勾股术

而依〔清〕数学家徐光启、梅文鼎的看法,勾股术乃西方数学之根本（徐光启著《几何原本序》称：“几何原本者,度数之宗”。又著《几何原本杂议》称：“能精此书者，无书不可精”。梅文鼎著《几何摘要·要目》称：“几何原本为西算之根本”。又著《几何通解》称：“几何不言勾股。然,其理并勾股也。”）,《洛书》既为勾股术之源，自然亦便是西方数学根本之根

本。

到十七世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学中特意使用符号具有很好的功效。并且使数学问题具有一般性。不过当时随意引入的符号太多，我们今天所使用的符号，实际是这些符号经过长期淘汰后剩下来的。现部分列出文艺复兴时期出现的缩写代数符号：

运算或关系 方根 加，减 加，减 减 等于 等于 等于 乘 乘 比例 除 大于,小于 方括号,大括号 根号 乘幂 乘幂 指数 指数 指数 符号 r p, m + , - ~ = ~ ? ? 使用者 Fibonacci (1170~1250, 意) Pacioli (约1445~1517, 意) J.Widman（德） Oughtred（英） R. Recorde（英） Vieta（法） Descartes（法） Oughtred（英） Oughtred（英） Oughtred（英） J.H.Rahn (1622~1676, 瑞士) T. Harriot（1560~1621,英） Vieta C.Rudolff Oresme Chuquet Pierre Herigone T. Harriot（1560~1621,英） Descartes 时间 1202年 1494年 1489年 1631年 1557年 1591年 1637年 1631年 1631年 1631年 1659年 16世纪 1593年 16世纪 14世纪 1484年 1634年 ：： ? >, < [ ],{ } xn an a3 aaa ax 1637年 由于时代的原因和清朝统治者的需要，这种不符历史实际的“西学中源”说在清代曾广为流传，并成了延缓西学深入传播的一个重要因素和统治者维系其王道正

统的一个思想武器。梅文鼎的这一错误与其卓越学识的不和谐，乃是当时整个中

华民族和中国社会在西方科技文明的冲击下所处两难境地的一种反映。 然而把梅文鼎的科学活动放在整个清代学术思潮演变的大舞台上加以审视，就会发现他在其中扮演了一个十分关键的角色。梁启超说：“我国科学最昌明者，惟天文算法。至清而尤盛，凡治经者多兼通之，其开山之祖，则宣城梅文鼎也。”①通过梅文鼎这一人物，也可从一个侧面看到中西两种文化由尖锐对立到开始交融

的历史过程及其独特的方式。

(二)东方代表人物

1、徐光启 ( 1562-1633 ) 上海人，是一位明代数学家，主持编着《崇祯历书》，并着有《徐光启集》。他的译着较多，以《几何原本》、《秦西水法》、《测量法义》、《勾股术》最为著名。他是我国近代向西方学习科学技术的先驱。

如清代数学家梅文鼎就说整个几何学就是勾股术。康熙也说：“阿尔日巴拉即天元术。”所谓阿尔日巴拉即代数学。杨振宁认为，“以后整个清朝有些大学者如戴震、阮元等都

欧几里德《几何原本》卷二11题，卷四10题，11题，卷六界说三和30题等，都是研究著名的黄金分割问题．我国清初著名数学家梅文鼎用了十余年时间在《几何通解》(1691年)，《几何补编》(1692年)中，用我国古代传统的勾股术和比例理论，对这一问题进行了深入细致地研究；得出了五种作法，这些作法，都比《几何原本》简捷，其中有些作法新颖独特，至今一直被初中几何教科书选用．现依《几何通解》简介如下，另附民间一些圆内接正五边形近似作法．

明末徐光启的“以数学为宗、重经济物理”的教育内容新范式，深刻地 影响了清初教育家的理论主张。如陆世仪明确地说：数学是其他各项实学的 基础，“凡天文、律令、水利、兵法、农田之类，皆须用算学者”。因此， 不能将数学仅视为是古代六艺之一，因为这是一门“似缓而实急”的学科， 如果“不知算”或“虽知算而不精”，皆“未可云用世也。”同时，他也积 极吸收西学中的精华，说：“西学有几何用法《崇祯历书》中有之，盖详论 勾股之法也。勾股法，《九章算术》中有之，然未若西学之精。”①从此言中， 可看出徐光启思想的影响。明末对西洋科学的介绍，虽然是些微而不足道， 但陆世仪这样的追求真理的知识分子，则从《崇祯历书》中窥见了西方科学， 接受了徐光启“数学乃实学之基”的观点，并认为自然科学知识的范围不当 囿于传统的六艺，还当学习精于中国传统学说的西方科学。 而顾炎武之弟子、梅文鼎之学友潘耒（公元 1646—1708 年），更是以数

学为经世致用之实学。他说：“数虽居艺之末，而为用甚钜”。“测天度地， 非数不明，治赋理财，非数不核；屯营布陈，非数不审；程功董役，非数不 练。”①若能熟练地掌握这门知识，则于其他诸项实学（工、虞、水、火）， 无所不能；措诸政事，则无不如志。潘耒尤推重民间历算大师梅文鼎等人， 以之精研天文历数，正是学行醇笃的儒者所当为之事；更主张天下知识分子 象梅文鼎等人一样，覃精自然科学。而此时所当学习的数学，不惟是中国的 古算经，还须包括西方的科学书籍，如《几何原本》等书。学生通过古算经、 西洋诸书及梅文鼎等人的数学著作的学习，兼通中西，达到“因数以知法， 因法以悟理”的境界，从而复兴数学。倘若数学能复兴，则学校中所培养的 学生便多“综理练达之材”。“综理练达之材”，即有真才实学者，较满腹 经纶者聪明百倍；而梅文鼎的数学著作，较儒家经典的诠释，更有用于世。

明末清初对自然科学的重视，主要是在天文历算方面。 黄宗羲之学出于阳明学派的刘宗周（公元 1578—1645 年）。然而，他不

但对阳明学说中的一些范畴作了唯物主义的解释，且重视象数。他对象数学 的认识与方以智相同，以之为自然科学的一个方面，是有裨于世用的开物成 务之学。

黄宗羲、顾炎武等启蒙教育思想家提倡自然科学，其目的在于改造空疏 无用的学风。黄宗羲说，勾股之学，是周公、商高的遗术，是六艺之一。但

① 陆世仪：《思辨录辑要》，前集卷十五。 ① 燔耒：《逐初堂集》卷七《方程论序》。

学者皆不讲求此学，遂使其成为方伎家的学问。西学传入，有矩度之称，实 即勾股学中的容圆；西学中的八线，即勾股学中的测圆；西学中的三角，即 勾股术中的割圆。出于对中国传统科学和技术失传的痛心，出于中华民族的 自尊心，黄宗羲痛切地说：现在知识分子以西学为“独绝”，“辟之为违天， 皆不知二五之为十者也！”①因而，他提倡士子课实学，尤其是自然科学，将 传统的六艺之学继承、发扬，“亦使西人归我汶阳之田也”。在中西历法之 争中，黄宗羲的感情是偏于主中法者。然而，他毕竟是以“实事求是”的科 学态度治学的，故仍看到中法的缺陷：“言理而不传其法。”法即弧矢割圆 之术，但历官置之不用，而欲学者亦无从得其书。所谓“理”，朱熹和蔡季 通皆极喜数学，但“其所言者，影响之理，不可施之实用。”而邵雍作《皇 极经世》书，讲象数之学，但“死板排定，亦是纬书末流”。宋代仅沈括一 人，堪谓知识博洽，精通自然科学。但是，理学之“理”一统天下，八股兴 而“士人以科名禄位相高，多不说学”。若有专心致志于历算之学者，则被 视作“卜祝戏弄，为所轻也”②。所以，要会通中西，振兴中华民族的科学文 化，道路是极其艰难的。而黄宗羲与这时期的启蒙教育思想家一样，从改革 教育着手，提倡实学，尤重自然科学，希望“用中国之算，测西域之占”， 即能超胜西方，而使中华民族屹立于世界之林。这亦是自西学东渐后，徐光 启、方以智等进步思想家的共同理想。

是时，“所谓泰西文明，便普遍地成了士大夫中间时髦的学问”③，不惟

黄宗羲、陆世仪、李塨、潘耒等人涉猎自然科学领域，即一般士大夫，无论 是属于宋学或汉学者，皆开始探求或有兴趣于数学等知识。如李光地这样的 理学大臣，尝从梅文鼎“闻历算之学”，并将梅文鼎的数学著作付刻。他认 为，“顾氏音韵、梅氏历算，自汉以下，专门未有也”④，是为绝学。在他的

《榕村合集》中，有不少关于自然科学的论文，如《天九重论》、《岁分消 长论》、《算法》、《历法》等；亦有介绍西学的文章，如《西历》、《记 南怀仁问答》等。然而，真正能继承徐光启的传统，吸收西学，重视自然科 学的，是黄宗羲、顾炎武等启蒙教育思想家。此时顾炎武已认识到“外夷” 有高于“中夏”的学问和制度；李塨则以“泰西水法”是“经济所关”的学 问；颜元、李塨虽托古于孔孟，但却是在呼唤科学的世界。总之，他们是将 自然科学诸科目与经学并列，以之为国家所急赖，用世之所急需。这番开拓 知识领域、重视自然科学的主张，在中国教育史上，堪称别开生面，与徐光 启等先辈一样，是开肇传统教育内容改革之端。

具体而言，梅文鼎的学术成就主要在两方面，一是以布衣身份为徐乾学邀入史馆，编定《明史.历志》；二是《梅氏丛书辑要》，共收其天文、数学著作23种，为有清第一部有系统的天

文、数学丛书，清代流传甚广的御制《数理精蕴》，也多从其间取材。在传统数学方面，文鼎整理研究了一次方程组解法、勾股形解法及求高次幂正根等方法，并率先对传统数学进行“分科”，划为算法和量法。在西方传入数学方面，文鼎也进行了全面整理、会通，并有所创造。比如用勾股算法推出球面直角三角形的边角关系公式，用直角射影的方法证明球面三角学的余弦定理等。要之，相对中国旧有的算学、历学，文鼎更重视对概念的解释和定义，重视逻辑推理，重视图解法，而此三样均是旧算学、历学所欠缺的。

不过，梅文鼎也有局限。比如他始终认为中国古代的勾股术是一切数学之本，并妄想以之统一整个几何学。然而，他在《几何通解》中用勾股术证明的15道几何命题，全都含有二次项的恒等变换，因此不难借助同样属于二次变换的勾股术来证明。但是，要将欧几里德的几何学全都建立在勾股上，是不可能的，无异于在沙滩上种花。

此外，在康熙的号召下，梅文鼎也热衷于鼓吹“西学中源”。在当时，将“西学”披上“中源”的外衣，有利于其在国内传播，包含一定积极因素。不过，与此同时

梅文鼎对传统数学的研究以《方程论》为最早。传统数学中有关线性方程组的内容正是当时传入的西方数学所不具备的，梅文鼎写作此书的一个动机就是提醒学人不要认为数学是西方的专擅。在这部书中，他还提出了将传统的“九数”划分为“算术”和“量法”这两大类的思想，他说：“夫数学一也，分之则有度有数。度者量法，数者算术，是两者皆由浅入深。是故量法最浅者方田，稍进为少广，为商功，而极于勾股；算术最浅者粟布，稍进为衰分，为均输，为盈朒，而极于方程。方程于算术，犹勾股之于量法，皆最精之事，不易明也。”

当时《几何原本》只有前 6 卷译本，梅文鼎在《测量全义》、《大测》 等书透露的线索的启发下，对后几卷的内容进行了探索，多数成果都被写进他的《几何补编》一书之中。

在当时传入中国的西方科学知识中，三角学是难被人理解和接受的一部分内容。中国古代虽然有勾股术，但一般角的概念却相对地缺匮，而“三角法异于勾股者，以用角也”。梅文鼎作《平三角举要》和《弧三角举要》，可以说是中国人撰写的第一套三角学教科书。

对于中西之争，梅文鼎基本上能够持中平公正之心，这与他对数学本质的看法是有关系的。他在《中西算学通序》中写道：“数学

梅文鼎著《几何摘要要目》称:“几何 。 《几何通解》 “几何不言勾股。原本为西算之根本” 又著 称: ” 然其理并勾股也。）《洛书》既为勾股术之源自然

梅氏家学中的《几何原本》-以勾股术为廖淑芳 苗县照南国中 一, 前言 明末输入中国的西方学著作中,欧几得 (Euclid)《几何原本》(The Elements)最能代 表西方...

勾股术 晴朗的夜晚仰望星空，你可能想知道天有多高。其实，几千年前，我们的祖先已经在思考这个问题了。在《周髀算经》中有这样一个故事：一天，周公问当时的数学家商高：“天有多高？”商周想了想说：“可以用‘勾三股四弦五’的方法算出天有多高。” 那么，什么是“勾三股四弦五”呢？你可以在纸上画一个长方形，长3厘米，宽4厘米，然后在中间画一条斜线：□中有个╲，出现两个直角三角形，量一量这条线，一定是5厘米。也就是我们今天所知道的勾股定理，也名“商高定理”或“毕达哥拉斯定理”。 想多了解的人可以读读《周髀算经》或《九章算术》、《人与科学·第三册》 勾股术 [普通古籍] : 附造【书名】 整勾股表简法 【作者】 （清）吴嘉善撰 丛编项 古今算学丛书第三 一般附注 //古今算学丛书第三:/（清）刘铎辑.-影印【简介】 本 .-:上海算学书局，清光绪24年（1898）.-第13册.-底本为白芙堂算学丛书 书名：李氏勾股术补 [普通古籍] : 一卷 / （清）陈志坚撰 ISBN：(线装) 作者：陈志坚 清 出版社： 年份： 页数和开本： 丛编项：求一得斋算学 题名：李氏勾股术补 主题：普通古籍

中图分类号：普通古籍 如需代寻本书，从页面右侧预定>> 一般附注：//求一得斋算学:七种/（清）陈志坚撰.-刻本.-松江:新

阳陈志坚，清光绪30年（1904）.-第1册

内容简介：

四，不要脸派

不要脸的人往往喜欢耍无赖。不要脸派比前面那一派更加低级，他们连“我 们比你们好”都懒得说了，他们只说“你们的东西是‘窃’我们的”、“你们西

这个数表使人们有理由相信，古巴伦人早已掌握了勾股定理并很可能找到了一种求得勾股数的一般方法，只不过人们还不能从其他的泥板中找出更多的证据来证明这一点。 毕达哥拉斯学派倒是明确地给出了勾股数的一组公式：

后来，另一个古希腊学者柏拉图（Plato,约前427~前347）也给出了类似的式子。

被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图（Diophantus,约246~330）也在研究二次不定方程的时候，对勾股数作了一番探讨。他发现不论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子，都没能给出全部勾股数组，于是他找到了一个新方法：如果m、n是两个正整数，且2mn是完全平方数，则

是一级勾股数。

丢番图究竟是如何得到这组式子的，人们今天已经无从知晓。重要的是，这组式子包含了全部的勾股数组！ 值得一提的是，在早于丢氏三、四百年的我国古代数学巨著《九章算术》中，也提出了一组求勾股数的式子，这组式子相当于：

与丢番图同时代的中国数学家刘徽在对这部古算书的注释本中用几何的方法对这组公式进行了严格的论证。这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达形式之一。

关于这个定理，虽然号称毕达哥拉斯定理，但人们在遗留下来的古希腊手稿或译文中并没有找到毕达哥拉斯本人及其学派的有关证明，所以人们只能对他可能用的方法进行一些揣测。有据可查的最早证明见于欧几里得的《几何原本》（公元前3世纪）之中。欧几里得用几何的方法，作出了一个巧妙的证明，如图1所示。有人把这个图形叫做“僧人的头巾”，也有人把它称为“新娘的轿椅”。我们这里给出证明的概述：

AC=2△JAB=2△CAD=ADKL，类似地BC＝BEKL等等。有兴趣的读者不妨自己考虑一下，完成证明的细节。

我国数学家赵爽在《周髀算经注》（公元3世纪初）中，

给出了勾股定理的一般形式，并且给出了一个几何证明（如图2）：图中有4个直角三角形和一个小正方形，它们的面积之和应该正好等于正方形ABCD的面积，即

2

印度的数学家兼天文学家婆什迦罗，也给出了与赵爽相同的几何图形（如图3）。 但是婆什迦罗在画出这个图形之后，并没有进一步解释和证明，

只是说：“正好！”婆什迦罗还给出了这个定理的另外一个证明，即画出斜边上的高，由图4中给出的两个相似三角形，我们有 c/b=b/m和c/a=a/n

即

cm=b和cn=n 相加便得： a +b=c(m+n)=c

2

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2

勾股定理是数学中最重要的定理之一。也许在数学中还找不到这样一个定理，其证明方法之多能够超过勾股定理。卢米斯（Loomis）在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第二版中，收集了这个定理的37O种证明并对它们进行了分类。

勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线。

正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理。甚至还有人提出过这样的建议：在地球上建造一个大型装置，以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命，最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形，可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上，因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理，所以用它来做标志最容易被外来者所识别！

图文：吴文俊在中国科学家人文论坛上发表演讲

我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于

五。即“勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。

1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之前。

相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票，你能看出邮票上的图案所反映的内容吗？

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话－－“勾股术”，并且还记载了勾股定理的一般形式。 最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。

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