塑性力学讲义

前言

《塑性力学》是固体力学的一个重要分支，它也是机械，材料，土木工程的必要理论基础，同时也是力学专业的一门专业课程。塑性力学与生产实践有着十分重要的联系，它开始于对金属材料的弹塑性变形的研究，由于金属材料在工程中的广泛应用，塑性力学的出现和研究可以看成是弹性力学的一个很自然的发展，既将弹性力学的一些概念和方法推广应用到金属材料的非弹性变形的分析，其中需要更新的无非是本构关系的表达。虽然在生产实践中人们对金属材料的塑性变形早有认识和利用，但是提升到本构关系的高度对金属材料的弹塑性变形规律加以总结和表达一直是固体力学的一个难题，直到20世纪中期这个问题才算得到较为完整的解决。

《塑性力学》由于内容本身的难度，加上历史资料的堆积，这方面的参考书和资料往往都比较难读，难懂，以致常被学生视为畏途。目前，关于《塑性力学》的教科书多数是重点大学编写的，我校使用的就是北京大学出版社编写的。因此，从内容体系上我校学生使用起来非常困难，上课时老师需补充很多概念和知识，学生课后复习也难度非常大，许多学生看不懂。

基于上述原因，根据我校学生的具体情况编写了适合我校“理论与应用力学”专业学生使用的《塑性力学》教材。在编写中我们将《塑性力学》采用模块体系结构，具体分为单向应力状态的弹塑性理论分析、单向应力状态的工程应用、复杂应力状态的弹塑性理论分析三大模块。各章节后都根据我校学生的特点编写了配套的讨论题。教学重点放在正确建立基本概念和基本理论上。

第一单元 简单应力状态下的弹塑性力学问题

§1.1 塑性力学的地位和任务

塑性力学是固体力学的一个重要分支，它在工程实践中有着重要的用途。因为物体达到塑性阶段时，并没有破坏，它还有能力继续工作。所以可以把构件设计到部分达到塑性、部分保持弹性状态，从而可以节省材料，因此应用塑性理论能更合理地定出工程结构和机械零件的安全系数。以塑性力学为基础的极限设计理论在结构设计中有很大用途。

（一）工程力学的分类 以质点、刚体为研究对象 （理力） 一般力学

具有有限个自由度问题。

弹性变形 材力、结力、弹力

工程力学的

分类（按介

塑性变形 有不可恢复的变形 质来分） 固体力学

变形与时间有关△l

(p , t)，例蠕变、连续（流体）粘性变形

应力松弛等。 介质力学 水力学 可压 流体力学

空气动力学 不可压

以变形介质为研究对象 （材 力）将一般力学的结论用于微单元散体力学 沙子、土等材料 体，是 无限自由度问题。

（二）什么是塑性力学

《塑性力学》是固体力学的一个重要分支，它是研究物体受力超过弹性极限后产生的永久变形和作用力之间的关系，以及物体内部应力和应变的分布规律；它是以实验为基础，从实验中找出受力物体超出弹性极限后的变形规律，据以提出合理

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的假设和简化模型，确定应力超过弹性极限后材料的本构关系，从而建立塑性力学的基本方程。解出这些方程，便可得到不同塑性状态下物体中的应力和应变。它与弹性力学有着密切的关系。弹性力学的大部分基本概念和处理问题的方法都可以在塑性力学中得到应用。与弹性力学比较，塑性力学具有如下主要特点：

1、应力~应变关系一般是非线性的，其比例系数不仅与材料有关而且与塑性应变有关。

2、由于塑性变形的出现，应力~应变之间不再存在一一对应的关系，它与加载历史有关。

3、变形中可分为弹性区与塑性区，在弹性区，加载与卸载都服从广义Hooke定律，但在塑性区，加载过程服从塑性规律而在卸载过程中则服从弹性的Hooke定律。即材料的弹性性质不受塑性变形的影响。

（三）学习塑性力学的任务

塑性力学是连续介质力学的分支学科，它从唯象论的立场出发，主要对常温附近、具有延性的多晶金属明显表现出的非弹性特性做数学上的处理。具体研究任务为：

(1)研究材料的固有特性，建立应力、应变及温度等量之间关系的数学表达式； (2)分析塑性变形物体内应力与应变的分布。

前者即为本构关系研究，后者则为边值问题或初值－边值问题的求解。

（四）学习塑性力学的基本方法

塑性力学是连续介质力学的一个分支，故研究时仍采用连续介质力学中的假设和基本方法。

(1) 受力分析及静力平衡条件(力的分析)

对一点单元体的受力进行分析。若物体受力作用，处于平衡状态，则应当满足的条件是什么？（静力平衡条件）；

(2) 变形分析及几何相容条件(几何分析)

材料是连续的，物体在受力变形后仍应是连续的。固体内既不产生“裂隙“，也不产生”重叠“。则材料变形时，对一点单元体的变形进行分析，应满足的条件是什么？（几何相容条件）；

(3)力与变形间的本构关系 (物理分析)

固体材料受力作用必然产生相应的变形。不同的材料，不同的变形，就有相应不同的物理关系。则对一点单元体的受力与变形间的关系进行分析，应满足的条件是什么？（物理条件，也即本构方程）。

（五）学习塑性力学的目的

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塑性力学比弹性力学复杂得多，但为更好地了解固体材料在外力作用下的性质，塑性理论的研究是十分必要的，对于工程结构的设计来说，如不进行弹塑性分析，则有可能导致浪费或不安全。学习塑性力学的目的主要为：

1）研究在哪些条件下可以允许结构中某些部位的应力超过弹性极限的范围，以充分发挥材料的强度潜力。

2）研究物体在不可避免地产生某些塑性变形后，对承载能力和（或）抵抗变形能力的影响。

3）研究如何利用材料的塑性性质以达到加工成形的目的。

§1.2 两个基本实验

塑性力学研究的基本实验有两个。一个是简单拉伸实验，塑性力学的基本概念就是从一种理想化的拉伸实验曲线中起源并引伸出来，并把单轴的实验结果推广至三维空间；另一个是材料在静水压力作用下，物体体积变形的实验。这两个实验的结果是建立各种塑性理论的基础。

（一） 金属材料简单拉伸曲线所揭示的塑性性能

金属材料的简单拉伸实验是最常见的材料试验，试验通常在室温情形下进行。在此种试验中即可以观察到材料弹塑性变形的若干表现。材料的拉伸实验曲线有图1所示的两种形态，图1（a）没有明显的屈服流动阶段，图1（b）有明显的屈服流动阶段，有的材料流动阶段是很长的，往往应变可以达到1% 。

图 1（a） 图 1（b）

1、 σ～ε关系的非线性与多值性

根据金属材料的简单拉伸实验我们可以得到如下结论： 1）应力~应变关系一般是非线性的。

2）应力~应变之间不再存在一一对应的关系（应力~应变的多值性）。

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由（图2）ζ～ε关系曲线可以看到，应力与应变之间不是单值对应的关系，它与加载历史有关。当ζ=ζˊ时,根据加载历史的不同，可对应于①、②、③处的应变。

3) 材料在加载和卸载阶段将遵循不同的变形规律。

d? > 0 加载：产生新的塑性变形(同时也产生弹性变形)是非线性的。

d??d?p?d?e（1.1）

d?（1.2） d?e? Ed?<0 卸载：按弹性规律变化，假定为线性的，且模量与初始模量相同。

d? d?e?E

如在B点处卸载（如图2），B点的应变

（1.3） ???p??e

?Be??（1.4）

E

加载阶段使得正向屈服极限不断提高，反向屈服应力会降低应力～应变之间不再是一一对应的单值关系，塑性力学的问题应该是从某一已知的初始状态（可以是弹性状态）开始，跟随加载过程，用应力增量与应变增量的关系，逐步将每个时刻的各个增量，累加起来得到物体内的应力和应变分布。

图 2 图 3

2、几个名词

（1）初始屈服点

一般金属材料在初始屈服时的应力作为屈服应力，此应力值即为初始屈服点（如图3中的ζs），初始屈服点是一个确定的值，它是和材料有关的量。

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（2）相继屈服点

材料进入塑性阶段后，即应力值超过屈服应力时，加载和卸载将遵循不同的规律，若卸载后再加载，在第二次加载过程中，弹性系数仍保持不变，但弹性极限及屈服极限有升高现象，其升高程度与塑性变形的历史有关，我们把第二次加载时新的屈服应力，

*

称为相继屈服点或后继屈服点（如图3中的ζ ），可见相继屈服点不是一个确定的值，它与加载历史有关。

（1.5） ???s时??E?

不存在?~?关系，但存在 ???*时（1.6） **（???）?E（???）

???E??增量的关系

（3）应变强化

如果在塑性变形后逐渐减小载荷（如图4中BE线，斜率和最初加载斜率一样），卸载后再加载，屈服应力提高，(其升高程度与塑性变形的历史有关，决定于前面塑性变形的程度)这种现象称为应变强化或应变硬化(加工硬化)。

（4）等向强化

拉伸时的强化屈服应力和压缩时的强化屈服应力（绝对值）始终是相等的。如图4

中的EB和EB?。

（5） 随动强化

加载阶段使得正向屈服极限不断提高，反向屈服应力会降低。如图5中的EB和EB?； 但拉伸时的屈服应力和压缩时的屈服应力（的代数值）之差，是不变的。

（6）包氏效应

图 4

图 5

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卸载后，如果进行反向加载（拉伸改为压缩）首先出现压缩的弹性变形，后产生塑性变形，但这时新的屈服极限将有所降低，即压缩应力应变曲线比通常的压缩试验曲线屈服得更早了（如图6所示）。这种由于拉伸时的强化影响到压缩时的弱化现象称为包氏(Bauschinger)效应。(一般塑性理论中都忽略它的影响)

图 7 图 6

（二）、静水压力 (各向均匀受压)试验（Bridgman)

试验要求：各个方向受均匀压力 p （如图7）。

当压力达到15000大气压时，得到各向均匀压力p和单位体积变化之间的关系为 ?v2???ap?bpm v0

其中a和b为材料的系数。

试验证明，对于不太大的压力,公式中的压力平方项是完全可以忽略的。对一般金属材料，可以认为体积变化基本是弹性的，除去静水压力后体积变形可以完全恢复，没有残余的体积变形。

由静水压力试验，我们可以得到如下结论：

①体积应变与静水压力是线性关系。在塑性变形较大时，忽略体积的变化，认为材料是不可压缩的。

②静水压力不影响材料的塑性行为。初始屈服点不变。在静水压力不大的条件下，它对材料屈服极限的影响是完全可以忽略的。

§1.3 材料塑性性能的模型化（应力～应变关系的简化模型）

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鉴于学习塑性力学问题的复杂性，通常在塑性理论中要采用简化措施。为此得到基本上能反映材料的力学性质，又便于数学计算的简化模型。

（一）、σ-ε曲线的简化

理想弹塑性模型（软钢）

分段模型

线性强化弹塑性模型

大致分为两类

幂次强化模型

连续模型

R-O模型

1、理想弹塑性体模型（在塑性阶段应力为常数）

如果不考虑材料的强化性质，并且忽略屈服极限上限的影响，则模型简化为理想弹塑性模型。（如图8所示）

理想弹塑性模型，用于低碳钢或强化性质不明显的材料。 应力可由下列公式求出： ??E?当???s（1.7） ???s?E?s当???s

应变可由下列公式求出（其中λ是一个非负的参数）：

当??0?1???/E当|?|?? ?s（1.8） sign???0当??0 ?????sign???1当??0当|?|??s?E

图 8 图 9

（1）理想刚塑性体模型（在塑性变形前无弹性变形）

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理想刚塑性模型，用于弹性应变比塑性应变小得多且强化性质不明显的材料，实质是忽略弹性变形。（如图9所示）

2、线性强化弹塑性体模型（如图10所示）

线性强化弹塑性模型，用于有显著强化性质的材料。 应力可由下列公式求出： ??E?当???s（1.9） ???s?E1(???s)当???s

应变可由下列公式求出:

???/E当|?|??s

（1.10） ?11 ???(|?|??s)('?)sign?当|?|??sEEE

图 10 图 11

（1）线性强化刚塑性体模型（如图11所示）

线性强化刚塑性模型，用于弹性应变比塑性应变小得多且强化性质明显的材料。

3、幂次强化模型

为简化计算中的解析式，可将应力～应变关系的解析式写为：

m （1.11） ??B?sign?

其中,材料常数B和 m 满足 B>0 , 0

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图 12 图 13

4、R-O模型

其加载规律可写为：

??3?n（1.12） ??()

?0?07?0

如取ζ=ζ0 ，就有 1010?0???0?

77E

这对应于割线斜率为0.7E的应力和应变。上式中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性，而在数学表达式上也较为简单。

（二）、σ-ε的关系式（分为三个不同的状态）

Ⅰ ??E?

d??Etd? Ⅱ （取决于模型）

Ⅲ d??Ed?（增量状态、弹性） 图 14

特别注意：不同的状态使用的应力-应变关系不一样，使用时比较复杂，一定要先判断清楚目前所处的是什么状态。

§1.4 理想弹塑性材料的简单桁架分析

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为了全面的了解塑性力学的特点和物理实质，我们以三杆桁架作为研究对象，通过分析，找到一些规律性的结果。

设已知三杆桁架如图15所示，三根杆的截面积相同，均为A。杆件是由理想弹塑性材料所制成。中间第2杆的杆长为L，它与相邻的第一杆和第三杆的夹角均为θ，在其汇交点A处受到竖向力P的作用，A点将产生垂直位移δy 。我们对此桁架进行弹塑性分析。

图 16 图 15

(一)、受力分析及静力平衡条件(力的分析) 平衡方程为： N1?N3 N1cos??N2?N3cos??P

P

2?1cos???2? A

(二)、 变形分析及几何相容条件(几何分析)

? ?2? L ?cos??1? L1 LL?1 cos?

（1.13）

???1L1?L?12cos?cos?（1.14）

?1??2cos2? - 10 -

(三)、力与变形间的本构关系 (物理分析) 由于不同的状态使用的应力～应变关系不一样，所以我们需要根据不同的状态分别进行讨论。

P从零开始增长,开始是弹性阶段 1、弹性阶段 本构方程为： ?1?E?1,?2?E?2与1.13式和1.14式

联立求解可得：

2?1cos???2?PA?1??2cos2?PA(1?2cos3?)?2? 2（1.15） ???cos?12

由1.15式可以看出，当P较小时，各杆处于弹性阶段，而第二杆的应力最大。当P力

?逐渐增大， 2??s时，桁架内将出现塑性状态。此时桁架能承受的最大弹性载荷，称

Pe来表示弹性极限载荷。 为弹性极限载荷。我们用符号

（1.16） P?P??A(1?2cos3?)es

?2?P?sPe?1?P?scos2?Pe（1.17）

对应的A点位移为：

2、弹塑性阶段 （ P > Pe )

?e??2L??sLE（1.18）

?2??s此时，杆2处于屈服阶段。

P由于 2?1cos???2?A

P（1.19） 所以 ?1?(??s)/(2cos?)A

杆2虽然进入塑性流动阶段，但由于它的变形要和杆1及杆3协调,受到它们仍为弹性

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变形的约束,因此杆2的变形仍是有限的,桁架处于约束塑性变形阶段。

随着P的进一步增长，杆2的应力已不能增长，外载的增量都加在杆1及杆3上，它们增长较快，变形也较前为大。

?1??3??s时，三根杆全部进入塑性流动阶段，变形就不再受到任何约束，当

结构丧失进一步承载的能力。这时载荷P称为塑性极限载荷，用符号Ps表示。

（1.20）

P??A(1?2cos?)?Pss

此时对应的A点位移为： ?sL?e?L（1.21） ?s?11?? cos?Ecos2?cos2?

将式1.16和1.20进行比较可得： Ps1?2cos?（1.22） ? 3Pe1?2cos?

当考虑塑性变形时，结构的变形要比纯弹性变形为大，但仍属同一数量级，而相应的承载能力将会有相当的提高。

3、卸载

**

若加载到P值（ Pe< P< Ps ) 后卸载，卸载按弹性规律。与初始弹性加载时的曲线有相同的斜率。卸载时的载荷-位移曲线如图17所示。

在弹性阶段，若载荷达到最大弹性载荷Pe，则有

PP??????scos2?1 2PsPee 图 17

若载荷变化ΔP，则有

?P?P ??2??s??1??scos2?PePe

??1 ?????2??1?2EE

4、残余应力和残余应变

*

r当载荷P值全部卸除后,由ΔP=-P，得到杆中的残余应力和残*?1??1???1余应变。

- 12 -

*其中，为弹塑性阶段的ζ1 。 ? 1 P???1??1?(??s)/2cos? A

rP???1??scos2?pep?P??1?[(??s)/2cos?]?[?scos2?]Ape因为 P?Pe??sA(1?2cos3?) 所以

P?r? ?1??1???1?(?1)?s/(2cos?)?0Pe

* ?r??*????(1?P)??0222sPe （1.23） r r?*?1??1???1?1?0 Er r?1*???2???2??0图 18 2 2cos? 说明

1、残余应力应该满足与零外载相对应的平衡方程。

2、残余应变可分为弹性应变和塑性应变两部分之和；只有静定结构卸载后的残余应变才是塑性应变。

?ir??ir/E??ip(i?1,2,3,),

3、在超静定结构中残余应变一般并不等于塑性应变。

实际上，第1杆和第3杆其变形规律始终是弹性的，如果卸去载荷并解除三杆之间约束的话，第1杆和第3杆中的弹性应变和塑性应变都等于零，而第2杆则有塑性应变。故在原有的约束下，就必然地引起内应力而使这三根杆件的

§1.5 强化效应的影响

设已知三杆桁架如图19所示，三根杆的截面积相同，均为A。现假定材料是线性强化的。中间第2杆的杆长为L，它与相邻的第一杆和第三杆的夹角均为θ，在其汇交点A处受到竖向力P的作用，A点将产生垂直位移δy 。我们对此桁架进行弹塑性分析。

不卸载时其拉伸曲线可写为

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???E?,

? ????s?E?(???s)

其中?s??s/E

其模型如图20所示。

当0????s当???s（1.24）

图 19

（1）当P≤Pe时，杆中的应力值仍可表示为

???P?cos2?

?1Pes ?P????2 Pes?

（2）当P≥Pe 时，有

因为

所以

图 20

?1?E?1,?3?E?3,?2??s?E?(?2??s)?1??32?1cos???2?P/A?1??2cos2???1?2cos3??2P??1??3??scos??(?1)?1?3P??????2cos??E/Ee???1?2cos3????EP??2??S?2cos3??E?/E(E)(P?1)?1????e???（1.25）

- 14 -

（3）当P增至使 ?1??3??s时，第1杆和第3杆也开始屈服。 说明

1、如取 Eˊ/E =1/10 (中等强化的情形），θ=30°则P1=1.012Ps ； θ=45°则 P1=1.041Ps。与理想弹塑性材料相比，相应的载荷值并没有很大的增加。这说明采用理想弹塑性模型可得到较好的近似，而计算却有相当的简化。

2、当P小于P1时，结构的变形仍属于弹性变形的量级，而当P超过P1后继续增加时，由于强化效应，结构并不会进入塑性流动状态，但这时的变形将会有较快的增长。

此时的载荷值为

?tan2?)(E?)?P?P1?( 1s?1?2cos?E??? 2P1tan?)(E?)?1?(

1?2cos?EPs

§1.6 加载路径对应力和应变的影响

如图21，三根杆的截面积均为A，中间第二杆的杆长为L，它与相邻的第一杆和第三杆的夹角均为θ=45o，其汇交点O处作用水平力Q和垂直向下的力P，我们将P和Q按不同的加载方案加在桁架上看对桁架内的应力和应变有何影响。

图 21 图 22

方案①

先只加P使桁架达到极限载荷Ps ，然后在保持节点竖直位移δy不变的情形下增加Q直到Qs （如图22路径①）。

由平衡方程可知：

?2A??1Acos45???3Acos45??P?0

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??1Asin45???3Asin45??Q?0

2P??(???)?213即 2A 2Q(???)?13 2A

以ΔP、ΔQ表示载荷P、Q的改变，则由平衡方程可得： 2?P??2?(??1???3)?2A

2?Q (??1???3)?2A

由几何关系可知：

??1?(??y???x)/2L

??2???y/L ??3?(??y???x)/2L

得到协调条件为

??2???1???3

（1.26）

（1.27）

（1.28）

（1.29）

图 23 图 24

现保持δy 不变,即Δδy=0，δy=2δe ；施加横向力Q ，则Δδx= δx>0 。由此得

?1??2??s，Δε1 > 0 , Δε2 =0 , Δε3 < 0 。那么，杆1和杆2仍保持塑性状态，即

??1???2?0，而杆3卸载。结构整体加载，局部（杆3）卸载。 即

- 16 -

杆3以弹性规律卸载

??3?E??3??E(??x)2L（1.30）

由平衡方程 2?P??2?(??1???3)?2A

2?Q (??1???3)?2A

2A?P?()??3可知载荷增量为

2

2AQ??Q??()??3???P 2

??3??2?S?3???S时当杆3卸载到

?P??2A?s Q??Q?2A?s P?Ps??P?A?s

三根杆同时屈服，结构再次进入塑性流动阶段。 因δy不变,即δy = 2δe 由式

???3?E??3??E(x)

2L?x?4?e 可知 （1.31）

??3??2?S

方案② 以 按路径②（Q，P）由（0，0）加载到最终的（ 。 2A?s,A?s）Q?2P的加载关系，

（1）弹性阶段

2P?2?(?1??3)?由平衡方程

2A

2Q(?1??3)?

2A

?2??1??3变形协调方程

路径方程 Q?2P

可得应力分布为

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P1 ?1?(?1)?0A2?2

?P22?A(2?2)?0

P

??A(132?2?1)?0

（2）弹塑性阶段

随着P的增长，第1杆最先达到屈服，当

?1??S时，

P?P(2?2e?

3?2)A?s对应的各杆的应力为：

?e1??s ?e22?(

3?2)?s ?e1?2

3??(3?2)?s

对应的位移为： ?e2?2x?2(

3?2)??e2ey?(3?2)?e如继续加载,则杆1进入屈服阶段， ?1??S??1?0 因为 ?Q?2?P ??2?P2?2(??1???3)?A 2 2(?????Q1?3)?A ???2)?P2?(1A?0 ?

????2P3A?0所以，第2杆继续受拉,第3杆继续受压。

各杆的应力为： ?1??s e ?2??2???2

?3??e3???3- 18 -

（1.32）

（1.33）

（1.34）

（1.35）

（1.36）

（1.37）

（3）塑性阶段

?1??s?2??s?3???s三杆同时进入塑性状态。 在

1?P?()A?s

3?2

对应的位移增量为：

5?21?2 ??x?()?e??y?()?e3?23?2

最终的位移为：

2?22ee??2()???()?e xey3?23?2 5?21?2??x?()?e??y?()?e 3?23?2 ||

?x?3?e?y??e

两种方案的比较（如图25）

?x?4?e?y?2?e方案①

方案② ?x?3?e?y??e

（1.38）

+

（1.39）

图 25 图 26

- 19 -

（2）残余曲率 (Ms?M*?Me)

若弯矩完全卸到零，即 ?M??M?

残余曲率的表达式

K0?1M?? KM?/Mee3?2M e

卸载后的残余曲率与未卸载时的曲率之比：

?? K0/K*?1?M3?2MMM ee或：

3KK

K0/K*?1?3e?1e2K?2K?

（3）残余应力

EK?y?My?1(Me??*M*)y,0?y??*h/2, 0JJ?*??*

?s?My,??h/2?y?h/2,J

（1.61）

?????（1.62）

M1*?[3?(ke/k)2]或 其中 之间的关系由式 k*?ke/?*与MMe2 k1?(signM)给出。 ke3?2M/Me

图 32

- 25 -

说明

1．在弹性区的残余应力仍保留原来的符号。

hy ?2．卸载时，应力变化最大的部位在梁的最外层：2

M*M* yh??sJM2e

M* 1?? 1.5Me

M*0可知 ?h??s(1-)?0Me2

即外层的正应力改变了符号但未出现反向屈服。

*

3．当再次施加的正向弯矩值不超过M时，梁将呈弹性响应。说明以上的残余应力分布可提高梁的弹性抗弯能力。

4．如卸载到零以后再施加反向弯矩，则开始时的响应仍是弹性的，当弯矩改变量△M满足：

?M

?s?()?s?-?s 或 ?M?-2Me Me时，外层纤维开始反向屈服,即弯矩的变化范围不大于 2Me时，结构将是安定的。

例 如图33有一直杆要弯成环状。假定模子的直径为D0 。将直杆加载并套在模子上，然后将载荷全部卸载，要问这时环的平均直径D等于多少？

解：设杆的材料为线性强化材料，杆的截面为矩形，高度为h，宽度为b。

图 33

DH?D0?h当杆套在模子上，尚未卸载时，杆的平均直径为

即卸载开始时杆的曲率半径为

- 26 -

11

?*?DH?(D0?h)22

卸载后，由于存在残余变形，杆件成环状，设其平均直径为D，则残余曲率半径为

1??D R2

11M ?*??R?EJy

22M??得到 DDHEJy

当杆绕于模子上，可认为杆产生很大的塑性变形，因而曲率k比ke大得多，可得：

3E''M?EJyk?Me(1?)

2E

122k?*??其中：

?DHD0?h bh2Me??s

6

bh3Jy?

12

2即 3E'1bh3E'?sbhE''M?EJyk?Me(1?)??(1?) 2E6DH4E 22M??将上式带入 DDHEJy

E2hD?DH可得卸载后环的平均直径为：

3(Eh??sDH)(E?E')

2

将杆弯成平均直径为D的圆环时的模具直径为：

E'

1?E DH?D'?D3sE 1?(1?)2EhE - 27 -

§1.8 横向载荷作用下梁的弹塑性分析

1、梁的弹性极限载荷

注意: 1）当梁长L远大于梁高h时，可忽略挤压应力的剪应力， 纯弯曲的结果基本上可以用。

2） 在纯弯曲时有些梁只与y轴有关， 而横向弯曲它们都还与x轴有关。

我们以图34所示的矩形截面的理想弹塑性悬臂梁为例，在梁的端点受集中力P的作用。

梁的弯矩分布可由平衡方程得到：

M(x)??(L?x)P（1.63） 图 34

M??LPX=0处：

Me??LPe当P增至 Pe

bh2因为矩形截面梁的 Me??s6

Mebh2所以可得 Pe?????sL6L

当P增至 Pe时，根部的弯矩为-Me ，此时x=0截面的最外层纤维开始屈服，故Pe称为弹性极限载荷。

2、塑性状态

（1）塑性极限载荷 当P> Pe时，

M(x)??(L?x)P

设开始进入塑性状态的截面在x=ξ处，则有

M(x)??(L??)P??Me

0?x??的各截面上均有部分区域位于

进入屈服状态。其弹塑性交界位置ζ(x)可由下式确定

图 35

- 28 -

M M(?)?e(3??2)2

由于 Me?LPe 1px2（1.63） (0?x??)?(x)?[3?2(1?)]可得

peL

1X=0处： p2?(0)?[3?2] pe

当 ζ(0)=0 时，M(0)= - Ms

3

P?Pe?Ps2

梁根部的整个截面都进入塑性流动状态而丧失进一步的承载能力，故PS为梁的塑性极限载荷。（如图35）

求与Ps相应的ξ值

3P?Pe?Ps

L2??

3Me?LPe?(L??)Ps

（2）塑性铰的力学模型

如果梁的某个截面处的弯矩达到了塑性极限弯矩，则相应的曲率可任意地增长，就好像一个铰那样。这样的铰称为塑性铰。（如图36所示）

与普通铰相比，塑性铰 MsMs1）是个概念或力学模型 2）能承受弯矩 Ms

3）单向铰

图 36

3、梁的挠度

(1)梁处于弹性状态 P?Pe

K(x)M(x) ???(1?x)(P)KMLP eee

d2w?(1?x)(P)K即e LPdx2ex2?x3)(P)Kw(x)?( e26LPe 端条件 w(0)?dw(0)?0dx

- 29 -

当P?Pe时，x?L处L2

w(L)??e?3Ke

(2)梁处于弹塑性状态 Pe?P?Ps

弹塑性梁段 0?x?? K K?(signM)1 e3?2M/M

e在弹性梁段 ??x?L

M/Me?K/Ke当

P?P3s?2Pe时??L/3, 1 ??x????P?2?3?2P(1?x/L)??(0?x??)

?e?

?(x)?(3x/L)12

在区间 0? x? L中的曲率可由下式给出：

3 d2w1KL1e -dx2?K????-(23x)Ke

由端条件 w(0)?dw(0)?0

dx L wx)?311(4233(Lx)Ke(0?x?3)

区间 L≤ x≤ L中的曲率可由下式给出： 3 d2 -w2dx2?K??3x2(1-L)Ke- 30 -

（1.64）

（1.65）

利用x=L/3处的连接条件(光滑连续条件)，得

1?1?

w2(x)???(x)3?3(x)2?(x)??L2Ke(L?x?L)LL3 4?L27?

自由端的挠度为：

w2(L)??s?20L2Ke?20?e.

279

可见，弹塑性变形与弹性变形是同数量级的。

§1.9 强化材料矩形截面梁的弹塑性纯弯曲

对于一般强化材料: ??E?1??(?) ?当???s?0?(?)??其中

当???s??[E?-?(?)]/(E?)

如图37、图38所示。

（1.66）

??

图 37

图 38

?(?)表示图36中的线段比 AC / AB 。

由M?b在纯弯曲条件下，。单调加载时， ? 0?0

可得弯矩表达式为：

h/2 ?h/2?M?2bEy?dy?y??(?)dy????

0?0???h/2h/2y?(x,y)dy - 31 -

? hh≤ y≤ 时，上式中的ω才不为零。 仅当 22

??Ky后，上式可写为： 作变量替换

2bEhk/22 M?EJK???(?)d?K2??hk/2

可得到 M～K 关系

（1）如已知K ＞0，则由式：

2?2?ke?s?s

Ehh

k?(signM)k/???Ke/Ke

可直接求得M值。

（2）如已知M ＞0，则需用叠代法求出相应的K 值和应力分布。

??Ky可利用

h/2 ?h/2?M?2bE??y?dy??y??(?)dy? 0?0?

M2bh/2

K??y[Ky?(Ky)]dy（1.67） 0EJJ

纯弹性部分 由于梁的塑性变形而对曲率的修正

d?

0?≤Ed?

可知

d???????

0??1d?

d???????0?1令： maxd?

则对任意两个曲率K1和K2，由中值定理可得

??? - 32 -

K2y?(K2y)?K1y?(K1y)??0K2y?K1y

定义算子T ：

2bh/2y?Ky?(Ky)?dyK?TK? J0?

采用迭代法： 先令

则第一次迭代为：

则第n次迭代为：

K?M2bh/2?y[Ky?(Ky)]dyEJJ?0K?M?TKEJ（1.68）

K(0)?MEJK(1)?M?TK(0),?EJK(n)?M?TK(n?1)EJ

(m)(m?1)(m)(m?1)TK?TK??K?K0由于

可见T 是一个压缩映象，以上迭代过程是收敛的。

§1.10 超静定梁的塑性极限载荷

我们以图39所示的一次超静定梁为例，分析超静定梁的塑性极限载荷的计算方法。 设其 M～K 曲线可由图40的理想弹塑性模型表示。

图 39

图40

- 33 -

?M/EJ,当M?MS

?K??MS即 (signM)K()(K1?1),当M?MS1?EJ?

设载荷P从零开始增长。

P? Pe时 (1)当

AB段和BC段弯矩是线性分布的（如图41）。 其中

5PL3PL MB?MA?-168

MC?0

MA?-MS时， 当

Mmax在根部A截面,对应的载荷为：

8MSP?Pe?3L

图 41

(2)当P ? Pe时

①梁的根部形成一个塑性铰，可以产生任意大的曲率。但由于其它部位仍处于弹性阶段，故根部曲率的大小要受到这些部位的约束。

②A点成为塑性铰后，该处的弯矩已知，结构成为静定的。

MA?-MS时， 当 由平衡条件得 PMRC??S 22L

PLMS MB?RCL??图 42 22

3MsP?Ps?MS。当 时，B点的弯矩为 这时，A点、B点都成为塑性铰（如图43）。L梁成为一个机构而不能再进一步承受载荷了。因此，Ps就是梁的塑性极限载荷。

分析

3MsP?Ps?(1)塑性极限载荷 并不依赖于弹性模量E，其值仅与结构本身和载

L荷有关，而与结构的残余应力状态和加载历史无关。弹塑性结构的极限载荷与刚塑性结构的极限载荷是相同的。

- 34 -

(2)若仅计算极限载荷，无须分析弹塑性变形过程，可采用刚塑性模型，用更为简单的方法进行计算。

图 43 ① 静力法：以应力作为基本未知量

常用的计算方法： ② 机动法：以位移作为基本未知量

①静力法

是通过与外载荷相平衡且在结构内处处不违反屈服条件的广义应力场来寻求所对应外载荷的最大值的一种方法。

以图44所示的梁为例，弯矩（绝对值）的最大值只可能在A点和B点。以C点的支座反力为参数：

MB?RCL

图 44 MA?2RCL-PL

梁内处处不违反屈服条件就要求 MB?MS,MA?MS.

?2MS? 2RCL? 2MS

-MS?PL≤ 2RCL≤ MS?PL

- 35 -

仅当PL? 3MS时，两个不等式同时成立，所对应的最大外载荷为：

3MSP?

L

②机动法

是当结构的变形可能成为一个塑性流动（或破损）机构时，通过外载荷所做的功与内部耗散功的关系来寻求所对应外载荷的最小值的一种方法。

对于图45所示的梁，可能的破损机构只有一种，即根部A和中点B都成为塑性铰。 令B点向下移动的距离为δ，A点处梁的转角为

???

L

B点两侧梁段的相对转角

2?2?? L

则力P所作的功为：

W1?P? 图 45 塑性铰上所作的耗散功为：

3MS?W?3M??2S L

由外力功和内部耗散功相等的条件：W1=W2，可得

3MSP? L

注：对于较为复杂的结构，可能的破损机构一般有好几种。对应于每一种机构，都可求得一个载荷值。真实的极限载荷是所有这些载荷中的最小值。

§1.11 用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷

一、几个概念

1、静力场 ：处处满足平衡条件的内力分布。

Ri(i?1,2,?.n)设刚架中可能出现现考虑一个n次超静定刚架，它有n个多余反力

塑性铰的节点个数为m 。

- 36 -

0消去Ri得到的m-n个方程反映了结构的平衡条件。即? M0j,P??构成一个平衡体系。称为静力场

2、静力许可场：结构内处处不违反屈服条件的静力场。

0当结构内处处不违反屈服条件M0 M0j? MS，?j,P??即为静力许可场

3、静力法：就是要在一切可能的静力许可场中寻求取值最大的外载荷。

二、算例

例 如图46所示的平面刚架。设各截面的塑性极限弯矩为MS。在水平力3P和竖直力2P的作用下，求出结构最大可能承受的载荷P。

1、静力法

该结构的超静定次数n=2 。考虑到节点间的弯矩是线性变化的，故弯矩的极值都在节点处，即在节点①，②，③，④处可能出现塑性铰,故m=4。取节点⑤处的支座反力R和N为多余反力，并规定弯矩的符号以刚架内侧拉为正，则相应的平衡方程为

图 46 M4??2RL,M3??2RL?NL, M2??2RL?2NL?2PL,M1?2NL?2PL?3P?2L.

消去R、N，得到m-n=2个独立的平衡方程

?M2?2M3?M4?2PL,（1.69）

?M1?M2?M4?6PL?

pL

令mj?Mj/Ms(j?1,2,3,4),f?,MS

m个节点处的弯矩 M0j(1,2,?,m)

0外力 P?(1,2,?,r) 多余反力 Ri(i?1,2,?.n) 00M0j?Mj(Ri,P?)

m1?m2?m4?6f,2m3?m2?m4?2f上式也可写为

如果mj还满足屈服条件

?1?mj?1,(j?1,2,3,4)

则{mj,f}(j?1,2,3,4)就构成一个静力许可场。

利用1.70式，条件1.71式可等价地写为

（1.70）

（1.71）

- 37 -

242

?2?m2?m4?2f?2,?1?m4?1,

或 ?1?m4?6f?m2?1?m4?6f,?1?m2?1,（1.72） ?2?m4?2f?m2?2?m4?2f,?1?m4?1,

消去m2得到关于m4和f的联立不等式：

?2?6f?m4?2?6f,?3?2f?m4?3?2f,

（1.73） 33 ??4f?m4??4f,?1?m4?1?22

类似地，在以上各式中消去m4，就有

5

6f?3,2f?4,4f?,2 （1.74）

79 4f?5,2f?,2f?,22

仅当

1（1.75） f?2

时，式中的各式才可能成立。因此 式为存在静力许可场的条件。 而f?1/2（负号对应于反向加载）对应于最大载荷值：

1MS （1.76） Ps?2L

说明：

（1）对应于的弯矩分布可通过回代过程来确定：

m1??1,m3?12m4??1,m2?1，

（2）二次超静定结构中有三个节点①，②，④成为塑性铰，结构变成机构而开始塑性流动。这说明（）式的Ps的确是一个极限载荷。

2、机动法

（1）对于n次超静定刚架，当出现（n+1)个塑性铰时，结构就会变成机构而产生塑性流动。设可能出现塑性铰的节点数为m，则可能的破损机构的总数将不少于

m(m?1)?(m?n)?1Cn? m(n?1)!

（2）对于n次超静定刚架，可能出现塑性铰的节点数为m，可列出的独立的平衡方程个数为m-n。这m-n个方程可利用虚功原理与结构的m-n个破损机构相对应，称这样的

?1?m?m?6f?1,?1?m?1, - 38 -

破损机构为基本机构，其它的破损机构可通过基本机构组合而得到。

*（3）每一个破损机构都是一个机动场，可表示为? ?*k,???。

*设在塑性铰x*k点两侧梁段的相对转角为?k(k?1,2,?,n?1)与外载荷相对应的广义

*位移为?*?(??1,2,?,r)，那么这个机动场也可表示为? ?*k,???。我们称那些使外载荷在 ?*?上所作的总功取正值的机动场为运动许可场。

对于每一个运动许可场，当令外载荷作的总功与塑性铰的总耗散功相等时，便得到一个载荷值。机动法就是要在一切可能的运动许可场中寻求取值最小的外载荷。

我们仍以图 所示的刚架为例。用机动法求出结构最大可能承受的载荷P。

?13图中刚架可能的破损机构总数为Cn这些机构如图 所示。基本机构的个m?C4?4。

数为m?n?2。例如，取图9中的（a）和（b）为基本机构。则（a）和（b）这两种基本机构叠加，消去节点②处的铰，就得到机构（c），当消去节点④处的铰时，便得到机构（d）。

下面我们用机动法计算对应于每个破损机构的载荷值。 对于机构（a）

2P?L??4MS?,

2MS P?L

3P?2L??3MS?,对于机构（b）

P?MS/2L

3P?2L??2P?L??5MS?,对于机构（c）

对于机构（b）

P?5MS/8L?3P?2L??2P?L??5MS?,P?5MS/4L?图 47

- 39 -

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