概率论与数理统计 习题三 参考答案及过程 许承德 哈尔滨工业大学

习题三

1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (0 p 1) ，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。解(X k) 表示事件：前k 1次出现正面，第k 次出现反面，或前k 1次出现反面，第k 次出现正面，所以

P X ( k ) p k1(1p ) (1p)k 1 p,k 2,3,

2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。

解从a b个球中任取r 个球共有C a b r种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有C C b k a r k，所以X 的分布列为

P X (k

) C C

C bk a b r ar k，k max(0, r a), max(0, r a )

1, ,min( , )b r ，

此乃因为，如果r a，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即

k 0 ；

如果r a 则r 个球中至少有r a个黑球，此时k 应从r a开始。

3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品1

的概率p

i

(i 1,2,3) ，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布

i 1

列。

.

·19·

·20 ·

解 设 A i

‘第i 个零件是合格品’i

1,2,3。则

1 1 1

1 P X (

0) P A A A ( 1 2 3

)

，

2 3 4

24

P X ( 1)

P A A A ( 1

23

A A A 1

23

A A A 1

2 3

)

P A A A ( 1 2 3

) P A A A ( 1 23

) P A A A ( 1 2

3

)

1 1 1 1

2 1 1 1 3

6

，

2 3 4 2 3

4

2 3 4

24

P X ( 2)

P A A A ( 1

23

A A A 1 23

A A A 1

2

3

)

P A A A ( 1 2 3

) P A A A ( 1

23

) P A A A ( 1 2

3

)

1 2 1 1 1 3

1 2 3

11

，

2 3

4 2 3 4 2

3 4

24

1 2 3 6

P X (

3) P A A A ( 12 3

)

.

2 3 4 24

即 X 的分

布列为

.

4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率

·21· 分布。

解 P X ( 0)

P (第一个路口即为红灯), 1 1 1 P X ( 1) P (第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)

， 2 2 4

依此

类推，得 X 的分布列为

. 5．将一枚硬币连掷n 次，以 X 表示这n 次中出现正面的次数，求 X 的分布列。 解 X 为n 重贝努里试验中成功出现的次数，故 X ~ B n ( ,) ，X 的分布

列为

n

P X (k ) C n k

12 k 0, 1,

6．一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为 4 的泊松分布，求（1）每分钟恰有 8 次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于 10 的概率。 解 设 X 为每分钟接到的呼叫次数，则 X ~ P (4)

（1）P X (8) 8!8 e 4 k 8 4k

e 4 4k k !e 4 0.2977

k ! k q （2）P X (10)

4k k ! e 4 0.00284.

k 11 P

, n

·22 · 7．某商店每月销售某种商品的数量服从参数为 5 的泊松分布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为 0.99977 以上。 解 设 X 为该商品的销售量， N 为库存量，由题意

0.99977 P X N ( )1 P X N ( ) 1

K N 1P X K (

) 1

K N 15k k !e 5

即

K N 1 k K ! e 5 0.00023

查泊松分布表知 N 1 15 ，故月初要库存 14 件以上，才能保证当月不脱销的概率在 0.99977 以上。

8．已知离散型随机变量 X 的分布列为：P X ( 1) 0.2, P X (

2) 0.3， P X ( 3) 0.5，试写出 X 的分布函数。

解 X 的分布列为

所以 X

0 , x 1,

0.2,1x 2, F x ( )

0.5, 2

x

3, 1 ,

x

3.

9．设随机变量X 的概率密度为

c sin x, 0

x , f x

( )

0 , 其他.

求：（1）常数C ；（2）使P X ( a ) P X (a) 成立的a .

解（1）

1 f x dx ( )

c

0sin xdx c cos x 0 2c，

c ；

1 1

1 1

（2）P X( a) a sin xdx 2 cos x a 2 2

cos a，P X( a) 0a xdx 12 cos x 0a

12

1

2 cos a,

可见cos a 0， a 。

2

10．设随机变量X 的分布函数为

F x( ) A B arctan x，x，

求：（1）系数A与B ；（2）P( 1X 1) ；（3）X 的概率密度。

解（1）由分布函数的性质

·23·

·24 ·

0 F () A

B 1F ()A

B

2

1 1

于是

A

B ，所以 X 的分布函数为

2

1 1

F x

( ) arctan x x ， 2

（2）P ( 1X 1) F (1) F ( 1) 1 1 ( 1

1 ) 1 ；

2 4 2 4 2

（3） X 的概率密度为

1 f x ( ) F x (

)

2 ) ， x . (1x

11．已知随机变量 X 的概率密度为

1 | |x x .

f x ( ) e

，

2

求 X 的分布函数.

解

·25·

x 1 x e du u , x 0, F x

( ) f u du ( ) 2 0 12 e dx

x 0x 12 e du u ,

e x , x 0,

2

1 1x , x 0. 2

12．设随机变量 X 的概率密度为 x , 0 x 1, f x

( ) 2 x , 1x 2,

0 , 其他. 求 X 的分布函数.

解 f x ( ) 的图形为 X 的分布函数为 x F x

( ) f u du ( )

0 , x 0,

x

x 2.

2x 1, 2

1 ,

x 0,

0 x 1,

1x 2, x 2.

13．设电子管寿命X 的概率密度为

100x2 , x

100, f x(

)

0 , x 100.

1

01

0,1

,

,2

1

,

)

(2

1,

x

udu x

x

udu

xdx

2

2

0,

,

2

x

x

·26·

若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150 小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初150 小时内烧坏的电子管数Y的分布列；（3）Y的分布函数。

解Y 为在使用的最初150 小时内烧坏的电子管数，Y ~ B(3, p) ，其中

150 100 1

p P X ( 150) 100 x2 dx 3 ，

2 3

（1）所求概率为P Y (

2) P Y ( 2) P Y ( 3) C3

2 1

3

2

3

1

3

；

k 3k

（2）Y的分布列为P Y ( k ) C3k 1323 ，k 0,1,2,3,

即

·27·

·28 · （3） Y 的分布函数为

14．设随机变量 X 的概率密度为

2x , 0

x

1, f x ( ) 0 , 其他.

现对 X 进行n 次独立重复观测，以V n 表示观测值不大于 0.1 的观测次数，试求随机变量V n 的概率分布。

解 V n ~ B n p ( , ，其中

0.1 p P

X ( 0.1) 0 2xdx 0.01，

所以V n 的概率分布列为

P V ( n k ) C n k (0.01) (0.99)k n k , k

0,1, 15．设随机变量 X ~U [1, 6]，求方程 x 2 Xx 1 0 有实根的概率.

0 ,

8 ,

27

20 F x ( ) , 27 26 27 , 1 , x 0, 0 x 1 1x

2, 2 x 3, x 3. , n .

·29· 解 设A

‘方程有实根’，则 A 发生X 2

4 0 即 | X | 2，因 X ~U [1,6]，所以 A 发生X 2, 所以 P A ( ) P X (

2) 0.8 .

16．设随机变量 X ~U [2,5]，现对 X 进行 3 次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率. 解 设Y 为三次观测中，观测值大于 3 的观测次数，则Y ~ B (3, p )，其中 p

P X (

3) ，所求概率为

2 3 P Y (2) P Y (2) P Y (3) C 32 23 1332 2720 .

17．设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X （单位：分），服从参数为的

指数分布。若等待时间超过 10 分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行 5 次，以Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求 Y 的分布列及 P Y ( 1)。 解 由题意Y ~ B (5,

p ) ，其中 1

5x

e e 2 ， p P X ( 10) 10 5

e dx 10 于是Y 的分布为

P Y ( k ) C e 5k ( 2 ) (1k e 2 )5k k 0,1,2,3,4,5,

P Y ( 1) 1 P Y ( 0) 1 (1e 2) 5

0.5167 . 5 x

18．一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N t( ) 服从参数为t

的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；（2）求在设备

已经无故障工作了8 小时的情况下，再无故障运行8 小时的概率。解（1）

设T 的分布函数为F t T ( ) ，则

F t T ( ) P T ( t ) 1 P T (t)

事件(T t)表示两次故障的间隔时间超过t ，也就是说在时间t 内没有发生

故障，故N t ( ) 0 ，于是

F t T ( ) 1 P T (t ) 1 P N t( ( ) 0) 1 (t)

0 t 1 e t , t 0 ，

e

0!

可见，T 的分布函数为

1e t ,t 0,

F t T

( )

0 , t

0.

即T 服从参数为的指数分布。

（2）所求概率为

P T (16|T 8) P T{ P T (16,T 8)8} P T 16)

ee 168e 8.

P (8)

19．设随机变量X ~ N(108, 3 )2 。求

（1）P (101.1X 117.6) ；（2）常数a，使P X ( a ) 0.90 ；（3）常数a，使P X (| a |a ) 0.01。

·30·

·31·

解 （1）P (101.1X 117.6) (117.6

108

)

(

101.1108

)

3

3

(3 2)

( 2 3)

(3 2)

(2

3)

1

0.99930.9893 1 0.9886；

（2）0.90

P X (

a

)

(

a

108

) ，查表

知 3

a

108

1.28，所以 a

111.84 ； 3

（3）0.01P X (| a |

a )

1 P X (|

a |

a )

1 P (0

X

2 )a

1 (

), 所以

(

)

0.99 ，查

正态分布表知

2.33，

故 a

57.495 。

20．设随机变量 X ~ N (2, 2

)，且P (2 X 4) 0.3，求P X ( 0)。

解 0.3 P (2 X 4) (

2

) (0) ，

2

·32 · 所以 ( 0 .，

P X (0) (2) ( 2 ) 1 ( 2 ) 0.2 。

21．某地抽样结果表明，考生的外语成绩 X （百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率。

解 0 . 0 2 3P X (9 6 )19 6(

所求概率为

P (60 X 84) (8472) (60 72) (12) ( 12

12 2 () 120.8413 1 0.6826.

22．假设测量的随机误差 X ~ N (0,10 )2 ，试求在 100 次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率，并利用泊松分布求出的近似值。 解 设Y 为误差的绝对值大于 19.6 的测量次数，则Y ~ B (100, p )，其中 p P X (| |19.6) 1 P

( 19.6X 19.6) 1(1.96) ( 1.96)

24 ( ) 0.977, 24 2, 12 1.

2 2 (1.96) 2 2 0.975 0.05，所求概率为

100

P Y (

3) C100k (0.05) (0.95)k 100k ,

k3

利用泊松定理

100k k!e 5

0.875 . k 3

23．在电源电压不超过200V ，在200240V 和超过240V 三种情况下，某种电子元件，损坏的概率分别为0.1，0.001 和0.2，假设电源电压X 服从正态分布N(220, 25 )2 ，试求：（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200240V 的概率。

解设A ‘电子元件损坏’，B i ‘电源电压在第i 档’，i 1,2,3，则

（1）

P A( ) P B P A B( 1 ) ( | 1 ) P B P A B( 2 ) ( | 2

) P B P A B( 3 ) ( | 3 )

PX ( 200) 0.1P (200X 240) 0.001PX (

240) 0.2

·33·

(220)0.1[(240 220)

(200

220)]0.001

25 25 25

[1()]0.2

20 20 20 20

( )0.1[ ( (

)]0.001[(1()]0.2

25 25 25 25

(10.7881)0.1(20.78811)0.001(10.7881)0.2

0 . 0 6 4

P B P A B( 2 ) ( | 2 ) 0.005756

0.0898.

（2）

P B( 2 | A

)

0.0641 0.0641

1 1

24．假设随机变量X 的绝对值不大于1；P X ( 1) , P X (

1) ，

8 4

在事件{ 1X 1}出现的条件下，X 在( 1, 1)内任意子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。试求：（1）X 的分布函数；（2）X 取负值的概率P . 解1设X 的分布函数为F x( )，则当x 1时，F x ( ) 0，

且F ( 1)，

当x 1时，F x ( ) 1，

1 1 5

P ( 1X 1)

1 ，8 4 8

当 1 x 1时，由题意

·34·

·35· P { 1X x | 1 X 1}k x ( 1) ，而

1P { 1X 1| 1X 1}2k ， 所以 k 。于是

P { 1X x | 1 X

1} x 1,

2

此时

F x ( ) P { 1X x }F ( 1) P { 1X x , 1 X

1} P { 1X 1}P ( 1X x | 1 X

1} 5 x 1 1 5x 7

， 8 2 8 16

故 X 的分布函数为

0 , x 1,

5x 7

F x

( ) , 1x 1,

16

1 , x 1.

·36 · （2）P X ( 0) F (0) P X (

0) . 解 2 设 X 的分布函数为F x ( )，则 当 x 1时，F x

( )

0 且 F ( 1)

当 x 1时，F x ( ) 1， 当 1 x 1时，设 x x ,

x ( 1, 1) ，且x 0，由题意 P x ( X x x | 1 X 1) k x ，即

P x ( X x x , 1X 1) k x ,

P ( 1X 1)

由此得 P x ( X x x ) k x ，两边同除以x 得 F x ( x ) F x ( ) 5 k , x

8 令x 0取极限得

F x ( ) k , 两边积分得

F x ( ) kx C ，

1

由F ( 1)

及 lim F x ( ) 得 8 x 1 0 18 85 k C

·37·

3

k

C 4 8

7 1

解之得 C ,

k 故

16 2

F x ( ) 5x 7 5x 7 ，1x 1

16 16 16 综上所述，

X 的分布函数为

0 , x 1,

5x 7

F x

( ) 1x 1,

16

1 , x 1.

（2）P X ( 0) F (0) P X (

0) .

25．已知离散型随机变量 X 的分布列为 2 1

·38 ·

求Y X 2 的分布列.

解 Y 的

.

26．设随机变量 X 的概率密度为

e x , x 0,

f X ( )x

0 , x

0.

求Y

e X 的概率密度

f Y ( )y

解 1

当x

0 时函

数 y

e x 单调

增，反

函数为 x h y ( )

ln y ，于是Y e X

解 2 设Y 的分布函数为F Y ( )y ，则

X

y )

, y 1,

F Y ( )y

P Y ( y ) P e (

P

1130的概率密度为

e

ln y

1

,

f Y ( )y

f X ( ( ))h y | h y

( ) | y

,

y 1, y 12 ,

y 1.

0 ,

y

1, y 1.

·39· P X (

ln y ), y 1

, y

1, 0 , y 1,

ln y e dx x , y 1

, e x 0ln y , y 1.

0 , y

1, 0 , y 1,

e ln y , y

1. 11y , y 1.

1

1 ,y 1,

2

f Y ( )y F Y ( )

y

0 , y 1.

27．设随机变量 X 的概率密度为

1

f X ( )x 2 ),

x (1x

求随机变量Y 1 3 f Y ( )y 解 1 函数 y 1 3 x 严格单调，反函数为 x h y ( ) (1y )3 ，则 3(1y )2

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