2019-2020年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第三讲 圆锥曲线性质的探讨 Word版含答案

2019-2020年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第三讲圆锥曲线性质的探讨Word

版含答案

1．正射影的概念

给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．

一个图形上点A′所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．

2．平行射影

设直线l与平面α相交，称直线l的方向为投影方向，过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．3．正射影与平行射影的联系与区别

正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积．4．两个定理

(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．

(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l 旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l 平行时，记β＝0)，则

①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆．

②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线．

③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．

[对应学生用书P37]

[例1]()

A．椭圆B．圆

C．线段D．射线

[思路点拨]要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看投影面与椭圆所在平面的位置关系．

[解析]因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等．

[答案] A

平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的正射影．

1．下列说法正确的是()

A．平行射影是正射影

B．正射影是平行射影

C．同一个图形的平行射影和正射影相同

D．圆的平行射影不可能是圆

解析：正射影是平行射影的特例，则选项A不正确，选项B正确；对同一个图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，则选项C不正确；当投影线垂直于投影面，且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，则选项D不正确．答案：B

2．梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α上的射影是____________．解析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段．

如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的射影仍是梯形．

答案：一条线段或梯形

3．已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影为A′(A′不在BC上)．

(1)当∠BAC ＝90°时，求证：△A ′BC 为钝角三角形；

(2)当∠BAC ＝60°时，AB 、AC 与平面α所成的角分别是30°和45°时，求cos ∠BA ′C . 解：(1)证明：∵AB >A ′B ，AC >A ′C ，

∴A ′B 2＋A ′C 2<AB 2＋AC 2＝BC 2.

∴cos ∠BA ′C ＝A ′B 2＋A ′C 2－BC 2

2A ′B ·A ′C

<0. ∴∠BA ′C 为钝角．∴△A ′BC 为钝角三角形．

(2)由题意，∠ABA ′＝30°，∠ACA ′＝45°.

设AA ′＝1，则A ′B ＝3，A ′C ＝1，AC ＝2，AB ＝2，

∴BC ＝

AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝ 6－22，

cos ∠BA ′C ＝A ′B 2＋A ′C 2－BC 22A ′B ·A ′C ＝6－33.

[例2] 如图，在圆柱O

1O 2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别

为⊙O 1和⊙O 2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F 1、F 2.

求证：斜截面与圆柱面的截线是以F 1、F 2为焦点的椭圆．

[思路点拨] 证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点

的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．

[证明] 如图，设点P 为曲线上任一点，连接PF 1、PF 2，则PF 1、PF 2分别

是两个球面的切线，切点为F 1、F 2，过P 作母线，与两球面分别相交于K 1、K 2，则PK 1、PK 2分别是两球面的切线，切点为K 1、K 2.

根据切线长定理的空间推广 ，

知PF 1＝PK 1，PF 2＝PK 2，

所以PF 1＋PF 2＝PK 1＋PK 2＝K 1K 2.

由于K 1K 2为定值，故点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆．

(1)证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin 双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状．

(2)该题使用了切线长定理的空间推广 (从球外一点引球的切线，切线长都相等)．

4．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为________．

解析：由2a ＝6，即a ＝3，又e ＝cos 45°＝

22， 故b ＝c ＝ea ＝

22×3＝322

，即为圆柱面的半径． 答案：322

5．已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴、短轴和离心率．

解：由题意可知椭圆的短轴为2b ＝2×2，

∴短轴长为4.

设长轴长为2a ，则有2b 2a ＝sin 30°＝12

， ∴2a ＝4b ＝8.e ＝c a ＝32

. ∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为32

.

[例3]

[思路点拨] 本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的方法证明，即Dandelin 双球法．

[证明] 如图，在圆锥内部嵌入Dandelin 双球，一个位于平

面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均

相切．

当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一

个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F 1、F 2，与圆锥

相切于圆S 1、S 2.

在截面的曲线上任取一点P ，连接PF 1、PF 2.过P 作母线交S 1于Q 1，交S 2于Q 2，于是PF 1和PQ 1是从P 到上方球的两条切线，因此PF 1＝PQ 1.同理，PF 2＝PQ 2.

所以PF 1＋PF 2＝PQ 1＋PQ 2＝Q 1Q 2.

由正圆锥的对称性，Q 1Q 2的长度等于两圆S 1、S 2所在平行平面间的母线段的长度而与P 的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面π与圆锥的交线为一个椭圆．

由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用Dandelin 双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决．

6．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

解析：由α＝50°2

＝25°，φ＝30°，φ>α， ∴截线是椭圆．

答案：B

7．如图，已知平面π与圆锥的轴的夹角为β，圆锥母线与轴的夹角为α，α＝β，求证：平面π与圆锥的交线为抛物线．

证明：当β＝α时，平面与圆锥的一部分相交，且曲线不闭合．在圆锥内嵌入一个Dandelin 球与圆锥交线为圆S .记圆S 所在平面为π′，π与π′的交线记为m .球切π于F 1点．

在截口上任取一点P ，过P 作P A ⊥m 于A ，过P 作PB ⊥平面π′于B ，过P 作圆锥的母线交平面π′于C ，连接AB ，PF 1，BC .

由切线长定理，PF1＝PC.

∵PB平行于圆锥的轴，∴∠APB＝β，∠BPC＝α.

在Rt△ABP中，P A＝PB

cos β，

在Rt△BCP中，PC＝PB

cos α.

∵α＝β，∴PC＝P A.∴PF1＝P A，即截口上任一点到定点F和到定直线m的距离相等．∴截口曲线为抛物线．

[对应学生用书P39]

一、选择题

1．一条直线在一个面上的平行投影是()

A．一条直线B．一个点

C．一条直线或一个点D．不能确定

解析：当直线与面垂直时，平行投影可能是点．

答案：C

2．△ABC的一边在平面α内，一顶点在平面α外，则△ABC在面α内的射影是() A．三角形B．一直线

C．三角形或一直线D．以上均不正确

解析：当△ABC所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形．答案：D

3．下列说法不．正确的是()

A．圆柱面的母线与轴线平行

B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面

C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关

D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径

解析：显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C 显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．

答案：D

4．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，

则截得二次曲线的离心率为( ) A.22 B. 2

C ．1 D.12 解析：由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e ＝cos 45°cos 60°

＝ 2. 答案：B

二、填空题

5．用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是________、________.

解析：联想立体图形及课本方法，可得结论．要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况．

答案：圆 圆或椭圆

6．有下列说法

①矩形的平行射影一定是矩形；

②梯形的平行射影一定是梯形；

③平行四边形的平行射影可能是正方形；

④正方形的平行射影一定是菱形；

其中正确命题有________．(填上所有正确说法的序号)

解析：利用平行射影的概念和性质进行判断．

答案：③

7．在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为________．

解析：如图，为圆柱的轴截面，AB 为与两球O 1和球O 2都相切的

平面与轴截面的交线，由对称性知AB 过圆柱的几何中心O .由O 1O ⊥OD ，

O 1C ⊥OA ，故∠OO 1C ＝∠AOD ，且O 1C ＝OD ＝6，

所以Rt △OO 1C ≌Rt △AOD ，则AO ＝O 1O .

故AB ＝2AO ＝2O 1O ＝O 1O 2＝13.

显然AB 即为椭圆的长轴，所以AB ＝13.

答案：13

三、解答题

8．△ABC 是边长为2的正三角形，BC ∥平面α，A 、B 、C 在α

的同侧，它们在α内的射影分别为A ′、B ′、C ′，若△A ′B ′C ′

为直角三角形，BC 与α间的距离为5，求A 到α的距离．

解：由条件可知A ′B ′＝A ′C ′，

∴∠B ′A ′C ′＝90°.

设AA ′＝x ，在直角梯形AA ′C ′C 中，

A ′C ′2＝4－(5－x )2，

由A ′B ′2＋A ′C ′2＝B ′C ′2，

得2×[4－(x －5)2]＝4，x ＝5±2.

即A 到α的距离为5±2.

9．若圆柱的一正截面的截线为以3为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成60°，求截线椭圆的两个焦点间的距离．

解：设椭圆长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c ，

则b ＝3，

a ＝

b cos 60°

＝3×2＝6， ∴c 2＝a 2－b 2＝62－33＝27.

∴两焦点间距离2c ＝227＝6 3.

10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，AB 、CD 是圆锥

面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD 和母线VB 的中点E 作一截面，

求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线？

解：设⊙O 的半径为R ，母线VA ＝l ，

则侧面展开图的中心角为2πR l ＝2π， ∴圆锥的半顶角α＝π4

. 连接OE ，∵O 、E 分别是AB 、VB 的中点，

∴OE ∥VA ，

∴∠VOE ＝∠AVO ＝π4.

又∵AB ⊥CD ，VO ⊥CD ，

∴CD ⊥平面VAB .

∴平面CDE ⊥平面VAB .

即平面VAB 为截面CDE 的轴面，

∴∠VOE 为截面与轴线所夹的角，即为π4

. 又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，

故截面CDE 与圆锥的截线为一抛物线．

模块综合检测

[对应学生用书P45]

(时间：90分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，该图中只有x 个三角形与△

ABC 相似，则x 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：由题所给图形为射影定理的基本图形，△ACD 、△BCD 均与△ABC 相似． 答案：B

2．已知：如图，?ABCD 中，EF ∥AC 交AD 、DC 于E 、F ，AD ，BF 的延长线交于M ，则下列等式成立的是( )

A ．AD 2＝AE ·AM

B ．AD 2＝CF ·DC

C ．A

D 2＝BC ·AB

D ．AD 2＝A

E ·ED

解析：∵在?ABCD 中，

∴AD ∥BC ，AB ∥DC .

∵DF∥AB，∴AD

AM＝BF

BM.

∵DM∥BC，∴BF

BM＝CF DC.

∵EF∥AC，∴AE

AD＝CF DC.

∴AD

AM＝AE

AD，∴AD

2＝AE·AM.

答案：A

3．对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是()

A．射影为线段时，线段的长为8

B．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8

C．射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8

D．射影为圆时，圆的直径可能为4

解析：由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为8.

答案：D

4．如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是()

解析：用平面去截圆锥，如题图：平面与圆锥的侧面截得一条弧线，与底面截得一条线段，所以截面的形状应该是D.

答案：D

5．如图，P A，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，

则∠BOC的度数为()

A．50°B．25°

C．40°D．60°

解析：因为P A，PB是⊙O的切线，

所以∠OAP＝∠OBP＝90°，

而∠P＝50°，

所以∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°，

又因为AC是⊙O的直径，

所以∠BOC＝180°－130°＝50°.

答案：A

6.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线

PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于()

A．15°B．20°

C．25°D．30°

解析：∵OA＝OC，∴∠A＝∠1，

∴∠POC＝2∠A＝70°.

∵OC⊥PC，∴∠P＝90°－∠POC＝20°.

答案：B

7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的

切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO等于() A．30°B．35°

C．40°D．45°

解析：∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD.

又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，

由此得∠ACO＝∠CAD.

∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，

∴∠CAD＝∠CAO.

故AC平分∠DAB，∴∠CAO＝40°.

又∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40°.

答案：C

8.(天津高考)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆

于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·F A；③AE·CE ＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.

则所有正确结论的序号是()

A．①②B．③④

C ．①②③

D ．①②④

解析：因为∠BAD ＝∠FBD ，∠DBC ＝∠DAC ，

又AE 平分∠BAC ，即∠BAD ＝∠DAC ，

所以∠FBD ＝∠DBC ，

所以BD 平分∠CBF ，结论①正确；

易证△ABF ∽△BDF ，所以AB AF ＝BD BF

， 所以AB ·BF ＝AF ·BD ，结论④正确；

由切割线定理，得BF 2＝AF ·DF ，结论②正确；由相交弦定理，得AE ·DE ＝BE ·CE ，结论③错误．选D.

答案：D

9．如图，P 为圆外一点，P A 切圆于点A ，P A ＝8，直线PCB 交圆

于C ，B 两点，且PC ＝4， AD ⊥BC ，垂足为点D ，∠ABC ＝α，∠ACB

＝β，连接AB ，AC ，则sin αsin β

等于( ) A.14

B.12 C ．2

D ．4 解析：由P A 2＝PC ·PB ，

有64＝4PB ，∴PB ＝16.

又∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，AD ⊥BC ，

∴AB ＝AD sin α，AC ＝AD sin β

. 在△P AB 和△PCA 中，∠B ＝∠P AC ，∠P 为公共角，

∴△P AB ∽△PCA .

∴AC AB ＝AP BP ，即AD

sin βAD sin α

＝816.∴sin αsin β＝12

. 答案：B

10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：

①∠B ＋∠DAC ＝90°，②∠B ＝∠DAC ，③CD AD ＝AC AB ，④AB 2＝BD ·BC .

其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( )

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

解析：验证法：①不能判定△ABC 为直角三角形，因为∠B ＋∠DAC ＝90°，而∠B ＋∠DAB ＝90°，则∠BAD ＝∠DAC ，同理∠B ＝∠C ，不能判定∠BAD ＋∠DAC 等于90°；而②中∠B ＝∠DAC ，∠C 为公共角，则△ABC ∽△DAC ，又△DAC 为直角三角形，所以△ABC 为直角三角形；在③中，由CD AD ＝AC AB

可得△ACD ∽△BAD ，则∠BAD ＝∠C ，∠B ＝∠DAC ，所以∠BAD ＋∠DAC ＝90°；而④中AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝AB BC

，∠B 为公共角，则△ABC ∽△DBA ，即△ABC 为直角三角形．所以正确命题有3个．

答案：A

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)

11．(广东高考)如图，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.

解析：如图，连接OA .

由∠ABC ＝30°，得∠AOC ＝60°，在直角三角形AOP 中，OA ＝1，

于是P A ＝OA tan 60°＝ 3. 答案： 3

12．如图，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AB ＝10，BD ＝8，则

cos ∠BCE ＝________.

解析：如图，连接AD .

则∠ADB ＝90°，且∠DAC ＝∠B ，

所以cos ∠BCE ＝cos ∠DAB

＝DA AB ＝102－8210＝35. 答案：35

13．如图，AB 是直径，CD ⊥AB 于D ，CD ＝43，AD ∶DB ＝3∶1，

则直径的长为________．

解析：因为AB 是直径，CD ⊥AB 于D ，

所以CD 2＝AD ·BD .

因为AD ∶DB ＝3∶1，设DB ＝x ，则AD ＝3x .

所以(43)2＝3x ·x .所以x ＝4.所以AB ＝16.

答案：16

14.如图，△ABC 中，AD ∥BC ，连接CD 交AB 于E ，且AE ∶EB

＝1∶2，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，若S △ADE ＝1，则S △AEF ＝________.

解析：∵AD ∥BC ，∴△ADE ∽△BCE .

∴BE AE ＝CE DE ＝21

. ∵EF ∥AD ，∴EF AD ＝CE DC ＝23

. ∵△ADE 与△AFE 的高相同，

∴S △AEF S △ADE ＝EF AD ＝23

. ∴S △AEF ＝23

. 答案：23

三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，

E 是CD 的中点，E

F ∥BC 交AB 于F ，F

G ∥BD 交AD 于G .

求证：AG ＝DG .

证明：∵AD ∥EF ∥BC ，E 是CD 的中点，

∴F 是AB 的中点．

又∵FG ∥BD ，∴G 是AD 的中点．

∴AG ＝DG .

16．(本小题满分12分)如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，

AD ⊥OE 于D ，割线EC 交圆O 于B ，C 两点．

(1)证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；

(2)设∠DBC ＝50°，∠ODC ＝30°，求∠OEC 的大小．

解：(1)证明连接OA ，OC ，则OA ⊥EA .

由射影定理得EA 2＝ED ·EO .

由切割线定理得EA 2＝EB ·EC ，

故ED ·EO ＝EB ·EC ，

即ED EB ＝EC EO

， 又∠DEB ＝∠OEC ，

所以△BDE ∽△OCE ，所以∠EDB ＝∠OCE ，

因此O ，D ，B ，C 四点共圆．

(2)连接OB .因为∠OEC ＋∠OCB ＋∠COE ＝180°，结合(1)得∠OEC ＝180°－∠OCB －∠COE ＝180°－∠OBC －∠DBE

＝180°－∠OBC －(180°－∠DBC )

＝∠DBC －∠ODC ＝20°.

17．(新课标全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .

(1)证明：∠D ＝∠E;

(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形． 证明：(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，

所以∠D ＝∠CBE .

由已知CB ＝CE 得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .

(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故

O在直线MN上．

又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，

故OM⊥AD，即MN⊥AD.

所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.

又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.

由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．

18．(本小题满分14分)如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.

(1)求证：∠P＝∠EDF；

(2)求证：CE·EB＝EF·EP；

(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求P A的长．

解：(1)证明：∵DE2＝EF·EC，

∴DE∶CE＝EF∶ED.

∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.

∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.

∴∠P＝∠EDF.

(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，

∴△DEF∽△PEA.

∴DE∶PE＝EF∶EA.

即EF·EP＝DE·EA.

∵弦AD、BC相交于点E，

∴DE·EA＝CE·EB.

∴CE·EB＝EF·EP.

(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，

∴EC ＝9.∵CE ∶BE ＝3∶2，∴BE ＝6. ∵CE ·EB ＝EF ·EP ，

∴9×6＝4×EP .

解得：EP ＝272

. ∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452

. 由切割线定理得：P A 2＝PB ·PC ，

∴P A 2＝152×452.∴P A ＝152 3.

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