四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测理科数学试题详细解析

理科数学

四川省成都市2013届高中毕业班 第一次诊断性检测理科数学试题解析

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合P 1,2 ，Q zz x y,x,y P ，则集合Q为

A. 1,2,3 B. 2,3,4 C. 3,4,5 D. 2,3

2. 某校在一年一度的“校园十佳歌手”比赛中，9位评委为参赛选手A给出的分数的茎 叶图如图所示.在去掉一个最高分和一个最低分后，得出选手A得分的中位数是 A. 93 B. 92 C. 91 D. 90 3. 1 2x 的展开式中含x3项的系数为

A. 160 B. 160 C. 80 D. 80

6

A. 3 B. 3 C. 2 D. 2

5. 一空间几何体的三视图如图所示，图中各线段旁的数字表示 该线段的长度，则该几何体的体积为

A. 30 B. 27 C. 35 D. 36

6. 在 ABC中，角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c，若

asinA bsinB csinC，则 ABC的形状是

A.锐角三角形 C. 钝角三角形

B.直角三角形 D.正三角形

7. 已知直线l 平面 ，直线m 平面 ，则“l m”是“ ”的

A.充要条件 B.必要条件 C.

充分条件 D.既不充分又不必要条件

8. 如图，已知在 ABC中,BC 2，以BC为直径的圆分别交

AB,AC于点M,N，MC与NB交于点G，若BM BC

2，

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CN BC 1，则 BGC的度数为

A.135 B. 120 C. 150 D. 105 °

9.为继续实施区域发展总体战略，加大对革命老区、民族地区、边疆地区、贫困地区扶持

力度，某市教育局再次号召本市重点中学教师和领导自愿到观阁、广兴、天池、龙滩四个边远 山区中学支教，得到了积极响应，统计得知各边区学校教师需求情况如下表：

现从大量报名者中选出语文教师2名（包含1名干部），数学教师3名，英语教师3名 (包含2名干部）、物理教师3名(包含1名干部），要求向每个学校各派一名干部任组长.则 不同派遣方案的种数有

A. 24 种 B. 28 种 C. 36 种

D. 48 种

10.已知数列{an}满足an an 1 n 1(n 2,n N)，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a,b,c，则集合{a,b,c} {a1,a2,a3} 1 a

i 6,ai N,i 1,2,3 的概率是 （A）

172

（B）

136

（C）

124

（D）

112

第II卷(非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.

2

12.已知x 1，则log2x logx213.已知某算法的程序框图如图所示，当输入x的值为13时，

则输出y的值为_____

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14.已知角 ， ， 构成公差为

3

的等差数列．若cos

23

则cos cos 2x31

,x (,1] 3 x 2215. 已知函数f(x) ，g(x) asin(x ) 2a 2(a 0)，给

32 1x 1,x [0,1]

242

出下列结论：

①函数f(x)的值域为[0,]；

32

②函数g(x)是[0,1]内的增函数；

③对任意a 0，方程f(x) g(x)在[0,1]内恒有解；

④若存在x1,x2 [0,1]，使得f(x1) g(x2)成立，则实数a的取值范围是其中所有正确结论的番号是 ．

49 a

45

．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16. (本小题满分12分）

已知向量a (cosx sinx,sinx),b (cosx sinx,2cosx)设f(x) a b. (I)化简函数f(x)的解析式并求其单调递增区间；

(II)当x 0,

时，求函数f(x)的最大值及最小值.

2

12

17. (本小题满分12分）

如图，矩形ABCD中，BC 2,AB 1,PA 平面ABCD， BE PA,BE

PA的中点.

PA，F为

(I)求证: DF//平面PEC. (II)

若PE

，求平面PEC与平面PAD

所成锐二面角的余弦值.

18. (本小题满分12分）

对于实数a,b，定义运算 :a b

a,a b 0

b,a b 0

.

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设函数f x x x 1 2x 1 ,其中x R.

2

(I)

求f

的值；

23x f

(II)若1 x 2，试讨论函数h x 19. (本小题满分12分）

x

16

x

2

113

x t的零点个数.

某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万 元，年生产与销售均以百台计数，且每生产100台,还需增加可变成本1000万元.若市场对 该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收人近似满足函数

R m 5000m 500m

2

0 m 5,m N .

(I)试写出第一年的销售利润y(万元)关于年产量单位x百台（x 5,x N*）的函数关系式；

(II)若工厂第一年预计生产机器300台，销售后将分到甲、乙、丙三个地区各100台，

上门调试，每个地区调试完毕，厂家需要额外开支100万元.记厂家上门调试需要额外开支的费 用为随机变量 ，试求第一年厂家估计的利润.

(说明：销售利润=实际销售收入一成本；估计利润二销售利润一 的数学期望） 20. (本小题满分13分）

在数列 a 中，a1 2,a2 4，且当n 2时，a2 aa,n N*..

nnn 1n 1(I)求数列 a 的通项公式an； n

(II)若b (2n 1)a，求数列 b 的前n项和S.；

nnnn

21. (本小题满分14分）

已知函数f x ln 1 x ，g x a 2x x

2

a 0,a R ,h(x) f x g x .

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(II)若 x 3,f x g x 成立，求实数a的取值范围；

(III)在函数的图象上是否存在不同的两点A x1,y1 ,B x2,y2 ，使线段AB的中点的横坐标x0与直线AB的斜率k之间满足k h x0 ？若存在，求出x0；若不存在，请说明理

'

由.

【参考答案】

1.B【解析】x,y可分别取 1,1 , 1,2 , 2,2 ，所以Q 2,3,4 .

2.B【解析】本题容易题，考查茎叶图与中位数概念，去掉88与95余下数从小到大数第4个

rr

3.B【解析】本题考查通项公式Tr 1 C6( 2x)，而r 3可求x3项的系数为 160.

tanx 1

4.C【解析】本题考查三角函数同角变形，可分子分母同除以余弦，弦化切tanx 1

tanx

sinxcosx解。

3

解tanx，

也可以去分母求正、余弦关系cosx 2sinx后由正切定义

5.A【解析】本题考查立体几何的三视图，需要空间想象力。原几何体是：下面棱长为3的正方体，上面是高为2（高线也是一侧棱，且垂足是棱的中点）的三棱锥,

222

a b c,故C是钝角。

7.C【解析】本题考查立体几何中的线面关系。 时，除了可能l m，也可能相交或为异面直线。

8.D【解析】以BC为x轴建立坐标系（圆心为O点），由题数量积知道 MOC, NOC分

别90,60，由平面几何知道， A+ BGC= ，且 MCN

6

,得 A 75 ，从而

BGC 105.

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9.A【解析】本题考查排列、组合应用。由题知道实际只是把语文教师2名（包含1名干部），数学教师3名，英语教师3名 (包含2名干部）这8人派到观阁、广兴、天池的方法数：1、领导的安排:英语3人中只能二领导中1人与语文的领导派到观阁、广兴而地去，另二英语

12

教师到天池C2A2 4；2、组员排法：3名数学教师观阁、广兴、天池每一地方各1人，语

3

文教师到观阁A3 6,3、前面两步分步计数原理求解4 6 24.

10.D【解析】由递推数列容易有：令a1 t,，可以得出a2 1 t,a3 3 t， 利用 1 ai 6,ai N,i 1,2,3 ,知道1 t 3,于是t由三种可能选法：

11.1【解析】本题考查复数的运算及模的定义，容易求出z i,

12.

本题考查均值不等式的运用，原式=2log2

x

1log2

x

，仅log

x

2

2

时

取等号。 13.

14

【解析】本题考查算法的程序框图，容易得到x 2,

2

所以y 2

2

14

.

14.

2

cos +cos =cos -+cos +=2cos cos=cos . 【解析】

3 3 333

15.①②④【解析】

定义域相同的函数f(x)与g(x)，除了分段函数f(x)在第二段上单减，其余都是在定义域上单增，并且

① f(x)值域是 0

4

1

12

= 103

2 0 正确； 3

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②利用条件易判断为正确；

③可以求出f(x)的值域A [0,]与g(x)值域B= 2-3a,2 ，方程f(x) g x 在 2 3

[0,1]内恒有解即B A,可得

815

a

2323

2

5a

与任意a 0矛盾；

52

a 0，可以得解

49 a

45

④即上问中A B ,可得到2-3a

且2 ,正确。

16、【解析】（Ⅰ）已知a (cosx sinx,sinx),b (cosx sinx,2cosx),

所以f(x) a b (cosx sinx)(cosx sinx) 2sinxcosx,

cosx sinx sin2x cos2x sin2x,

22

所以f

(x) 由2k

2

x

4

),

2x

4

2k

2

,k Z得k

3 8,k

3 8

x k

8

,k Z

故函数f(x)的单调递增区间为[k

8

](k Z)；

（Ⅱ）当x 0,

5 2x ,时，， 2 4 44

4

5 4

所以当2x

4

即x

8

2

时，f(x)min

2

；

当2x

2

即x

时，f(x)max 1．

2

所以当x

当x

8

2

时，f(x)min

；

时，f(x)max 1．

17．【解析】（Ⅰ）证明：连接EF，由已知，BE//AF,BE AF， 又PA 平面ABCD， 四边形ABEF为矩形， ∴EF//AB，又矩形ABCD中,AB//CD ∴四边形CDFE为平行四边形,则DF//EC 又DF 平面PEC，EC 平面PEC

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即证，DF//平面PEC．

（Ⅱ）∵PA 平面ABCD， 四边形ABCD为矩形， 以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A xyz 在Rt

PEF中，PE

，EF AB 1， PF 1

故得到如下点的坐标：P(0,0,2)，E(1,0,1)，C(1,2,0)，

则PE (1,0, 1)，PC (1,2, 2)

设平面PEC的法向量为n (x,y,z)

1 n PE x z 0

由 ， 取n (1,,1)

2 n PC x 2y 2z 0

因为平面PAD的法向量为AB (1,0,0)，

AB ncos AB,n

AB n

23 .

故平面PEC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为

x2 x 1,1 x 2

. 18、【解析】（Ⅰ） f x

2x 2,x 2,或

x 1

f

23

．

4

16

2

2

（Ⅱ）当1 x 2时，f x x x 1,

h x

23

x f x 23x

23

x

2

113

x t

23

x

3

12

x 3x t

2

令g x

12

x 3x,

则g x 2x x 3 2x 3 x 1 ， 所以函数g x 在 1,

3 3

上单减，在 ,2 上单增.

2 2

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又g 1

176

176

,g 2

83

83

17

27 3

,g . 68 2 278

所以 即

83

t 176

或 t

278

，

t 27,或t

17时，函数h x 有一个零点，

17 t

27当

t ，即

时，函数h x 有两个不同零点，

19、【解析】（Ⅰ）由题意，y 5000x 500x2 500 1000x，

即y 4000x 500x2 500.（x 5,x N*）

（Ⅱ）设需要厂家上门调试的地区个数为随机变量 ,则 ~B(3, 所以，E np

310

110)

，

即厂家调试机器需要额外开支的费用的平均值为20E 6（万元）

故第一年厂家估计的利润为y 4000 3 9 500 500 6 6994（万元）

2

20、【解析】（Ⅰ）∵当n 2时，an an 1an 1 ，

∴数列 an 为等比数列

又∵a1 2，a2 4， ∴公比为

a2a1

2

n

所以，数列 an 通项公式为 an 2．

n

（Ⅱ）由题， bn (2n 1)2

Sn 1 2 3 2 5 2 (2n 1)22Sn

2

3

4

23n

n

n 1

1 2 3 2 5 2 (2n 3)2 (2n 1)2

23nn 1

相减，得 Sn 1 2 2(2 2 2) (2n 1)2

1 2 8(

n 1

2 )n( 2

n 1

1 )2

n2

6 n2

n2

2

n

2

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1

Sn (2n 3)n 2

. 6

1

1n 2

n

（Ⅲ）证明：因为

1n 2

n

n 1n n 1 2

n

n 1 2

n 1

n 2

n

所以

1

1

1 11 11 1

2334n 1n

1i 1

iai

1 22 4 2 23 2 3 24 2 n 1 2

21、【解析】（I）当a 1时，h(x) ln 1 x x2

2x（x 1），

2

h x

2x 1 x 1

h

x 0 2x2 1 0 x

2

或 1 x

2

，

∴h x 在

1,

2

2 2 和 , 2

上单增，在 2,

2

上单减.

22 （II）因为x 3,所以a ln 1 x

2x x

2

m x ,

2

m x

2x x 2 1 x

2

ln 1 x ,

x 1 2x x2

2

x 2x x2

令

n 2

1 x

2

ln 1 x ，

则n x 4xln 1 x 0，且n 0 0,

所以n x 0 m x 0，则m x 在 3, 上单调递增， 所以a m 3

23

ln2.

（III）假设存在，不妨设 1 x1 x2. 2

k h x1 h x2 x

ln 1 x1 a x1 2x1 ln 1 x2

2 a x2 2x2

1 x2x1 x2

ln1 x1

1 x2

x a x1 x2 2a.

1 x

2

n 2

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h x0

1x0 1

ln

2ax0 2a,k h x0

1 x11 x2

2x1 x2 2

ln

t1t2

2 ln

t1

x1 x2

,

ln

1 x11 x2

22

t1t2 2

, 令t1 1 x1,t2 1 x2.则

x1 x2x1 x2 2

令t

t12t 2t,u t lnt

2

t 1

0 t 1 ,

t 1 2

则u t t t 1

2

0,所以u t 在 0,1 上单增，

所以u t u 1 0,故k h x0 . 不存在符合题意的两点.

t1 t2

t1 t2

t2

t1t 1

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fqp1.html