高中物理竞赛教程（超详细） 第十讲 几何光学

高中物理竞赛教程(超详细) 第十讲 几何光学.txt性格本身没有好坏，乐观和悲观对这个世界都有贡献，前者发明了飞机，后者发明了降落伞。 第一讲 几 何 光 学 §1.1 几何光学基础

1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。

2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。 3、光的反射定律：

①反射光线在入射光线和法线所决定平面内； ②反射光线和入射光线分居法线两侧； ③反射角等于入射角。 4、光的折射定律：

①折射光线在入射光线和法线所决定平面内； ②折射光线和入射光线分居法线两侧； ③入射角与折射角满足；

④当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C时，将发生全面反射现象（折射率为 的光密介质对折射率为的光疏介质的临界角）。 §1.2 光的反射

1.2.1、组合平面镜成像：

1.组合平面镜 由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜（交于O点）镜间放一点光源S（图1-2-1），S发出的光线经过两个平面镜反射后形成了、、三个虚像。用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O为圆心、OS为半径的圆上，而且S和、S和、和、和之间都以平面镜（或它们的延长线）保持着

对称关系。用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。

两面平面镜AO和BO成60o角放置（图1-2-2），用上述规律，很容易确定像的位置：①以O为圆心、OS为半径作圆；②过S做AO和BO的垂线与圆交于和；③过和作BO和AO的垂线与圆交于和；④过和作AO和BO的垂线与圆交于，便是S 在两平面镜中的5个像。

双镜面反射。如图1-2-3，两镜面间夹角=15o,OA=10cm，A点发出的垂直于的光线射向后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从A点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？

如图1-2-4所示，光线经第一次反射的反射线为BC，根据平面反射的对称性,，且∠。上述均在同一直线上，因此光线在、之间的反复反射就跟光线沿直线传播等效。设是光线第n次反射的入射点，且该次反射线不再射到另一个镜面上，则n值应满足的关系是<90o，。取n=5，∠，总路程。 2、全反射

全反射光从密度媒质1射向光疏媒质2，当入射角大于临界角时，光线发生全反射。 全反射现象有重要的实用意义，如现代通讯的重要组成部分--光导纤维，就是利用光的全反射现象。图1-2-5是光导纤维的示意图。AB为其端面，纤维内芯材料的折射率，外层材料的折射率，试问入射角在什么范围内才能确保光在光导纤维内传播？

图1-2-5中的r表示光第一次折射的折射角，β表示光第二次的入射角，只要β大于临界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传播。

只要即可。

例1、如图1-2-6所示，AB表示一平直的平面镜，是水平放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜），MN是屏，三者相互平行，屏MN上的ab表示一条竖直的缝（即ab之间是透光的）。某人眼睛紧贴米尺上的小孔S（其位置如图所示），可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位，并在上把这部分涂以标志。

分析: 本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必须经过平面镜反射后，反射光线进入人的眼睛，人才会看到米尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题。

解法一：相对于平面镜AB作出人眼S的像。连接Sa并延长交平面镜于点C，连接与点C并延长交米尺于点E，点E就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接并延长交米尺于点F，且 与平面镜交于D，连接S与点D，则点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E与F之间的米尺刻度就是人眼可看到部分，如图1-2-7所示。

解法二：根据平面镜成像的对称性，作米尺及屏MN的像，分别是及，a、b的像分别为，如图1-2-8所示。连接Sa交AB于点C，延长并交于点，过点作的垂线，交于点E，此点就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接交AB于点D，延长并交于点，过点作（AB）的垂线交于点F，点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。EF部分就是人眼通过平面镜可看见的米尺部分。

点评：平面镜成像的特点是物与像具有对称性。在涉及到平面镜的问题中，利用这一特点常能使问题得以简洁明晰的解决。

例2、两个平面镜之间的夹角为45o、60o、120o。而物体总是放在平面镜的角等分线上。试分别求出像的个数。

分析：由第一面镜生成的像，构成第二面镜的物，这个物由第二面镜所成的像，又成为第一面镜的物，如此反复下去以至无穷。在特定条件下经过有限次循环，两镜所成像重合，像的数目不再增多，就有确定的像的个数。

解：设两平面镜A和B的夹角为2θ，物P处在他们的角等分线上，如图1-2-9（a）所示。以两镜交线经过的O点为圆心，OP为半径作一辅助圆，所有像点都在此圆周上。由平面镜A成的像用表示，由平面镜B成的像用表示。由图不难得出： 在圆弧上的角位置为 在圆弧上的角位置为 。

其中k的取值为k=1，2，...

若经过k次反射，A成的像与B成的像重合， 则

即

当时，k=4，有7个像，如图1-2-9（a）所示； 当时，k=3，有5个像，如图1-2-9（b）所示；

当时，k=1.5，不是整数，从图1-2-10（d）可直接看出，物P经镜A成的像在镜B面上，经镜B成的像则在镜A面上，所以有两个像。

例3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜AO和BO，使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机，如图1-2-11所示。图中带箭头的圆圈P代表一个人的头部（其尺寸远小于OC的长度），白色半圆代表人的脸部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽

子，图1-2-11为俯视图，若两平面镜的夹角∠AOB=72o，设人头的中心恰好位于角平分线OC上，且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。

1、 1、试在图1-2-11中标出P的所有像的方位示意图。

2、在方框中画出照片上得到的所有的像（分别用空白和斜线表示脸和头发，用箭头表示头顶上的帽子）。

本题只要求画出示意图，但须力求准确。 解: 本题的答案如图1-2-13所示。

例4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图1-2-14所示。棱镜用玻璃制成，BC、CD两平面高度抛光，AB、DE两平面高度抛光后镀银。试证明：经BC面入射的光线，不管其方向如何，只要它能经历两次反射（在AB与DE面上），与之相应的由CD面出射的光线，必与入射光线垂直。

解: 如图1-2-15所示，以i表示入射角,表示反射角，r表示折射角，次序则以下标注明。光线自透明表面的a 点入射，在棱镜内反射两次，由CD面的e点出射。可以看得出，在DE面的b点； 入射角为 反射角为 在四边形bEAC中，

而

= 于是， 在△cdb中 ∠cdb=180o =180o

这就证明了：进入棱镜内的第一条光线ab总是与第三条光线ce互相垂直。

由于棱镜的C角是直角，=360o-270o-∠dec=90o-∠dec=。设棱镜的折射率为n，根据折射定律有

总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角的大小无关。只要光路符合上面的要求，由BC面的法线与CD面的法线垂直，又有出射光线总是与入射光线垂直，或者说，光线经过这种棱镜，有恒点的偏转角--90o。

例6、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图1-2-16所示的形状，一束平行光垂直地射入平表面A上。试确定通过表面A进入的光全部从表面B射出的R/d的最小值。已知玻璃的折射为1.5。

分析: 如图1-2-17所示，从A外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射角较从A内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角α最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线又刚好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在后续过程中都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交。因此，抓住最内侧光线进行分析，使其满足相应条件即可。

解: 当最内侧光的入射角α大于或等于反射临界角时，入射光线可全部从B表面射出而没有光线从其他地方透出。 即要求 而 所以

即 故

点评 对全反射问题，掌握全反射产生的条件是基础，而具体分析临界条件即\边界光线\的表现是解决此类问题的关键。 例7． 普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面与圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射。现在利用普通光纤测量流体F的折射率。实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中。令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚在光纤入射端面的中心O。经端面折射进入光纤，在光纤中传播。由于O点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为，如图1-2-18所示。最后光从另一端面出射进入流体F。在距出射端面处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为，然后移动光屏D至距光纤出射端面 处，再测出圆形光斑的直径，如图1-2-19所示。

（1）若已知A和B的折射率分别为与。求被测流体F的折射率的表达式。 （2）若、和均为未知量，如何通过进一步的实验以测出的值？

分析 光线在光纤中传播时，只有在纤芯A与包层B的分界面上发生全反射的光线才能射出光纤的端面，据此我们可以作出相应的光路图，根据光的折射定律及几何关系，最后可求出。

解: （1）由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图1-2-20为纵面内的光路图。设由O点发出的与轴的夹角为α的光线，射至A、B分界面的入射角为i，反射角也为i，该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i，射至出射端面时的入射角为α。若该光线折射后的折射角为，则由几何关系和折射定可得

90o ① ②

当i大于全反射临界角时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面。而的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了。因而能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于，的值由下式决定： ③ 与对应的α值为

④

当，即时，或时，由O发出的光束中，只有的光线才满足的条件下，才能射向端面，此时出射端面处α的最大值为 ⑤

若，即时，则由O发出的光线都能满足的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处α的最大值为

⑥

端面处入射角α最大时，折射角θ也达最大值，设为，由②式可知 ⑦ 由⑥、⑦式可得，当时， ⑧ 由③至⑦式可得，当时， ⑨

的数值可由图1-2-21上的几何关系求得为 ⑩

于是的表达式应为

（11） （12）

（2）可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得、、、，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于1，故有 当时，

（13） 当时

（14） 将（11）（12）两式分别与（13）（14）相除，均得 （15）

此结果适用于为任何值的情况。

§1.3 光的折射

1.3.1、多层介质折射

如图：多层介质折射率分别为则由折射定律得：

1.3.2、平面折射的视深

在水中深度为h处有一发光点Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射线的延长线与OQ交点的深度与入射角i的关系。

设水相对于空气的折射率为，由折射定律得 令OM=x，则

于是

上式表明，由Q发出的不同光线，折射后的延长线不再交于同一点，但对于那些接近法线方向的光线，，则，于是

这时与入射角i无关，即折射线的延长线近似地交于同一点，其深度是原光点深度的。 如图1-3-3所示，MN反射率较低的一个表面，PQ是背面镀层反射率很高的另一个表面，通常照镜子靠镀银层反射成像，在一定条件下能够看到四个反射像，其中一个亮度很底。若人离镜距离，玻璃折射率n，玻璃厚度d，求两个像间的距离。

图中S为物点，是经MN反射的像，若依次表示MN面折射，PQ面反射和MN面再折射成像，由视深公式得 ，，，

故两像间距离为。

1.3.3、棱镜的折射与色散

入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角，由图1-3-4的几何关系知

倒 虚

f～2f 同侧～2f 放大 倒 虚 f f～0 异侧～0 放大 正 实

（3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。 如图1-4-4所示，半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R，现于主轴上距凹镜顶点O1为0.6R处放一点光源S。设点光源的像只能直接射到凹镜上，问S经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在何处？ S在凹镜中成像，，

可解得 ,

根据题意：所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射，此时可将凹镜原来要成像作为凸镜的虚物来处理， ，

可解得

说明凸镜所成的像和S在同一位置上。 1.4.2、球面折射成像

（1）球面折射成像公式 （a）单介质球面折射成像

如图1-4-5所示，如果球面左、右方的折射率分别为1和n，为S的像。因为i、r均很小，行以

① 因为 ， 代入①式可有

②

对近轴光线来说，α、θ、β同样很小，所以有 ，，

代入②式可得

当时的v是焦距f，所以

（b）双介质球面折射成像

如图1-4-6所示，球形折射面两侧的介质折射率分别n1和n2，C是球心，O是顶点，球面曲率半径为R，S是物点，是像点，对于近轴光线

， ，，， 联立上式解得

这是球面折射的成像公式，式中u、υ的符号同样遵循\实正虚负\的法则，对于R；则当球心C在出射光的一个侧，（凸面朝向入射光）时为正，当球心C在入射光的一侧（凹面朝向入射光）时为负。

若引入焦点和焦距概念，则当入射光为平行于主轴的平行光（u=∝）时，出射光（或其反向延长线）的交点即为第二焦点，（也称像方焦点），此时像距即是第二焦距，有。当出射光为平行光时，入射光（或其延长线）的交点即第一焦点（即物方焦点），这时物距即为第一焦距，有，将、代入成像公式改写成

反射定律可以看成折射定律在时的物倒，因此，球面镜的反射成像公式可以从球面镜折射成像公式中得到，由于反射光的行进方向逆转，像距υ和球面半径R的正负规定应与折射时相反，在上述公式中令，，，即可得到球面镜反射成像公式，对于凹面镜，，对于凸面镜，，厚透镜成像。

（C）厚透镜折射成像

设构成厚透镜材料的折射率为n，物方介质的折射率为，像方介质的折射率为，前后两边球面的曲率半径依次为和，透镜的厚度为，当物点在主轴上的P点时，物距，现在来计算像点的像距。，首先考虑第一个球面AOB对入射光的折射，这时假定第二个球面AOB不存在，并认为球AOB右边，都为折射率等于n的介质充满，在这种情况下，P点的像将成在处，其像距，然后再考虑光线在第二个球面的折射，对于这个球面来说，便是虚物。 因此对于球面AOB，物像公式为 对于球面AOB，物像公式为

这样就可以用二个球面的成像法来求得透镜成像的像距u。

（2）光焦度

折射成像右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关，因而对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，我们定义此量为光焦度，用φ表示：

它表征单折射球面对入射平行光束的屈折本领。φ的数值越大，平行光束折得越厉害；φ＞0时，屈折是会聚性的；φ＜0时，屈折是发散性的。φ=0时，对应于，即为平面折射。

这时，沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平行光束，不出现屈折现象。

光焦度的单位是[米-1]，或称[屈光度]，将其数值乘以100，就是通常所说的眼镜片的\度数\。

（3）镀银透镜与面镜的等效

有一薄平凸透镜，凸面曲率半径R=30cm，已知在近轴光线时：若将此透镜的平面镀银，其作用等于一个焦距是30cm的凹面镜；若将此透镜的凸面镀银，其作用也等同于一个凹面镜，其其等效焦距。

当透镜的平面镀银时，其作用等同于焦距是30cm的凹面镜，即这时透镜等效面曲率半径为60cm的球面反射镜。由凹面镜的成像性质，当物点置于等效曲率中心 时任一近轴光线经凸面折射，再经平面反射后将沿原路返回，再经凸面折射后，光线过 点，物像重合。如图1-4-8所示。，，。依题意，，，故。

凸面镀银，光路如图1-4-9所示。关键寻找等效曲率中心，通过凸面上任一点A作一垂直于球面指向曲率中心C的光线。此光线经平面折射后交至光轴于，令则，，，得。 由光的可逆性原理知，是等效凹面镜的曲率中心，f=10cm。

例1、如图1-4-10所示，一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为r，透镜的折射率为n，考察由透镜后表面反射所形成的实像。试问物放于何处，可使反射像与物位于同一竖直平面内（不考虑多重反射）。

解: 从物点发出的光经透镜前表面（即左表面）反射后形成虚像，不合题意，无须考虑。 从物点发出的光经透镜前表面折射后，再经透镜后表面反射折回，又经前表面折射共三次成像，最后是实像，符合题意。利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，结合物与像共面的要求。就可求解。 球面反射的成像公式为：，其中反射面的焦距为（R为球面半径），对凹面镜，f取正值，对凸面镜，f取负值。

球面折射的成像公式为：

。当入射光从顶点射向球心时，R取正值，当入射光从球心射向顶点时，R取负值。 如图1-4-11甲所示，当物点Q发出的光经透镜前表面折射后成像于，设物距为u，像距为v，根据球面折射成像公式：

这里空气的折射率，透镜介质的折射率，入射光从顶点射向球心，R=r取正值，所以有 （1） 这是第一次成像。

对凸透镜的后表面来说，物点Q经透镜前表面折射所成的风点是它的物点，其物距（是虚物），经透镜后表面反射后成像于，像距为（如图1-4-11乙所示），由球面反射成像公式 将前面数据代入得 （2） 这是第二次成像。

由透镜后表面反射成的像点又作为透镜前 表面折射成像的物点，其物距（是虚物）， 再经过透镜前表面折射成像于，像距为， （见图1-4-11丙所示），再由球面折射成像公式

这时人射光一侧折射率 ，折射光一侧折射率 （是空气），入射光由球心射向顶点，故R值取负值。所以可写出

代入前面得到的关系可得 （3） 这是第三次成像，由（1）、（2）两式可解得 （4）

再把（4）式和（3）式相加，可得 （5）

为使物点Q与像点在同一竖直平面内，这就要求

代入（5）是可解得物距为

说明 由本题可见，观察反射像，调整物距，使反射像与物同在同一竖直平面内，测出物距P，根据上式就可利用已知的透镜折射率n求出透镜球面的半径r，或反过来由已咋的球面半径r求出透镜的折射率n。

例2、显微镜物镜组中常配有如图1-4-12所示的透镜，它的表面是球面，左表面的球心为，半径为，右表面的球心为，半径为，透镜玻璃对于空气的折射率为n，两球心间的距离为。

在使用时，被观察的物位于处，试证明

1、从物射向此透镜的光线，经透镜折射后，所有出射光线均相交于一点Q。 2、 2、 。

解: 首先考虑面上的折射，由于物在球心处，全部入射光线无折射地通过面，所以对来说，物点就在处。

再考虑到面上的折射。设入射光线与主轴的夹角为θ，入射点为P，入射角为i，折射角为r，折射线的延长线与主轴的交点为Q如图1-4-13，则由折射定律知

在中应用正弦定理得

已知 由此得 所以

设CP与主轴的夹角为α，则有

显然，θ≠0时，r＜α，因此出射线与主轴相交之点Q必在透镜左方。 θ为的外角

在中应用正弦定理，得

的数值与θ无关，由此可见，所有出射线的延长线都交于同一点，且此点与的距离为。 例3、有一薄透镜如图1-4-14，面是旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转而成的曲面），其焦点为和；面是球面，其球心C与 重合。已知此透镜放在空气中时能使从无穷远处于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为e。 (1)求此透镜材料的折射率n（要论证）； (2)如果将此透镜置于折射率为的介质中，并能达到上述的同样的要求，椭圆应满足什么条件？

分析: 解此题的关键在于是正确地运用椭圆的几何性质及折射定律。

解: （1）根据题设，所有平行于旋转椭球长轴的入射光线经旋转椭球面和球面两次折射后全部都能会聚于同一像点，可作出如下论证：如果经椭球面折射后射向球面的光线都射向球心C，即射向旋转椭球面的第二焦点，则可满足题设要求。光路图如图1-4-15所示：PA为入射线，AC为经椭球面折射后的折射线，BN为A点处椭球面的法线，i为入射角，r为折射角。根据椭圆的性质，法线BN平分，故与法线的夹角也是r，由正弦定律可得 ， 从而可求得

2a为长轴的长度，2c为焦点间的距离；即只要n满足以上条件，任意入射角为i的平行于旋转椭球长轴的入射光线都能会聚于C（即）点。 （2）如果透镜置于折射率为的介质中，则要求

即椭圆的偏心率e应满足

由于椭圆的e＜1，如果就无解。只要 ，总可以找到一个椭球面能满足要求。 例4、（1）图1-4-16所示为一凹球面镜，球心为C，内盛透明液体。已知C至液面高度CE为40.0cm，主轴CO上有一物A，物离液面高度AE恰好为30.0cm时，物A的实像和物处于同一高度。实验时光圈直径很小，可以保证近轴光线成像。试求该透明液体的折射率n。 （2）体温计横截面如图1-4-17所示，已知细水银柱A离圆柱面顶点O的距离为2R，R为该圆柱面半径，C为圆柱面中心轴位置。玻璃的折射率n=3/2，E代表人眼，求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚像、正倒和放大倍数。

解: （1）主轴上物A发出的光线AB，经液体界面折射后沿BD方向入射球面镜时，只要BD延长线经过球心C，光线经球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原理，折回的光线相交于A（图1-4-18）。

对空气、液体界面用折射定律有

当光圈足够小时，B→E，因此有

（2）先考虑主轴上点物A发出的两条光线，其一沿主轴方向ACOE入射界面，无偏折地出射，进入人眼E。其二沿AP方向以入射角i斜入射界面P点，折射角为r。折射光线PQ要能进入人眼E，P点应非常靠近O点，或说入射角i 折射角r应很小。若角度以弧度量度，在小角（近轴）近似下，折射定律可写为。这两条光线反向延长，在主轴上相交于，即为物A之虚像点（图1-4-19） 对用正弦定律，得

在小角（近轴）近似下： ，

上式可写为 解上式得

为了分析成像倒立和放大情况，将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体AB，即然是一对共轭点，只要选从B发出的任一条光线经界面折射后，反向延长线与过垂轴线相交于，是点物B虚像点，即是物AB之正立虚像。

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