复变函数与积分变换模拟试题_计东海

模拟试卷一

一.填空题

1 i 1. 1 i

2. I=

7

z e

c

z

sinz dz,其中c为z a 0的正向,则

3. tan

1

能否在0 z R内展成Lraurent级数？ z

4．其中c为z 2的正向：zsin

c

2

1

dz z

5. 已知F 二.选择题

sin

，则f t

1.f z zRe z 在何处解析(A) 0 (B)1 (C)2 (D)无 2.沿正向圆周的积分.

sinz

2

z 1z 2

(A)2 isin1. (B) 0. (C) isin1. (D)以上都不对. 3．

n

4 z 1

n

n

的收敛域为(A) .

1

z 1 4. (B)1 z 2 e (C) 1 z 2. (D)无法确定 4

4. 设z=a是f z 的m级极点,则

f z 在点z=a的留数是 . fz

(A) m. (B) -2m. (C) -m. (D) 以上都不对.

三.计算题

1.f z u iv为解析函数，u v x 3xy 3xy y，求u

3

2

2

3

2．设函数f z 与分别以z=a为m级与n级极点，那么函数f z g z .在z=a处极点如何？ 3．求下列函数在指定点z0处的Taylor级数及其收敛半径。 f z

1

,z0 1 z2

4．求拉氏变换f t sin6t（k为实数）

5. 求方程y 4y 3y e满足条件y 0 y 0 1的解.

t

四.证明题

1.利用ez的Taylor展式，证明不等式ez e

z

1 zez

2.若F f t (a为非零常数) 证明： f at 1 aF a

模拟试卷一答案

一.填空题

0.5,t 11. i 2. 0 3.否 4． 1/6 5. f t

0,t 1

0.25,t 1

二.选择题

1. (D) 2. (A) 3．(A) 4. (C) 三.计算题

1. u 3x2y y3 c

2．函数f z g z 在z=a处极点为m+n级

3．f z 1

n 1

z2 n z 1

R 1

n 1

4． 6

s2

36

5. y t 3 3t7 t1 t

4e 4e 2

te.

四.证明题

1 .略2. 略

模拟试卷二

一.填空题

1. C为z 1正向，则

c

zdz2. f z my3 nx2y ix3 lxy2为解析函数，则l, m, n分别为

3.Res

shz z2

,0

4. 级数

z 2 nn2

.收敛半径为n 1

5. -函数的筛选性质是二.选择题

1． f t e t

u t 1 ，则 f t

e s 1 e s 1 e s 1 (A) .s 1 (B) s 1 (C)2 s 1

(D) 以上都不对

2． f t F ，则 t 2 f t (A)F 2F . (B) F 2F . (C) iF 2F . (D) 以上都不对 3．C为z 3的正向，

dz

z3z

10. c 2(A) .1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不对 4. 沿正向圆周的积分

sinz

z 2

2

z 2

(A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对.

三.计算题

1. 求sin(3+4i). 2．计算

dz

c

z az b,其中a、b为不在简单闭曲线c上的复常数，a b. 3．求函数f z

z 1

z 1

,z0 1在指定点z0处的Taylor级数及其收敛半径。 4．求拉氏变换f t ekt

（k为实数） 四.证明题

1.

C

n

n

收敛，而

C

n

发散，证明

收敛半径为1

n 0

n 0

Cn

z

n 0

2.若 f t F s ，(a为正常数)证明： f at 1aF s a

模拟试卷二答案

一.填空题

1.2 i 2. l n 3,m 1 3.1 4. 1 5.

t f t dt f 0

二.选择题

1． (B) 2．(C) 3． (C) 4. (A) 三.计算题

e 4 3i e4 3i1. 2i

2．当a、b均在简单闭曲线c之内或之外时

dz

cz az b 0,当a在c之内, b在c之外时

dz 2 i

,cz az ba b 当b在c之内, a在c之外时

dz 2 icz az b a b, n 1

3．f z z 1 n z 1

z 1 1 n 0 2

R 2.

4．

1s k

四.证明题

1.略 2.略

模拟试卷三

一.填空题

1． z=0为f z z2ez 1的 级零点,

2

2. Res 2,0 3

z z

3. a,b,c均为复数，问ab与abc一定相等吗？.

4. 每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点吗？ 5.

1

c

dz

ccosz

二.选择题

1. 设u和v都是调和函数,如果v是u的共轭调和函数，那么v的共轭调和函数为. (A) u. (B)-u. (C)2u (D)以上都不对。

ein

2．级数 n 1n

(A) . 发散. (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)无法确定

ezdz

3．C为z 2的正向, 则 22

zz 9c

(A) .1 (B)2 (C)2 i

1

(D) 以上都不对 9

4． f t F ，则 f 1 t .

(A) F e i (B) F e i (C) F ei (D) 以上都不对

三.计算题

1 2cos dz

1.计算f z ,从而证明 0.

05 4cos z 2z 1

2．求在指定圆环域内的Laurent级数 f z

z 1

,z 1. 2z

3．利用留数计算定积分:

2

d

．

2 cos

kt

4．求拉氏变换f t te（k为实数）. 四.证明题

1.说明Lnz 2Lnz是否正确，为什么？

2

tF s 2.利用卷积定理证明 f t dt 0 s

模拟试卷三答案

一.填空题

1． 4 2. 1 3. 不一定 4. 否 5. 0

二.选择题

1. (B) 2． (A) 3． (C) 4． (D)

三.计算题

1.f z

zdz

1

z 2 0, 2．f z z 1 n 1 n 1

z2 1 n 1 z 1 .

n 0

3

4．

1

s k

2

四.证明题

1.略 2.略

模拟试卷四

一.填空题 1. 复数z

1 i

三角表示形式. 1 i

2. 设u x2 y2 xy为调和函数，其共轭调和函数为 3.

c z i 能否在z=-2i处收敛而z=2+3i发散.

n

nn 0

4. z 0为f z 6sinz3 z3z6 6 的 5. 卷积定理为 二.选择题

1．F 2 则f t

(A) .7 (B)1 (C)2 (D) 以上都不对 2. 若1 i

1 i ，n为整数

n

n

(A) 6k (B)3 (C)3k (D)6 3. C是直线OA，O为原点，A为2+i, 则Re z dz

c

(A).0. (B)（1+i）/2. (C).2+i. (D). 以上都不对. 4．设f t sin t

，则 f t 3

s1s 1 s3e(A) . (B) (C) (D) 以上都不对 222

1 s21 s21 s

三.计算题

1．求在指定圆环域内的Laurent级数

f z

sinz

,0 z . z

2.设函数f z 与分别以z=a为m级与n级极点，那么函数

f z .在z=a极点如何？ gz E,0 t 5;

3．求f t 傅氏变换。

0,其他

4．求拉氏变换f t e四.证明题 1.若

2t

sin6t.

1, 1,求证

1

1

2.若F f t ,证明：.

f t cos 1

0t

2

F 0 F 0

模拟试卷四答案

一.填空题

1. cos isin

y2 22 2.

x2

2

2xy c 3. 否

4. 15 5. 略

二.选择题

1．(B) 2. (C) 3. (C) 4．(C)

三.计算题

1 n

n 1 z2n

1．f z n 0

2n 1!

2.当m>n时， z=a为

f z gz的m-n级极点 当m≤n时， z=a为

f z gz的可去奇点 3．

2E

5

e

2

jsin

52

4．

6

s 2

2

36

.

四.证明题

1.略 2.略

模拟试卷五

一.填空题

1. z2 4iz 4 9i 0根为

2.

zz 和z 2zz 4z 是否相等3. 叙述傅氏积分定理

4. 拉氏变换的主要性质 二.选择题

n!11n

1．已知c0 1,cn n,c n 1 .则 cn z 2 的收敛圆环为

n2nn

1

z 2 4. (B)1 z 2 e (C) 1 z 2. (D)无法确定 41

2. w 将z平面上x2 y2 4映射成w平面上的z

122

(A) .直线 (B)u+v=1 (C)u v (D)以上都不对

4

(A).

3．z=0是f z z2e什么奇点 (A) .可去 (B)本性奇点 (C)2 级极点 (D) 以上都不对 4. t t0 的傅氏变换为 (A) 1 (B) e

三.计算题

1. 解方程e i 0. 2.利用留数计算定积分:

z

i t0

1z

(C) e

i t0

(D) 以上都不对

cosx

x2 32dx

sin2x

3．利用能量积分求 dx

x2

4.求F s

1

的拉氏逆变换.

s2s 1四.证明题

1. 试证argz在原点与负实轴上不连续.

2. 下列推导是否正确？若不正确，把它改正：

3z 2

1

dz 3

z zz 12

1

dz 2 i 1

z 1 z

z 1

2 i.

模拟试卷五答案

一.填空题

1.

2i和 2 i 2. 相等

3. 略 4. 略

二.选择题

1． (B) 2. (C) 3．

三.计算题

1. z 2 2k

i. 2.

3e3

3．

sin2x

x2

dx 4. e t

t 1

四.证明题

1. 略 2. 略

(B) 4. (B)

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