【数学】2016年高考真题--北京卷(文)( word版含答案) (1)

2016年高考数学北京卷文科科标准A3版含标准答案详细解析

绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国考试

数学（文）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合A {x|2 x 4},B {x|x 3或x>5}，则A B ( )

（A）{x|2<x<5} （B）{x|x<4或x>5} （C）{x|2<x<3} （D）{x|x<2或x>5} （2）复数

1 2i

2 i

=( ) （A）i（B）1+i（C） i（D）1 i

（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为( ） （A）8（B）9（C）27（D）36

（4）下列函数中，在区间( 1,1)上为减函数的是( ) （A）y

1

1 x

（B）y cosx （C）y ln(x 1)（D）y 2 x

（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( ) （A）1 （B）2 （C

（D）

（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )

（A）1289

5（

B）5（C）

25（D）25

（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x y的最大值为(

) （A） 1

（B）3 （C）7 （D）8

（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为

10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) （A）2号学生进入30秒跳绳决赛（B）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C）8号学生进入30秒跳绳决赛（D）9号学生进入30秒跳绳决赛

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）已知向量ab ，则a与b夹角的大小为_________. （10）函数f(x)

x

x 1

(x 2)的最大值为_________. （11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.

x2y2

(12) 已知双曲线a2 b

2 1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0,0），则a=_______；

b=_____________. (13)在△ABC中， A

2

3

，a，则bc=_________.

(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有_______种.

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三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题13分）已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4. （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.

（16）（本小题13分）已知函数f（x）=2sin ωxcosωx+cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.

（17）（本小题13分）

某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC,DC AC （I）求证：DC 平面PAC； （II）求证：平面PAB 平面PAC；

(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA

平面CEF?说明理由.

（19）（本小题14分）

已知椭圆C：x2y2

a2 b

2 1过点A（2,0），B（0,1）两点.

（I）求椭圆C的方程及离心率；

（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

（20）（本小题13分）

设函数f x x3

ax2

bx c.

（I）求曲线y f x .在点 0,f 0

处的切线方程；

（II）设a b 4，若函数f x 有三个不同零点，求c的取值范围；

（III）求证：a2

3b＞0是f x .有三个不同零点的必要而不充分条件

.

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参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）【答案】C

考点： 集合交集

（2）【答案】A【解析】试题分析：1 2i2 i (1 2i)(2 i)(2 i)(2 i) 2 i 4i 2

5

i，故选A. 考点：复数运算 （3） 【答案】B

考点： 程序框图 （4） 【答案】D

【解析】试题分析：由y 2 x (12

)x

在R上单调递减可知D符合题意，故选D.

考点：函数单调性 （5）【答案】C【解析】

试题分析：圆心坐标为( 1,0)，由点到直线的距离公式可知

d C. 考点：直线与圆的位置关系 （6） 【答案】B

【解析】试题分析：所求概率为P C1

42

C2 5

，故选B.

5考点： 古典概型

（7） 【答案】C

考点： 函数最值

（8）

【答案】B

【解析】试题分析：将确定成绩的

30秒跳绳成绩的按从大到小的顺寻排，分别是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7号进了立定跳远的决赛，10号没进立定跳远的决赛，故9号需进30秒跳绳比赛的前8名，此时

确定的30秒跳绳比赛决赛的名单为3，6，7，10，9，还需3个编号为1-8的同学进决赛，而（1，5）与4的成绩仅相隔1，故只能1，5，4进30秒跳绳的决赛，故选B. 考点：统计

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）已知向量ab ，则a与b夹角的大小为_________.

【答案】30 .

考点： 向量数量积与

夹角公式,数形结合 （10）函数f(x)

x

x 1

(x 2)的最大值为_________. 【答案】2【解析】试题分析：f(x) 1 1

x 1

1 1 2，即最大值为2. 考点：函数最值,数形结合

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（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.

【答案】32

.

【解析】试题分析：四棱柱高为1，底面为等腰梯形，面积为12 (1 2) 1 3

2

，

因此体积为3

2

.

考点：三视图

x2y2

(12) 已知双曲线a2 b

2 1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y

=0，一个焦,0），则a=_______；

b=_____________.

【答案】a 1,b 2

考点：双曲线的基本概念

(13)在△ABC中， A 2 b

3

，，则c

=_________.

sinAsin

2

【答案】1【解析】试题分析：由正弦定理知

a

sinsinCc

C 12，则C 6，所以

B

2 3 6

6

，所以b c，即bc 1．

考点：解三角形

(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有_______种.

【答案】①16；②29 【解析】

试题分析：①由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19-3=16种商品第二天未售出；答案为 16．

②同①第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29．分别用A,B,C表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形．故答案为29．

A

14

9

2

3

1

C

B

考点： 统计分析

三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）

【答案】（Ⅰ）a3n 1

n 2n 1（n 1，2，3， ）；（Ⅱ）n2

2

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（II）由（I）知，an 1

n 2n 1，bn 3．

因此cn 1

n an bn 2n 1 3．

从而数列 cn 的前n项和

S 1n 1 3 2n 1 1 3 3n

n 1 2n 1 1 3n

2 1 3

n2

3n 1

2

．

考点：等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力. （16）

【答案】（Ⅰ） 1（Ⅱ）

k

3

8,k

8

（k

）．

函数y sinx的单调递增区间为

2k 2,2k 2 （k ）． 由2k

2

2x

4

2k

2

，

得k

3 8 x k 8

． 所以f x 的单调递增区间为

k

3

8,k

8

（k ）． 考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性. （17）

【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元

.

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所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%． 依题意，w至少定为3．

（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：

4 0.1 6 0.15 8 0.2 10 0.25 12 0.15 17 0.05 22 0.05 27 0.05 10.5（元）．

考点：频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值. （18）

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III）存在.理由见解析.

考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力 （19）

【答案】（Ⅰ）x2

y24

1；e （Ⅱ）见解析.

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（x2

2

0 0，y0 0），则x0 4y0 4． 又 2,0 ， 0,1 ，所以， 直线 的方程为y

y0

x x 2 ． 0 2

令x 0，得y

2y02yx 2，从而 1 y0

1 x．00 2直线 的方程为y

y0 1

xx 1． 0

令y 0，得xx0y1，从而 2 x 2 x0

y．0 0 1

所以四边形 的面积

S 1

2

1

2 2 x0 y 1 2y0 x 0 10 2 22

x0

4y0

4x0y0 4x0 8y0 4

2x0y0 x0 2y0 2

II）设 x0,y0

2x0y0 2x0 4y0 4

x2y

0y0 x0 0 2

2．

从而四边形 的面积为定值．

考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力. （20）

【答案】（Ⅰ）y bx c;（Ⅱ）c

32

0,

27

;（III）见解析.

f x 与f x 在区间 , 上的情况如下：

所以，当c 0且c

3227 0时，存在x

2 1 4, 2 ，x2

2, 3 ， （

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2

x3 ,0 ，使得f x1 f x2 f x3 0．

3

由f x 的单调性知，当且仅当c 0,

32 32

fx x 4x 4x c有三个不同零点． 时，函数

27

考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点

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