11.5 曲线与方程及轨迹问题

(§11.5 文)（§12.5 理） 曲线与方程及轨迹问题

知识要点梳理

本节主要内容是曲线与方程的概念及轨迹方程的求法.

一．“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念

在直角坐标系中，如果某曲线C（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 二．求曲线（轨迹）方程

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力。

它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

1.求用直接法曲线（轨迹）方程的基本步骤：

（1）建系设点：建立适当的直角坐标，设曲线上任一点坐标M(x,y)；

（2）列几何等式：写出适合条件的点的集合P={M|P(M)}，关键是根据条件列出适合条件的等式；

（3）化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程；

（4）化简：把方程f(x,y)=0化成最简形式；

（5）证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程。

除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤（5）可以省略不写。如有特殊情况，可适当加以说明，步骤（2）也可省略。

3．求曲线轨迹方程应注意的问题

（1）要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x,y的取值范围，保证轨迹的纯粹性；

（2）若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；

（3）曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置、类型。

疑难点、易错点剖析

1.求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； 2.求轨迹方程的常用方法：

①直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)?0； ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

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③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

④代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示x0,y0，再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；

⑤参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。 3.值得注意的几点：

①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化。

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

直击考点

考点一、用直接法求点的轨迹（方程）

例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为x2?y2?1，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数?(??0)，求动点M的轨迹。 解：设MN切圆C于N，则MNx?y?1??222?MO2?ON2。设M(x,y),则

(x?2)?y22 化简得(?2?1)(x2?y2)?4?2x?(1?4?2)?0

54（1） 当??1时，方程为x?，表示一条直线。

2?2222（2） 当??1时，方程化为(x???1)?y?1?3?222(??1)表示一个圆。

锦囊妙计：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

举一反三：（待定系数法）在?PMN中，tan?PMN?12,tan?MNP??2，且?PMN的

面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点，且过点P的椭圆方程。

yPPM M N ON Qx 思路分析：如上图，以直线MN为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角

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坐标系，则所求椭圆方程为

xa22+

yb22=1.显然a、b是未知数，但a、b与已知条件没有直

2222

接联系，因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件.

解法一：如上图，过P作PQ⊥MN，垂足为Q，

令|PQ|=m，于是可得|MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m，|QN|=|PQ|cot∠PNQ=∴|MN|=|MQ|－|NQ|=2m－于是S△PMN=

43121212m.

m=

123232m. m·m=1.

13|MN|·|PQ|=

43·

因而m=，|MQ|=2，|NQ|=，|MN|=3.

|MP|=|MQ|2?|PQ|2=

16313?43=

2153，

|NP|=|NQ|2?|PQ|2=

?43=

153.

以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设椭圆方程为（a＞b＞0）.

则2a=|MP|+|NP|=15， 2c=|MN|=3， 故所求椭圆方程为

4x152xa22+

yb22=1

+

y23=1.

解法二：设M（－c，0）、N（c，0），P（x，y），y＞0， 则

yx?cyx?c =

12，

=2，

y·c=1，

解之，得x=

536，y=

233，c=

32.

设椭圆方程为b2x2+a2y2=a2b2，则 b2·（

536）2+a2（，

233）2=a2b2，

a2－b2=

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解之，得a=（以下略）

2

154，b=3.

2

考点二、用定义法求轨迹方程

例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运才能最省工？

解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP到P较近，二是沿BP到P较近，三是沿AP或BP一样近。其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M为分界线上的任一点，则有MA?AP?MB?BP，即

MA?MB?PB?PA?50?AB?507，故M在以A，B

为焦点的双曲线的右支上。建立如图直角坐标系，得边界的方程为

x2625?y23750?1(x?25),故运土时为了省工，在双曲线弧左侧

的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处，在曲线上面的土两边都可运。

锦囊妙计：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。

举一反三： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。

解：由中垂线知，PA?PM故PA?PO?PM?PO?OM?10，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为(x?3)252?y216?125

考点三、用代入法求轨迹方程： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。

解：设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1） 则N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2 ① 又PQ垂直于直线x+y=2，故

32y?y1x?x1x?12?1，即x-y+y1-x1=0 ②

1232由①②解方程组得x1?y?1,y1?x?y?1, 代入双曲线方程即可得P点的轨

迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0

举一反三：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0)

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考点四、用参数法与点差法求轨迹方程：

例4 经过抛物线y=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。

解：A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k?0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为(2pk22

?2p,2pk)，由于AC与AB垂直，则AC的方程为y??1k(x?2p)，与抛

物线方程联立方程组可解得C点的坐标为(2k2p?2p,?2kp)，又M为BC中点，设M（x,y）,??x?则??y??pkpk2?kp?2p2，消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。

?kp考点五、用交轨法与几何法求轨迹方程 例5 抛物线

y2?4px(p?0)的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求

抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。

思路分析：点M是OM与AB的交点，点M随着A、B两点的变

化而变化，而A、B为抛物线上的动点，点M与A、B的直接关系不明显，因此需引入参数.

解法一（交轨法）：点A、B在抛物线y?4px(p?0)上，设A（

2yA4p2,yA)，B（

yB4p2,yB)所以kOA=

4pyA kOB=

4pyB,由OA垂直OB得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方程可求得

2y?yA?yA?yBy2A4p?y2B(x?yA4p)，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把 yAyB= -16p代入得AB方程

2

4p（yA+yB）y--4px+16p2 =0 ① 又OM的方程为 y?yA?yB?4Px ②

22222由①②消去得yA+yB即得x?y?4px?0， 即得(x?2p)?y?4p。

所以点M的轨迹方程为(x?2p)?y?4p，其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆,除去点（0，0）。

说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

解法二：设A、B两点坐标为A（pt12，2pt1）、B（pt22，2pt2）.

∴kOA=

2t1222，kOB=

2t2，kAB=

2t1?t2.

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∵OA⊥OB，∴t1·t2=－4. ∴AB方程是y－2pt1=①

直线OM的方程是y=－②

①×②，得（px）t1+2pyt1－（x+y）=0. ③

∴直线AB的方程还可写为 y－2pt2=④

由②×④，得（px）t22+（2py）t2－（x2+y2）=0. ⑤

由③⑤可知t1、t2是方程（px）t2+（2py）t2－（x2+y2）=0的两根. 由根与系数的关系可得 t1t2=

?(x22t1?t2（x－pt12），

t1?t22x.

2

2

2

2t1?t2（x－pt2）.

2

?y)2px.又t1·t2=－4，

∴x2+y2－4px=0（原点除外）为所求点M的轨迹方程.

故M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点. 解法三：设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b， 由OM⊥AB得k=－

2

xy.

由y=4px及y=kx+b消去y，得 k2x2+x（2kb－4p）+b2=0. 所以x1x2=所以y1y2=

bk22.消去x，得ky2－4py+4pb=0.

4pbk.由OA⊥OB，

得y1y2=－x1x2， 所以

4pkk=－

bk22，b=－4kp.

故y=kx+b=k（x－4p）. 用k=－

xy代入，得

x2+y2－4px=0（x≠0）.

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解法四：设点M的坐标为（x，y），直线OA的方程为y=kx， 显然k≠0，则直线OB的方程为y=－

1kx.

y=kx， 4p4p解得A点的坐标为（2，）， 由 2

y=4px， kk2

类似地可得B点的坐标为（4pk，－4pk）， 从而知当k≠±1时，

yAOMBx

4p(1kAB=

4p(k12?k)

?k)2k=

11k?k.

故得直线AB的方程为y+4pk=

11k?k（x－4pk），即（

2

1k－k）y+4p=x， ①

直线OM的方程为y=－（

1k－k）x. ②

可知M点的坐标同时满足①②，

22

由①及②消去k便得4px=x+y， 即（x－2p）2+y2=4p2，但x≠0，

当k=±1时，容易验证M点的坐标仍适合上述方程. 故点M的轨迹方程为（x－2p）2+y2=4p2（x≠0），

它表示以点（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆. 解法五（几何法）：由解法1中AB方程（yA+yB）y--4px+16p2 =0 可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以由圆的几何性质可知：M点的轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆。所以方程为(x?2p)?y?4p，除去点（0，0）。

锦囊妙计：本题考查了交轨法、参数法求轨迹方程，涉及了类比、分类讨论等数学方法，消参时又用到了整体思想法，对含字母的式子的运算能力有较高的要求，同时还需要注意轨迹的“完备性和纯粹性”.此题是综合考查考生能力的一道好题. 考点六、用点差法求曲线的方程： 例6如图，P是抛物线C：y?12x上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q。若

2222第 7 页 共 15 页

直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。

yQMTPOlSx 思路分析：欲求PQ中点M的轨迹方程，需知P、Q的坐标.思路一，P、Q是直线l与抛物线C的交点，故需求直线l的方程，再与抛物线C的方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式可求得M的轨迹方程；思路二，设出P、Q的坐标，利用P、Q的坐标满足抛物线C的方程，代入抛物线C的方程相减得PQ的斜率，利用PQ的斜率就是l的斜率，可求得M的轨迹方程.

解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意知，x1?0,y1?0,y2?0 由y?12x （1）

2得y/?x，?过点P的切线的斜率k切＝x1，

?直线l的斜率kl??1x1??1x1，?直线l的方程为y?12x1??21x1 (x?x1) （2）

方法一、（利用韦达定理、中点坐标公式）联立（1）（2）消去y得，x2?x1?x21?x????02x1?. ? M为PQ的中点，??11?y?x2?(x0?x1)01?2x1?2x1x?x1?2?0

2消去x1,得y0?x0?212x02?1(x0?0).

12x2? PQ中点为M的轨迹方程为y?x?2?1(x?0)

方法二（点差法）由y1?得y1?y2?则x0?12x1?212x1,y2?12212x2,x0?2x1?x22,

12x2?2(x1?x2)(x1?x2)?x0(x1?x2)

y1?y2x1?x2?kl??1x1,?x1??1x0。

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2将上式代入（2）并整理，得y0?x0?12x20?1(x0?0). 12x2?

PQ中点为M的轨迹方程为y?x2??1(x?0)

锦囊妙计：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。

举一反三:

当点P在抛物线C上移动时，求点M到x轴的最短距离. 提示：∵x≠0，x>0，∴y=x+

2

2

12x2+1≥2

12+1=2+1，当且仅当x=

2

12x2，x=±412时等号成立，即点M到x轴的最短距离为2+1.

误区警示

[例] 直线l:y?k(x?5)与圆O：x2?y2求弦AB的中点M的轨迹方程。

222

[常见错误]易知直线恒过定点P（5，0），再由OM⊥AP，得|OP|=|OM|+|MP|，

?x?y?(x?5)?y2222?16相交于A、B两点，当K变动时，

?25，整理得：(x?52)?y22?254.

[错因分析及对策]求动点轨迹时应注意它的完备性和纯粹性。本题中注意到点M应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，此时应考虑0?x?165522。

[正解] 易知直线恒过定点P（5，0），再由OM⊥AP，得|OP|2=|OM|2+|MP|2，

?x?y?(x?5)?y2222?25，整理得：(x?)?y2?254.

5225?2(x?)?y?.?∵∴点M应在圆内，故所求得轨迹为圆内的部分。解方程组?24

?x2?y2?16?得两曲线交点的横坐标为x?165，所求轨迹方程为(x?52)?y22?254.（0?x?165）。

紧扣考纲大演练

一.单项选择题

（理）1.动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是

A.中心在原点的椭圆 B.中心在（5，0）的椭圆 C.中心在原点的双曲线 D.中心在（5，0）的双曲线 解析：直接法. 答案：B

（文） 1、已知点A（-2，0）、B（3，0），动点P(x,y)满足PA?PB?x，则点P的轨迹是（ D ）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

(理)2、一条线段AB的长为2，两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹是（ C ）

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2 A、双曲线 B、双曲线的一分支 C、圆 D、椭圆 （文）2、已知|AB|?3，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP?则动点P的轨迹方程是（A ） A、

x213OA?23OB4?y2?1 B、x?2y24?1 C、

12x29?y2?1 D、x?2y29?1

（文）3、已知两定点F1(-1,0)、F2(1,0)，且

|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的

轨迹是（ D ）

A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、线段

（理）3.已知双曲线的两个焦点为F1（－5，0）、F2（5，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=2，则该双曲线的方程是

A.C.

xx222－

y232

=1 B.

x232

－

y2y22=1

4－y=1 D.x－

xa224=1

解析：设双曲线的方程为由题意||PF1|－|PF2||=2a， |PF1|2+|PF2|2=（25）2. 又∵|PF1|·|PF2|=2，

∴a=2，b=1. 故双曲线方程为

x2－

yb22=1.

4－y2=1.

答案：C

（理）4.已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是

A.y－C.y－

22

xx2482＝1（y≤－1） B.y－＝－1 D.x－

2

2

xy2482＝1 ＝1

4848解析：由题意｜AC｜＝13，｜BC｜＝15，

｜AB｜＝14，又｜AF｜＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜，

∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2.

故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b2＝48， 所以轨迹方程为y－答案：A

（文）4.已知M（－2，0）、N（2，0），｜PM｜－｜PN｜＝4，则动点P的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支 解析：利用几何性质.

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2

x248＝1（y≤－1）.

答案：C

5、（2006年四川卷）已知两定点A??2,0?,B?1,0?，如果动点P满足PA?2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（B）

（A）9? （B）8? （C）4? （D）?

(文)6.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－

A.C.

xx223，则此双曲线的方程是

xx232－－

yy242=1 B.=1 D.

xaxa222242－－

yy232=1 =1

5225解析：设双曲线方程为－

yb22=1.

将y=x－1代入

2

2

－

2

yb22=1，

2

22

整理得（b－a）x+2ax－a－ab=0. 由韦达定理得x1+x2=

2a2222

，

a?b23x1?x22=

a222a?b=－.

由c2=a2+b2求得a2=2，b2=5.

答案：D

(理)6、（2006年湖北卷）设过点P?x,y?的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、

B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP?2PA，且OQ?AB?1，

32y2则P点的轨迹方程是（D） A. 3x? C.

322232y2?1?x?0,y?0? B. 3x?2?1?x?0,y?0?

2x?3y2?1?x?0,y?0? D.

32x?3y2?1?x?0,y?0?

解选D.由BP?2PA及A,B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知，A(32x,0),

????3AB?(?x,3y)，由点Q与点P关于y轴对称知，Q(?x,y)，B(0,3y)，

2????????332????2OQ?AB?(?x,3y)?(?x,y)?x?3y?1(x?0,y?0)。 OQ=(?x,y)，则

22二.填空题

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（文）7、一动圆与两圆⊙M：x2?y2?1和⊙N：x2?y2?8x?12?0都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；

(理)7、过抛物线x2?4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：x2?2y?2）； （文）8.F1、F2为椭圆

x24+

y23=1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2

的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________________.

解析：延长F1D与F2A交于B，连结DO，可知DO=

12F2B=2，∴动点D的轨迹方程为

x2+y2=4.

22

答案：x+y=4

（理）8.已知△ABC中，B（1，0）、C（5，0），点A在x轴上方移动，且tanB+tanC=3，则 △ABC的重心G的轨迹方程为________________. 解析：设A（x0，y0），

∵tanB+tanC=3， ∴

y0x0?1－

y0x0?5=3，点A的轨迹方程为y0=－

34（x02－6x0+5）（x0≠1且x0≠5）.若

y0373G（x，y）为△ABC的重心，则由重心坐标公式：x=代入A点轨迹方程得G的轨迹方程为y－1=－

答案：y－1=－

94941131?5?x032

，y=

，∴x0=3x－6，且y0=3y.

113（x－3）（x≠）

且x≠）.

（x－3）（x≠

2

73且x≠

（理）9、由动点P向圆x2?y2?1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，

则动点P的轨迹方程为

（答：x2?y2?4）；

（文）9.曲线x2＋4y2＝4关于点M（3，5）对称的曲线方程为____________. 解析：代入法（或相关点法）.

答案：（x－6）2+4（y－10）2=4

（文）10、点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x?5?0的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：y?16x）

（理）10.与圆x2+y2－4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________. 解析：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴.

答案：y2=8x（x>0）或y=0（x<0） 三.解答题 （文）11.（07温州模拟）自抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连结顶点O与P的直线和连结焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程.

解：设P（x1，y1）、R（x，y），则Q（－∴OP的方程为y=

y1x1122，y1）、F（

12，0），

x， ①

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FQ的方程为y=－y1（x－由①②得x1＝

2

12）.

2y1?2x ，

②

2x1?2x，y1＝

2

代入y＝2x，可得y＝－2x2+x.

（理）11. 是否存在同时满足下列条件的抛物线？若存在，求出它的方程；若不存在，请说明理由．

（1）准线是y轴； （2）顶点在x轴上；

（3）点A（3，0）到此抛物线上动点P的距离最小值是2.

解：假设存在这样的抛物线，顶点为（a，0），则方程为y＝4a（x－a）（a≠0）， 设P（x0，y0），则y0＝4a（x0－a）， ｜AP｜＝（x0－3）＋y0 ＝［x0－（3－2a）］2＋12a－8a2， 令f（a）＝｜AP｜2， ①当a＞0时，有x0≥a， 当3－2a≥a即a∈（0，1］时， ｜AP｜2＝f（3－2a），∴a＝1或a＝

2

2

2

2

2

2

2

12；

12抛物线方程为y＝4（x－1）或y＝2（x－

2

）.

当3－2a＜a即a＞1时，｜AP｜＝f（a）. ∴a＝5或a＝1（舍），

2

抛物线方程为y＝20（x－5）. ②当a＜0时，显然与已知矛盾，

∴所求抛物线方程为y2＝4（x－1）或y2＝2（x－

12）或y2＝20（x－5）．

（理）12.AB是圆O的直径，且｜AB｜＝2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，

在OM上取点P，使｜OP｜＝｜MN｜，求点P的轨迹.

解：以圆心O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图），则⊙O的方程为x＋y＝a，设点P坐标为（x，y），并设圆与y轴交于C、D两点，作PQ⊥AB于Q，则有

|OP||OM|2

2

2

＝

|PQ||MN|.

yDP A O M Q N B x C ∵｜OP｜＝｜MN｜，

∴｜OP｜2＝｜OM｜·｜PQ｜.

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∴x+y＝a｜y｜，即 x＋（y±

222

a2）＝（

2

a2）.

2

轨迹是分别以CO、OD为直径的两个圆.

2

（文）12.过抛物线y=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点.求△AOB的重心G的轨迹C的方程.

解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x－1），代入y2=4x，

得kx－x（2k+4）+k=0.

设l方程与抛物线相交于两点，

∴k≠0.设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）， 根据韦达定理，有x1+x2=

2(k22222

?2)2，

k4k从而y1+y2=k（x1+x2－2）=.

设△AOB的重心为G（x，y）， x=则 y= ∴y2=

430?x1?x230?y1?y2389==

234+

43k2，

消去k，得x=

233k，

+

43（

34y），

2

x－

23.当l垂直于x轴时，A、B的坐标分别为（1，2）和（1，－2），△AOB

43的重心G（

，0），也适合y2=

x－

4389，

89因此所求轨迹C的方程为y2=

x－.

（文）13.已知k＞0，直线l1：y=kx，l2：y=－kx.

（1）证明：到l1、l2的距离的平方和为定值a（a＞0）的点的轨迹是圆或椭圆； （2）求到l1、l2的距离之和为定值c（c＞0）的点的轨迹. （1）证明：设点P（x，y）为动点，则

|y?kx|1?k22+

|y?kx|1?k2222=a，

整理得

x(1?k)a2k2+

y22(1?k)a2=1.

因此，当k=1时，动点的轨迹为圆； 当k≠1时，动点的轨迹为椭圆.

（2）解：设点P（x，y）为动点，则

2|y－kx|+|y+kx|=c1?k.

2当y≥k|x|时，y－kx+y+kx=c1?k，

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即y=

12c1?k2；

12当y≤－k|x|时，kx－y－y－kx=c1?k2，即y=－c1?k2；

12k当－k|x|＜y＜k|x|，x＞0时，kx－y+y+kx=c1?k2，即x=c1?k2；

12k当－k|x|＜y＜k|x|，x＜0时，y－kx－y－kx=c1?k2，即x=－综上，动点的轨迹为矩形.

c1?k2.

（理）13、（2006年全国卷I）在平面直角坐标系xOy中，有一个以F10,?3和F20,3为焦点、离心率为

3????的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点

2?????????????P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OM?OA?OB。求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；

?????（Ⅱ）OM的最小值。

ce解：（I）根据题意，椭圆半焦距长为3，半长轴长为圆的方程为

x?2a??2，半短轴长b?1，即椭

y42?1。

0????2），则

设点P坐标为（cos?，2sin?）（其中切线C的方程为：

1xcos??y2sin??1

2点A坐标为：（cos?，0），点B坐标为（0，sin?）

1222点M坐标为：（cos?，sin?）

?2??1?????1??x所以点M的轨迹方程为：???y?（x?0且y?0）

（II）等价于求函数

2f????2?1??2??0?????????cos???sin?? （其中2）的最小值

224?1??2?222g??????5?9??????1?tan???4?1?cot???tan??2tan??cos???sin??

42tan??2tan?时等号成立，此时即tan??2。 当

?????OM?gmin????336min因此，点M坐标为（，）时，所求最小值为。

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