初中奥数讲义_因式分解的应用附答案

初中奥数讲义

因式分解的应用 在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．

因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．

因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．

例题求解

【例1】若x2 xy y 14y2 xy x 28，则x y的值为 ．

(全国初中数学联赛题)

思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于x y的二次三项式．

注：

在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用．

代数式求值的常用方法是：

(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；

(3)整体代入求值．

【例2】已知 a、b、c是一个三角形的三边，则a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2a2的值( )

A．恒正 B．恒负C．可正可负D．非负

(大原市竞赛题)

思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．

【例3】计算下列各题：

（1）

（2）(2 2 2)(4 7 2)(6 9 2)(8 11 2) (1994 1997 2)； (1 4 2)(3 6 2)(5 8 2)(7 10 2) (1993 1996 2)20003 2 20002 1998

20003 20002 2001

思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．

【例4】已知 n是正整数，且n—16n+100是质数，求n的值．

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