Lipschitz非线性系统状态观测器设计新方法

第20卷 第3期 2008年6月 海军工程大学学报

JOURNALOFNAVALUNIVERSITYOFENGINEERING Vol.20 No.3 Jun.2008

Lipschitz非线性系统状态观测器设计新方法

明廷涛,张永祥,孙云岭,张西勇

(海军工程大学船舶与动力学院,武汉430033)

摘 要:针对Lipschitz非线性系统状态观测器,提出了一种以极小化条件数为目标准则的新的设计方法。运用梯度下降法和Slyvester方程,计算极小化条件数,优化增益矩阵和最大允许Lipschitz常数,完成观测器设计。通过同其它文献的算例比较,结果发现按文中方法设计的观测器具有迭代次数少、优化结果好的特点。关键词:状态观测器;Lipschitz非线性系统;极小化条件数;梯度下降法;Slyvester方程

中图分类号:TP13 文献标志码:A 文章编号:1009-3486(2008)03-0104-05

AnewdesignmethodofstateobserverforLipschitznonlinearsystems

MINGTing tao,ZHANGYong xiang,SUNYun ling,ZHANGXi yong

(CollegeofNavalArchitectureandPower,NavalUniv.ofEngineering,Wuhan430033,China)Abstract:ThispaperpresentedanewdesignmethodofstateobserverforLipschitznonlinearsys tems,aimingattheminimizationofconditionnumber.AsystematiccomputationalprocedureforminimizationofconditionnumberwasdevelopedbasedonthegradientflowalgorithmandSlyvesterequation.TheobservergainmatrixandtheallowablemaximumLipschitzconstantwereoptimizedbyusingthismethod.Bycomparingnumericalexamplewithotherpapers,theresultrevealsthatsimplecomputationandwelldesignarethecharacteristicsoftheobserver.

Keywords:stateobserver;Lipschitznonlinearsystems;minimizationofconditionnumber;gradient

flowalgorithm;Slyvesterequation

状态观测器设计是非线性控制领域的重要问题之一。对于一个给定的非线性系统,在需用状态反馈控制设计而并不能得到全部状态变量时,状态观测器成为反馈控制设计的主要工具。研究表明:许多非线性系统是满足Lipschitz非线性条件或是满足Lipschitz局部非线性条件的,如含有三角函数非线性项的机器人或飞行器控制系统[1~4]。因此,研究Lipschitz非线性系统的状态观测器设计问题就具有重要的现实意义。

Lipschitz非线性系统状态观测器的设计问题已受到普遍的关注,大量文献对此进行了深入的研究[1~7]。文献[1]提出了一种直接与控制矩阵相关的增益矩阵设计方法,但该方法不能确保观测器是一致渐近稳定的估计。文献[2]在文献[1]的基础上,通过判断矩阵的奇异值条件给出了观测误差的稳定条件,但是要求控制矩阵的特征值互异。文献[3]改进了文献[1,2]的方法,通过矩阵测度给出了稳定条件,克服了需考虑重特征值的限制,但是示例结果同文献[2]基本一致,没有太大改进。

文中在文献[1~3]的基础上,利用梯度下降理论,将Lipschitz非线性系统状态观测器的设计问题转化为矩阵条件数的极小化问题,改进观测器的设计。在不考虑观测器的特征值是否有重根的情况下,*收稿日期:2007 12 17;修回日期:2008 03 14。

作者简介:明廷涛(1981-),男,博士生,主要研究方向为机械设备状态监测与故障诊断,E mail:mtt1021@.

cn。

第3期 明廷涛等:Lipschitz非线性系统状态观测器设计新方法 105 运用Slyvester方程计算条件数的下降梯度与极小化点,优化观测器的增益矩阵和Lipschitz常数,从而完成观测器的设计。

1 问题描述

Lipschitz非线性系统可表示为[1~7]

x(t)=Ax+ (x,u),

y=Cx。

足

(x,u)- (x,u) x-x 。

###(1)(2)式中:x Rn;u Rm;A Rn!n;C=Rm!n(A,C)满足可观测性条件; (x,u)为Lipschitz非线性项,且满(3)

式中: >0,为Lipschitz常数;x为x的观测值。

设计系统状态观测器为[1~7]

#x=Ax+ (x,u)+L(y-Cx)。

式中:L Rn!m,为观测器的增益矩阵。

定义观测误差

x=x-x,

则观测误差的动态方程为

#####(4)(5)x=(A-LC)x+( (x,u)- (x,u))。

设计观测器的目标就是寻找增益矩阵L使得t 0时 x 0。

文献[1]提出了一种直接与控制矩阵(A-LC)相关的L的设计方法,即选择L满足

min(A-LC)> ,

但是该方法不能确保 满足条件。

文献[2]改进了文献[1]的方法,提出选择L满足

min! R+(6)(7) (A-LC-!E)> ,(8)

表明稳定观测器的设计与(A-LC-!E)的奇异值有关,但是该方法要求控制矩阵的特征值无重根。

文献[3]在文献[2]的基础上进行改进,不考虑观测器的特征值是否有重根,只要求增益矩阵满足

(V)+ K2(D)<0。

数。虽然此方法扩展了观测器的适用条件,但是计算结果并没有太大改进。(9)式中:(A-LC)=D-1VD;V为Jordan标准形; (V)为矩阵V的测度;K2(D)为矩阵D的的2 范数条件

2 极小化条件数目标准则

对控制矩阵(A-LC)作转置变换,即令H=AT,B=-CT,K=LT,则有(H+BK)=(A-LC)T。存在可逆矩阵T=DT,使得矩阵(H+BK)相似于约当标准形J=VT,即

H+BK=TJT-1。(10)

在研究Lipschitz非线性系统的状态观测器设计问题时,最为关注的是[4]:对于给定的矩阵A,C在保证观测误差稳定性的条件下,如何选取增益矩阵L,使得允许的Lipschitz常数最大。据此,由式(9)及(10)可得最大允许Lipschitz常数的计算公式为

)。 =max(K2(T)(11)

106 海 军 工 程 大 学 学 报 第20卷 由于极小化条件数可以直接减小控制输入,获取良好的鲁棒特性和即时响应特性,所以文中采用极小化条件数的方法来设计观测器。于是,观测器的设计问题就转换成为如下问题:给定矩阵A,C,优化选择增益矩阵K,使得可逆矩阵T的条件数K2(T)收敛至局部极小,从而获得较大的Lipschitz常数 。3 状态观测器的设计

现有的大多数改进条件数的方法均固定闭环极点,然后优化寻求增益矩阵以完成极点配置[3]。文献[8]提出了一种从范围较大的可允许区域选取特征值以获得最小条件数的方法。文献[1,2]正是采用了这种方法设计观测器,但是所获取的最大允许Lipschitz常数并不大。文中采用文献[9]提出的条件数梯度下降法来设计Lipschitz非线性系统的状态观测器。

令G=KT,则由式(10)可得

TJ=HT+BG。

矩阵G的梯度G由式(13)给出[9]:

G=2(trace(TMijTT))m!n-2(trace(TMij))m!n

的m!n维矩阵。

综上可得,Lipschitz非线性系统状态观测器设计的算法流程如下:%给定矩阵A,C,初始化L(0),计算H+BK(0)=T(0)J(0)T(0)

-1 -1-1-TT (12)(13)式中:Mij为Sylvester方程MijJ=HMij+BEij的惟一解,其中Eij为i行第j列元素为1、其余元素为0,G(0)=K(0)T(0), (0)=;&计算Mij(n); 计算K2(T(0))G(n);(计算G(n+1)=G(n)-#G(n),#为下降速率;)计算K(n+1)=G(n+1)T(n)-1; 计算T(n+1),J(n+1),H+BK(n+1)=T(n+1)J(n+1)T(n+1)-1 ;+若 (n+1), (n)转&,否则转 ; 取K=K(n),J=J(n),T=T(n),计算增益矩阵L和最大允许Lipschitz常数 。

4 Slyvester方程的求解

在进行梯度计算时,有一难点就是求解Slyvester方程MijJ=HMij+BEij的惟一解Mij。

关于Slyvester方程的求解目前已有多种讨论[10~12]。文献[10]在同维矩阵情况下给出了方程解的一种显式表达,文献[11]在矩阵不同维情况下给出了方程解的4种显式表达,但是这类方程的求解相当复杂。文中采用文献[13]提出的一种适于计算机实现的简便解法来求解Slyvester方程。

记M=Mij,并令N=-J,W=-BEij,则可将上述Slyvester方程变换为便于求解的一般形式HM+MN=W,H Rn!n,N Rn!n,W Rn!n。

存在可逆矩阵P使得

1

PWP=-1Tb1 2

%

0..000bn-

1 n。(14)0%0

T式中:bi=1或0; i为N的特征值,i=1,2,.,n。

令Q=P-1,M=(M1,M2,.,Mn),W=(W1,W2,.,Wn),则有H+ 1E

%

0b1EH+ 2E%00..00bn-1EH+ nM/1M/2%M/n=W/1W/2%W/。(15)

第3期 明廷涛等:Lipschitz非线性系统状态观测器设计新方法

M/1M1

=Q-1M2

%

Mn

%

(H+ n-1E)M/n-1+bn-1M/n=W/n-1,

(H+ nE)M/n=W/n。,W/1W/2%W/n=Q-1W1W2%Wn 107 式中:E Rn!n是单位阵,M/2%M/n。于是,Slyvester方程可转化为(H+ 1E)M/1+b1M/2=W/1,(16)

依次求得M/n,M/n-1,.,M/1,然后可得

M1

M2

%

Mn

即M=(M1,M2,.,Mn)。=QM/1M/2%M/,(17)

5 算 例

文献[2]和[3]使用了同一个算例,为了便于比较,文中也采用此例进行观测器设计。

考虑非线性系统A=0

11,C=[0 1],设计其观测器,使Lipschitz常数最大。-取初始闭环特征值为-10+0.1i,-10-0.1i,矩阵T的初始条件数为1010.1,最大允许Lip schitz常数 的初始值为0.01。运用上述算法,经过3次迭代,优化运算得增益矩阵L=[101.2700 10.1140]。

相应地,T=0.9287+0.0462i0.0713-0.0460.7309-2.7178i0.7309+2.717,J=-9.6903

00-10.334,K2(T)=T

5.7650, =0.9639。

文献[2,3]的结论是一致的,经过7次迭代之后,优化运算出来的极小化条件数为12.8233,最大允许Lipschitz常数为0.49。相比之下,本文方法的迭代次数要少,极小化条件数要小,最大允许Lip schitz常数要大,观测器设计效果要好。

6 结 论

文中采用极小化条件数的梯度下降理论,讨论了Lipschitz非线性系统状态观测器的设计新方法。通过算例比较,发现本文方法设计的观测器具有迭代次数少、优化结果好的特点。此外,该方法适于Matlab编程,可用于解决工程实践中这一类系统的观测器设计问题。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fr34.html