2009上学期固体物理B卷答案

湘潭大学 2009 年 上 学期 2007 级 微电子学专业 《固体物理导论》课程期末考试B卷参考答案及评分标准

一、 解释下列概念(每小题3分，共30分) 1、原胞：指一个晶格最小的周期性单元。

2、声子：晶格振动能量是量子化的，以h?为单位来增减其能量，h?就称为晶格振动能量的量子——即声子。

3、费米面：K空间占有电子与不占有电子区域的分界面。

4、波包：量子力学中，对任意有经典类比的力学系统，如果对一个态的经典描述近似成立，用一个波包来描述这个态。波包指粒子在空间分布在r0附近的Δr 范围内，动量取值为?k0附近的??k范围内，粒子的坐标和动量满足量子力学测不准关系。

5、德·哈斯-范·阿尔芬效应：在低温下磁化率随磁场的倒数呈现出周期性振荡现象，称为德哈斯—范阿尔芬效应。

6、刃位错：位错线垂直于滑移的方向的位错，称为刃位错。 7、弗伦克尔缺陷：空位和填隙原子可以成对地产生的点缺陷。

8、单电子近似：对于任何的单独的一个电子，是在位置固定的离子实和其它所有电子所形成的静态平均势场中运动，这就使得问题简化为单电子的运动问题，这种近似思想被称为单电子近似。

9、赝势：在离子实的内部用假想的势能取代真实的势能，在求解薛定谔方程时，若不改变能量本征值和离子实之间区域的波函数，这个假想的势能就叫做赝势。 10、功函数：导带中费密能级附近的电子离开金属必须做的功。 二、 简答题(共35分)

1、（7分）晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？

解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点（2分）。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构（2分）。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：

晶格点阵＋基元＝实际晶体结构（3分）

2、（8分）分别以磷和硼代替硅为例，试描述施主与受主的电离过程。

解：在N型半导体中，5价的磷杂质原子替代4价的硅或锗原子后，用4个价电子与周围4个近邻原子形成共价键，还有一个多余的价电子，这个电子可以

1

从杂质原子上电离出来进入晶体的导带。这种5价的杂质原子电离后成为带正电的离子，称为施主。（4分）

在P型半导体中，3价的硼杂质原子替代4价的硅或锗的位置，需要从价带中吸取一个电子才能与周围的4个近邻原子形成4个共价键，而杂质原子则成了带负电的离子，此带负电离子即称为受主。（4分） 3、（8分）试述离子键、共价键、金属键和范德瓦尔斯键的基本特征。 解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2分）（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（2分）（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（2分）（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与r7成反比函数关系，该键结合能较弱；（2分） 4、（12分）晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？ 解：我们知道晶体比热容的一般公式为

m?E??2e??/(kBT)?(?)d?（2分） cV?()V??kB()??/(kBT)2?TkT(e?1)B0?由上式可以看出，在用量子理论求晶体比热容时，问题的关键在于如何求角频率的分布函数?(?)（2分）。但是对于具体的晶体来讲，?(?)的计算非常复杂。为此，在爱因斯坦模型中，假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动（4分）；而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波以求出?(?)的表达式（4分）。

三、 计算题(共35分)

1、(10分)对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为

a1?a3i?aj 22a3a2??i?aj

22a3?ck

试求倒格子基矢。

解：根据倒格子基矢的定义可知（1分）：

a3(?i?aj)?(ck)a2?a322?2? b1?2?a1?[a2?a3]a3a3(i?aj)?[(?i?aj)?(ck)]2222 2

3acac2i?2j?2?3＝2?(i?2j)（3分）

2a2ac3(ck)a3ba?(?i?3?a12?2?2aj)a?2?21?[a2?a3](a3 2i?32aj)?[(?a2i?2aj)?(ck)]?3ac?22i?ac?2j3＝2?a(?i?2j)（3分）2a2c3ba?a(ai?3aj)?(?ai?3aj)123?2?a]?2?2222 1?[a2?a3(a2i?32aj)?[(?a2i?32aj)?(ck)]3 ?2?2a2k3=2?k（3分） 2c2ac 2、（10分）已知一维晶体的电子能带可写成：

E(k)??2ma2(78?coska?18cos2ka)。

式中a是晶格常数。试求

（1）能带的宽度；

（2）电子在波矢k的状态时的速度； （3）能带底部和顶部电子的有效质量。

解：（1）在能带底k?0处，电子能量为

E(0)?0 在能带顶k??a处，电子能量为

E(?2?2a)?ma2 故能带宽度为?E?E(?a)?E(0)?2?2ma2（3分）

3

（2）电子在波矢k的状态时的速度为

1dE?1?(sikan?sin2ka)（3分） v(k)??dkma4（3）电子的有效质量为

d2E m??/2?dk*2m

1coska?cos2ka2*于是有在能带底部电子的有效质量为m1?2m（2分）

2*??m（2分） 在能带顶部电子的有效质量为m23

3、（15分）试求质量为m，原子间距为a/2，力常数交错为?1，?2的一维原子链振动的色散关系。当?2?10?1时，求在q?0和q??a处的?(q)，并粗略画出

色散关系。

解：下图给出了该一维原子链的示意图

m β1 ?2β1 ?2

a 2 x2n-2 x2n+1 x2n x2n+1 x2n+2 x2n+3

在最近邻近似和简谐近似下，第2n和第（2n+1）个原子的运动方程为

?d2x2nm??2(x2n?1?x2n)??1(x2n?x2n?1)??dt2 ? ??（1）2?mdx2n?1??(x12n?2?x2n?1)??2(x2n?1?x2n)?dt2?（2分）

当?2?10?1时，上述方程组（1）可变为

?d2x2nm?10?1(x2n?1?x2n)??1(x2n?x2n?1)??dt2 ? ??（2）2dx2n?1?m??1(x2n?2?x2n?1)?10?1(x2n?1?x2n)2?dt?（2分）

为求格波解，令

qai[(2n)??t]?2?x2n?Ae ? ??qai[(2n?1)??t]2?x?2n?1?Be 4

（3）（2分）

将（3）式代入（2）式，可导出线性方程组为

?1?11?12iqa/2?iqa/2(??)A?(10e?e)B?0?mm ? ??（4）?1iqa/211?1??(e?10e?iqa/2)A?(??2)B?0m?m（2分）

令

?12??0，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得（2分）

m (11?22)2??4/2/20??0(10eiqa?e?iqa/2)(eiqa?10e?iqa/2)?0（5）

由（5）式可解出?2??20(11?20cosqa?101)

当q?0时，cosqa?1，???22?0，???0（1分） 当q??a时，cosqa??1，???20?0，???2?0（1分）

其色散关系曲线如下图所示：（3分） ω 22?0 ?? 20?0 2?0 ?? πaOπaq 图 原子间的力常数不相等的双原子链的晶格振动色散关系曲线

5

??

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