空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积教案新人教A版必修2

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图

是什么？如何计算它们的表面积？

③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并

且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r ,r,母线长为I,你

能计算出它的表面积吗？

⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式

②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和?

③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状

④学生思考圆台的侧面展开图的形状?

⑤提示学生用动态的观点看待这个问题?

讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和?因此，我们可以把它们展成平面图形，利

用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积

②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和

③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面

是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得?其屮，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形

我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形(图2).如果圆柱的底面

半径为「母线长为I,那么圆柱的底面面积为n己侧面面积为2 n rl.因此，圆柱的表面积S二2n r2+2n rl=2 n r(r+l).

图3

②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？

讨论结果：

①棱长为a的正方体的体积V=a=aa=Sh;

长方体的长、宽和高分别为a, b, c,其体积为V-abc- （ab） C-Sh ；

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底面半径为r咼为h的圆柱的体积是V二n r h-Sh,^

可以类比，一般的柱体的体积也是V-Sh其中S是底面面积，h为柱体

的高?

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圆锥的体积公式是V-丄Sh （S为底面面积，h为高）,它是同底等高的圆

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1

柱的体积的一.

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棱锥的体积也是同底等咼的棱柱体积的-，即棱锥的体积v—Sh （S为

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底面面积，h为咼）.

由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆

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锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的一?

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由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥

体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V-一（s' + JSS+s） h,

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其中s', S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）咼?

注意：不要求推导公式，也不要求记忆?

②柱体可以看作是上、下底面相冋的台体，锥体可以看作是有一个底面

是一个点的台体?因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体?当S' -0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式；当S-S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式? 柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相冋的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系，如图

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