高斯投影正反算公式83

§8.3高斯投影坐标正反算公式

任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l x,y

高斯投影必须满足以下三个条件：

①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x为l的偶函数，y为l的奇函数；l 3030 ，即l / 1/20，如展开为l的级数，收敛。

x m0 m2l2 m4l4 m6l6 y m1l m3l3 m5l5

（8-33）

式中m0,m1, 是待定系数，它们都是纬度B的函数。 由第三个条件知：

x y x y

, q l l q

(8-33)式分别对l和q求偏导数并代入上式

dm0dm22dm44

m1 3m3l 5m5l l l

dqdqdq

(8-34) dm33dm55dm135

2m2l 4m4l 6m6l l l l

dqdqdq

2

4

上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l前的系数应相等，即

61

dm0

m1

dq

1dm1

m2

2dq

1dm2 (8-35)

m3

3dq

(8-35)是一种递推公式，只要确定了

m0就可依次确定其余各系数。

由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X，即(8-33)式第一式中，当l

0时有：

x X m0 (8-36) 顾及(对于中央子午线)

dX

MdB

dBNcosBr2

VcosBdqMM

得：

dm0dXdXdBc

r NcosB cosB(8-37,38) m1 dqdqdBdqV

1dm11dm1dBN

m2 sinBcosB (8-39)

2dq2dBdq2

依次求得m3,m4,m5,m6并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式

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NN232244

x X sinBcosB l simBcosB(5 t 9 4 )l

2 224 4

N5246

sinBcosB(61 58t t)l 6720

NN3223

y cosB l cosB(1 t )l

6 3

(8-42) N5242225

cosB(5 18t t 14 58 t)l 5120

8.3.2高斯投影坐标反算公式

x,y B,l

投影方程：

B 1(x,y)

l 2(x,y) (8-43)

满足以下三个条件：

①x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。 高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。

①由x求底点纬度(垂足纬度)Bf,对应的有底点处的等量纬度qf，求x,y与q qf

,l的关系式，仿照(8-10)式有，

l(x,y)

q q(x,y)

l

由于y和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将q,l展开为y的幂级数；又由于是对称投影，q必是y的偶函数，l必是y的奇函数。

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q n0 n2y2 n4y4 l n1y n3y3

(8-45)

n0,n1,n2, 是待定系数，它们都是x的函数.

由第三条件知：

q l

x y，

l q

， (8-21) x y

(8-45)式分别对x和y求偏导数并代入上式

dn0dn22dn44

y y n1 3n3y2 5n5y4 dxdxdx

dn33dn55 dn1 35

2n2y 4n4y 6n6y y y y

dxdx dx

上式相等必要充分条件，是同次幂y前的系数相等，

dn01dn11dn21dn3

n1 ,n2 ,n3 ,n4 ,

dx2dx3dx4dx

第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度Bf，也就是x=X时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为qf。也就是在底点展开为y的幂级数。 由(8-45)1式

n0 qf

依次求得其它各系数

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dn0dqf dq dqdB M1 11n1

dXdX dX f dBdX f NcosBM fNfcosBfrf

(8-51)

tf1 dn1 1 dn1dB

n 2

2 dX f2 dBdX f2N2fcosBf

(8-51)1

………… 将n0,n2,n4,n6代入(8-45)1式得

q qf

tf2NcosBf

tf

6

f2f

y

2

tf

24NcosBf

2f4f

5 6t

4f

2f44

2 4 yff

720NcosBf

61 180t

120t 46 48 ty

2f22ff

6

(8-55)1

q q

f

2

4t2yf

4NcosBf

4f

2

63

2246

t2(5 6t 4 )yffff

2

24N6cosBff

q q

f

3

ty

6

f

3f

8NcosBf

(8-55)

将n1,n3,n5代入(8-45)2式得(8-56)2式。(最后表达式) ②求B Bf与x,y的关系。

M

dB知： 由(8-7)式dq NcosB

B f(q),Bf f(qf) (8-47)

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B f(qf q qf) f(qf dq) (8-48)

按台劳级数在qf展开

3 dB 1 d2B 1dB 23

B f(qf) dq dq dq (8-49) 2 3 dq 2 dq f6 dq f f

dB 1 d2B 1 d3B 23 B Bf q qf 2 q qf 3 q qf 2 dq f6 dq f dq f

(8-50)

由(8-7)式可求出各阶导数：

dB 2

VfcosBf (8-53) dq f

d2B 24 sinBcosB(1 4 3 ffff) (8-54)1 dq2 f d3B 32222442 cosB(1 t 5 13 t 7 27 ffffffftf)(8-54)2 dq3 f

…………………

将式(8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54)代入(8-50)式并按y幂集合得高斯投影坐标反算公式(8-56)1,

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B Bf

tf

tf2MfNf

5f

y

2

tf24MfN

3f

5 3t

2f224

2 9 tyfff

720MfN

46

y61 90t2 45tyff

yy322

l 1 2t ff

NfcosBf6N3fcosBf

(8-56)

y524222 5 28t 24t 6 8 fffftf5

120NfcosBf

归纳由p(x,y)求P(B,l)的基本思想：由点p(x,y)得到底点

f(x,0)，将底点f作为过渡，也就是说将坐标原点o移到f点，先求

q qf Q1(x,y)l Q2(x,y)

关系式，再将q qf Q1(x,y)关系式代入

B Bf Q3(q qf)关系式得B Bf Q4(x,y)关系式，最后将坐标原

点移回到o点,从而求得P(B,l)点。

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8.3.3高斯投影坐标正反算公式的几何解释

①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。②当l=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因cos( B) cosB，即当用-B代替B时，y值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。③当B=常数时(纬线)，随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。④距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。

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