第 21 讲 三角式的化简与恒等式证明

第 21 讲 三角式的化简与恒等式证明

（第课时） 神经网络 准确记忆！ ??对化简结果的要求化简???化简的常用方法???恒等式证明??条件等式证明?????切割化弦三角式的化简与恒等式证明? ???证明异名化同名?????常用的证明方法?异角化同角???角的配凑玉拆项????????升次与降次??

重点难点 好好把握！ 重点：三角恒等变换。 难点：灵活运用公式。 考纲要求 注意紧扣！ 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简和恒等式证明 命题预测 仅供参考！ 运用三角函数关系式和诱导公式化简证明。高考中对于三角部分的考查，主要集中于三角恒等变换，难度一般控制在中、低档水平，复习时要注重通法和常规题型的掌握。

考点热点 一定掌握！ 1．化简 ⑴ 对化简结果的要求

①能求出值的要求出值；②使三角函数种数尽可能少；③使项数尽可能少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

注意：某些化简题的答案可能不止一种。

例如化简

sin3x?sin5x 的结果就可能有两种：4cos2xcosx 或 2(cosx?cos3x) ，

sin2x它们都是对的，很难说哪一个更简单。

⑵ 化简常用的方法

在化简中，常用的方法有：切割化弦，异名化同名，异角化同角，角的配凑，拆项，降次与升次等。

例1．化简

2cos2??12tan(?4??)sin(2?4 。

??)解：∵ (?4??)?(?∴ 原式?4cos2???)??2 ，∴ sin(?4??)?cos(cos2??4??) ，

?cos2?sin(44442点评：本题使用了切割化弦的方法。

2．证明

⑴ 证三角恒等式

证三角恒等式时，先观察左右两边：①是否同名函数？②是否同角函数？③次数是否相同？④是繁还是简？⑤是和差还是积？然后再选择解题途径。

如果不是同名函数，一般保留正弦和余弦，把其它的变为正弦和余弦（异名化同名），如下面的例3；

如果不同角，就要考虑利用倍角、半角公式，（异角化同角）； 如果两边不同次，就要注意是否有必要“升次”或“降次”； 一般从较繁的一边往较简的一边变（化繁为简），如例2，如果两边都繁，则变两边（左右归一），如例4；

有时还需要用三角函数值来替换数字，根据角来对三角函数加以配凑和拆项。

1?sin?1?csc???cot3? 。 例2．求证：

1?cos?1?sec?分析：此题同角不同名，不同次，左边繁。故试从左边往右边变，并把sec?、csc?都变为sin?、cos?。

2tan(???)cos2(????)2sin(???)cos(???)???2?)cos2??1 。

cos2?11?sin?1?csc?1?sin?sin??1?sin??(1?sin?)cos? ???证明：

11?cos?1?sec?1?cos?1?cos?(1?cos?)sin?1?cos?1?(1?sin2?)cos?cos3???cot3? 。 ?23(1?cos?)sin?sin?例3．求证：1?(sin??cos?)?3sin?cos?。

分析：此题同角，不同名，但只有正弦和余弦，左边6次，右边4次，左边繁。故试从左边往右边变，并把“1”改写为“sin6622??cos2?”。

22366证明：左边?(sin??cos?)?(sin??cos?)

66422466 ?sin??cos??3sin?cos??3sin?cos??(sin??cos?)

222222 ?3sin?cos?(sin??cos?)?3sin?cos??右边

证毕。

例4．已知 270????360?，

2csc2??111?sin2???1?tan??求证： .

1?cos2?(sec2??1)(1?cos2?)1?cos2?分析：此题同角不同名，两边都繁，故两边都变。

证明：

cot2??左边?2sin?1cot?111?????0 22sin?tan??sin?tan??sin?tan??sin?tan??sin?

cos2??1?tan??cot2??1?tan?(?cot?)?1?1?0 ， 右边?1?tan??2sin?∵ 左边=右边 ∴ 结论成立。

13??4 。

sin10?cos10?13cos10??sin10?cos10??3sin10?22证明：左边? ?1sin10?cos10?sin10?cos10?2sin30?cos10??cos30?sin10?sin(30??10?)???4

111sin10?cos10??sin20?222例5．求证：

∴ 结论成立。

点评：本题用三角函数值来替换数字。本题也可以直接利用公式

basinx?bcosx?a2?b2sin(x??) ，其中 ??arccot ，a?0。

a⑵ 证三角条件等式

证三角条件等式可以先把结论化简再代入条件，也可以直接把条件变形得出结论。

例6．已知cos(???)?a，sin(???)?b，求证：cos2(???)?a2?b2?2absin(???)。 证明：由 cos(???)?a 可得 cos?cos??sin?sin??a ① 由 sin(???)?b 可得 sin?cos??cos?sin??b ② ①×sin?+ ②×cos? 得 sin?cos(???)?asin??bcos? ③ ①×cos?- ②×sin? 得 cos?cos(???)?acos??bsin? ④ ③2+④2 得 cos2(???)?a2?b2?2absin(???)。 点评：本题直接把条件变形得出结论。 能力测试 认真完成！ 参考答案 仔细核对！

切割化弦 异名化同名 异角化同角 角的配凑 拆项

降次与升次 左右归一

用三角函数值替换数字

1 2 3 4 5 6 7 8 √ √ √ √ √ √ ● √ √ √ √ √ √

1．化简

1?cos?1?cos?? （270????360?）。

1?cos?1?cos?解法一：∵ 270????360? ，∴ sin??0 ，0?cos??1 ，

(1?cos?)2(1?cos?)2(1?cos?)2(1?cos?)2???原式?

1?cos2?1?cos2?sin2?sin2?1?cos?1?cos?2cos? ??????2cot?

?sin??sin??sin?解法二：∵ 270????360? ，∴ 135????180? ，

11?cos?1?11?cos????(?tan)???原式?

1?cos??sin?1?cos?2sin??tan1?cos?21?cos??(1?cos?)?(1?cos?)?2cos? ????2cot?

sin?sin?点评：解法一中要注意，?在第四象限，故sin???sin?；解法二中也要注意围，以便使用半角公式 tan2．求证：

2?的范2?1?cos??? 时，好确定是取正号还是负号。 21?cos?tg5??tg3??4cos2?cos4? 。

tg5??tg3?sin5?sin3??cos5?cos3??sin5?cos3??sin3?cos5??sin8? ,

证明：左边?sin5?sin3?sin5?cos3??sin3?cos5?sin2??cos5?cos3?4cos2?sin2?cos4?2sin4?cos4?sin8??? 右边? ,

sin2?sin2?sin2?∵ 左边=右边

∴ 原式成立。

点评：本题使用切割化弦、异角化同角、左右归一。 3．求证：tg20??tg40??3tg20?tg40??证明：

左边?tg20??tg40??3。

(tg20??tg40?)tg20?tg40?

1?tg20?tg40??tg20??tg40??tg60??3?右边

1?tg20?tg40?∴ 原式成立。

点评：本题把数值用三角函数来代替。

1?2sinAcosA1?tgA? 。

cos2A?sin2A1?tgAsin2A?cos2A?2sinAcosA(sinA?cosA)2?证明：左边?

(cosA?sinA)(cosA?sinA)(cosA?sinA)(cosA?sinA)4．求证：

sinA?cosAsinA?cosA1?tgAcosA ????右边

cosA?sinAcosA?sinA1?tgAcosA∴ 原式成立。

点评：本题把数值用三角函数来代替（利用变形 1?sinA?cosA） 。

222sin4? 。 3sin2?sin4?1?41?tg4?cos4??sin4?cos2??sin2?2cos2?cos?证明：左边? ????tg2?sin2?cos2?sin2?cos2?sin2?sin22?cos2?2sin2?cos2?2cos2? 右边? ， ?sin32?sin22?5．求证：ctg2??tg2??∵ 左边=右边

∴ 原式成立。

点评：本题使用左右归一、切割化弦、异名化同名。

1 。 42sin36?cos36?cos72?sin72?cos72?sin144?1????右边 。 证法一：左边?2sin36?2sin36?4sin36?436??72?)?cos(36??72?)?cos108??cos36? 证法二：左边?cos(6．求证：cos36??cos72??5?15?121?1?2()??右边 444?1?5点评：证法一使用角的配凑；证法二使用 sin18??。

41?sin6??cos6?3? 。 7．求证

1?sin4??cos4?2(sin2??cos2?)3?sin6??cos6?3sin4?cos2??3cos4?sin2?3?? 。 证明：左边?22244222(sin??cos?)?sin??cos?2sin?cos???sin18??1?2sin218???点评：本题使用用三角函数值来替换数字、降次。

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