5.3.2 命题、定理、证明(1)

第五章 相交线与平行线

5.3 平行线的性质5.3.2 命题、定理、证明(1)

创设情境 引入新知

问题情境一：下列语句在表述形式上，哪些是 对事情作了判断？(1)对顶角相等. √ (2)画一个角等于已知角. (3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角 互补. √ (4)a、b两条直线平行吗？ (5)如果两条直线都与第三条直线平行，那么 这两条直线也互相平行. √ (6)等式两边加同一个数，结果仍是等式. √

归纳新知 形成概念

—命题一、命题的概念判定一件事情的语句，叫做命题. 问题： (1)你能举出1 ~ 2个命题的例子吗？ (2)你能发现命题在结构上的共同特征吗？

归纳新知 形成概念

—命题二、命题的构成命题由题设和结论组成. 题设是已知项， 结论是由已知项推出的事项.

例如， 两直线平行，同位角相等.题设 结论

归纳新知 形成概念

—命题三、命题的书写形式数学中的命题常可以写成“如果 那么 ”的形式，这时“如果”后接的部 分是题设，“那么”后接的部分是结论. 例如， “两条平行线被第三条直线所截， 同旁内角互补”可以写成 “如果两条直线被第三条直线所截， 那么同旁内角互补”.

创设情境 引入新知

命题 “对顶角相 等”是假命 下列语句是命题吗？它们的共同特点是 题吗？你认 什么？ 为命题应该 怎样分类？ (1)如果两个角互补，那么它们是邻补角；

问题情境二：

(2)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整 除.这两个语句都是命题， 它们的共同特点是题设成立时， 不能保证结论一定成立， 它们都是错误的命题.像这样的命题叫做假命题.

归纳新知 形成概念

—命题四、命题的分类真命题：如果题设成立，那么结论一定成立， 这样的命题叫做真命题. 假命题：题设成立时，不能保证结论一定成 立，这样的命题叫做假命题. 问题： 你能举出1 ~ 2个真命题的例子吗？

协作探究 掌握新知

例1

把下列命题改写成“如果……那 么……”的形式：(1)垂直于同一直线的两直线平行； (2)对顶角相等.

例题解析

解：(1)如果两条直线垂直于同一条直线， 那么这两条直线平行；(2)如果两个角是对顶角，那么 这两个角相等. 小结：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变. 改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论 更明朗，易于分辨.改写过程中，可适当增加词语，切 不可生搬硬套.

协作探究 掌握新知

例2

指出下列命题的题设和结论：(1)如果AB⊥CD,垂足为O,那么∠AOC=90°; (2)两直线平行，同位角相等；

(3)邻补角互补.

例题解析

解：(1)题

设是“AB⊥CD,垂足为O”, 结论是“∠AOC=90°”;(2)题设是“两直线平行”, 结论是“同位角相等”; (3)题设是“两个角是邻补角”, 结论是“这两个角互补”. 解题反思：(1)区分不出命题的题设和结论时，就把命题改写 成“如果……那么……”的形式 ； (2)命题的题设与结论不包括“如果”和“那么” 这些字眼.

巩固训练 应用新知

练习1: 把下列命题改写成“如果 那 么 ”的形式：(1)两条平行线被第三条直线所截，内错角 相等； (2)平行于同一直线的两直线平行； (3)直角三角形的两个锐角互余； (4)等角的补角相等.

练习解析

解：(1)如果两条平行线被第三条直线所截，那 么内错角相等； (2)如果两条直线都平行于同一条直线，那 么这两条直线平行；

(3)如果一个三角形是直角三角形，那么这 个直角三角形的两个锐角互余；(4)如果两个角相等，那么这两个角的补角 相等.

巩固训练 应用新知

练习2: 指出下列命题的题设和结论，并说 明哪些是真命题，哪些是假命题：(1)如果AC=BC,那么C是线段AB的中点； (2)如果∠1= ∠2,∠2= ∠3,那么∠1= ∠3;

(3)若xy=0,则x=0;(4)大于直角的角是钝角.

练习解析

解：(1)题设是“AC=BC”, 结论是“C是 线段AB的中点”,命题是假命题； (2)题设是“∠1= ∠2,∠2= ∠3”,结 论是“∠1= ∠3”,命题是真命题； (3)题设是“xy=0”, 结论是“x=0”, 命题是假命题； (4)题设是“一个角大于直角”, 结论 是“这个角是钝角”,命题是假命题.

归纳新知 形成概念

—定理一、定理的概念一些命题的正确性是经过推理证实的， 这样得到的真命题叫做定理. 问题： 你能再举出一些基本事实或定理的例子吗？

归纳新知 形成概念

—定理二、定理的作用定理可以作为推理的依据. 基本事实和定理都可以作为推理的依据.

创设情境 引入新知

问题情境二：命题“在同一平面内，如果一条直 线垂直于两条平行线中的一条，那么它 也垂直于另一条”是真命题吗？如果是， 说明理由，如果不是，请举出反例.证明

命题

真命题

协作探究 掌握新知

例2命题“相等的角是对顶角”是真命题 吗？如果是，说出理由；如果不是，请 举出反例.答： 原命题是假命题. 反例： 如图2,OC是∠AOB的平分线， ∠1= ∠2,但它们不是对顶角.

图2

注：判定一个命题是假命题，只要举出一个例子 (反例),它符合命题的题设，但不满足结论就 可以了.

巩固训练 应用新知

练习 2.命题“同位角相等”是真命题吗？ 如果是，说出理由；如果不是，请举 出反例.

答： 原命题是假命题， 反例： 如图4,∠1与∠2是同位角， ∠1>∠2,它们不相等.1 A B 2 C F G

E D

图4

课堂小结 布置作业

课堂小结1.本节课你学习了哪些知识？ 2.本节课你掌握了哪些数学方法？3.本节课你最大的体验是什么？

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