北师大版中考数学专题复习一 - 实数

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中考数学专题复习（一） 实数

【知识结构图】

实数 近似数和有效数字， 实数的大小比较 实数的运算 运算律 加，减，乘，除，乘方，开方

运算顺序 【中考目标要求】

了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义.进一步对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况.了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质.

【中考知识点】 （一）．实数的有关概念 1． 数轴

① 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，

缺一不可。

② 用途：任何一个实数都可以用数轴上的点来表示，正实数位于原点的右侧，负实数位于远点的左侧，

零位于原点处。 2. 相反数

① 定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中的的一个数是另一个数的相反数。

② 相反数的几何意义：在数轴上位于远点的两侧，并且与原点的距离相等的两点所表示的两个数，称为互为相反数 ③ 相反数的性质：

（1） 任何数都有相反数，并且只有一个相反数；

（2） 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，特别的，0的相反数是0； （3） 互为相反数的两个数之和为0，反之，和为0的两个数互为相反数. ④ 相反数的表示法.

一般的对任意一个数a，它的相反数为-a，这里的a表示任意的数，可以是正数、负数、也可以是0.

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正整数

整数 零

有理数 负整数 有限小数或无限循环小数

正分数

实数的分类 分数

负分数 正无理数

无理数 无限不循环小数

负无理数

数轴， 相反数，倒数，非负数，绝对值

实数的意义

平方根、算术平方根、立方根

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⑤ 求一个数的相反数只需在这个数的前面加上一个负号就可以了. 3. 绝对值

在数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作｜a｜.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 用式子表示为; a (a>0) ｜a｜= 0 (a=0) -a (a<0)

重点提示 ① 无论是绝对值得几何意义还是绝对值的代数意义都揭示了绝对值得一个重要性质——

非负性。也就是说任何一个实数的绝对值都是非负数，即对任意实数a，都有｜a｜>0. ② 当a<0时，-a>0.即当a<0时｜a｜=-a也是一个正数。

4.倒数

① 倒数与负倒数的定义.

乘积为1的两个数互为倒数. 乘积为-1的两个数互为负倒数. ② 倒数的求法: 数a的倒数就是1/a (a≠0) 5.科学记数法

把一个大于10的数表示为a×10N 的形式（其中a是整数位只有一位数，n是正整数），这种方法称为科学记数法。 6.近似数和有效数字

①近似数就是准确值接近的数

近似数与准确值的接近程度可以用精确来表示。

②从一个数左边第一个非零的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个数的有效数字。 重点提示：①取一个数精确到某一个位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后

的数不予考虑；

②用科学计数法表示的近似数，乘号前面的数（即a）的有效数字即为该近似数的有效数字；

而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上。

7．平方根

（1）平方根的概念

一般的，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）。 （2）平方根的性质

① 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ② 0有一个平方根，它是0本身； ③ 负数没有平方根.

（3） 一个正数a的正，负平方根分别用

，-分别读作“正根号a”,“负根号a”.

（4）一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。 8.立方根

（1）立方根的概念

一般地，如果一个数的立方根等于a，那么这个数叫做a的立方根（或是三次方根），这就是

说，如果x3 =a，那么x叫做a的立方根，数a的立方根记作（2）立方根的性质

① 正数有一个立方根，为正数； ② 负数有一个立方根，为负数； ③ 0有一个立方根，就是0本身；

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④ = -

（3）开立方

求一个数的立方根的运算，叫做开立方.和开平方与平方互为逆过程一样，开立方与立方互为逆过程.

9.实数的概念

有理数：整数和分数统称为有理数；正整数和正分数统称为正有理数；负整数和负分数统称为负

有理数

无理数：无限不循环小数叫无理数

实数：有理数和无理数统称为实数，即实数包括有理数和无理数。 （二）．实数的大小比较

1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.

2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值大的那个正数大；两个负数，绝对值大的反而小. 3.对于实数a、b，若a-b>0a>b； a-b=0 4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c. 5.无理数的比较大小：

利用平方转化为有理数：如果a>b>0，a2>b2 或利用倒数转化：如比较

与

.

a=b； a-b<0

a

a>b

（三）．实数的运算 1.加法

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍为这个数。 2.减法

减去一个数等于加上这个数的相反数 3.乘法

几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 4.除法

除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方

(1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．

(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．

?aa；

(3)零指数与负指数

6.实数的六种运算关系

加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算. 7.实数运算顺序

加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．

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8.实数的运算律

加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc

【中考真题解析】 一、选择题

1. (2010年浙江省金华)在 -3，－3， －1， 0 这四个实数中，最大的是（ ）

A. -3 B.－3 C. －1 D. 0

2. (2010年浙江省金华)据报道，5月28日参观2010上海世博会的人数达35.6万﹒用科学记数法表示数35.6万是（ ） A．3.56×101 B．3.56×104 C．3.56×105 D．35.6×104 3．（2010山东德州）下列计算正确的是（ ） （Ａ）2?0 （Ｂ）34. （2010年浙江省东阳县）

A．无理数

370?1??3 （Ｃ）9?3 （Ｄ）2?3?5

是（ ）

C．整数

D．负数

B．有理数

5．(2010重庆市) 3的倒数是（ ）

11

A． B．— C．3 D．—3

33

6．（2010江苏泰州，3，3分）据新华社2010年2月9日报道：受特大干旱天气影响，我国西南地区林

地受灾面积达到43050000亩．用科学计数法可表示为（ ）

A.4.305?10亩 B. 4.305?10亩 C. 43.05?10亩 D. 4.305?10亩 7.（2010年四川省眉山市）计算(?3)2的结果是（ ）

A．3 B．?3 C．?3 D． 9 8.(2010年安徽省B卷)1．下列各式中，运算正确的是（ ）

632325A．a?a?a B．(a)?a C．22?33?55 8677D．6?3?2 10．(2010年北京崇文区) ?3的倒数是（ ）

A．

13 B． ?13 C． ?3 D． 3

11. (2010年山东聊城)无理数－3的相反数是（ ）

11

A．－3 B．3 C． D．－

33

12.（2010年台湾省）图(5)数在线的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c。根据图中各点位置，判断下列各式何者正确？（ ）

C O A B (A) (a?1)(b?1)>0 (B) (b?1)(c?1)>0

c ?1 0 a 1 b (C) (a?1)(b?1)<0 (D) (b?1)(c?1)<0

图(5)

S1?S2???Sn13．（2010安徽蚌埠二中）记Sn=a1?a2???an，令Tn?，称Tn为a1，a2，??，ann这列数的“理想数”。已知a1，a2，……，a500的“理想数”为2004，那么8，a1，a2，……，a500的“理想数”为（ ）

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A．200４ B．2006 C．2008 D．2010 14．（2010安徽蚌埠二中）某汽车维修公司的维修点环形分布如图。公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件。在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行。那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件

配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 15．（2010山东日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三

角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，?，这样的数为正方形数．下列数中既

是三角形数又是正方形数的是（ ）

（A）15 （B）25 （C）55 （D）1225 二、填空题 1．（2010江西）按照下图所示的操作步骤，若输入x的值为－2，则给出的值为 ．

输入x 平方 乘以3 ?2减去5 ?______.输出x

2.（2010年福建省晋江市）计算：34、（2010年宁波市）实数4的算术平方根是_________。 5.(2010福建泉州市惠安县)计算：2010=____________.

6. （2010 广东珠海）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2,(1011)2换算成十进制数应为：

(101)2?1?2?0?2?1?2322100

?4?0?1?5

10(1011)2?1?2?0?2?1?2?1?2?11

按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是_______________.

7. （2010年贵州毕节）搭建如图①的单顶帐篷需要17根

钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．

8. （2010江苏常州）如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，?，11这12个数字。电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 。

10.（2010重庆綦江县）观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2010这个数在第_______

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个三角形的_________顶点处（第二空填：上、左下、右下）．

14710??2第1个三角形35第2个三角形68第3个三角形911第4个三角形12

9.（2010湖北恩施自治州）如图3，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331， 则n等于 . 10．（2010山东临沂） 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文?密文（加密），接受方由密文?明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a?2b,2b?c,2c?3d,4d.例如，明文

1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到

的明文为 .

11. （2010北京）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请

你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→?的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，?，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字

母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）．

12. （2010黑龙江哈尔滨）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 个★。

三、解答题

1．(2010年重庆)计算：

(?1)2010??7?1?109?(5??)?()．

5

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2.（2010年四川省眉山）计算：(

3．（2010年浙江台州市）（1）计算：

4（2010年浙江省东阳县）计算： (?)?1?314?(1?2)?tan450013)?1?(5?2)?018?(?2)?22 4?(?2010)0?(?1)；

5.（2010江苏泰州，19⑴，8分）计算：(1)(?

6.(2010年浙江省绍兴市)（1）计算: |?2|?2sin30o?(?3)2?(tan45o)?1;

7.（2010年四川省眉山市）计算：(

8．（2010年浙江省东阳市）（6分）计算： (?)31?112)?1?3tan30??(1?2)?012；

13)?1?(5?2)?018?(?2)?22 ?4?(1?2)?tan45

00

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9. (2010年兰州市) 2?tan60?—(??3.14)0+(?

10.（1） 2 （3）

3?2?2010012)?2?1212

?1?(5?6)?2??1?9 （2） (3?2)????3?0?1?4cos30°?|?12|．

?1??????3??1?3tan30?． （4）12－4cos30°-3+(

12)0

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