概率论和数理统计期末考试题库
更新时间:2023-04-05 23:23:01 阅读量: 教育文库 文档下载
第1页,共26页
数理统计练习题
一、填空题
1、设A 、B 为随机事件,且P (A)=0.5,P (B)=0.6,P (B |A)=0.8,则P (A+B)=__ 0.7 __。
2、某射手对目标独立射击四次,至少命中一次的概率为
8180,则此射手的命中率3
2。
3、设随机变量X 服从[0,2]上均匀分布,则=2
)]
([)(X E X D 1/3 。 4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松(Poisson )分布,且已知)]2)(1[(--X X E =1,则=λ___1____。 5、一次试验的成功率为p ,进行
100次独立重复试验,当=p 1/2_____时 ,成功次数的方差的值最大,最大值为 25 。
6、(X ,Y )服从二维正态分布),,,,(2
22121ρσσμμN ,则X 的边缘分布为 ),(2
1
1σμN 。
7、已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数
?????≤≤≤≤=其他
,
010,20,
2
3
),(2y x xy y x f ,则E (X )=
3
4。
8、随机变量X 的数学期望μ=EX
,方差2σ=DX ,k 、b 为常数,则有)(b kX E += ,k b μ+;)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ~N (-2,4),Y ~N (3,9),且X 与Y 相互独立。设Z =2X -Y +5,则Z ~ N(-2, 25) 。
10、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量,若)?()?(2
1
θθD D <,则称1?θ比2?θ有效。 1、设A 、B 为随机事件,且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6,则P (B A )=_0.3__。
2、设X ~B (2,p ),Y ~B (3,p ),且P {X ≥ 1}=95,则P {Y ≥ 1}=2719。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。
4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布,Y =2X +1,则D (Y )= 4/3 。
5、设随机变量X 的概率密度是:
??
?<<=其他0
103)(2x x x f ,且{}784.0=≥αX P ,则α=0.6 。
6、利用正态分布的结论,有
?
∞
+∞
---=+-dx e x x x 2
)2(22
)44(21
π
1 。
7、已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数
?????≤≤≤≤=其他
,
010,20,
2
3
),(2y x xy y x f ,则E (Y )= 3/4 。
8、设(X ,Y )为二维随机向量,D (X )、D (Y )均不为零。若有常数a >0与b 使
{}1=+-=b aX Y P ,则X 与Y 的相关系数=XY ρ-1 。
9、若随机变量X ~N (1,4),Y ~N (2,9),且X 与Y 相互独立。设Z =X -Y +3,则Z ~ N (2, 13) 。 10、设随机变量X ~N (1/2,2),以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“2/1≤X ”出现的次数,则}2{=Y P = 3/8 。
1、设A ,B 为随机事件,且P (A)=0.7,P (A -B)=0.3,则=?)(B A P 0.6 。
2、四个人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为
6
1
,31,41,51,则密码能被译出的概率是 11/24 。 3、射手独立射击8次,每次中靶的概率是0.6,那么恰好中靶3次的概率是533
84.06.0??C =0.123863 。 4、已知随机变量X 服从[0, 2]上的均匀分布,则D (X )= 1/3 。 5、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且{}{}423===X P X
P ,则
λ= 6 。
6、设随机变量X ~ N (1, 4),已知Φ(0.5)=0.6915,Φ(1.5)=0.9332,则{}=<2X P 0.6247 。
7、随机变量X 的概率密度函数
1
22
1
)(-+-=
x x
e x
f π
,则E (X )= 1 。
8、已知总体X ~ N (0, 1),设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的简单随机样本,则∑=n
i i
X
1
2~)(2
n x
。
9、设T 服从自由度为n 的t 分布,若{}αλ=>T P
,则{}=-<λT P 2
a 。
第2页,共26页 10、已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数???≤≤≤≤=其他
,010,20,),(y x xy y x f ,则E (X )= 4/3 。 1、设A ,B 为随机事件,且P (A)=0.6, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 0.4 。
2、设随机变量X 与Y 相互独立,且5.05.011P X
-,5.05.011P Y
-,则P (X =Y )=_ 0.5_。
3、设随机变量X 服从以n , p 为参数的二项分布,且EX =15,DX =10,则n = 45 。
4、设随机变量),(~2σμN X ,其密度函数644261
)(+--=x x e x f π,则μ= 2 。
5、设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在,令DX EX X Y /
)(-=,则D Y= 1 。 6、设随机变量X 服从区间[0,5]上的均匀分布,Y 服从5=λ的指数分布,且X ,Y 相互独立,则(X , Y )的联合密度函数f (x , y )=
???≥≤≤-其它0
0,505y x e y
。 7、随机变量X 与Y 相互独立,且D (X )=4,D (Y )=2,则D (3X -2Y )= 44。 8、设n X X X ,,,21 是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本,则∑=-n i i X X 12
)(服从的分布为)1(2-n x 。
9、三个人独立地向某一目标进行射击,已知各人能击中的概率分别为
31,41,51,则目标能被击中的概率是3/5 。 10、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度
???>≤≤=-其它0
0,10,4),(2y x xe y x f y , 则E Y = 1/2 。 1、设A,B 为两个随机事件,且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3,则P(
AB )=__0.6 __。 2、设随机变量X 的分布律为212110p
X ,且X 与Y 独立同分布,则随机变量Z =max{X ,Y }的分布律为4341
10P Z 。 3、设随机变量X ~N (2,2σ),且P {2 < X <4}=0.3,则P {X < 0}=0.2 。
4、设随机变量X 服从2=λ
泊松分布,则{}1≥X P =21--e 。 5、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X
Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为)2(21y f X -。 6、设X 是10次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为0.4,则=)
(X D 2.4 。 7、X 1,X 2,…,X n 是取自总体()2,σμN 的样本,则212
)(σ∑=-n i i X X
~)1(2-n x 。
8、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度???>≤≤=-其它00,10,4),(2y x xe y x f y ,则E X = 2/3 。 9、称统计量θθ
为参数?的 无偏 估计量,如果)(θ E =θ。 10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的,这个原理称为 小概率事件原理。
1、设A 、B 为两个随机事件,若P (A)=0.4,P (B)=0.3,6.0)(=?B A P ,则=)(B A P 0.3 。
2、设X 是10次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为0.4,则=)(2X
E 18.4 。 3、设随机变量X ~N (1/4,9),以Y 表示对X 的5次独立重复观察中“
4/1≤X ”出现的次数,则}2{=Y P = 5/16 。
4、已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且P(X =2)=P(X =4),则λ=32。
5、称统计量θθ
为参数?的无偏估计量,如果)(θ E =θ 。 6、设)(~),1,0(~2n x Y N X ,且X ,Y 相互独立,则~n Y X t(n) 。
7、若随机变量X ~N (3,9),Y ~N (-1,5),且X 与Y 相互独立。设Z =X -2Y +2,则Z ~ N (7,29) 。
第3页,共26页
8、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度??
?>≤≤=-其它
0,10,
6),(3y x xe y x f y
,则E Y = 1/3 。
9、已知总体
n X X X N X ,,,),,(~212
σμ是来自总体X 的样本,要检验2
02
σ
σ=:o H ,则采用的统计量是
20
2
)1(σ
S n -。
10、设随机变量T 服从自由度为n 的t 分布,若{}αλ=>T P
,则{
}=<λT P 2
1a
-。 1、设A 、B 为两个随机事件,P (A)=0.4, P (B)=0.5,7.0)(=B A P ,则=)(B A P 0.55 。 2、设随机变量X ~ B (5, 0.1),则D (1-2X )= 1.8 。
3、在三次独立重复射击中,若至少有一次击中目标的概率为
64
37
,则每次射击击中目标的概率为 1/4 。 4、设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ,则X 的期望E X = 2.3。
5、将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于-1。
6、设(X , Y )的联合概率分布列为
-1 0 4
-2 1/9 1/3
2/9
1
1/18
a b
若X 、Y 相互独立,则a = 1/6 ,b = 1/9 。 7、设随机变量X 服从[1,5]上的均匀分布,则{}=≤≤42X P
1/2 。
8、三个人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为
3
1
,41,51,则密码能被译出的概率是3/5 。 9、若n X X X N X ,,,),,(~2121 σμ是来自总体X 的样本,2
,S X 分别为样本均值和样本方差,则
S
n X )(μ-~ t (n-1) 。
10、θθθ是常数21?,?的两个无偏估计量,若)?()?(2
1θθD D <,则称1?θ比2?θ 有效 。 1、已知P (A)=0.8,P (A -B)=0.5,且A 与B 独立,则P (B) = 3/8 。 2、设随机变量X ~N (1,4),且P{ X ≥ a }= P{ X ≤ a },则a = 1 。 3、随机变量X 与Y 相互独立且同分布,21)1()1(=
-==-=Y P X
P ,2
1
)1()1(====Y P X P ,则()0.5P X Y ==。 4、已知随机向量(X , Y )的联合分布密度?
?
?≤≤≤≤=其它01
0,104),(y x xy y x f ,则EY = 2/3 。 5、设随机变量X ~N (1,4),则{}2>X P
= 0.3753 。
(已知Φ(0.5)=0.6915,Φ(1.5)=0.9332) 6、若随机变量X ~N (0,4),Y ~N (-1,5),且X 与Y 相互独立。设Z =X +Y -3,则Z ~ N (-4,9) 。
7、设总体X ~N (1,9),n X X X , , ,21 是来自总体X 的简单随机样本,2
,S X 分别为样本均值与样本方差,则∑=-n
i i X X 1
2~)(912(8)χ;
;∑=-n i i X 1
2~)1(912
9χ()。 8、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且{}{}423===X P X P ,则λ= 6 。
9、袋中有大小相同的红球4只,黑球3只,从中随机一次抽取2只,则此两球颜色不同的概率为 4/7 。
10、在假设检验中,把符合H 0的总体判为不合格H 0加以拒绝,这类错误称为 一错误;把不符合H 0的总体当作符合H 0而接受。这类错误称为 二
错误。
1、设A 、B 为两个随机事件,P (A)=0.8,P (AB)=0.4,则P (A -B)= 0.4 。
2、设X 是10次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为0.4,则=)(X D 2.4 。
3、设随机变量X 的概率分布为
X -1 0 1 2 P 0.1 0.3 0.2 0.4
第4页,共26页 则{}12≥X P = 0.7 。
4、设随机变量X 的概率密度函数1221)(-+-=x x e x f π,则)(X D =21 。
5、袋中有大小相同的黑球7只,白球3只,每次从中任取一只,有放回抽取,记首次抽到黑球时抽取的次数为X ,则P {X =10}= 0.39*0.7 。
6、某人投篮,每次命中率为0.7,现独立投篮5次,恰好命中4次的概率是1445
3.07.0??C 。 7、设随机变量X 的密度函数2)2(221)(+-=x e x f π,且{}{}c X P c X P ≤=≥,则c = -2 。
8、已知随机变量U = 4-9X ,V = 8+3Y ,且X 与Y 的相关系数XY ρ=1,则U 与V 的相关系数UV ρ=-1。 9、设)(~),1,0(~2n x Y N X ,且X ,Y 相互独立,则~n Y
X t (n) 10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的,这个原理称为 小概率事件原理 。
1、随机事件A 与B 独立,===)(5.0)(,7.0)
(B P A P B A P 则, 0.4 。 2、设随机变量X 的概率分布为则X 2的概率分布为
3、设随机变量X 服从[2,6]上的均匀分布,则{}=<<43X P 0.25 。
4、设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,且每次命中率为0.4,则2EX =_18.4__。
5、随机变量)4,(~μN X ,则~2μ-=X Y N(0,1) 。
6、四名射手独立地向一目标进行射击,已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5,则目标能被击中的概率是 59/60 。
7、一袋中有2个黑球和若干个白球,现有放回地摸球4次,若至少摸到一个白球的概率是81
80,则袋中白球的个数是 4 。 8、已知随机变量U = 1+2X ,V = 2-3Y ,且X 与Y 的相关系数XY ρ =-1,则U 与V 的相关系数UV ρ = 1 。
9、设随机变量X ~N (2,9),且P{ X ≥ a }= P{ X ≤ a },则a = 2 。
10、称统计量θθ
为参数?的无偏估计量,如果)(θ E = θ 二、选择题
1、设随机事件
A 与
B 互不相容,且0)()(>>B P A P ,则( D )。 A. )(1)(B P A P -= B. )()()(B P A P AB P = C. 1)(=?B A P D. 1)(=AB P
2、将两封信随机地投入四个邮筒中,则未向前面两个邮筒投信的概率为( A )。 A. 224
2 B. 24
12C C C. 24!2P D. !4!2 3、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为( D )。
A. )2(2y f X -
B. )2(y f X -
C. )2(21y f X --
D. )2
(21y f X - 4、设随机变量)(~x f X ,满足)()(x f x f -=,)(x F 是x 的分布函数,则对任意实数a 有( B )。
A. ?-=-a dx x f a F 0)(1)(
B. ?-=-a dx x f a F 0
)(21)( C. )()(a F a F =- D. 1)(2)(-=-a F a F 5、设)(x Φ为标准正态分布函数,
100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则;,
发生;事件且8.0)(=A P ,10021X X X ,,, 相互独立。令∑==1001i i X Y ,则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于( B )。
A. )(y Φ B .)4
80(-Φy C .)8016(+Φy D .)804(+Φy 1、设A ,B 为随机事件,0)(>B P ,1)|(=B A P ,则必有( A )。
A. )()(A P B A P =?
B. B A ?
C. )()(B P A P =
D. )()(A P AB P =
第5页,共26页 2、某人连续向一目标射击,每次命中目标的概率为43
,他连续射击直到命中为止,则射击次数为3的概率是( C )。 A. 343
)( B. 41432?)( C. 4
3412?)( D. 22441C )( 3、设
12, X X 是来自总体X 的一个简单随机样本,则最有效的无偏估计是( A )。 A. 121122X X μ=+ B. 121233X X μ=+ C. 121344X X μ=+ D. 122355
X X μ=+ 4、设)(x Φ为标准正态分布函数, 100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则。,
发生;事件且()0.1P A =,10021X X X ,,, 相互独立。令∑==1001i i X Y ,则由中心极限定理知Y
的分布函数)(y F 近似于( B )。 A. )(y Φ B .10(
)3
y -Φ C .(310)y Φ+ D .(910)y Φ+ 5、设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本,X 为样本均值,则下列结论中正确的是( D )。 A. )(~/21
n t n X -; B. )1,(~)1(4112n F X n i i ∑=-; C. )1,0(~/21N n X -; D. )(~)1(41212n X n i i χ∑=-; 1、已知A 、B 、C 为三个随机事件,则A 、B 、C 不都发生的事件为(A )。 A. C B A B. ABC C. A +B +C D. ABC
2、下列各函数中是随机变量分布函数的为( B )。 A. ∞<<-∞+=x x x F ,11)(2 B. ?????≥+<=0100)(x x
x x x F C. ∞<<-∞=-x e x F x ,)( D. ∞<<∞-+=x arctgx x F ,2143)(π
3、),(Y X 是二维随机向量,与0),(=Y X Cov 不等价的是( D )
A. )()()(Y E X E XY E =
B. )()()(Y D X D Y X D +=+
C. )()()(Y D X D Y X D +=-
D. X
和Y 相互独立
4、设)(x Φ为标准正态分布函数, 100, ,2, 1, 0A ,1 =?
??=i X i 否则,发生事件且()0.2P A =,10021X X X ,,, 相互独立。令∑==1001i i X Y ,则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于( B )。
A. )(y Φ B .20()4
y -Φ C .(1620)y Φ- D .(420)y Φ- 5、设总体)2,(~2μN X ,其中μ未知,n X X X ,,,21 为来自总体的样本,样本均值为X ,样本方差为2s , 则下列各式中不是统计量
的是( C )。 A. X 2 B. 22σ
s C. σμ-X D. 22)1(σs n - 1、若随机事件A 与B 相互独立,则)(B A P +=( B )。
A. )()(B P A P +
B. )()()()(B P A P B P A P -+
C. )()(B P A P
D. )()(B P A P + 2、设总体X 的数学期望E X =μ,方差D X =σ2,X 1,X 2,X 3,X 4是来自总体X 的简单随机样本,则下列μ的估计量中最有效的是( D )
1233123123412341111111A. B. 6633333
34111111C. D. 55554444X X X X X X X X X X X X X X X ++++++--+++ 3、设)(x Φ为标准正态分布函数,100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则,
发生事件且()0.3P A =,10021X X X ,,, 相互独立。
第6页,共26页 令∑==100
1i i X Y ,则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于( B )
。 A. )(y Φ B .30(
)21
y -Φ C .30()21y -Φ D .(30)y Φ- 4、设离散型随机变量的概率分布为101)(+==k k X P ,3,2,1,0=k ,则)(X E =( B )。 A. 1.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.4
5、在假设检验中, 下列说法错误的是( C )。
A. 1H 真时拒绝1H 称为犯第二类错误。
B. 1H 不真时接受1H 称为犯第一类错误。
C. 设α=}|{00
真拒绝H H P ,β=}|{00不真接受H H P ,则α变大时β
变小。 D. α、β的意义同(C ),当样本容量一定时,α变大时则β变小。 1、若A 与B 对立事件,则下列错误的为( A )。
A. )()()
(B P A P AB P = B. 1)(=+B A P C. )()()(B P A P B A P +=+ D. 0)(=AB P 2、下列事件运算关系正确的是( A )。 A. A B BA B += B. A B BA B +=
C. A B BA B +=
D. B B -=1
3、设)(x Φ为标准正态分布函数, 100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则,
发生事件且()0.4P A =,10021X X X ,,, 相互独立。令∑==1001i i X Y ,则由中心极限定
理知Y 的分布函数)(y F 近似于( B )。 A. )(y Φ B .40(
)24
y -Φ C .(40)y Φ- D .40()24y -Φ 4、若)()()(Y E X E XY E =,则(D )。
A. X 和Y 相互独立
B. X 与Y 不相关
C. )()()(Y D X D XY D =
D. )()()(Y D X D Y X D +=+
5、若随机向量(Y X ,)服从二维正态分布,则①Y X ,一定相互独立; ② 若0=XY ρ,则Y X ,一定相互独立;③X 和Y 都服从一维正态分布;④若Y X ,相互独立,则 Cov (X , Y ) =0。几种说法中正确的是( B )。
A. ① ② ③ ④
B. ② ③ ④
C. ① ③ ④
D. ① ② ④
1、设随机事件A 、B 互不相容,q B P p A P ==
)( ,)(,则)(B A P =( C )。 A. q p )1(- B. pq C. q D.p
2、设A ,B 是两个随机事件,则下列等式中( C )是不正确的。
A. )()()
(B P A P AB P =,其中A ,B 相互独立 B. )()()(B A P B P AB P =,其中0)(≠B P C. )()()(B P A P AB P =,其中A ,B 互不相容 D. )()()(A B P A P AB P =,其中0)(≠A P
3、设)(x Φ为标准正态分布函数,
100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则,发生事件且()0.5P A =,10021X X X ,,, 相互独立。令∑==1001i i X Y ,则由中心极限定理
知Y 的分布函数)(y F 近似于( B )。
A. )(y Φ B .50()5y -Φ C .(50)y Φ- D .50()25
y -Φ 4、设随机变量X 的密度函数为f (x ),则Y = 5 — 2X 的密度函数为( B )
1515A. () B. ()2222
1515C. () D. ()2222
y y f f y y f f -----++--- 5、设xx x n
12,,, 是一组样本观测值,则其标准差是( B )。
第7页,共26页 A. ∑=--n i i x x n 12)(1
1 B. ∑=--n i i x x n 12)(11 C. ∑=-n i i x x n 12)(1 D. ∑=-n i i x x n 1)(1 1、若A 、B 相互独立,则下列式子成立的为( A )。 A. )()()(B P A P B A P =
B. 0)(=AB P
C. )|()|(A B P B A P =
D. )()|(B P B A P = 2、若随机事件A B ,的概率分别为6.0)(=A P ,5.0)(=B P ,则A 与B 一定(D )。
A. 相互对立
B. 相互独立
C. 互不相容
D.相容
3、设)(x Φ为标准正态分布函数,100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X
i 否则,
发生事件且()0.6P A =,10021X X X ,,, 相互独立。令∑==1001
i i X Y ,则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于(B )
。 A. )(y Φ B .60(
)24y -Φ C .(60)y Φ- D .60()24y -Φ 4、设随机变量X ~N(μ,81),Y ~N(μ,16),记}4{},9{21+≥=-≤=μμY p X P p ,则( B )。
A. p 1
B. p 1=p 2
C. p 1>p 2
D. p 1与p 2的关系无法确定
5、设随机变量X 的密度函数为f (x ),则Y = 7 — 5X 的密度函数为( B ) 1717A. () B. ()55551717C. () D. ()5555y y f f y y f f ---
--++--- 1、对任意两个事件
A 和
B , 若0)(=AB P , 则( D )
。 A. φ=AB B. φ=B A C. 0)()(=B P A P D. )()(A P B A P =-
2、设A 、B 为两个随机事件,且1)(0<
3、设)(x Φ为标准正态分布函数, 100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则,发生事件且()
0.7P A =,10021X X X ,,, 相互独立。令∑==1001i i
X Y ,则由中心极限定
理知Y 的分布函数)(y F 近似于( B )。
A. )(y Φ B .70(
)21y -Φ C .(70)y Φ- D .70()21y -Φ 4、已知随机变量X 和Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则=)(XY E ( A )
。 A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 5、设随机变量X ~N (μ,9),Y ~N (μ,25),记
}5{},3{21+≥=-≤=μμY p X P p ,则( B )。 A. p 1
p 2 D. p 1与p 2的关系无法确定 1、设21,A A 两个随机事件相互独立,当21,A A 同时发生时,必有A 发生,则( A )
。 A. )()(21A P A A P ≤ B. )()(21A P A A P ≥ C. )()(21A P A A P = D. )()()(21A P A P A P =
2、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令32+-=X Y ,则Y 的概率密度)(y f Y 为( A )。 A. )23(21---y f X B. )23(21--y f X C. )23(21+--y f X D. )2
3(21+-y f X 3、两个独立随机变量Y X ,,则下列不成立的是( C )。
A. EXEY EXY =
B. EY EX Y X E +=+)(
C. DXDY DXY =
D. DY DX Y X D +=+)(
4、设)(x Φ为标准正态分布函数,100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则,
发生事件且()0.9P A =,10021X X X ,,, 相互独立。
第8页,共26页 令∑==100
1i i X Y ,则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于( B )
。 A. )(y Φ B .90()3y -Φ C .(90)y Φ- D .90()9
y -Φ 5、设总体X 的数学期望E X =μ,方差D X =σ2,X 1,X 2,X 3是来自总体X 的简单随机样本,则下列μ的估计量中最有效的是( B )
123123123123111111A. B. 424333
342121C. D. 555662
X X X X X X X X X X X X +++++-++ 1、若事件
321,,A A A 两两独立,则下列结论成立的是( B )。 A. 321,,A A A 相互独立 B. 321,,
A A A 两两独立
C. )()()()(321321A P A P A P A A A P =
D. 321,,A A A 相互独立
2、连续型随机变量X 的密度函数f (x )必满足条件( C )。 A. 0() 1 B. C. () 1 D. lim ()1x f x f x dx f x +∞-∞→+∞≤≤==?
在定义域内单调不减
3、设21,X X 是任意两个互相独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为)(1x f 和)(2x f ,分布函数分别为)(1x F 和)(2x F ,则( B )
。 A. )()(21x f x f +必为密度函数 B. )()(21x F x F ?必为分布函数
C. )()(21x F x F +必为分布函数
D. )()(21x f x f ?必为密度函数
4、设随机变量X , Y 相互独立,且均服从[0,1]上的均匀分布,则服从均匀分布的是( B )。
A. X Y
B. (X , Y )
C. X — Y
D. X + Y
5、设)(x Φ为标准正态分布函数,
, ,2, 1, 0A ,1n i X i =???=否则,
发生事件且()P A p =,12n X X X ,,,相互独立。令1n i i Y X ==∑,则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于( B )。
A. )(y Φ B .()(1)
y np np p -Φ- C .()y np Φ- D .()(1)y np np p -Φ- 三(1)、已知5%的男性和0.25%的女性是色盲,假设男性女性各占一半。现随机地挑选一人,求此人恰好是色盲者的概率。
设A :表示此人是男性; B :表示此人是色盲。 则所求的概率为()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+
0.50.050.50.00250.02625=?+?= 答:此人恰好是色盲的概率为0.02625。
三(2)、已知5%的男性和0.25%的女性是色盲,假设男性女性各占一半。若随机地挑选一人,发现此人不是色盲,问此人是男性的概率。 设A :表示此人是男性; B :表示此人是色盲。
则所求的概率为
()(|)()(|)(|)()1()
P A P B A P A P B A P A B P B P B ==-()(|)1[()(|)()(|)]P A P B A P A P B A P A P B A =-+
0.50.950.487810.02625?=≈-
答:此人是男人的概率为0.4878。 。
三(3)、一袋中装有10个球,其中3个白球,7个红球。现从中采用不放回方式摸球两次,每次一个,求第二次取得白球的概率。 解 设i A 表示表示第i 次取得白球,i =1,2。
则所求事件的概率为
2121121()()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A =+ 3273931091093010=
?+?==
答:第二次取得白球的概率为3/10。
第9页,共26页 三(4)、一袋中装有10个球,其中3个白球,7个红球。现从中采用不放回方式摸球两次,每次一个,若第二次取得白球,则第一次也是白球的概率。
解 设i A 表示表示第i 次取得白球,i =1,2 。
则所求事件的概率为 12121122121121()()(|)(|) = ()()(|)()(|)P A A P A P A A P A A P A P A P A A P A P A A =+32210939
10
?== 答:第二次摸得白球,第一次取得也是白球的概率为2/9。
三(5)、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货,其供应量第一厂家为第二厂家的两倍,第二、第三厂家相等,且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2%,2%,4%。若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率为多少? 解 设i A 表示产品由第i 家厂家提供,i =1, 2, 3;B 表示此产品为次品。
则所求事件的概率为
1111112233(|)()(|)(|) ()()(|)()(|)()(|)P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++=10.0220.41110.020.020.04244
?=?+?+? 答:该件商品是第一产家生产的概率为0.4。
三(6)、甲、乙、丙三车间加工同一产品,加工量分别占总量的25%、35%、40%,次品率分别为0.03、0.02、0.01。现从所有的产品中抽取一个产品,试求(1)该产品是次品的概率;(2)若检查结果显示该产品是次品,则该产品是乙车间生产的概率是多少? 解:设1A ,2A ,3A 表示甲乙丙三车间加工的产品,B 表示此产品是次品。
(1)所求事件的概率为
112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.030.350.020.40.010.0185=?+?+?=
(2)221()(|)0.350.02(|) = 0.38 ()0.0185
P A P B A P A B P B ?=≈ 答:这件产品是次品的 概率为0.0185,若此件产品是次品,则该产品是乙车间生产的概率为0.38。
三(7)、一个机床有1/3的时间加工零件A ,其余时间加工零件B 。加工零件A 时停机的概率是0.3,加工零件A 时停机的概率是0.4。求(1)该机床停机的概率;(2)若该机床已停机,求它是在加工零件A 时发 生停机的概率。 解:设1C ,2C ,表示机床在加工零件A 或B ,D 表示机床停机。
(1)机床停机夫的概率为
1122()().(|)().(|
)P B P C P D C P C P D A =+12110.30.43330
=?+?= (2)机床停机时正加工零件A 的概率为 11110.3().(|)33(|) = 11()11
30
P C P D C P C D P D ?== 三(8)、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件,各机床加工的零件数量之比为5:3:2,各机床所加工的零件合格率依次为94%,90%,95%。现从加工好的整批零件中随机抽查一个,发现是废品,判断它是由甲机床加工的概率。
解 设1A ,2A ,3A 表示由甲乙丙三机床加工,B 表示此产品为废品。
(2分) 则所求事件的概率为
111131
(|)()(|)(|) ()()(|)i i
i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ===∑=10.06320.50.060.30.100.20.057?=?+?+? 答:此废品是甲机床加工概率为3/7。
三(9)、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,其概率分别为5%、15%、30%、50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。已知该人误期到达,求他是乘坐火车的概率。 (10分)
解:设1A ,2A ,3A ,4A 分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,B 表示误期到达。
第10页,共26页 则222241
(|)()(|)(|) ()()(|)
i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ===∑=0.150.30.2090.0500.150.30.30.40.50.1?=?+?+?+? 答:此人乘坐火车的概率为0.209。
三(10)、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,其概率分别为5%、15%、30%、50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。求该人如期到达的概率。
解:设
1A ,2A ,3A ,4A 分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,B 表示如期到达。
则41
()()(|)i i
i P B P A P B A ==∑ 0.0510.150.70.30.60.50.90.785=?+?+?+?= 答:如期到达的概率为0.785。
四(1)设随机变量X 的概率密度函数为
, 01()0 Ax x f x ≤≤?=??,其它
求(1)A ; (2)X 的分布函数F (x ); (3) P (0.5 < X <2 )。
解: 121001 ()| 1 22 2
A
A
f x dx Axdx x A +∞-∞=====??()
2020 ()()0
01 ()()2
1 ()()x
x
x x
x F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞-∞-∞<==≤<===≥==????()当时,当时,当时,1022 1
0, 0
(), 0 1
1, 1
tdt x F x x x x =?=≤?≥??故 (3) P (1/2 四(2)、已知连续型随机变量X 的概率密度为 求(1)k ;(2)分布函数F (x ); (3)P (1.5 2 1/2 k f x dx kx dx x x k k +∞-∞=+=+=+==-?? 2 020 ()()0 02 ()()(0.51) 4 2 ()() 1 x x x x x F x f t dt x x F x f t dt t dt x x F x f t dt -∞-∞-∞<==≤<==-+=-+≥==????()当时,当时,当时,2 0, 0 (), 02 4 1, 2 x x F x x x x ? ?=-+≤?≥??故 (3) P (1.5 四(3)、已知连续型随机变量X 的概率密度为 ???≤≤+=其它 ,020 ,1)(x kx x f 第11页,共26页 ?????≤≤=其它 ,010 ,)(x x a x f 求(1)a ;(2)X 的分布函数F (x );(3)P ( X >0.25)。 解:102(1) () 1 3 3/2 f x dx a xdx a a +∞-∞====?? 3/232020 ()()0 01 ()() 1 ()() 1 x x x x x F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞ -∞-∞<==≤<===≥==?? ??()当时,当时,当时,3/2 0, 0 (), 01 1, 1x F x x x x ?=≤?≥? 故 (3) P (X>1/4)=1—F(1/4)=7/8 四(4)、已知连续型随机变量X 的概率密度为 ???∈=其它 ,0),0( ,2)(A x x x f 求(1)A ;(2)分布函数F (x );(3)P (-0.5 < X <1)。 ) 解:20 (1) ()2 1 1 A f x dx xdx A A +∞-∞====?? 2020 ()()0 01 ()()2 1 ()() 1 x x x x x F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞ -∞ -∞<==≤<===≥==?? ??()当时,当时,当时,2 0, 0 (), 0 1 1, 1x F x x x x ?=≤?≥? 故 (3) P (-0.5 四(5)、已知连续型随即变量X 的概率密度为 ?? ???≤-=其它 ,01 ,1)(2x x c x f 求(1)c ; (2)分布函数F (x );(3) P (-0.5 < X < 0.5)。 解:1112 1(1) () arcsin | 1 1- 1/ c f x dx dx c x c x c ππ+∞--∞-=====?? 第12页,共26页 12121 ()()0 11 11 ()()arcsin | 11 (arcsin 2x x x x x F x f t dt x F x f t dt dt t t x ππππ-∞ --∞-<-==-≤<===-=+ ?? ?()当时,当时,) 1 ()() 1 0, 11 ()(arcsin ), 12x x F x f t dt x F x x x ππ -∞≥==<-=+≤ x ?????≥?? (3) P (-0.5 ?????>+=-其它 ,00 ,)(22 x Be A x F x 求(1)A ,B ; (2)密度函数f (x );(3)P (1 解:0(1) lim () 1 lim ()0 1 x x F x A F x A B B +→+∞ →===+==- 2 /22, 0 () () 0, 0 x xe x f x F x x -?>?'==?≤??() (3) P (1 四(7)、已知连续型随机变量X 的分布函数为 x B A x F arctan )(+= 求(1)A ,B ; (2)密度函数f (x );(3)P (1 2 lim ()02 A 1/2, 1/ x x F x A B F x A B B ππ π→+∞→-∞=+==-=== 221 () () (1) f x F x x π'==+() (3) P (0 ?? ???≥<<≤=1 ,110 ,0 ,0)(x x x A x x F 求(1)A ; (2)密度函数f (x );(3)P (0< X < 0.25 )。 第13页,共26页 解:1(1) lim () 1 1 x F x A A →===21, 01 () () 20, x f x F x x ?<'==??? () 其他 (3) P (0 四(9)、已知连续型随机变量X 的分布函数为 ?????≤>-=2 ,02 ,1)(2 x x x A x F 求(1)A ; (2)密度函数f (x );(3)P (0 ≤ X ≤ 4 )。 、解:2(1) lim ()1/40 4 x F x A A →=-==328, 2 () () 0, 2 x f x F x x x ?>?'==??≤?() (3) P (0 四(10)、已知连续型随机变量X 的密度函数为 ?? ???∈=其它 ,0),0( ,2)(2a x x x f π 求(1)a ; (2)分布函数F (x );(3)P (-0.5 < X < 0.5 )。 解:202(1) () 1 a x f x dx dx a ππ+∞-∞===??222020 ()()0 2 0 ()() ()() 1 x x x x x F x f t dt t x x F x f t dt dt x F x f t dt ππππ-∞-∞-∞ <==≤<===≥==????()当时,当时,当时,22 0, 0 (), 0 1, x x F x x x ππ π ??=≤?≥??故 (3) P (-0.5 41π 五(1)、设系统L 由两个相互独立的子系统L 1,L 2并联而成,且L 1、L 2的寿命分别服从参数为)(,βαβα≠的指数分布。求系统L 的寿命Z 的密度函数。 解:令X 、Y 分别为子系统L 1、L 2的寿命,则系统L 的寿命Z =max (X , Y )。 显然,当z ≤0时,F Z (z )=P (Z ≤z )=P (max (X , Y )≤z )=0; 当z >0时,F Z (z )=P (Z ≤z )=P (max (X , Y )≤z ) =P (X ≤z , Y ≤z )=P (X ≤z )P (Y ≤z )=dy e dx e z y z x ??--00βαβα=)1)(1(z z e e βα----。 因此,系统L 的寿命Z 的密度函数为 f Z (z )=???≤>+-+=+---0 0,0 ,)()()(z z e e e z F dz d z z z Z βαβαβαβα 五(2)、已知随机变量X ~N (0,1),求随机变量Y =X 2的密度函数。 解:当y ≤0时,F Y (y )=P (Y ≤y )=P (X 2≤y )=0; 当y >0时,F Y (y )=P (Y ≤y )=P (X 2≤y )=)(y X y P ≤≤- 第14页,共26页 = dx e dx e x y x y y 2 /0 2 /2221221---? ? =π π 因此,f Y (y )=?? ? ??≤>=- 0. 0,0, , 2)(2 /y y y e y F dy d y Y π 五(3)、设系统L 由两个相互独立的子系统L 1、L 2串联而成,且L 1、L 2的寿命分别服从参数为)(,βαβα≠的指数分布。求系统L 的寿命Z 的 密度函数。 解:令X 、Y 分别为子系统L 1、L 2的寿命,则系统L 的寿命Z =min (X , Y )。 显然,当z ≤0时,F Z (z )=P (Z ≤z )=P (min (X , Y )≤z )=0; 当z >0时,F Z (z )=P (Z ≤z )=P (min (X , Y )≤z )=1-P (min (X , Y )>z ) =1-P (X >z , Y >z )=1-P (X >z )P (Y >z )=dy e dx e z y z x ?? +∞ -+∞ -- βαβα1=z e )(1βα+--。 因此,系统L 的寿命Z 的密度函数为 f Z (z )=?? ?≤>+-=+-0 0,0 ,)()()(z z e z F dz d z Z βαβα 五(4)、已知随机变量X ~N (0,1),求Y =|X |的密度函数。 解:当y ≤0时,F Y (y )=P (Y ≤y )=P (|X |≤y )=0; 当y >0时,F Y (y )=P (Y ≤y )=P (|X |≤y )=)(y X y P ≤≤- = dx e dx e x y x y y 2 /0 2 /2 2 21 221 ----? ? =ππ 因此,f Y (y )=?? ???≤>=- 0. 0,0, 2)(2 /2y y e y F dy d y Y π 五(5)、设随机向量(X ,Y )联合密度为 f (x , y )= ???>>+-. ,0; 0,0 ,)32(其它y x Ae y x (1) 求系数A ; (2) 判断X ,Y 是否独立,并说明理由; (3) 求P{ 0≤X ≤2,0≤Y ≤1}。 解:(1)由1= dy e dx e A dxdy e A dxdy y x f y x y x ? ?? ? ?? +∞ -+∞-+-+∞ +∞ +∞∞-+∞ ∞ -?==0 30 2)32(0 ),(=,6 )3 1)(2 1 (0 30 2A e e A y x = --+∞ -+∞ - 可得A =6。 (2)因(X ,Y )关于X 和Y 的边缘概率密度分别为 f X (x )=???>-. ,0; 0 ,22其它x e x 和 f Y (y )= ???>-. ,0; 0 ,33其它y e y , 则对于任意的,),(2 R y x ∈ 均成立f (x , y )= f X (x )* f Y (y ),所以X 与Y 独立。 (3)P { 0≤X ≤2,0≤Y ≤1}=dy e dx e dxdy e y x y x ????--+-?=1 32 2) 32(20 1 326 =).1)(1())((341 32 2------=--e e e e y x 五(6)、设随机向量(X ,Y )联合密度为 f (x , y )= ???>>+-. ,0; 0,0 ,)43(其它y x Ae y x (1) 求系数A ; (2) 判断X ,Y 是否独立,并说明理由; 第15页,共26页 (3) 求P { 0≤X ≤1,0≤Y ≤1}。 解:(1)由1=dy e dx e A dxdy e A dxdy y x f y x y x ??? ? ??+∞-+∞-+-+∞+∞+∞∞-+∞ ∞-?==0403)43(00),( =,12 )41)(31(0403A e e A y x =--+∞-+∞- 可得A =12。 (2)因(X ,Y )关于X 和Y 的边缘概率密度分别为 f X (x )=???>-. ,0; 0 ,33其它x e x 和 f Y (y )= ???>-. ,0; 0 ,44其它y e y , 则对于任意的,),(2R y x ∈ 均成立f (x , y )= f X (x )* f Y (y ),所以X 与Y 独立。 (3)P { 0≤X ≤1,0≤Y ≤1}= dy e dx e dxdy e y x y x ????+∞-+∞-+-?=0403)43(10104312 =).1)(1())((4310 41 03------=--e e e e y x 五(7)、设随机向量(X ,Y )联合密度为 f (x , y )= ???≤≤≤. ,0; 10 ,6其它y x x (1) 求(X ,Y )分别关于X 和Y 的边缘概率密度f X (x ),f Y (y ); (2) 判断X ,Y 是否独立,并说明理由。 解:(1)当x <0或x >1时,f X (x )=0; 当0≤x ≤1时,f X (x )=).1(66),(1 x x xdy dy y x f x -==??+∞ ∞- 因此,(X ,Y )关于X 的边缘概率密度f X (x )=???≤≤-. ,0,10 ,662其它x x x 当y <0或y >1时,f Y (y )=0; 当0≤y ≤1时,f Y (y )=.3|36),(2020y x xdx dx y x f y y ===??+∞ ∞- 因此,(X ,Y )关于Y 的边缘概率密度f Y (y )=???≤≤. ,0,10 ,32其它y y (2)因为f (1/2, 1/2)=3/2,而f X (1/2) f Y (1/2)=(3/2)*(3/4)=9/8≠f (1/2, 1/2), 所以,X 与Y 不独立。 五(8)、设二维随机向量(X ,Y )的联合概率密度为 f (x , y )=???<<-. ,0; 0 ,其它y x e y (1) 求(X ,Y )分别关于X 和Y 的边缘概率密度f X (x ),f Y (y ); (2) 判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由。 解:(1)当x ≤0时,f X (x )=0; 当x >0时,f X (x )=.),(x x y e dy e dy y x f -+∞ -+∞ ∞-==?? 因此,(X ,Y )关于X 的边缘概率密度f X (x )=???>-. ,0,0 ,其它x e x 当y ≤0时,f Y (y )=0; 当y >0时,f Y (y )=.),(0y y y ye dx e dx y x f --+∞ ∞-==?? 因此,(X ,Y )关于Y 的边缘概率密度f Y (y )=???>-. ,0,0 ,其它y ye y (2)因为f (1, 2)=e -2,而f X (1) f Y (2)=e -1*2e -2=2 e -3≠f (1, 2), 第16页,共26页 所以,X 与Y 不独立。 五(9)、设随机变量X 的概率密度为 ? ??>=-其它,00,)(x e x f x 设F (x )是X 的分布函数,求随机变量Y =F (X )的密度函数。 解:当y <0时,F Y (y )=P (Y ≤y )=P (F (X )≤y )=0; 当y >1时,F Y (y )=P (Y ≤y )=P (F (X )≤y )=1; 当0≤y ≤1时,F Y (y )=P (Y ≤y )=P ((F (X )≤y )=))((1y F X P -≤ =y y F F =-))((1 因此,f Y (y )=???≤≤= . 0,,10 ,1)(其它y y F dy d Y 五(10)、设随机向量(X ,Y )联合密度为 f (x , y )= ???≤≤≤. ,0; 10 ,8其它y x xy (1)求(X ,Y )分别关于X 和Y 的边缘概率密度f X (x ),f Y (y ); (2)判断X ,Y 是否独立,并说明理由。 解:(1)当x <0或x >1时,f X (x )=0; 当0≤x ≤1时,f X (x )=).1(4|48),(2121 x x y x xydy dy y x f x x -=?==??+∞ ∞- 因此,(X ,Y )关于X 的边缘概率密度f X (x )=? ??≤≤-. ,0,10 ,443其它x x x 当y <0或y >1时,f Y (y )=0; 当0≤y ≤1时,f Y (y )=.4|48),(3020y x y xydx dx y x f y y =?==??+∞ ∞- 因此,(X ,Y )关于Y 的边缘概率密度f Y (y )=? ??≤≤. ,0,10 ,43其它y y (2)因为f (1/2, 1/2)=2,而f X (1/2) f Y (1/2)=(3/2)*(1/2)=3/4≠f (1/2, 1/2), 所以,X 与Y 不独立。 六(1)、已知随机向量(X ,Y )的协方差矩阵V 为7 66 9?? ??? 求随机向量(X +Y , X —Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解:D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=7+9+2*6=28 D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=7+9-2*6=4 Cov(X +Y , X -Y )= DX -DY =7-9= -2 281 4*282 )()() ,(,-=-=-+-+=-+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ 所以,(X +Y , X —Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 28 -2-2 4?? ??? 和 -11 28-1 128?? ? ? ? ??? 六(2)、已知随机向量(X ,Y )的协方差矩阵V 为9 22 1?? ??? 求随机向量(X +Y , X —Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解:D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=9+1+2*2=14 D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=9+1-2*2=6 第17页,共26页 Cov(X +Y , X -Y )= DX -DY =9-1=8 21 46 *148) ()(),(,= = -+-+= -+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ 所以,(X +Y , X —Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 14 88 6?? ??? 和 41 214 1 21 ?? ? ? ? ??? 六(3)、已知随机向量(X ,Y )的协方差矩阵V 为 9 66 6?? ??? -- 求随机向量(X —Y , X +Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解:D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=9+6-2*(-6)=27 D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=9+6+2*(-6)=3 Cov(X -Y , X +Y )= DX -DY =9-6= 3 3 1 3 *273) ()(),(,= = +-+-= +-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ 所以,(X —Y , X +Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 27 33 3?? ??? 和 11 31 13 ?? ? ? ? ??? 六(4)、已知随机向量(X ,Y )的协方差矩阵V 为 4 55 9?? ??? -- 求随机向量(X —Y , X +Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解:D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=4+9-2*(-5)=23 D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=4+9+2*(-5)=3 Cov(X -Y , X +Y )= DX -DY =4-9= -5 69 53 *235) ()(),(,-= -= +-+-= +-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ 所以,(X —Y , X +Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 23 -5-5 13?? ??? 和 -51 69-5 169?? ? ? ? ??? 六(5)、已知随机向量(X ,Y )的协方差矩阵V 为 1 11 4?? ??? - - 求随机向量(X —Y , X +Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解:D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=1+4-2*(-1)= 7 D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=1+4+2*(-1)=3 Cov(X -Y , X +Y )= DX -DY =1-4= -3 21 33 *73) ()(),(,-= -= +-+-= +-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ 所以,(X —Y , X +Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 7 -3-3 3?? ??? 和 -31 21-3 1 21 ?? ? ? ? ??? 第18页,共26页 六(6)、已知随机向量(X ,Y )的协方差矩阵V 为 4 11 25?? ??? 求随机向量(X +Y , X —Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解:D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=4+25+2*1=31 D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=4+25-2*1=27 Cov(X +Y , X -Y )= DX -DY =4-25= -21 93 727 *3121) ()(),(,-= -= -+-+= -+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ 所以,(X +Y , X —Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为31 -21-21 27?? ??? 和 -71 93-7 193?? ? ? ? ??? 六(7)、已知随机向量(X ,Y )的协方差矩阵V 为 5 22 4?? ??? 求随机向量(X +Y , X —Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解:D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=5+4+2*2=13 D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=5+4-2*2=5 Cov(X +Y , X -Y )= DX -DY =5-4=1 65 15 *131) ()(),(,= = -+-+= -+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ 所以,(X +Y , X —Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为13 11 5?? ??? 和 11 651 165?? ? ? ? ??? 六(8)、已知随机向量(X ,Y )的协方差矩阵V 为 9 22 4?? ??? -- 求随机向量(X —Y , X +Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解:D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=9+4-2*(-2)= 17 D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=9+4+2*(-2)=9 Cov(X -Y , X +Y )= DX -DY =9-4= 5 153 59 *175) ()(),(,= = +-+-= +-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ 所以,(X —Y , X +Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为17 55 9?? ??? 和 51 1535 1153?? ? ? ? ??? 六(9)、已知随机向量(X ,Y )的协方差矩阵V 为 4 33 9?? ??? -- 求随机向量(X —Y , X +Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解:D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y ) = 4+9-2*(-3)= 19 D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y ) = 4+9+2*(-3)=7 Cov(X -Y , X +Y )= DX -DY =4-9= -5 133 57 *195) ()(),(,-= -= +-+-= +-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ 第19页,共26页 所以,(X —Y , X +Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 19 -5-5 7?? ??? 和 -51 133-5 1133?? ? ? ? ??? 六(10)、已知随机向量(X ,Y )的协方差矩阵V 为9 33 4?? ??? 求随机向量(X —Y , X +Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解:D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=9+4-2*3= 7 D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=9+4+2*3=19 Cov(X -Y , X +Y )= DX -DY =9-4= 5 133 519 *75) ()(),(,= = +-+-= +-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ 所以,(X —Y , X +Y )的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 7 55 19?? ??? 和 51 1335 1133?? ? ? ? ??? 七(1)、设总体X 的概率密度函数是 1, 01 (;)0, x x f x a αα-?<<=? ?其它 其中0α>为未知参数。12, , , n x x x 是一组样本值,求参数α的最大似然估计。 解:似然函数1 1 1 1 n n n i i i i L x x αααα--===∏=∏ 1 ln ln (1)ln n i i L n x αα==+-∑ 1 ln ln 0n i i d L n x d αα==+=∑ 1 ?ln n i i n x α ==-∑ 七(2)、设总体X 的概率密度函数是 1 01 (;)0 x x f x a αα?+<<=? ?()其它 123,,,,n x x x x 是一组样本值,求参数α的最大似然估计。 解:似然函数1 1 (1)(1)n n n i i i i L x x αα αα===∏+=+∏ 1 ln ln(1)ln n i i L n x α α==++∑ 1 ln ln 01n i i d L n x d αα==+=+∑ 1 ?1ln n i i n x α ==--∑ 七(3)、设总体X 的概率密度函数是 22exp{}, 0 ()0, x x x f x λλ?->=? ?其它 λ>0为未知参数,123,,,,n x x x x 是一组样本值,求参数λ的最大似然估计。 解:似然函数2 2 1 1 1 (2exp{})(2exp{})n n n n n i i i i i i i L x x x x λλλλ====∏-=∏-∑ 21 1 ln ln(2)ln n n i i i i L n x x λλ===+-∑∑ 第20页,共26页 21 ln 0n i i d L n x d αλ==-=∑ 21?n i i n x α==∑ 七(4)、设总体的概率密度函数是 233exp{}, 0()0, x x x f x λλ?->=??其它 其中λ>0是未知参数,123,,,,n x x x x 是一组样本值,求参数λ的最大似然估计。 解:似然函数2323111(3exp{})(3exp{})n n n n n i i i i i i i L x x x x λλλλ====∏-=∏-∑ 2311ln ln(3)ln n n i i i i L n x x λλ===+-∑∑ 31 ln 0n i i d L n x d αλ==-=∑ 31?n i i n x λ==∑ 七(5)、设总体X 服从参数为λ的泊松分布()!x P e x λλλ-=(x =0,1, ),其中0λ>为未知参数,123,,,,n x x x x 是一组样本值, 求参数λ的最大似然估计。 解:似然函数111! !n i i x n n i n i i i i x L e e x x λλλλ=--==∑=∏=∏ 11ln ln ln(!)n n i i i i L x x n λλ===--∑∑ 1ln 0n i i x d L n d αλ ==-=∑ 1?n i i x x n λ ===∑ 七(6)、设总体X 的概率分布为1-P{= }=(1-),0,1x x X x p p x =。 设123,,,,n x x x x 为总体X 的一组简单随机样本,试用最大似然估计法求p 的估计值。 解:()111i i n x x i L p p -==∏- ()11ln ln ln 1n n i i i i L x p n x p ==????=∑+-∑- ? ????? 11ln 1101n n i i i i d L x n x dp p p ==????=∑--∑= ? ?-???? 11?n i i p x x n ==∑= 七(7)、设总体X 服从参数为1θ的指数分布,123,,,,n x x x x 是一组样本值,求参数θ的最大似然估计。 解: 111111n i i i n n x x i L e e θθθθ=--∑=??=∏= ??? 111ln ln n i i L n x θθ=??=-∑ ??? 21 ln 10n i i d L n x d θθθ==-+∑= 11?n i i x x n θ==∑= 七(8)、设总体X 服从参数为λ的指数分布,123,,,,n x x x x 是一组样本值,求参数λ的最大似然估计。 解:似然函数11n i i i n x x n n i L e e λλλλ=-∑-==∏= 1ln ln n i i L n x λλ==-∑ 1ln 0n i i d L n x d λλ==-∑= 1 1?n i i n x x λ===∑ 七(9)、设总体X 的概率密度函数是 第21页,共26页 21 ()21(;), 2x f x e x μμπ --=-∞<<+∞ 12,,,n x x x 是一组样本值,求参数μ的最大似然估计? 解:似然函数 ()() ()21 2211111exp 222i n n x i n i i L e x μμππ--==??=∏=-∑-???? ()211ln ln 2()22n i i n L x πμ==--∑- 1 ln ()0n i i d L x d μμ==∑-= 11?n i i x x n μ==∑= 七(10)、设总体X 的概率密度函数是 221(;), 2x f x e x δδπδ-= -∞<<+∞ 123,,,,n x x x x 是一组样本值,求参数δ 的最大似然估计? 解:似然函数 () 22211111()exp 222i x n n n i n i i L e x δδπδπδ-==??=∏=-∑???? ()211ln ln 2ln 222n i i n n L x πδδ==---∑ 221 ln 122n i i d L n x d δδδ==-+∑ 211?n i i x n δ==∑ 八(1)、从某同类零件中抽取9件,测得其长度为( 单位:mm ): 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设零件长度X 服从正态分布N (μ,1)。求μ的置信度为0.95的置信区间。0.050.050.025 ((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )t t U =已知: 、解:由于零件的长度服从正态分布,所以~(0,1)/x U N n μσ-= 0.025{||}0.95P U u <= 所以μ的置信区间为0.0250.025(,)x u x u n n σσ-+ 经计算 9191 6i i x x ===∑ μ的置信度为0.95的置信区间为 1133(6 1.96,6 1.96)-?+? 即(5.347,6.653) 八(2)、某车间生产滚珠,其直径X ~N (μ, 0.05),从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下(单位:毫米 ): 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7 若已知该天产品直径的方差不变,试找出平均直径μ的置信度为0.95的置信区间。 0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )t t U =已知: 解:由于滚珠的直径X 服从正态分布,所以~(0,1)/x U N n μσ-= 0.025{||}0.95P U u <= 所以μ的置信区间为:0.0250.025(,)x u x u n n σσ-+ 经计算 9191 14.911i i x x ===∑ μ的置信度为0.95的置信区间为 0.05 0.0533(14.911 1.96,14.911 1.96)-?+? 即(14.765,15.057) 八(3)、工厂生产一种零件,其口径X (单位:毫米)服从正态分布2(,)N μσ ,现从某日生产的零件中随机抽出9个,分别测得其口径如下: 14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7 已知零件口径X 的标准差0.15σ=,求μ的置信度为0.95的置信区间。 0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )t t U =已知: 解:由于零件的口径服从正态分布,所以~(0,1)/x U N n μσ-= 0.025{||}0.95P U u <=
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