中考数学常考易错点：4-8《解直角三角形》

4.8 解直角三角形

易错清单

1. 涉及锐角三角函数的概念时,是否明确“对边”“邻边”“斜边”都是在“直角三角形”中.

【例1】 (2014·广东广州)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则tanA等于( ).

【解析】【答案】 D

【误区纠错】 本题容易出错的是,而错选C.

2. 实际问题中对坡角、俯角、仰角与方位角等找不准无法准确理解题意易出错.

【例2】 (2014·广东深圳)小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5∶12的山坡上走1 300米,此时小明看山顶的角度为60°,求山高( ).

【解析】 ,即tanα(α为坡角)的值.坡度为5∶12,则tanα=,

通过构造两个直角三角形△ABE与△BDF,分别求解可得DF与EB的值,再利用图形关系,进而可求出答案.

【答案】 ∵ BE∶AE=5∶12,

∴ BE∶AE∶AB=5∶12∶13. ∵ AB=1 300米,

∴ AE=1 200米,BE=500米.

设EC=x米,

∵ ∠DBF=60°,

【误区纠错】 解决实际问题时,常因对名词术语如俯角、仰角、方位角、坡角等概念了解不清导致错误.

名师点拨

掌握锐角三角函数的概念,会熟练运用特殊角的三角函数值.

提分策略

1. 求锐角三角函数值的问题.

解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形,确定直角三角形的边长,依据三角函数的定义进行求解.

【例1】 如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为( ).

【解析】 利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答.如图,连接CO. 根据网格的特点,CO⊥AB. 在Rt△AOC中,

【答案】 B

2. 特殊锐角的三角函数值的应用.

【例2】 在△ABC中,若∠A,∠B满足,则∠C= .

【解析】 得∠A=60°,∠B=45°,

则∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°. 【答案】 75°. 3. 解直角三角形的问题.

作三角形的高,将非直角三角形转化为直角三角形,是解直角三角形常用的方法. 【例3】 (2014·四川遂宁)如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题:

(1)

(2)

(3)

(4)

sinA1+sinB1= ;sinA2+sinB2= ;sinA3+sinB3= . (1)观察上述等式,猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sinA+sinB= ;

(2)如图(4),在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想.

2

2

2

2

2

2

2

2

(3)已知:∠A+∠B=90°,且sinA=,求sinB.

2

2

【解析】 (1)由前面的结论,即可猜想出:在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sinA+sinB=1. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°.利用锐角三角函数的定义得出sinA=,sinB=,则sinA+sinB=2

2

,再根据勾股定理得到a+b=c,从而证明sinA+sinB=1.

2

2

22222

(3)利用关系式sinA+sinB=1,结合已知条件sinA=,进行求解. 【答案】 (1)1

4. 利用解直角三角形解决实际问题.

【例4】 (2014·甘肃白银)为倡导“低碳生活”,人们常选择以自行车作为代步工具、图(1)所示的是一辆自行车的实物图.图(2)是这辆自行车的部分几何示意图,其中车架档AC与

CD的长分别为45cm和60cm,且它们互相垂直,座杆CE的长为20cm.点A,C,E在同一条直线

上,且∠CAB=75°.(参考数据:sin75°=0.966,cos75°=0.259,tan75°=3.732)

(1)

(2)

(1)求车架档AD的长;

(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1cm). 【解析】 (1)在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可.

(2)过点E作EF⊥AB,在Rt△EFA中,利用三角函数求EF=AEsin75°,即可得到答案. 【答案】 (1)∵ 在Rt△ACD中,AC=45cm,DC=60cm,

∴ 车架档AD的长是75cm.

(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F,

∵ AE=AC+CE=(45+20)cm,

∴ EF=AEsin75°=(45+20)sin75°≈62.7835≈63(cm), ∴ 车座点E到车架档AB的距离约是63cm.

【例5】 (2014·四川内江)“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视,迅速派出了

舰船和飞机到相关海域进行搜寻.如图,在一次空中搜寻中,水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的点F处有疑似飞机残骸的物体(该物体视为静止).为了便于观察,飞机继续向前飞行了800米到达B点,此时测得点F在点B俯角为45°的方向上,请你计算当飞机飞临点F的正上方点C时(点A,B,C在同一直线上),竖直高度CF约为多少米?(结果保留整数,参考数值:≈1.7)

【解析】 此题考查了考查俯角的定义,要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形.注意方程思想与数形结合思想的应用. 【答案】 ∵ ∠BCF=90°,∠FBC=45°,

∴ BC=CF. ∵ ∠CAF=30°,

解得CF=400+400≈400(1.7+1)=1 080(米). 故竖直高度CF约为1080米.

专项训练

一、 选择题

1. (2014·安徽芜湖模拟)已知a=3,且(4tan45°-b)+组成的三角形面积等于( ). A. 6 C. 8

B. 7 D. 9

2

=0,以a,b,c为边

(第2题)

2. (2013·吉林镇赉县一模)如图,O为原点,点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),☉D过A,B,O三点,点C为优弧AO上的一点(不与O,A两点重合),则cosC的值为( ).

二、 填空题

3. (2014·江苏如皋地区模拟)如图,∠ABC=60°,半径为1cm的☉O切BC于点C,若将☉O在

BC上向右滚动,则当☉O滚动到与AC也相切时,圆心O移动的水平距离是 cm.

(第3题)

(第4题)

4. (2014·江苏扬州树人集团学校模拟)如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sinA= .

5. (2014·河南信阳三模)如图,某公园入口处原有三阶台阶,每级台阶高为20cm,深为30cm.为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现将斜坡的坡度设计为i=1∶4.5,则AC的长为 cm.

(第5题)

三、 解答题

6. (2014·安徽安庆二模)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C;另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲,乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为45m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留5min后,再从B匀速步行到C,二人同时到达.已知缆车匀速直线运动的速度

为180m/min,山路AC长为2 430m,且测得∠CAB=45°,∠CBA=105°.求:

(1)索道AB的长; (2)乙的步行速度.

(第6题)

7. (2014·河南洛阳一模)如图,在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站,A在B的正东方向,AB=2(单位:km).有一艘小船在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在北偏东45°的方向. (1)求点P到海岸线l的距离;

(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后,到点C处,此时,从B测得小船在北偏西15°的方向.求点C与点B之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号)

(第7题)

8. (2013·吉林中考模拟)已知,如图,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°,然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP攀行了26米,在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求: (1)坡顶A到地面PQ的距离; (2)古塔BC的高度.(结果精确到1米)

(参考数据:sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)

(第8题)

参考答案与解析

1. A [解析]由已知条件得b=4,c=5,由于a=3,所以这个三角形是直角三角形,且两条直角边分别是3,4,所以面积是6.

2. D [解析]连接AB,利用同弧所对的圆周角相等求解.

5. 210 [解析]由题意,知(20+20+20)∶(AC+30+30)=1∶4.5,解得AC=210(cm).

(第6题)

7. (1)如图,过点P作PD⊥AB于点D, 设PD=x,

由题意,知PBD=45°,∠PAD=30°,

∴ 在Rt△BDP中,BD=PD=x.

在Rt△PDA中,AD=PD=x.

∵ AB=2,

(第7题)

8. (1)过点A作AH⊥PQ,垂足为H.

∵ 斜坡AP的坡度为1∶2.4,

设AH=5k,则PH=12k,由勾股定理,得AP=13k.

∴ 13k=26.解得k=2. ∴ AH=10.

故坡顶A到地面PQ的距离为10米. (2)延长BC交PQ于点D.

∵ BC⊥AC,AC∥PQ, ∴ BD⊥PQ.

∴ 四边形AHDC是矩形,CD=AH=10,AC=DH.

∵ ∠BPD=45°, ∴ PD=BD.

设BC=x,则x+10=24+DH.

∴ AC=DH=x-14.

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