二元一次不定方程的解法总结与例题 - 图文

探究二元一次不定方程

（Inquires into the dual indefinite equation）

冯晓梁（XiaoLiang Feng） （江西科技师范学院 数计学院 数一班 330031）

【摘 要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次

不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。

The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.

【关键字】：二元一次不定方程 初等数论 整数解

（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）

二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。

如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。

定理1.形如[1]

二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。

通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。

定理2.方程若

，且

有解的充要是为

；[2]

(

不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

的一个解，则方程的一切解都可以表示成：

（t为任意整数）

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定理2的扩展.元一次不定方程的充要条件是

方法与技巧：

1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求

一个特

.

，(

)有解

解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；

2．解元一次不定方程??，

.若

时，可先顺次求出

，则方程无解；若

|，则方程有解，作方程组：

，

求出最后一个方程的一切解，然后把

数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。

的每一个值代入倒

对于解不定方程（组），二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常化为二元一次不定方程问题加以解决，设a，b，c，d为整数，则不定方程ax+by=c有如下两个重要命题：

（1）若（a，b）=d，且d不等于c，则不定方程ax+by=c没有整数解。

（2）若Xo，Yo是方程ax+by=c且（a，b）=1的一组整数解（称特解），则 x=Xo+bt，（t为整数）

y=Yo-at 是方程的全部整数解（称通解）。 求：

方程5x-3y=-7的正整数解. 解:原方程X=(3y-7)/5 即X=-2+[3(y+1)]/5 (1) Y=4时,x=1

即 X=1 Y=4 为原方程的一组整数解,因此,原方程的所有整数解为 X=1-3k (k为任意整数) Y=4-5k

再令X大于0,y大于0,即有不等式组

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1-3k大于0 4-5k大于0

解得K小于1/3,所以当k取0,-1,-2,?时原方程可得到无穷多组正整数 X=1-3k (k=0,-1,-2,?) Y=4-5k

题：某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数和后四位组成的数相加得14405，将前三位组成的数雨后五位相加得16970，求这个人家中的电话号码。

解：可将两个已知条件变为两个方程，用方程只是去解决。关键是怎么样设未知数，不妨将a b c d e f g h的a b c 设为x；d设为y，e f g h 设为z可以很快构造出方程组。

设电话号码是10000x+10000y+z，其中x，y，z均为自然数，且100≤x≤999，0≤y≤9，

10x+y+z=14405. 1000≤z≤9999，则 x=10000y+z=16970。 ②-①化简得1111y-x=285，即1111y=x+285. ∵100≤x≤999， ∴ 385≤x+285≤1284。 ∴385/1111≤y≤1284/1111

又∵y为整数 ∴y=1，x=826，z=6144 即 此电话号码为82616144. 例：

（1）求方程15x+52y=6的所有整数解。

（2）求不定方程5x+7y=978的正整数解的组数。

解：对于（1），通过观察或辗转相除法，先求出特解；对于(2)，先表示出方程的全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解的组数；

【解法一】·（1）观察易得一个特解x=42，y=-12 ，原方程所有整数解为 x=42-52t，（t为整数） y=-12+15t 【解法二】·（1）x=-4y+ 6+8y/15 , 令6+8y/15= t1 ,得y=2 t1- t1+6 / 8,令t1+6 / 8=t,得t1=8t-6，化简得：

x=42-52t，（t为整数） y=-12+15t

（2）可得原不定方程的通解为 x=197-7t （t为整数） y=-1+5t

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由x＞0，y＞0得 1≦t≦28即原不定方程有28个正整数解。 利用辗转相除法求整数解：

例 求方程407x-2816y=33的一个整数解，并写出它的通解 解：将方程化简为 37x-256y=3

即37x+256（-y）=3 ∵256=6×37+34 37=1×34+3 34=11×3+1 ∴1=34-11×3

=（256-6×37）-11×[37-（256-6×37）] =256-6×37-11×37+11×256-66×37 =37×（-6-11-66）+256×（1+11） 即37×（-83）+256×12=1

上式各项乘以3得37×（-249）+256×36=3 ∴原方程的一个整数解是

Xo =-249 Yo =-36

通解为 （t为任意整数）

x=-249+256t y=-36-37t

这就是用辗转相除法解的，这种方适用于所有的有整数解的方程。因为1是所有整数的约数。辗转相除总能除到余数为1，再逆推，化为原不定方程的形式。但用辗转相除除到余数为1，再逆推，这一过程较繁，若除到余数是常数项的约数，也可逆推，化为原不定方程的形式，这样就简便些。

又如解不定方程13x+15y=8 解：∵15=13+2（2是常数8的约数） ∴2=15-13

即8=13×（-4）+15×4 ∴方程一特解

Xo =-4 Yo =4

所以原方程的通解为

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x=-4+15t

y=4-13t 求不定方程47x-97y=501的整数解 解：∵97=47×2+3 (3是501的约数) ∴3=97-47×2 (左右同乘167) 即501=97×167-47×334 47×(-334)-97×(-167)=501 Xo =-334

∴方程的一个特解为 Yo =-167 x=-334+97t

不定方程的通解 (t为整数) y=-167+47t

上述用辗转相除,除到余数是常数的约数就逆推化为原不定方程的形式,从而求出它的一个特解的方法,得出通解。

参考文献：

[1]闵嗣鹤 严士健，初等数论【M】，高等教育出版社，2003年7月第3版，P25 [2]闵嗣鹤 严士健，初等数论【M】，高等教育出版社，2003年7月第3版,P25

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二元一次不定方程的解法

我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程

x-2y=3，

方程组

等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．

不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能． 我们先看一个例子．

例 小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？

解 设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程

3x+11y=50．

这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．

但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．

因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．

若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意； 若y=4，则x=2，符合题意．

所以，这个方程有两组正整数解，即

也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔． 像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．

例 求不定方程x-y=2的正整数解．

解 我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，?，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是

其中n可以取一切自然数．

因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．

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上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理． 定理 如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程

ax+by=c ①

有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为

其中t=0，±1，±2，±3，?．

证 因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足

ax0+by0=c， ②

因此

a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．

这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解． 设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有

ax＇+bx＇=c. ③

③-②得

a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)． ④

由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．

有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解． 例1 求11x+15y=7的整数解． 解法1 将方程变形得

因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为

解法2 先考察11x+15y=1，通过观察易得

11×(-4)+15×(3)=1，

所以

11×(-4×7)+15×(3×7)=7，

可取x0=-28，y0=21．从而

可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式． 例2 求方程6x+22y=90的非负整数解．

解 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得

3x+11y=45． ①

由观察知，x1=4，y1=-1是方程

3x+11y=1 ②

的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

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由定理，可得方程①的一切整数解为

因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有

由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能． 当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是

例3 求方程7x+19y=213的所有正整数解．

分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解． 解 用方程

7x+19y=213 ①

的最小系数7除方程①的各项，并移项得

因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得

2u+5v=3． ④

由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为

由于要求方程的正整数解，所以

解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为

当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明． 例4 求方程37x+107y=25的整数解． 解 107=2×37+33，

37=1×33+4， 33=8×4+1．

为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得

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1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4

=37-9×(37-33)=9×33-8×37

＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37 =37×(-26)+107×9．

由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是

x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225

是方程37x+107y=25的一组整数解． 所以原方程的一切整数解为

例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？

解 设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是

7x+5y=142. ① 所以

由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为

所以，共有4种不同的支付方式．

说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程． 多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程． 例6 求方程9x+24y-5z=1000的整数解．

解 设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为

用前面的方法可以求得①的解为

②的解为

消去t，得

大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例． 例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？

解 设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组

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①化简得 15x+9y+z=300． ③ ③-②得 14x+8y=200， 即 7x+4y=100． 解7x+4y=1得

于是7x+4y=100的一个特解为

由定理知7x+4y=100的所有整数解为

由题意知，0＜x，y，z＜100，所以

由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足

x+y+z=100． t x y z 26 4 18 78 27 8 11 81 28 12 4 84

即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．

练习

1．求下列不定方程的整数解：

(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144； (3)103x-91y＝5．

2．求下列不定方程的正整数解： (1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125． 3．求下列不定方程的整数解：

(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78． 4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解． 5．求不定方程组

的正整数解.

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大质数不超过50—2×9=32，而不超过32的最大质数为31．

又有50?2?2???2???2?3?31，所以满足条件的最大质数为31． ?????8个2 (2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50． 所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7．

60÷7=8??4，60=7+7+7+??+7??+7??????+4，而4=2+2，恰好有60=7+7+7+??????+2+2．即8个7与2个2

8个78个7的和为60，显然其中最大的质数最小为7．

14．有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?

【分析与解】 注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和100分外，其他98种币值就可以两两配对了，即

(1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；?；(49，51)；

每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50分和100分的币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，?，48分和49分这49种情况． 1分和3分的币值显然不能构成．

2分，4分，6分，?，46分，48分等2；4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成．

5分，7分，9分，?，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分，6分,8分，?46分、48分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37分币值的，由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37分．

综合以上分析，不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分，3分，97分，99分．

15．小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?

【分析与解】如下表

先枚举出所有可能的单价如表1．

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再依次考虑：

首先，不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7，5，1的组合不可能． 然后，也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18元，一共花35元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．

所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13元．

1．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个小和尚每天共吃11个馒头.平均每个和尚每天恰好吃1个馒头，问：庙里至少有多少个和尚．

2．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们叫声统计了15天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声．问：波斯猫至少叫了多少声?

3．《张邱建算经》百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一,百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何?

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