均用水标准将各城市新增加的人口进行初始分配。结果发现初始分配后有剩余，为了体现公平原则，我们采取公平席位分配中的Q值法进行再分配。值得注意的是，我们将这里的Q值法进行了简化处理。

在工业和综合服务业用水的分配中，我们建立了单目标线性规划的方法。我们将所调的工业用水和综合服务业用水产值总和作为目标函数，使其达到最大即可。约束条件中，除了对工业用水和综合服务业用水的限制，在这里我们还从人均产值的角度出发，将各城市的人均产值限定在一定的范围，即将20个城市中最大的人均产值与最小的人均产值之差限定在一个阈值内，调整不同的阈值我们可以得到不同的调水方案。

在模型的检验部分，我们对各城市最终调水量的合理性进行了综合评价。我们以各城市分配的生活、工业及综合服务用水量为3个指标构建了评价指标体系，并利用极差标准化对各指标进行标准化处理。然后运用偏大型正态分布函数对各指标进行动态加权，从而构造出最终调水量合理性的综合评价指标。结果显示，在20个城市中，1、2、5、7和9号城市调水量合理性最高，其它城市调水量合理性较均衡。

关键字：Q值法；线性规划；阈值；综合评价指标

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一、问题重述

我国南涝北旱，南水北调工程通过跨流域的水资源合理配置，大大缓解我国北方水资源严重短缺问题，促进南北方经济、社会与人口、资源、环境的协调发展。南水北调中线工程建成后，预计2012年的调水量为118亿立方米，主要用来改善经过京、津、冀、豫四省市沿线20个大中城市的用水。用水指标的分配原则是：改善城市环境、促进经济发展、提高用水效益和人民生活水平。生活用水、工业用水和综合服务业用水的分配比例分别为40％、38％和22％。题中给出了2000年各城市基本状况的统计数据（具体见附件），要求我们从保障人民生活用水和经济发展的角度，给出2012年的调水量的分配方案。题中还要求我们考虑每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在12年内无限增长，要适当照顾各城市经济发展的均衡，在此基础上再给出合理的调水方案。

二、问题的分析

此属于分配问题，难点在于要适当照顾各城市经济发展的均衡，在此基础上再对各城市进行工业和综合服务业用水的分配。具体分析如下：

对于生活用水的分配，我们首先要考虑保障人民的生活用水，即先按2000年人均用水量标准进行初始分配。对初始分配有剩余的情况，为了体现公平原则，我们可以采取公平席位分配中的Q值法进行再分配。但这里的Q值法要进行简化处理。

对工业用水和综合服务业用水的分配，要考虑经济利益的最大化，而且又要适当照顾各城市经济发展的均衡，因此我们考虑用单目标线性规划的方法。我们可以将所调的工业用水和综合服务业用水产值总和作为目标函数，使其达到最大即可。约束条件中，工业用水和综合服务业用水均有限制，更重要的是要考虑各城市的均衡发展，在这里我们可以从人均产值的角度出发，即将各城市的人均产值限定在一定的范围。

最后，我们还可以从综合评价的角度，对最终的分配方案合理性进行综合评价。

三、模型假设

1、原有供水量不变

2、各城市经济发展相互独立，互不影响 3、不考虑水的重复循环利用

4、城市人口、工业产值和综合服务业年均产值年增长率均保持不变

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四、符号及变量说明

sixigiGiziyifiFiri 第i个城市2000年人口总数 第i个城市的工业调水量

第i个城市2000年万元工业增加值用水量 第i个城市2012年万元工业增加值用水量

第i个城市2000年工业产值增加值 第i个城市综合服务业调水量

第i个城市2000年万元综合服务业用水量 第i个城市2012年万元综合服务业用水量

第i个城市综合服务业产值人均产值 第i个城市人口年自然增长率 第i个城市工业产值年增长率 第i个城市综合服务业产值年增长率 第i个城市人均产值

aibici?iQ 工业用水和综合服务业用水产值总和

五、模型的建立与求解

5.1模型的建立：

5.1.1生活用水公平分配模型

针对本问题，供水时需考虑保障人民生活用水，所以先以2000年各城市人均生活用水量为标准分别进行分配，初步分配后发现有剩余。我们将剩余的水进行公平分配。因此可以考虑采用席位分配模型，我们使用最常用的Q值公平分配模型。

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Q值法介绍

设A,B两方人数分别为p1,p2；分别占有 n1 和n2个席位,则两方每个席位所代表的人数分别为

p1n1 和

p2n2 .则相对公平的席位分配方案为:

如果A，B两方分别占有n1和n2席,当总席位增加1席时,应该分配给A还是B.不妨设p1n1?p2n2,即对A不公平,当再分配一个席位时,有以下三种情况：

I .当

p1n1?1?p2n2时,这说明即使给A增加1席,仍然对A不公平,所以这一席

显然应给A方.

II.当

p1n1?1?p2n2时,这说明给A增加1席,变为对B不公平,此时对B的相对

不公平值为:

rB(n1?1,n2)?p2(n1?1)p1n2-1 （2）

III.当

p1n1?p2n2?1时,这说明给B增加1席,将对A不公平,此时对A的相对

不公平值为:

rA(n1,n2?1)?p1(n2?1)p2n1-1 （3）

因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小,所以如果

rB(n1?1,n2)?rA(n1,n2?1) （4）

则这1席给A方,反之这1席给B方.

由(2)(3)可知,(4)等价于

p22n2(n2?1)< p21n1(n1?1)p2n2 （5）

不难证明上述的第I种情况

p1n1?1?也与(5)式等价,于是我们的结论是当

(5)式成立时,增加的1席应给A方,反之给B方.

若记:

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Qi?p2ini(ni?1), i=1,2

则增加的1席给Q值大的一方. Q值法简化应用说明：

pi表示第i个城市的2012年总人口数，ni表示第i个城市2000年人均生活用

22水量，所以第i个城市的Q值如下：

Qi

?pini

Qi20剩余水对第i个城市的分配量?剩余水量??Qi?1i

5.1.2工业用水和综合服务业用水的分配模型

对于工业用水和综合服务业用水的分配，我们建立了单目标线性规划模型

（1）目标函数的建立

规定一：万元工业增加值用水量＝工业用水量/工业增加值 所以2012年各城市万元工业增加值用水量如下：

Gi?

gi?zizi(1?bi)12Gi? 也即：

gi(1?bi)12 （i=1，2，?20）

规定二：万元综合服务业用水量=综合服务业用水量/综合服务业产值 所以2012年各城市万元综合服务业用水量如下：

Fi?fi?si?risi(1?ai)?ri(1?ci)1212Fi? 也即：

fi(1?ai)(1?ci)1212 （i=1，2，?20）

为从经济角度考虑工业用水和综合服务业用水的分配，我们用所调的工业用水和综合服务业用水产值总和最大为目标函数：

20max Q?

?i?1(xiGi?yiFi)

（2）约束条件的确立

1、各城市工业及综合服务业调水量总和分别等于总调水量总和的38％和22％，即

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