（含详答）2018年上海春考数学试卷

2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试

数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1．不等式|x|?1的解集为__________． 2．计算：lim3n?1?__________．

n??n?23．设集合A?{x|0?x?2}，B?{x|?1?x?1}，则A?B?__________． 4．若复数z?1?i（i是虚数单位），则z?2?__________． z5．已知{an}是等差数列，若a2?a8?10，则a3?a5?a7?__________．

6．已知平面上动点P到两个定点(1,0)和(?1,0)的距离之和等于4，则动点P的轨迹为

__________．

AB?3，BC?4，AA1?5， O是AC7．如图，在长方形ABCD?A1B1C1D1中，11的

第7题图 第12题图

8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生

甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．

99中点，则三棱锥A?AOB11的体积为__________．

2??a??9．设a?R，若?x2??与?x?2?的二项展开式中的常数项相等，则a?__________．

x??x??2210．设m?R，若z是关于x的方程x?mx?m?1?0的一个虚根，则|z|的取值范围

是__________．

11．设a?0，函数f(x)?x?2(1?x)sin(ax)，x?(0,1)，若函数y?2x?1与y?f(x) 1 / 7

的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是__________．

12．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点

P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲

区”中．已知点P以1．5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速

度 从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约 为__________秒（精确到0．1）

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）

13．下列函数中，为偶函数的是（ ）

（A）y?x （C）y?x?12?2

（B）y?x （D）y?x

313

14．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1

异面的直线条数为（ ） （A）1 （C）3

（B）2 （D）4

15．记Sn为数列{an}的前n项和．“{an}是递增数列”是“Sn为递增数列”的（ ）

（A）充分非必要条件 （C）充要条件

（B）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件

????16．已知A、B为平面上的两个定点，且|AB|?2．该平面上的动线段PQ的端点P、Q，

????????????????????满足|AP|?5，AP?AB?6，AQ??2AP，则动线段PQ所形成图形的面积为（ ）

（A）36

（B）60

（C）81

（D）108

三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知y?cosx．

2 / 7

18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1）若f(?)?1?，且??[0,?]，求f(??)的值；

33（2）求函数y?f(2x)?2f(x)的最小值．

x22已知a?R，双曲线?:2?y?1．

a（1）若点(2,1)在?上，求?的焦点坐标；

（2）若a?1，直线y?kx?1与?相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，

求实数k的值．

19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两

个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛

OC物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，

是抛物线的对称轴，OC?AB于C，AB?3米，OC?4.5米．

（1）求抛物线的焦点到准线的距离；

（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求

圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．

图1 图2 图3 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设a?0，函数f(x)?1． x1?a?2 3 / 7

（1）若a?1，求f(x)的反函数f?1(x)；

（2）求函数y?f(x)?f(?x)的最大值（用a表示）；

（3）设g(x)?f(x)?f(x?1)．若对任意x?(??,0]，g(x)?g(0)恒成立，求a的

取值范围．

21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）

若{cn}是递增数列，数列{an}满足：对任意n?N*，存在m?N*，使得

am?cn?0，

am?cn?1则称{an}是{cn}的“分隔数列”．

（1）设cn?2n，an?n?1，证明：数列{an}是{cn}的“分隔数列”；

（2）设cn?n?4，Sn是{cn}的前n项和，dn?c3n?1，判断数列{Sn}是否是数列{dn}的分隔数列，并说明理由；

（3）设cn?aqn?1，Tn是{cn}的前n项和，若数列{Tn}是{cn}的分隔数列，求实数a、

q的取值范围．

4 / 7

参考答案

一、填空题

1．(??,?1)?(1,??)

2．3

3．(0,1)

4．2

5．15

x2y2??1 6．4311．(

7．5

8．180 9．4

10．(3,??) 311?19?,] 66提示：2x?1?x?2(1?x)sin(ax)?x?1?2(1?x)sin(ax)?sin(ax)??1 2?ax?7?11?7?11?7?11?,,?2?,?2?,?4?,?4?,? 666666?0?ax?a ?11?7??a??2? 6640 312．4.4

提示：以A为原点建立坐标系，设时刻为t，则P(0,1.5t),Q(20,20?t),0?t?则lPQ:x?0y?1.5t?，化简得(8?t)x?8y?12t?0

20?020?t?1.5t点O(10,10)到直线PQ的距离|(8?t)?10?80?12t|(8?t)2?83?1，化简得3t2?16t?128?0

即

?8?7?8?87?8?87?8?87，则0?t??t???t??4.4

3333二、选择题

13．A 16．B

提示：建系A(0,0),B(2,0)，则P(x,y)的轨迹为线段x?3,?4?y?4，AP扫过的三角形面积为12，则利用相似三角形可知AQ扫过的面积为48，因此和为60

14．C

15．D

三、解答题

17．（1）

1?223；（2）?

26 5 / 7

18．（1）(?3,0)；（2）19．（1）

5?1． 21；（2）9.59?． 41?x1?1(0?x?1)；20．（1）f(x)?log2（2）ymax?（x?0时取最值）； x1?2a?a2（3）(0,2] 提示：g(x)?11?a1?a?2x?1?a?2x?1?a2?2x?22x?3a

?a,(t?2x?(0,1])a2?t?2t?3a 因为-a<0，所以当x=0,t=1时，分母取到最小值从而分式值取到最小值，

a22此时t?t?t?2a2?1?0?a?2 21．（1）证明：存在m?2n,此时?n?N*,cn?2n?am?2n?1?cn?1?2n?2（2）不是．反例：n?4时，m无解； （3）??a?0?q?2． 提示：因为{aqn?1}为递增数列，因此??a?0?a?0?q?1或者??0?q?1

①当??a?00?q?1时，??n?N*,cn?0，因此??T3?T2?T1?c1?c2?c3??

因此不存在c2?Tm?c3，不合题意。

②当??a?0时，?q?1cn?1qm?1n?Tm?cn?1?q?q?1?qn? qn?1(q?1)?1?qm?qn(q?1)?1?qn?1[(q?1)?1qn?1]?qm?qn[(q?1)?1qn]两边同时取对数得：n?1?logq[(q?1)?1qn?1]?m?n?logq[(q?1)?1qn] 6 / 7

证毕

1],x?0 xq记f(x)?logq[(q?1)?则n?1?f(n?1)?m?n?f(n) 下面分析函数f(n?1),f(n)的取值范围：

显然q?1时，f(x)?logq[(q?1)?1],x?0为减函数， xq因此f(??)?f(x)?f(0)，即logq(q?1)?f(x)?1

(Ⅰ)当q?2时，logq(q?1)?0，因此总有0?f(n)?f(n?1)?1 此时??n?1?f(n?1)?n?1?1

?n?f(n)?n+0因此总存在m?n符合条件，使得n?1?f(n?1)?n?m?n?f(n)成立

(Ⅱ)当1?q?2时， logq(q?1)?0， 根据零点存在定理，并结合f(x)的单减性可知： 存在唯一正整数k使得f(k)?0?f(k?1)

此时??k?1?f(k?1)?k?1

?k?f(k)?k即k?1?k?1?f(k?1)?m?k?f(k)?k 显然不存在满足条件的正整数m 综上：a?0,q?2

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