江苏专版2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十四抛物线

课时达标检测(四十四）抛物线

[练基础小题——强化运算能力]

1．设抛物线y＝－12x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是________．

解析：依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x＝3的距离，即等于3＋1＝4.

答案：4

32

2．若抛物线y＝2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积

2为________．

1

解析：由题意知，抛物线的准线方程为x＝－.设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点

2

2

M到准线的距离为，所以a＝1，代入抛物线方程y2＝2x，解得b＝±2，所以S△MFO＝×

×2＝2. 4

2 4

2

321122

答案：

3．设F为抛物线y＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则―→―→―→

|FA|＋|FB |＋|FC|的值为________．

?1?解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F?，0?，所以x1＋x2?2?

1??1?13133―→―→―→?

＋x3＝3×＝，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝?x1＋?＋?x2＋?＋x3＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝

2??2?22222?3

＋＝3. 2

答案：3

4．直线l过抛物线x＝2py(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p＝2＋p＝6，∴p＝4.即抛物线方程为x＝8y.

答案：x＝8y

[练常考题点——检验高考能力]

一、填空题

1．抛物线y＝2px(p＞0)的准线截圆x＋y－2y－1＝0所得弦长为2，则p＝________.

2

2

2

2

2

2

解析：抛物线y＝2px(p＞0)的准线为x＝－，而圆化成标准方程为x＋(y－1)＝2，

2

2

p22

p?p?2?2?22

圆心M(0,1)，半径r＝2，圆心到准线的距离为，所以??＋??＝(2)，解得p＝2.

2?2??2?

答案：2

5

2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝________.

4151

解析：由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝4445

|AF|＝x0，解得x0＝1.

4

答案：1

12

3．已知抛物线y＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与此抛物线相交于P，Q两点，则

|FP|＋

＝________. |FQ|

解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知直线y＝k(x－2)过抛物线焦点(2,0)，所以|PF|＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，则

22

1

111x1＋x2＋4＋＝＋＝.联立直线与|FP||FQ|x1＋2x2＋2x1x2＋2?x1＋x2?＋41

2

2

抛物线方程消去y，得kx－(4k＋8)x＋4k＝0，可知x1x2＝4，故

1|FP|

＋

1|FQ|

＝

x1＋x2＋4x1＋x2＋41

＝＝. x1x2＋2?x1＋x2?＋42?x1＋x2?＋82

1答案： 2

4．设抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为________．

―→?p?解析：由已知得抛物线的焦点F?，0?，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则AF＝

?2?→?y0―→―→?p，－2?，―?

?2?AM＝?2p，y0－2?.由已知得，AF·AM＝0，即y20－8y0＋16＝0，因而y0＝4，????8p?8?M?，4?.由|MF|＝5得，＋＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2

p2?p?＝4x或y＝16x.

答案：y＝4x或y＝16x

5．(2018·长春模拟)过抛物线y＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛|AF|

物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________．

|BF|

2

2

2

2

2

2

解析：记抛物线y＝2px的准线为l′，如图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cos∠ABB1＝|BF|－|AF|1|AF|1

＝，由此得＝. |AF|＋|BF|2|BF|3

1

答案： 3

6．(2017·天津高考)设抛物线y＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．

解析：由题意知该圆的半径为1，

设圆心坐标为C(－1，a)(a＞0)，则A(0，a)． ―→―→

又F(1,0)，所以AC＝(－1,0)，AF＝(1，－a)， ―→―→

由题意得AC与AF的夹角为120°，

－11

故cos 120°＝＝－，解得a＝3， 2

21×1＋?－a?所以圆的方程为(x＋1)＋(y－3)＝1. 答案：(x＋1)＋(y－3)＝1

7．(2017·全国卷Ⅱ改编)过抛物线C：y＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点

2

2

22

22

2

|BC||BB1|－|AA1||BF|－|AF|

＝＝，即cos 60°＝|AB||AF|＋|BF||AF|＋|BF|

M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为________．

解析：法一：由题意，得F(1,0)， 则直线FM的方程是y＝3(x－1)． 由?

?y＝3?x－1?，

?y2＝4x，

1

得x＝或x＝3.

3

由M在x轴的上方，得M(3,23)， 由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.

又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°， 因此△MNF是边长为4的等边三角形， 所以点M到直线NF的距离为4×3

＝23. 2

法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60°， 则|MN|＝|MF|＝

2

＝4.

1－cos 60°

又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°， 因此△MNF是边长为4的等边三角形，

所以点M到直线NF的距离为4×答案：23

3

＝23. 2

8．(2018·邢台模拟)已知抛物线x＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．

解析：由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1.则|MM1|＝

|AA1|＋|BB1|

.|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋

2

2

|BF|≥6，则|AA1|＋|BB1|≥6，即2|MM1|≥6，所以|MM1|≥3，故M到x轴的最短距离为3－1＝2.

答案：2

9．(2018·镇江质检)已知F是抛物线y＝4x的焦点，A，B是抛物线上两点，若△AFB是正三角形，则△AFB的边长为________．

解析：由题意可知A，B两点一定关于x轴对称，且AF，BF与x轴夹角均为30°，由3??y＝?x－1?，2

3于y＝4x的焦点为(1,0)，由???y2＝4x，

2

化简得y－43y－4＝0，解得y＝23＋

2

4或y＝23－4，所以△AFB的边长为8＋43或8－43.

答案：8＋43或8－43

10．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1＝________.

解析：由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB11ππ

＝×π＝，即∠A1FB1＝. 222

π答案： 2二、解答题

11．已知抛物线y＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.

(1)求抛物线的方程；

(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．

解：(1)抛物线y＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y22

22

pp2

＝4x.

(2)由(1)知点A的坐标是(4,4)， 由题意得B(0,4)，M(0,2)．

43

又∵F(1,0)，∴kFA＝.∵MN⊥FA，∴kMN＝－. 3443

∴FA的方程为y＝(x－1)，MN的方程为y＝－x＋2，

34

??

联立?3

y＝－??4x＋2，

y＝?x－1?，

43

84

解方程组得x＝，y＝，

55

?84?∴点N的坐标为?，?.

?55?

12.如图，已知抛物线C：y＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)．

(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；

(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．

解：(1)设直线AM的方程为x＝my＋p，代入y＝2px得y－2mpy－2p＝0， 则y1y2＝－2p＝－8，得p＝2. ∴抛物线C的方程为y＝4x. (2)证明：设B(x3，y3)，N(x4，y4)． 由(1)可知y3y4＝－2p，y1y3＝－p. 又直线AB的斜率kAB＝直线MN的斜率kMN＝

－2p2

2

2

2

2

2

2

2

y3－y12p＝， x3－x1y1＋y3

y4－y22p＝， x4－x2y2＋y4

－2p＋2

2

?y1＋y3?

y1y3y1y3kABy2＋y4

∴＝＝＝＝2. kMNy1＋y3y1＋y3y1＋y3故直线AB与直线MN斜率之比为定值．

－2p2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fqnd.html