第26章_反比例函数全章学案

26.1.1反比例函数的意义

一．温故知新

1.在一个变化的过程中，如果有两个变量x和y，当x在其取值范围内任意取一个值时， y，则称x为，y叫x的2.一次函数的解析式是：；当. 3.一条直线经过点（2，3）、（4，7），求该直线的解析式. 以上这种求函数解析式的方法叫： . 二．学习新知

1.反比例函数： .

反比例函数的表达式还可以表示为： . 2.列举几个反比例函数的例子：3、例题分析

例1、已知y是x的反比例函数，当x=2时，y＝6. （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）求当x=4时y的值。

三．释疑提高

1.下列等式中哪些变量之间的关系是反比例函数？

x513

(1)y ；

(2)y ； (3)xy=21； (4)y=；(5)y=－；（6）y= 3；（7）y=x－ 4

3x 2x2xm 1

2.已知函数y m是关于x的反比例函数，求m的值.

x

3.当n取何值时，y=(n2+2n)xn n 1是反比例函数？

4.已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=7，（1）写出y与x的函数关系式；（2）求x=7时y的值.

5.反比例函数y

2

k3

的图象经过点（ ，5）、（a，－3）及（10，b），则k，a ，b x2

6.已知函数y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1是，y=4，x=2时，y=5，（1）求y与x的函数关

系式；（2）当x= －2时，求函数y的值.

26.1.2反比例函数的图象和性质

一．温故知新

1.反比例函数：，反比例函数又可表示为： 2.过点（2，5）的反比例函数的解析式是：.

3.一次函数y=kx+b的图象是：，它经过点： .直线y=kx经过点：对于函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而 ；当k＜0时，y随x的增大而 . 4.用描点法作函数图象的步骤是：二．学习新知

1.分别在下列两个坐标系中作出y=解：列表

描点 连线

66

和y=－的图象. xx

2.小结：（1. （2）当k＞0时，反比例函数的图象的两个分支位于第 象限，且在每个象限内y值随x的增大而 ；当k＜0时，反比例函数的图象的两个分支位于第 象限，且在每个象限内y值随x的增大而 . （3）反比例函数图象的两个分支关于 对称，且随着x的不断增大（或减小），反比例函数的图象越来越接近于坐标轴，但永不相交. （4）在反比例函数y

k

图象上任取一点，分别向x、y轴作垂线，所得到长方形的面积是. x

三．释疑提高

2

1.已知反比例函数y (2 a)xa 10中，y随x的增大而减小，则a

m

2.反比例函数y 的图象的两个分支在第二、四象限，则点（m，m－2）在第象限.

x

26.1.3反比例函数的图象和性质

一．温故知新

1. 反比例函数的图象都有2. 当k＞0时，反比例函数的图象的两个分支位于第且在每个象限内y值随x的增大而；当k＜0时，反比例函数的图象的两个分支位于第 象限，且在每个象限内y值随x的增大而 . 3. 反比例函数图象的两个分支关于且随着x的不断增大（或减小），反比例函数的图象越来越接近于坐标轴，但永不相交.

4

4. 函数y 的图象的两个分支在第象限；在每个象限y都随x的增大而x4

函数y 的图象的两个分支在第y都随x的增大而x

5. 已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=－6，则y与x；当x=－2时，y= ；当y=4时，x= . 二．学习新知

例3、已知反比例函数的图象经过点A（2，6）。

（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ （2）点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上？

例4、如图是反比例函数y

m 5

的图象的一支。根据图象回答下列问题： x

（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a,b）和点B（a,b′）。如果a>a′,那么b和b′有怎样的大小关系？

三．释疑提高

1.图中反比例函数上一点向两坐标轴作垂线所得长方形面积为3，则该函数的解析式是

2.如图中直角△ABC面积为8，则图中双曲线的解析式是k

3.若点A(－2，a)、B(－1,b)、C(3，c)在反比例函数y (k＜0)的图象上，比较a、b、c的大小关系.

x

m

4.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y 图象交于点A(－2，1)、B(1，n)两点，（1）求反比例函数及一

x

次函数的解析式；（2）根据函数图象写出一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围.

8

5.如图，已知点A(4，m)、B(－1，n)在y 的图象上，直线AB分别与x轴、y轴于C、D.求：（1）直线AB的解

x

析式；（2）C、D两点的坐标；（3）S△AOC∶S△BOD .

第5题图

26.1.4反比例函数的图象和性质

一．温故知新

m

的图象上一点向两坐标轴作垂线，得到的长方形的面积为x

m

2. 一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y 图象交于点A(－3，2)、B(1，t)两点，则反比例函数解析式

x1. 反比例函数y

为： ；一次函数的解析式为： ； 二．学习新知

k

例1.函数y=－kx+k与y=－（k≠0）在同一坐标系中的图象可能是：（ ）

x

8

与一次函数y x 2的图象交于A、B两点. x

（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积；（3）在直线AB上是否存在点P，使S△POA=2S△AOB

.

例2.如图，反比例函数y

例3.已知:正比例函数y=ax图象上的点的横坐标和纵坐标互为相反数，反比例函数y=

k

的y随x的增大而减小，一x

2

次函数y=－kx－k+a+4经过点(－2，4).(1)求a的值；(2) 求反比例函数和一次函数的解析式；(3)在直角坐标系中，画出一次函数的图象，利用图象求出当函数y的值在－3≤y≤4范围内时，相应x值的范围.

三．归纳小结：

26.2.1实际问题与反比例函数

一．温故知新

1. 称为反比例函数.

4

2. 反比例函数y 的图象的两个分支分别在第象限，在每个象限，y随x的增大而反比例函数

x

4

y 的图象的两个分支分别在第y随x的增大而.

x

4

3. 函数y 的图象的图象上一点向两坐标轴作垂线，所得长方形的面积是x

4. 已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=－2，则y与x；当x=－3时，y= ；当y=1时，x= . 二．学习新知

例1、市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室。

（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？ （2）公司决定把储存室的底面积S定为500m2 ,施工队施工时应该向下掘进多深？

（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石。为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15m ,相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要？

例2、码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间。

（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少卸多少吨货物？

三．释疑提高

1.矩形的面积是2cm2，设长为ycm，宽为xcm，则y与x的函数关系式是 。 2.某厂现有300吨煤，这些煤能燃烧的天数y与平均每天烧煤的吨数x之间的函数关系式是.

3.某市在拆违行动中产生了5000吨垃圾，市政公司承担了这些垃圾的清运工作.（1）若每小时运送的垃圾重量为m(吨)与完成任务所需时间t(小时)之间具有怎样的函数关系？（2）市政公司调来了4辆载重10吨的运输车，每小时平均运送25吨，需多长时间完成？（3）如果按（2）中的速度要在两天（每天按8小时计）内完成，必须再增加多少辆同样载重的汽车？

4.甲乙两地相距100千米，汽车从甲地开往乙地的速度y(千米/时)与时间t(小时)的函数关系式是什么？如果速度增加10千米/时，则时间少用多少？

四．归纳小结：

26.2.2实际问题与反比例函数

1. 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货的速度v(吨/天)与卸货时间t(天)有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸货完毕，那么每天至少要卸载多少吨货物？

2. 一辆汽车往返于甲乙两地之间，如果汽车以50千米/小时的平均速度从甲地出发，经过6小时到达乙地.(1)如果令汽车速度为v千米/小时，从甲地到乙地的时间为t小时，写出v与t的函数关系式；(2)因为某种原因，汽车要在5小时内到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应为多少？(3)已知汽车的平均速度最大是80千米/小时，则从甲地到乙地最少需要多少时间？

3.气球充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压p(kpa)是气体体积V的反比例函数，当气体的体积是0.8m3时，气球内的气压为120kpa，（1）写出气压p(kpa)与气体体积V的函数关系式；（2）当气球的体积是1m3时，气压是多少？（3）当气球的气压大于140 kpa时，气球将爆炸，为安全起见，气球的体积不应小于多少？

4.制作一种产品，需先将材料加热到60°C后，再进行操作，设该材料温度为y(°C )，从加热开始计算的时间x(分)，据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例函数，如下图，已知该材料加热前的温度为15°C，加热5分钟后，达到60°C.(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；(2)根据工艺要求，当材料温度低于15°C时，需停止操作，那么从开始加热到停止操作共经历了多少时间？

《26．反比例函数》复习

一．考点透视

l. 反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y 么称y是x的反比例函数。

k

（k为常数，k 0）的形式，那x

k

的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第x

二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 3. 反比例函数的性质

k

y （k 0）的变形形式为xy k（常数）所以：

x①其图象的位置是：当k 0时，x、y同号，图象在第一、三象限；当k 0时，x、y异号，图象在第二、四象限。

k

②若点(a，b)在反比例函数y 的图象上，则点（－a，－b）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。

x

③当k 0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k 0时，在每个象限，y随x的增大而增大； 4.用反比例函数解决实际问题 ①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。 ②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 ③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。 二．习题透视

类型一 反比例函数的概念

例1. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为________. 类型二 反比例函数的图象

8

例2 如图，双曲线y 的一个分支为( )

x

A. ① B.② C.③ D.④ 2. 反比例函数的图象：反比例函数y

类型三 反比例函数的性质

1

例3 若A( 3,y1)、B( 2,y2)、C( 1,y3)三点都在函数y x

y1、y2、y3的大小关系是（ ）

则

A. y1 y2 y3 B. y1 y2 y3 C.y1 y2 y3 D.y1 y3 y2． 类型四 反比例函数的应用

Ω)阻R（Ω）例4 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与可变电之间的函数关系如图所示，当用电器的电流为10A时，用电器的可变电阻为_____Ω.

类型五 以反比例函数和一次函数为基架的综合题.

3k

例5 如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y 与直线y=－x+k+1在第四象限的交点，且S△ABO=，

2x

①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和S△ACO. ③根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． ④直线AC上是否存在一点P,使S△POA＝2S△AOC ，若存在求出点P

能力训练

1.已知点（1，2）在反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为_________.

k

2.函数y kx b(k 0)与y (k 0)在同一坐标系中的图象可能是( )

111k

3.若M( ,y1), N( ,y2)，P(,y3）三点都在函数y （k＜0）的图象上，则y1,y2,y3的大小关系为（ ）

242x

A. y2＞y3＞y1； B. y2＞y1＞y3； C. y3＞y1＞y2 D. y3＞y2＞y1 4. 已知反比例函数的图象经过点P(3,－1)，则这个函数的图象位于（ ）

A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限

k

5.已知反比例函数y (k 0)的图像上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2，则y1－y2的值是

x

（ ）

A.正数 B.负数 C.非正数 D.不能确定

6.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例. 已知400度近视眼镜

镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是_____________.

7.在一个可以改变容积的密闭容器内,装有一定质量m的某种气体,当改变容积

m

V时,气体的密度ρ也随之改变.ρ与V在一定范围内满足ρ ,它的图象如图V所示,则该气体的质量m为( )

A. 1.4kg B. 5kg C. 6.4kg D. 7kg. 3)

1 k

8.函数y=的图象与直线y=x没有交点，则k的取值范围

x

是： .

9.如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形△P1A1O、△P2A2O、△P3A3O，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则( ) A. S1＜S2＜S3； B. S2＜S1＜S3； C. S1＜S3＜S2 D. S3=S2=S1

8

10.已知一次函数y=kx+k的图象与反比例函数y 的图象在第四象限交于点B(4,n)，求k、n的值.

x

k

11.已知反比例函数y 的图象与一次函数y kx m的图象相交于点(2,1).①分别求这两个函数的解析式.②试判

x

断点P( 1, 5)关于x轴的对称点P'是否在一次函数y kx m的图象上.

k

12.已知反比例函数y (k 0)和一次函数y x 6.①若一函数和反比例函数的图象交于点( 3,m)，求m和k的

x

值.②当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？③当k 2时，设②中的两个函数图象的交点分别为A、B，试判断A、B两点分别在第几象限？∠AOB是锐角还是钝角（只要求直接写出结论）？

k

13.已知，点A在第二象限内，且为双曲线y 上一点，过A作AC⊥x轴，垂足为C，且S△AOC=2．

x

①求该反比例函数解析式；②若点(－1,y1),(－3,y2)在双曲线上，试比较y1、 y2的大小．

8

14.已知一次函数y kx b(k 0)的图象与反比例函数y (m 0)的图象交于A，B两点，且A点的横坐标与B

x

点的纵坐标都是－2；①一次函数的解析式②△AOB的面积。

k

15.直线y=k1x+b与双曲线y=2只有—个交点A(1，2)，且与x轴、y轴分别交于B,C 两点AD垂直平分OB，垂足

x

为D，求直线、双曲线的解析式．

k

16.已知反比例函数y (k 0)的图象经过点A（m），过点A

作AB⊥x轴于点Bx

求k和m的值；②若一次函数y ax 1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C ，求其解析式.

17. 为了预防流感，某学校对教室采用药熏清毒法进行消毒，已知药物燃烧时，与时间x(min)成正比例.药物燃烧后，y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg，请根据题中所提供的信息，解答下列问题:

(1)药物燃烧时，

y关于x 的函数关系式为：________， 自变量x 的取值范围是：_______，药物燃烧后y关于x的函数关系式为_______.

(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；

(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?

)

反比例函数测试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 已知y (m 1)xm 2是反比例函数，则函数的图象在（ ）

A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、四象限 D．三、四象限

k

2.若反比例函数y 的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）

x

11

A．（－2，－1） B．（－，2） C．（2，－1） D．（，2）

22

n 5

3.反比例函数y 的图象经过点（2，3），则n的值是（ ）

x

A．－2 B．－1 C．0 D．1

k 1

的图象在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可为（ ） x

A． 1 B．0 C．1 D．2 4.反比例函数y

5.反比例函数y (2m 1)xm 2，当x > 0时， y 随x的增大而增大，则m的值是( )

1

A． 1 B．小于的实数 C． 1 D．1

2

6.正比例函数与反比例函数图象都经过点(1，4)，在第一象限内正比例函数图象在反比例函数图象上方的自变量x的取值范围是（ ）

A．x>1 B．O<x<1 C．x>4 D．0<x<4

k

7.已知点P是反比例函数y (k 0)的图像上任一点，过P点分别作x轴、y轴的平行线，若两平行线与坐标轴围

x

成矩形的面积为2，则k的值为（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 4

1

8.如果两点P1（1，y1）和P2（2，y2）都在反比例函数y 的图象上，那么（ ）

x

A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0 9.如图，梯形AOBC的顶点A、C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y=x上，下底边BC交x轴于

E（2，0），则四边形AOEC的面积为（ ） A．3 B

C

1 D

k

10. 函数y kx b(k 0)与y

(k

0)在同一坐标系中的图象可能是( )

2

11. 反比例函数y=(a－3)x│a│

－4的函数值为4时，自变量x的值是_________．

12. 老师在同一直角坐标系中画出了一个反比例函数的图象以及正比例函数 y = － x的图象，请同学们观察有什么特点并说出来.同学甲：与直线y = － x有两个交点；同学乙：图象上任意一点到两坐标轴的距离的积是 5，请你根据同学甲和同学乙的说法，写出反比例函数的解析式 .

k

13.如果反比例函数y (k 0)的图象经过点（1，－2），则这个函数的表达式是_________.当x＜0时，y随x的增

x大而_________（填“增大”或“减小）

14.双曲线y

k

与直线y=mx相交于A、B两点，B点坐标为(－2，－3)，则A点坐标为_____________． x

1

的自变量x的取值范围是： . x 3

15.函数y4

16.如果函数y=－x与y= 的图像交于A、B两点， 过点A作AC垂直于y轴， 垂足为点C， 则△BOC的面积

x

为___________.

17.若A、B两点关于y轴对称，且点A在双曲线y=(a，b)，则

1

上，点B在直线y=－x+3上，设点A的坐标为 2x

ab

= ba

18.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容V时，气体的密度ρ也随之改变．在一定范围内，密度ρ是容积V的反比例函数．当容积为5m3时，密度是1.4kg/m3，则ρ与V的函数关系式为_______________．

19. 已知y1与x成正比例(比例系数为k1)，y2与x成反比例(比例系数为k2)，若函数y=y1+y2的图象经过点(1，2)，(2，

1

)，则8k1+5k2的值为________. 2

4

交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝___________． x

20.直线y＝kx(k＞0)与双曲线y

三、解答题（共60分）

k

21. 在反比例函数y 的图像的每一条曲线上，y都随x的增大而减小．

x

①求k的取值范围；②在曲线上取一点A，分别向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为O，若四边形ABOC面积为6，求k的值．（8分）

k

k 0）22.已知一次函数y1 x m（m为常数）的图象与反比例函数y2 k为常数，的图象相交于点 A（1，3）． ①

x

求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标； ②观察图象，写出使函数值y1≥y2的自变量x的取值范围．（8分）

m

23. 如图，已知反比例函数y1 (m 0)的图象经过点A( 2，1)，一次函数y2 kx b(k 0)的图象经过点

x

C(0，3)与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B．（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点B的坐标．（8分）

24. 一定质量的氧气，它的密度 （kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当 V = 10m3， = 1.43kg/m3时. （1）求 与V 的函数关系式；（2）求当V = 2m3时，氧气的密度 .（8分）

4

25. 如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3……△PnAn－1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3……Pn都在函数y

x

(x > 0)的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3……An－1An都在x轴上．⑴求A1、A2点的坐标；⑵猜想An点的坐标(直接写出结果即可) （8分）

2

的图像与一次函数y=kx+b的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y轴的交点x

为C。①求一次函数解析式；②求C点的坐标；③求△AOC的面积。（10分）

k

27. 已知：如图，正比例函数y ax的图象与反比例函数y 的图象交于点A(3，2).

x

①试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； ②根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ ③M(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．

26. 反比例函数y=

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