数学物理方程学习指导书 第5章 行波法与积分变换法 - 图文

第5章 行波法与积分变换法

在第4章中，我们较为详细地讨论了分离变量法，它是求解有限域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用.本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法：一是行波法，二是积分变换法.行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用.

5.1 一维波动方程的达朗倍尔公式

我们知道，要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解.对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般说来是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的.但事情总不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解，而且可以由通解求出特解.本节我们就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到始值问题解的表达式.

对于一维波动方程

2?2u2?u?a, （5.1） 22?t?x我们作如下的代换（为什么作这样的代换，学完本节后就会明白）：

???x?at, (5.2) ????x?at.利用复合函数微分法则得

?u?u???u???u?u????, ?x???x???x?????2u???u?u??????u?u????????????? ?x2?????????x?????????x?2u?2u?2u?2?2?, (5.3) ????????2同理有

2?2u?2u?2u?2??u?a?2?2?2?, (5.4) ?t2??????????将(5.3)及(5.4)代入(5.1)得

?2u?0. (5.5) ????

将(5.5)式对?积分得

?u?f(?), (f(?)是?的任意可微函数） ??再将此式对?积分得

u(x,t)??f(?)d??f2(?)?f1(x?at)?f2(x?at), (5.6)

其中f1,f2都是任意二次连续可微函数.(5.6)式就是方程(5.1)的通解.

在各个具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数f1和f2的具体形式.为此，必须考虑定解条件，下面我们来讨论无限长弦的自由横振动.设弦的初始状态为已知，即已知定解条件

?ut?0??(x),? （5.7） ??u??(x).??t?t?0将(5.7)中的函数代入(5.6)中，得

??f1(x)?f2(x)??(x), ???af1?(x)?af2?(x)??(x).在(5.9)两端对x积分一次，得

(5.8)(5.9)

f1(x)?f2(x)?由(5.8)与(5.10)解出f1(x),f2(x)，得

1x?(?)d??C.?0a(5.10)

11xCf1(x)??(x)??(?)d??, ?022a211xCf2(x)??(x)??(?)d??.

22a?02把这里确定出来的f1(x)和f2(x)代回到(5.6)中，即得方程(5.1)在条件(5.7)下的解为

u(x,t)?11x?at?(x?at)??(x?at)??(?)d?. （5.11） ???x?at22a(5.11)式称为无限长弦自由振动的达郎倍尔（ D’Alembert）公式.

现在我们来说明达朗倍尔公式的物理意义.由于达朗倍尔公式是由（5.6）式得来的，所以我们只须说明(5.6)式的物理意义.

首先，考虑u2?f2(x?at)的物理意义.我们来说明这样的函数是代表一个沿x轴正方

向传播的行波.为了讲清这一点，我们不妨考虑一个特例，假定f2(x)的图形如图5-1(a)所示.则在t?0时，u2?f2(x)；在t?a1时，u2?f2(x?)，其图形如图5-1(b)所示；在t?122时，u2?f2(x?a)，其图形如图5-1(c)所示；在t?2时，u2?f2(x?2a)，其图形如图5-1(d)所示.这些图形说明，随着时间t的推移，u2?f2(x?at)的图形以速度a向x轴正方向移动.所以u2?f2(x?at)表示一个以速度a沿x轴正方向传播的行波.同样道理，

u1?f1(x?at)就表示一个以速度a沿x轴负方向传播的行波.达朗倍尔公式表明，弦上的

任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数

a，基于上述原因，所以本节所用的方法就称为行波法.

从达朗倍尔公式(5.11)还可以看出，解在(x,t)点的数值仅依赖于x轴上区间x?at,x?at内的初始条件，而与其他点上的初始条件无关.区间x?at,x?at称为点?x,t?的依赖区间.它是由过(x,t)点的两条斜率分别为?所截得的区间（图5-2（a））.

对初始轴t?0上的一个区间[x1,x2]，过x1作斜率为

????1的直线在x轴a1a的直线x?x1?at，过x2作斜率为?1的直线x?x2?at，a它们和区[x1,x2]一起构成一个三角形区域（图5-2（b）），此三角形区域中任一点?x,t?的依赖区间都落在区间[x1,x2]的内部，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间[x1,x2]上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个区域称

为区间[x1,x2]的决定区域.在区间[x1,x2]上给定初始条件，就可以在其决定区域中决定始值问题的解.

图 5-2

从上面的讨论中，我们可以看到在?x,t?平面上斜率为?1的直线x?x0?at对波动a方程的研究起着重要的作用，我们称这两族直线为一维波动方程的特征线，波动实际上是沿特征线方向传播的，有些书上又将行波法称为特征线法.

5.2 三维波动方程的泊松公式

上节我们已经讨论了一维波动方程的始值问题，获得了达朗倍尔公式.只研究一维波动方程还不能满足工程技术上的要求，例如在研究交变电磁场时就要讨论三维波动方程，本节我们就来考虑在三维无限空间中的波动问题.即求解下列定解问题

2??2u?2u?2u?2??u?2?a?2?2?2?,???x,y,z???;?y?z???x??t??ut?0??0(x,y,z),???u??(x,y,z).1??tt?0?(5.12)(5.13)(5.14)

这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直接利用5.1中所得的通解公式.下面先考虑一个特例.

5.2.1 球对称三维波动方程的通解

如果将波函数u用空间球坐标(r,?,?)来表示，所谓球对称就是指u与?,?都无关，在球坐标系中，波动方程（5.12）为

1??2?u?1???u?1?2u1?2ur?2sin??22?22. ????22r?r??r?rsin???????rsin???a?t当u不依赖于?,?时，这个方程可简化为

1??2?u?1?2ur?22, ??2r?r??r?a?t?2u?ur?2u?22. 或 r2?2?r?ra?t?2u?u?2(ru)?, 但 r2?2?r?r?r2

所以最后得到方程

?2(ru)1?2(ru)?2. ?r2a?r2这是关于ru的一维波动方程，其通解为

ru?f1(r?at)?f2(r?at),

或 u(r,t)?f1(r?at)?f2(r?at).

r从5.1中所述的关于通解公式(5.6)的物理意义可知，函数u(r,t)是一个以速度a沿球的半径

r增加的方向向外传播的波与一个以同样速度自外沿r减小的方向向内传播的波的叠加，而且这两个波都是沿着球面r=常数传播的.

5.2.2 三维波动方程的泊松公式

现在我们来考虑一般的情况，即要求问题(5.12)，(5.13)，(5.14)的解，从上面对球对称情况的讨论使我们产生这样一个想法：既然在球对称的情况，函数ru(r,t)满足一维波动方程，可以求出通解，那末在不是球对称的情况能否设法把方程也化成可以求通解的形式？由于在球对称时波函数u只是r与t的函数，在非球对称是u不能写成r与t的函数，而是x,y,z,t的函数，所以对非球对称情况，ru不可能满足一维波动方程，但是，如果我们不去考虑波函数u本身，而是考虑u在半径为r的球面上的平均值，则这个平均值就只与r，

t有关了.这就启发我们先引入一个函数u(r,t)，它是函数u?x,y,z,t?在以点M(x,y,z)为中心、以r为半径球面SrM上的平均值，即

u(r,t)?14?r2??udS

SMr ?14???ud?, （5.15）

SM1其中S1M是以M为中心的单位球面，d?是单位球面上的面积元素，在球面坐标系中

d??sin?d?d?,且dS?r2d?.

从(5.15)及u(x,y,z,t)的连续性可知，当r?0时limu(r,t)?u(M,t),此处u(M,t))

r?0表示函数u在M点及时刻t的值，将limu(r,t)记为u(0,t),则有

r?0u(0,t)?u(M,t).

下面来推导u(r,t)所满足的微分方程，对方程(5.12)的两端在SrM所围成的体积VrM内积分，

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