导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用

【考纲说明】

1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

【知识梳理】

导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数导数的运算 导数的运算法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值 一、导数的概念

?y?y=f（x+?x）－f（x）?x叫做函函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应地有增量00，比值?yf(x0??x)?f(x0)?y?x数y=f（x）在x0到x0+?x之间的平均变化率，即?x=。如果当?x?0时，?x有极限，我们

就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|x?x0。

f(x0??x)?f(x0)?ylimlim?x?x?0??x即f（x0）==x?0。

说明：

?y?y（1）函数f（x）在点x0处可导，是指?x?0时，?x有极限。如果?x不存在极限，就说函数在点x0处不可导，

或说无导数。

（2）?x是自变量x在x0处的改变量，?x?0时，而?y是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤： （1）求函数的增量?y=f（x0+?x）－f（x0）；

?yf(x0??x)?f(x0)?x（2）求平均变化率?x=；

?y?x?0?x（3）取极限，得导数f’(x0)=。

lim二、导数的几何意义

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。 三、几种常见函数的导数

xn??nxn?1;???C?0;① ② ③(sinx)?cosx; ④(cosx)??sinx;

??xxx?x?⑤(e)?e;⑥(a)?alna; ⑦

?lnx???11?logax???logaex; ⑧x.

四、两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

'''u?v)?u?v. 即： (

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，

'''(uv)?uv?uv. 即：

'''''(Cu)?Cu?Cu?0?Cu?Cu若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

(Cu)'?Cu'.

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

?u?u'v?uv'???v?‘=v2（v?0）。

形如y=f??(x)?的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|x= y＇|u ·u＇|x 五、导数应用 1、单调区间：

一般地，设函数y?f(x)在某个区间可导，

'f如果(x)?0，则f(x)为增函数； 'f如果(x)?0，则f(x)为减函数；

'f如果在某区间内恒有(x)?0，则f(x)为常数；

2、极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3、最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?(x)在(a，b)内的极值；

②求函数?(x)在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数?(x)的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分

(1)概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝i＝1?fn(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n

→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：a?bf(x)dx，即

?baf(x)dx＝

lim?fn??i?1n(ξi)

△x。

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。 基本的积分公式：

1m?1x?0dx＝C； ?xdx＝m?1＋C（m∈Q， m≠－1）；

m1?xdx＝lnx＋C；?exdx＝ex＋C；

axxa?dx＝lna＋C；?cosxdx＝sinx＋C；?sinxdx＝－cosx＋C（表中C均为常数）。

(2)定积分的性质 ①②

??babkf(x)dx?k?f(x)dxabab（k为常数）；

ba?abf(x)?g(x)dx??f(x)dx??g(x)dxf(x)dx??f(x)dx??f(x)dxccb；

a③a(3)定积分求曲边梯形面积

（其中a＜c＜b。

)

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