《数值计算方法》课后题答案(湖南大学出版社)

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

1

习题一

1．设x>0相对误差为2%

4

x的相对误差。

解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：

(())

(())'()()

()()

f x x

f x f x x

f x f x

δδ

?

=≈得

（1

）()

f x=

11

()()*2%1%

22

x x

δδδ

≈===；

（2）4

()

f x x

=时

44

4

()()'()4()4*2%8%

x

x x x x

x

δδδ

≈===

2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）12.1

x =；（2）12.10

x =；（3）12.100

x =。

解：由教材

9

P关于

1212

.

m n

x a a a bb b

=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5

3．用十进制四位浮点数计算

（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）

哪个较精确？

解：（1）31.97+2.456+0.1352

≈21

((0.3197100.245610)0.1352)

fl fl?+?+

=2

(0.3443100.1352)

fl?+

=0.34572

10

?

（2）31.97+（2.456+0.1352）

21

(0.319710(0.245610))

fl fl

≈?+?

= 21

(0.3197100.259110)

fl?+?

=0.34562

10

?

易见31.97+2.456+0.1352=0.3456122

10

?，故（2）的计算结果较精确。

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24．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？

解：设该正方形的边长为x，面积为2

()

f x x

=，由

(())

(())'()()

()()

f x x

f x f x x

f x f x

δδ

?

=≈

解得

(())()

()

'()

f x f x

x

xf x

δ

δ≈=

2

(())(())

22

f x x f x

x x

δδ

==0.5%

5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？

（1）已知1

x<<，（A）

11

121

x

y

x x

-

=-

++

，（B）

2

2

(12)(1)

x

y

x x

=

++

；

（2）已知1

x>>，（A

）y=，（B

）y=；

（3）已知1

x<<，（A）

2

2sin x

y

x

=，（B）

1cos2x

y

x

-

=；

（4）（A

）9

y=（B

）y=

解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。

（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。

（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。

（3）（A）中2

sin x使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。

6．用消元法求解线性代数方程组

1515

12

12

1010

2

x x

x x

?+=

?

+=

?

假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？

解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为

11616

12

111

12

0.100100.100100.10010(1)

0.100100.100100.20010(2)

x x

x x

??+?=?

?

?

?+?=?

??

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3（1）-（2）得1616

2

.1010.1010x

?=?，即1

2

.1010

x=?，把

2

x的值代入（1）得

1

.00

x=；

把

2

x的值代入（2）得1

1

0.10010

x=?

解

1

1

10.10010

20.00010

x

x

?=?

?

?

=?

??

不满足（2）式，解

1

1

10.10010

20.10010

x

x

?=?

?

?

=?

??

不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。

7．计算函数32

()331

f x x x x

=-+-和()((3)3)1 2.19

g x x x x x

=-+-=

在处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？

解：1

10

657

.0

10

480

.0

3

10

219

.0

10

480

.0

)

19

.2(1

1

1

1-

?

+

?

?

-

?

?

?

=

f

1

10

657

.0

10

144

.0

10

105

.01

2

2-

?

+

?

-

?

=

=1

0.16710

?

=

)

19

.2(g1

10

219

.0

)3

10

219

.0

)

81

.0

((1

1-

?

?

+

?

?

-

1

10

219

.0

10

123

.01

1-

?

?

?

==1

0.16910

?

即1

()0.16710

f x=?，1

()0.16910

g x=?

而当 2.19

x=时32

331

x x x

-+-的精确值为1.6852，故()

g x的算法较正确。

8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：

（1）

6

1

1

3i

i=

∑；(2)1

6

1

3i

i=

∑。

解：（1）

6

23456

1

1111111

3333333

i

i=

=+++++

∑=0.3330.1110.0370.0120.0040.001

+++++

489

.0

=

（2）

1

65432

6

1111111

3333333

i

i=

=+++++

∑=0.0010.0040.0120.0370.1110.333

+++++

489

.0

=

9．已知三角形面积

1

sin

2

S ab C

=，其中0

2

C

π

<<。

证明：()()()()

S a b C

δδδδ

≤++。

证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：

12

12

112

(,,,)

((,,,))()

(,,,)

n

i n

n i

i n i

x f x x x

f x x x x

f x x x x

δδ

=

?

≈

?

∑。得

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4 (,,)(,,)(,,)((,,))()()()(,,)(,,)(,,)a S a b C b S a b C C S a b C S a b C a b C S a b C a S a b C b S a b C C δδδδ???=++???()sin ()sin ()cos ()sin sin sin a b C S b C a a C b ab C C ab C ab C ab C δδδδ=??+??+?? =()()()C a b C tgC δδδ++ ()()()a b C δδδ≤++ （当02C π

<<时，C tgC <），命题得证。

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5

习题二

1．找出下列方程在0

x=附近的含根区间。

（1）cos0

x x

+=；（2）3cos0

x x

-=；

（3）sin()0

x

x e-

-=；（4）20

x

x e-

-=；

解：（1）设()c o s

f x x x

=+，则(0)1

f=，(1)-0.4597

f-=，由()

f x的连续性知在[]

1,0

x∈-内，()

f x=0有根。

同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为[]

0,1；0,

2

π

??

??

??

；[]

0,1 2．用二分法求方程sin10

x x-=在[]

0,2内的根的近似值并分析误差。

解：令()s i n

f x x x

=-，则有(0)10

f=-<，(2)0.81860

f=>，'()sin cos0

f x x x x

=+>，[]

0,2

x∈

所以函数()

f x在()

0，2上严格单调增且有唯一实根x*。

本题中求根使得误差不超过4

10-，则由误差估计式

1

2

|

|

+

-

≤

-

k

k

a

b

x

α，所需迭代次数k满足4

1

10

2

2

-

+

<

-

k

，即取28

.

13

≥

k便可，因此取14

=

k。用二分法计算结果列表如下：

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6

由上表可知原方程的根14 该问题得精确解为 08711.11415714=α，故实际误差为 0000396.0

3．判断用等价方程()x x φ=建立的求解的非线性方程32()10f x x x =--=在1.5附近的根的简单迭代法1()k k x x φ+=的收敛性，其中

（A ）2()11/x x φ=+；（B ）()x φ；（C ）()x φ=

解：取1.5附近区间[]1.3,1.6来考察。（A ）21

()1x x φ=+，显然当0x >时，()x ?单调递减，

而(1.3) 1.59171596φ=， (1.6) 1.390625φ=，

因此，当[]1.3,1.6x ∈时， []() 1.3,1.6x φ∈。

又当[]1.3,1.6x ∈时，332

2'()0.9211.3x x φ=-≤<<，

由迭代法收敛定理，对任意初值[]1.3,1.6x ∈，迭代格式121

1k k

x x +=+， (0,1,2,)k =收敛。

（B ）1

32()(1)x x φ=+，则(1.3) 1.390755416φ=， (1.6) 1.526921344φ=， 223

12'()03(1)x

x x φ=>+ (0)x >，

所以当[]1.3,1.6x ∈时， []() 1.3,1.6x φ∈。

又当[]1.3,1.6x ∈时，222233

22 1.6

'()0.552133(1)(1 1.3)x

x x φ=≤<<++， 由迭代法收敛定理，对任意初值[]1.3,1.6x ∈，迭代格式1

2

31(1)k k x x +=+，(0,1,2,)k =收敛。

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7（C

）()x

φ=，由于当[]

1.3,1.6

x∈时，有

33

22

11

'() 1.0758287061

2(1)2(1.61)

x

x

φ

-

=≥=>

--

，

所以对任意初值[]

1.3,1.6

x∈（原方程的根除外）

，迭代格式

1

k

x

+

=(0,1,2,

k =发散。

4．确定()

x x

φ

=的简单迭代法

1

()

k k

x x

φ

+

=的收敛区间[],a b。如果收敛，试估计使精度达到4

10-时所需的迭代次数并进行计算。

（A）

2

2

()

3

x

e x

x

φ

-+

=；（B）

2

5

()2

x

x

φ=+；（C）

sin cos

()

2

x x

x

φ

+

=

解：（A）方程为0

3

22=

-

+

-x

x

e x，设x

x

e

x

f x3

2

)

(2-

+

-

=，则0

1

)0(>

=

f，

-0.8987

)5.0(<

=

f，故有根区间为]5.0,0[，题中

2

2

()

3

x

e x

x

φ

-+

=，

3333

.0

|

3

2

||

3

2

||)

('

|

=

-

?

≤

-

=

e

e

x

x

x

φ

故迭代公式

2

2

()

3

x

e x

x

φ

-+

=在含根区间]5.0,0[内收敛。

（B）方程为0

5

22

3=

-

-x

x，设5

2

)

(2

3-

-

=x

x

x

f，则0

-1.875

)5.2(<

=

f，0

4

)3(>

=

f，故有根区间为]3,5.2[，题中

2

5

()2

x

x

φ=+，1

0.64

|

5.2

10

||

10

||)

('

|

3

3

<

=

≤

-

=

x

x

φ

故迭代公式

2

5

()2

x

x

φ=+在含根区间]3,5.2[内收敛。

（C）方程为0

2

cos

sin=

-

+x

x

x，设x

x

x

x

f2

cos

sin

)

(-

+

=，则0

1

)0(>

=

f，

-0.6182

)1(<

=

f，故有含根区间]1,0[，题中

sin cos

()

2

x x

x

φ

+

=，

1

5.0

|

2

sin

cos

||

2

sin

cos

||)

('

|<

=

-

≤

-

=

x

x

x

φ

5．对下点列用埃特金方法加速。

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8

1

2

3

4

5

6

0.54030,

0.87758,

0.94496,

0.96891,

0.98007,

0.98614,

0.98981.

x

x

x

x

x

x

x

=

=

=

=

=

=

=

解：由埃特金加速公式

k

k

k

k x

x

x

x

x

x

x

+

-

-

-

=+

2

1

2

)

(

~计算，结果列下表：

6．令初值

1

x=

，分别用牛顿迭代法，双点弦割法和单点弦割法求解方程2

()60

f x x

=-=的解。

解：牛顿迭代法

2

)1('>

=

f，0

2

)2(''>

=

f，满足0

)1(''

)1('≥

f

f，由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为0

1

x=时迭代法收敛。

牛顿迭代格式为：k

k

k

k

k

k x

x

x

x

x

x

f

x

f

x

x

3

2

2

6

)

('

)

(2

1

+

=

-

-

=

-

=

+

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9

在第6部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化，故可取

6双点弦割法

双点弦割法迭代格式为：

k

k

k

k

k

k

k x

x

x

x

x

x

x

f

x

f

x

f

x

x

+

+

=

-

-

-

=-

-

+

1

1

1

6

)

(

)

(

)

(

)

(

在第8部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化。

双点弦割法

双点弦割法迭代格式为：

k

k

k

k

k x

x

x

x

x

x

x

f

x

f

x

f

x

x

+

+

=

-

-

-

=

+

1

6

)

(

)

(

)

(

)

(

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10

31=k 以后，迭代点得小数点后11位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后11位

7．建立利用方程30x c -=求0)c >的Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。 解：牛顿迭代格式为：23

231323)(')(k

k k k k k k k k x c

x x c x x x f x f x x +=--=-=+

令c x x f -=3)(，因为当0>x 时，03)('2>=x x f ，06)(''>=x x f ，

故对于任何满足0)(30>-=c x x f ，

即3

0c x >的初值0x ，上述Newton 迭代产生的迭代序列收敛于3c 。

8．建立利用方程20c

x x -=0)c >的Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

11解：牛顿迭代格式为：

c

x

cx

x

c

x

c

x

x

x

f

x

f

x

x

k

k

k

k

k

k

k2

3

2

1

)

('

)

(

3

3

2

1+

=

+

-

-

=

-

=

+

令

2

()

c

f x x

x

=-，因为当0

>

x时，0

2

1

)

('

3

>

+

=

x

c

x

f，0

6

)

(''

4

<

-

=

x

c

x

f

故对于任何满足0

)

(3

<

-

=c

x

x

f，

即3

0c

x<

<的初值

x，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于3c。

9．判断用Newton

迭代求解方程()(

f x sign x

=

解：由

??

?

?

?

-

-

=

x

x

x

f)

(

)0

(

)0

(

<

>

x

x

，

)(i当0

>

x时，x

x

f=

)

(，0

2

1

)

('>

=

x

x

f，0

4

1

)

(''

3

<

-

=

x

x

f，要使Newton迭代法

收敛对于初值

x，需满足0

)

(

<

=x

x

f，显然这样得初值是不存在的，故当0

>

x时，Newton 迭代法不收敛。

)

(ii当0

<

x时，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故当0

<

x时，Newton迭代法也不收敛。

所以用Newton

迭代求解方程()(

f x sign x

=

10．写出求解方程

1

()10

f x

x

=-=的Newton迭代格式并判断以下情形的收敛性。

（1）

00

20

x x

><

或；（2）

00

20

x x

==

或；（3）

02

x

<<。

解：牛顿迭代格式为：2

2

1

2

1

1

1

)

('

)

(

k

k

k

k

k

k

k

k

k

x

x

x

x

x

x

f

x

f

x

x-

=

-

-

-

=

-

=

+

)

,2,1,0

(

=

k

k

x

x

x

x

x

k

k

k

k

2

2

2

1

)

1(

)

1(

2

1

1-

=

=

-

=

+

-

=

-

+

)

,2,1,0

(

=

k

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

12解之得：]

)

1(

1[2

k

x

x

k

-

-

=

（1）当

00

20

x x

><

或时，1

|

1|

>

-x，∞

=

-

∞

→

k

x

k

2

)

1(

lim，故迭代序列}

{

k

x不收敛；

（2）当

00

20

x x

==

或时，1

|

1|

=

-x，0

lim=

∞

→

k

k

x，迭代序列}

{

k

x收敛，但不收敛于方程的解；

（3）当2

<

<x时，1

|

1|

<

-x，从而0

)

1(

lim2

=

-

∞

→

k

x

k

，1

lim=

∞

→

k

k

x，迭代序列}

{

k

x收敛，且收敛于方程的解。

11．求分别用下列迭代格式求解方程()0

m x

f x x e

==时的收敛阶。

（1）Newton迭代格式

1

()

'()

k

k k

k

f x

x x

f x

+

=-；（2）迭代格式

1

()

'()

k

k k

k

f x

x x m

f x

+

=-。

解：显然0

≠

m，否则()0

m x

f x x e

==没意义。

易知Newton迭代格式

1

()

'()

k

k k

k

f x

x x

f x

+

=-收敛于0

=

α，又

（1）

2

11

()(1)

'()

m x

k k k

k k k m m x

k k

f x m x x

x e

x x x

f x mx x e m x

+-

-+

=-=-=

++

m

m

x

m

x

m

x

x

m

x

x

m

x

x

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

1

1

lim

)1

(

lim

lim

2

1

-

=

+

+

-

=

-

+

+

-

-

=

-

-

∞

→

∞

→

+

∞

→α

α

∴Newton迭代格式

1

()

'()

k

k k

k

f x

x x

f x

+

=-的收敛阶为1

=

p

（2）迭代格式

2

1

()

'()

k k

k k

k k

f x x

x x m

f x m x

+

=-=

+

m

x

m

x

x

m

x

x

x

k

k

k

k

k

k

k

k

k

1

1

lim

)

0(

lim

)

(

lim

2

2

2

1=

+

=

-

+

-

=

-

-

∞

→

∞

→

+

∞

→α

α

∴迭代格式

1

()

'()

k

k k

k

f x

x x m

f x

+

=-的收敛阶为2

=

p

12．当初值取为下列各值时，用下山Newton迭代求解方程组

3

3

x

x

-=是否收敛？

若收敛，收敛于哪一个根？

（1）

1.5

x=-（2）

0.5

x=

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

13

解：由下山Newton 迭代格式13)(')(231---=-=+k k k k k k k k k x x x x x f x f x x λλ

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

14

习题三

1．1分别用高斯消元法和列选主元法解方程组（精确到小数点后四位）：

123

123

123

0.26410.17350.86420.7521

0.94110.01750.14630.6310

0.86410.42430.07110.2501

x x x

x x x

x x x

++=-

??

??

-+=

??

??

--+=

??

解：高斯消元法：

()

0.26410.17350.86420.7521

|0.94110.01750.14630.6310

0.86410.42430.0710.2501

A b

-

??

?

=-

?

?

--

??

=

0.2641 0.1735 0.8642 -0.7521

0 -0.6358 -2.9332 3.3111

0 0.1434 2.8986 -2.2107

??

?

?

?

??

0.2641 0.1735 0.8642 -0.7521

0 -0.6358 -2.9332 3.3111

0 0 2.2372 -1.4640

??

?

= ?

?

??

T

( 0.7315, -2.1889, -0.6544)

x=

高斯列选主元消元法

()

0.26410.17350.86420.7521

|0.94110.01750.14630.6310

0.86410.42430.0710.2501

A b

-

??

?

=-

?

?

--

??

0.94110.01750.14630.6310

0.26410.17350.86420.7521

0.86410.42430.0710.2501

-

??

?

=-

?

?

--

??

0.9411 -0.0175 0.1463 0.6310

0 0.1784 0.8231 -0.9292

0 -0.4404 0.2054 0.8295

??

?

= ?

?

??

0.94110.01750.14630.6310

0 -0.4404 0.2054 0.8295

0 0.1784 0.8231 -0.9292

-

??

?

= ?

?

??

0.9411-0.01750.1463

0-0.44040.20540.8295

000.9064-0.

5931

??

?

= ?

?

??

()

x=0.7315, -2.1889,-0.6544 T

2．分别用高斯消元法和列选主元法解方程组

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

15

12

12

1.133 5.281 6.414,

24.14 1.21022.93

x x

x x

+=

?

?

-=

?

解：高斯消元法

() 1.1330 5.2810 6.4140

A|b

24.14 -1.210 22.93

??

= ?

??

=

1.1330 5.2810 6.4140

0 -113.7284 -113.7284

??

?

??(1,1)T

x=

列选主元法

() 1.1330 5.2810 6.4140

A|b

24.14 -1.210 22.93

??

= ?

??

24.14 -1.210 22.93

1.1330 5.2810 6.4140

??

= ?

??

24.1400 -1.2100 22.9300

0 5.3378 5.3378

??

= ?

??

(1,1)T

x=

3.方程组Ax=b 经过一次Gauss消元后,系数矩阵A=()(1),1n ij i j

a

=

, 变为

(1)

11

(2)

*

a

A

??

?

??

,其中

(2)

A=()(2),2n ij i j

a

=

为(n-1)?(n-1)矩阵.其元素为

(2)

ij

a=(1)

ij

a-(1)(1)

11

i j

a a/(1)

11

a, ,i j=2,3,n.

证明下面结论:（1）当A对称正定时, (2)

A也对称正定;

（2）当A对角占优时, (2)

A也对角占优.

证明:（1）因为A对称,所以(1)(1)

i j ji

a a

=;

(2)

ij

a=(1)

ij

a-(1)(1)

11

i j

a a/(1)

11

a=(1)(1)(1)(1)

1111

/

ji j i

a a a a

-=(2)

ji

a

故(2)

A对称;

A正定, ∴(1)

11

a>，又

(1)

11

(2)

*

a

A

??

?

??

=

1

L A

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

16其中:

(1)

21

(1)

11

1

(1)

1

(1)

11

10

1

n

a

a

L

a

a

??

?

?

-

?

= ?

?

?

?

- ?

??

显然,

1

L非奇异;对任何x 0

≠, 有:

1

L x≠

A正定, ∴()()

1111

()0

T T T

L x A L x x L AL x

=>，∴

11

T

L AL正定;

又:

11

T

L AL=

(1)

11

(2)

a

A

??

?

??

而(1)

11

a>故(2)

A正定;

(1)当A对角占优时, (1)(1)

||||

n

ii ij

i j

a a

≠

≥∑

(2)(2)

||||

n

i i i j

i j

a a

≠

-∑(1)(1)(1)(1)(1)(1)

11111111

,2

|/||/|

n

ii i i ij i j

i j j

a a a a a a a a

≠=

=---

∑

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

11111111

(1)

,2

11

1

||||

n

ii i i ij i j

i j j

a a a a a a a a

a≠=

??

=---

??

??

∑

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

11111111

(1)

,2

11

1

||||(||||)

n

ii i i ij i j

i j j

a a a a a a a a

a≠=

??

≥--+

??

??

∑

(1)(1)(1)(1)(1)

1111

(1)

,2,1

11

1

||(||)||

n n

ii ij i j

i j j i j j

a a a a a

a≠=≠=

??

=--

??

??

∑∑

(1)(1)(1)(1)(1)

1111

(1)

,2,1

11

1

||(||)||||

n n

ii ij i j

i j j i j j

a a a a a

a≠=≠=

??

=--

??

??

∑∑

(1)(1)(1)(1)(1)

11111

(1)

,2

11

1

||(||)||||

n

ii ij i

i j j

a a a a a

a≠=

??

≥--

??

??

∑

(1)(1)

11

(1)

,1

11

1

||||

n

ij

i j j

a a

a≠=

??

≥-

??

??

∑0≥

故(2)

A对角占优

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

174.证明(1)两个单位上(下)三角形矩阵的乘积仍为单位上(下) 三角形矩阵;

(2)两个上(下)三角形矩阵的乘积仍为上(下) 三角形矩阵.

证明:

(1) 不妨考虑证单位下三角矩阵,单位上三角矩阵证明方法相同

设AB=C 其中:

00

1;1;()

,,

ij n n

i j i j

j i j i

A j i

B j i

C c

a j i

b j i

?

??

>>

??

=====

??

??

<<

??

，，

，，

当i<j 时

ij

c

1

n

ik kj

k

a b

=

=∑

1

(,0

i

ik kj ik

k

a b k i a

=

=>=

∑时）

1

,0

kj

n i

ij ik kj ik kj

k k j

j i k b

c a b a b

==

>≥=

==

∑∑

=0（时）

当i>j时

当i=j时，

1

1

n

ii ik ki ii ii

k

c a b a b

=

===

∑

1

n i

ij ik kj ik kj

k k j

c a b a b

==

==

∑∑

当i>j时

，所以,C为单位上三角矩阵

(2)证明方法类似(1)

5．证明单位上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上(下)三角形矩阵;

非奇异上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上(下)三角形矩阵;

证明:……………………………………………………………………

6.用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组

（1）

1

2

3

4

22351

12124

25327

13230

x

x

x

x

---

??

????

?

? ?

- ?

? ?

=

?

? ?

-

?

? ?

????

??

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

18解：

1

1

1

2

131

1

211

2

L

??

?

?

-

?

= ?

-

?

?

- ?

??

(0)

X

2235

51

1

22

33

22

3

U

--

??

?

?

?

= ?

-

?

?

?

??

1

7

2

9

2

3

y

-

??

?

?

?

= ?

- ?

?

?

-

??

2

1

2

1

x

??

?

- ?

=

?

?

-??（2）

1

2

3

4

12342

1491610

18276444

11681256190

x

x

x

x

??

????

?

? ?

?

? ?

=

?

? ?

?

? ?

????

??

解：

1

11

131

1761

L

??

?

?

=

?

?

??

1234

2612

624

24

U

??

?

?

=

?

?

??

2

8

18

24

y

??

?

?

=

?

?

??

1

1

1

1

x

-??

?

?

=

?

-

?

??

（3）

1

2

3

4

81362718252

361166268148

2762984474

186********

x

x

x

x

--??

????

?

? ?

-- ?

? ?

=

?

? ?

--

?

? ?

--

????

??

解：

9

410

358

2617

L

??

?

- ?

=

?

-

?

--

??

28

26

15

7

y

??

?

?

=

?

?

??

4

3

2

1

x

??

?

?

=

?

?

??

（4）

1

2

3

4

4 2.42312.280

2.4 5.444 5.816.928

24 5.217.4522.957

3 5.87.4519.6650.945

x

x

x

x

??

????

?

? ?

?

? ?

=

?

? ?

?

? ?

????

??

解

湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

19

2

1.22

1 1.4 1.5

1.52

2.13

L

??

?

?

=

?

?

??

6.14

4.78

6.75

6

y

??

?

?

=

?

?

??

1.2

0.8

1.7

2

x

??

?

- ?

=

?

?

??

7．求解矩阵方程

123412

47101446

142231451417

X

-

????

? ?

=-

? ?

? ?

-

????

。

解；X=

1

123412

47101446

142231451417

--

????

? ?

-

? ?

? ?

-

????

=

111

000

101

??

?

= ?

?

-

??

8．用追赶法解线性代数方程组

213

1315

1113

213

X

????

? ?

? ?

=

? ?

? ?

????

。

解：

1

2

b=

2

3

b=

3

1

b=

4

1

b=

2

1

a=

3

1

a=

4

2

a=

1

1

c=

2

1

c=

3

1

c=

11

2

l b

==

111

/1/2

u c l

==

2221

5

2

l b a u

=-=

222

2

/

5

u c l

==，

3332

3

5

l b a u

=-=，

333

5

/

3

u c l

==，

4443

7

3

l b a u

=-=-1

3

2

y=

22122

7

()/

5

y d y a l

=-=

33233

8

()/

3

y d y a l

=-=，

44344

()/1

y d y a l

=-= 44

1

x y

==

3334

1

x y u x

=-=

2223

1

x y u x

=-=

1112

1

x y u x

=-=

∴

1

1

1

1

x

??

?

?

=

?

?

??

10证明等价关系：

121

1

||||||||||||||||

x x x x

n∞

≤≤≤

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fpem.html