《数值计算方法》课后题答案(湖南大学出版社)
更新时间：2023-07-26 02:55:01 阅读量： 实用文档 文档下载
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
1
习题一
1．设x>0相对误差为2%
4
x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：
(())
(())'()()
()()
f x x
f x f x x
f x f x
δδ
?
=≈得
（1
）()
f x=
11
()()*2%1%
22
x x
δδδ
≈===；
（2）4
()
f x x
=时
44
4
()()'()4()4*2%8%
x
x x x x
x
δδδ
≈===
2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1
x =；（2）12.10
x =；（3）12.100
x =。
解：由教材
9
P关于
1212
.
m n
x a a a bb b
=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5
3．用十进制四位浮点数计算
（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）
哪个较精确？
解：（1）31.97+2.456+0.1352
≈21
((0.3197100.245610)0.1352)
fl fl?+?+
=2
(0.3443100.1352)
fl?+
=0.34572
10
?
（2）31.97+（2.456+0.1352）
21
(0.319710(0.245610))
fl fl
≈?+?
= 21
(0.3197100.259110)
fl?+?
=0.34562
10
?
易见31.97+2.456+0.1352=0.3456122
10
?，故（2）的计算结果较精确。
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
24．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？
解：设该正方形的边长为x，面积为2
()
f x x
=，由
(())
(())'()()
()()
f x x
f x f x x
f x f x
δδ
?
=≈
解得
(())()
()
'()
f x f x
x
xf x
δ
δ≈=
2
(())(())
22
f x x f x
x x
δδ
==0.5%
5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？
（1）已知1
x<<，（A）
11
121
x
y
x x
-
=-
++
，（B）
2
2
(12)(1)
x
y
x x
=
++
；
（2）已知1
x>>，（A
）y=，（B
）y=；
（3）已知1
x<<，（A）
2
2sin x
y
x
=，（B）
1cos2x
y
x
-
=；
（4）（A
）9
y=（B
）y=
解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。
（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。
（3）（A）中2
sin x使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。
6．用消元法求解线性代数方程组
1515
12
12
1010
2
x x
x x
?+=
?
+=
?
假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？
解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为
11616
12
111
12
0.100100.100100.10010(1)
0.100100.100100.20010(2)
x x
x x
??+?=?
?
?
?+?=?
??
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3（1）-（2）得1616
2
.1010.1010x
?=?，即1
2
.1010
x=?，把
2
x的值代入（1）得
1
.00
x=；
把
2
x的值代入（2）得1
1
0.10010
x=?
解
1
1
10.10010
20.00010
x
x
?=?
?
?
=?
??
不满足（2）式，解
1
1
10.10010
20.10010
x
x
?=?
?
?
=?
??
不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。
7．计算函数32
()331
f x x x x
=-+-和()((3)3)1 2.19
g x x x x x
=-+-=
在处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？
解：1
10
657
.0
10
480
.0
3
10
219
.0
10
480
.0
)
19
.2(1
1
1
1-
?
+
?
?
-
?
?
?
=
f
1
10
657
.0
10
144
.0
10
105
.01
2
2-
?
+
?
-
?
=
=1
0.16710
?
=
)
19
.2(g1
10
219
.0
)3
10
219
.0
)
81
.0
((1
1-
?
?
+
?
?
-
1
10
219
.0
10
123
.01
1-
?
?
?
==1
0.16910
?
即1
()0.16710
f x=?，1
()0.16910
g x=?
而当 2.19
x=时32
331
x x x
-+-的精确值为1.6852，故()
g x的算法较正确。
8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：
（1）
6
1
1
3i
i=
∑；(2)1
6
1
3i
i=
∑。
解：（1）
6
23456
1
1111111
3333333
i
i=
=+++++
∑=0.3330.1110.0370.0120.0040.001
+++++
489
.0
=
（2）
1
65432
6
1111111
3333333
i
i=
=+++++
∑=0.0010.0040.0120.0370.1110.333
+++++
489
.0
=
9．已知三角形面积
1
sin
2
S ab C
=，其中0
2
C
π
<<。
证明：()()()()
S a b C
δδδδ
≤++。
证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：
12
12
112
(,,,)
((,,,))()
(,,,)
n
i n
n i
i n i
x f x x x
f x x x x
f x x x x
δδ
=
?
≈
?
∑。得
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4 (,,)(,,)(,,)((,,))()()()(,,)(,,)(,,)a S a b C b S a b C C S a b C S a b C a b C S a b C a S a b C b S a b C C δδδδ???=++???()sin ()sin ()cos ()sin sin sin a b C S b C a a C b ab C C ab C ab C ab C δδδδ=??+??+?? =()()()C a b C tgC δδδ++ ()()()a b C δδδ≤++ （当02C π
<<时，C tgC <），命题得证。
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5
习题二
1．找出下列方程在0
x=附近的含根区间。
（1）cos0
x x
+=；（2）3cos0
x x
-=；
（3）sin()0
x
x e-
-=；（4）20
x
x e-
-=；
解：（1）设()c o s
f x x x
=+，则(0)1
f=，(1)-0.4597
f-=，由()
f x的连续性知在[]
1,0
x∈-内，()
f x=0有根。
同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为[]
0,1；0,
2
π
??
??
??
；[]
0,1 2．用二分法求方程sin10
x x-=在[]
0,2内的根的近似值并分析误差。
解：令()s i n
f x x x
=-，则有(0)10
f=-<，(2)0.81860
f=>，'()sin cos0
f x x x x
=+>，[]
0,2
x∈
所以函数()
f x在()
0，2上严格单调增且有唯一实根x*。
本题中求根使得误差不超过4
10-，则由误差估计式
1
2
|
|
+
-
≤
-
k
k
a
b
x
α，所需迭代次数k满足4
1
10
2
2
-
+
<
-
k
，即取28
.
13
≥
k便可，因此取14
=
k。用二分法计算结果列表如下：
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6
由上表可知原方程的根14 该问题得精确解为 08711.11415714=α，故实际误差为 0000396.0
3．判断用等价方程()x x φ=建立的求解的非线性方程32()10f x x x =--=在1.5附近的根的简单迭代法1()k k x x φ+=的收敛性，其中
（A ）2()11/x x φ=+；（B ）()x φ；（C ）()x φ=
解：取1.5附近区间[]1.3,1.6来考察。（A ）21
()1x x φ=+，显然当0x >时，()x ?单调递减，
而(1.3) 1.59171596φ=， (1.6) 1.390625φ=，
因此，当[]1.3,1.6x ∈时， []() 1.3,1.6x φ∈。
又当[]1.3,1.6x ∈时，332
2'()0.9211.3x x φ=-≤<<，
由迭代法收敛定理，对任意初值[]1.3,1.6x ∈，迭代格式121
1k k
x x +=+， (0,1,2,)k =收敛。
（B ）1
32()(1)x x φ=+，则(1.3) 1.390755416φ=， (1.6) 1.526921344φ=， 223
12'()03(1)x
x x φ=>+ (0)x >，
所以当[]1.3,1.6x ∈时， []() 1.3,1.6x φ∈。
又当[]1.3,1.6x ∈时，222233
22 1.6
'()0.552133(1)(1 1.3)x
x x φ=≤<<++， 由迭代法收敛定理，对任意初值[]1.3,1.6x ∈，迭代格式1
2
31(1)k k x x +=+，(0,1,2,)k =收敛。
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7（C
）()x
φ=，由于当[]
1.3,1.6
x∈时，有
33
22
11
'() 1.0758287061
2(1)2(1.61)
x
x
φ
-
=≥=>
--
，
所以对任意初值[]
1.3,1.6
x∈（原方程的根除外）
，迭代格式
1
k
x
+
=(0,1,2,
k =发散。
4．确定()
x x
φ
=的简单迭代法
1
()
k k
x x
φ
+
=的收敛区间[],a b。如果收敛，试估计使精度达到4
10-时所需的迭代次数并进行计算。
（A）
2
2
()
3
x
e x
x
φ
-+
=；（B）
2
5
()2
x
x
φ=+；（C）
sin cos
()
2
x x
x
φ
+
=
解：（A）方程为0
3
22=
-
+
-x
x
e x，设x
x
e
x
f x3
2
)
(2-
+
-
=，则0
1
)0(>
=
f，
-0.8987
)5.0(<
=
f，故有根区间为]5.0,0[，题中
2
2
()
3
x
e x
x
φ
-+
=，
3333
.0
|
3
2
||
3
2
||)
('
|
=
-
?
≤
-
=
e
e
x
x
x
φ
故迭代公式
2
2
()
3
x
e x
x
φ
-+
=在含根区间]5.0,0[内收敛。
（B）方程为0
5
22
3=
-
-x
x，设5
2
)
(2
3-
-
=x
x
x
f，则0
-1.875
)5.2(<
=
f，0
4
)3(>
=
f，故有根区间为]3,5.2[，题中
2
5
()2
x
x
φ=+，1
0.64
|
5.2
10
||
10
||)
('
|
3
3
<
=
≤
-
=
x
x
φ
故迭代公式
2
5
()2
x
x
φ=+在含根区间]3,5.2[内收敛。
（C）方程为0
2
cos
sin=
-
+x
x
x，设x
x
x
x
f2
cos
sin
)
(-
+
=，则0
1
)0(>
=
f，
-0.6182
)1(<
=
f，故有含根区间]1,0[，题中
sin cos
()
2
x x
x
φ
+
=，
1
5.0
|
2
sin
cos
||
2
sin
cos
||)
('
|<
=
-
≤
-
=
x
x
x
φ
5．对下点列用埃特金方法加速。
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8
1
2
3
4
5
6
0.54030,
0.87758,
0.94496,
0.96891,
0.98007,
0.98614,
0.98981.
x
x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
=
=
解：由埃特金加速公式
k
k
k
k x
x
x
x
x
x
x
+
-
-
-
=+
2
1
2
)
(
~计算，结果列下表：
6．令初值
1
x=
，分别用牛顿迭代法，双点弦割法和单点弦割法求解方程2
()60
f x x
=-=的解。
解：牛顿迭代法
2
)1('>
=
f，0
2
)2(''>
=
f，满足0
)1(''
)1('≥
f
f，由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为0
1
x=时迭代法收敛。
牛顿迭代格式为：k
k
k
k
k
k x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
3
2
2
6
)
('
)
(2
1
+
=
-
-
=
-
=
+
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9
在第6部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化，故可取
6双点弦割法
双点弦割法迭代格式为：
k
k
k
k
k
k
k x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
+
+
=
-
-
-
=-
-
+
1
1
1
6
)
(
)
(
)
(
)
(
在第8部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化。
双点弦割法
双点弦割法迭代格式为：
k
k
k
k
k x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
+
+
=
-
-
-
=
+
1
6
)
(
)
(
)
(
)
(
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10
31=k 以后，迭代点得小数点后11位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后11位
7．建立利用方程30x c -=求0)c >的Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。 解：牛顿迭代格式为：23
231323)(')(k
k k k k k k k k x c
x x c x x x f x f x x +=--=-=+
令c x x f -=3)(，因为当0>x 时，03)('2>=x x f ，06)(''>=x x f ，
故对于任何满足0)(30>-=c x x f ，
即3
0c x >的初值0x ，上述Newton 迭代产生的迭代序列收敛于3c 。
8．建立利用方程20c
x x -=0)c >的Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。
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11解：牛顿迭代格式为：
c
x
cx
x
c
x
c
x
x
x
f
x
f
x
x
k
k
k
k
k
k
k2
3
2
1
)
('
)
(
3
3
2
1+
=
+
-
-
=
-
=
+
令
2
()
c
f x x
x
=-，因为当0
>
x时，0
2
1
)
('
3
>
+
=
x
c
x
f，0
6
)
(''
4
<
-
=
x
c
x
f
故对于任何满足0
)
(3
<
-
=c
x
x
f，
即3
0c
x<
<的初值
x，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于3c。
9．判断用Newton
迭代求解方程()(
f x sign x
=
解：由
??
?
?
?
-
-
=
x
x
x
f)
(
)0
(
)0
(
<
>
x
x
，
)(i当0
>
x时，x
x
f=
)
(，0
2
1
)
('>
=
x
x
f，0
4
1
)
(''
3
<
-
=
x
x
f，要使Newton迭代法
收敛对于初值
x，需满足0
)
(
<
=x
x
f，显然这样得初值是不存在的，故当0
>
x时，Newton 迭代法不收敛。
)
(ii当0
<
x时，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故当0
<
x时，Newton迭代法也不收敛。
所以用Newton
迭代求解方程()(
f x sign x
=
10．写出求解方程
1
()10
f x
x
=-=的Newton迭代格式并判断以下情形的收敛性。
（1）
00
20
x x
><
或；（2）
00
20
x x
==
或；（3）
02
x
<<。
解：牛顿迭代格式为：2
2
1
2
1
1
1
)
('
)
(
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x-
=
-
-
-
=
-
=
+
)
,2,1,0
(
=
k
k
x
x
x
x
x
k
k
k
k
2
2
2
1
)
1(
)
1(
2
1
1-
=
=
-
=
+
-
=
-
+
)
,2,1,0
(
=
k
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12解之得：]
)
1(
1[2
k
x
x
k
-
-
=
（1）当
00
20
x x
><
或时，1
|
1|
>
-x，∞
=
-
∞
→
k
x
k
2
)
1(
lim，故迭代序列}
{
k
x不收敛；
（2）当
00
20
x x
==
或时，1
|
1|
=
-x，0
lim=
∞
→
k
k
x，迭代序列}
{
k
x收敛，但不收敛于方程的解；
（3）当2
<
<x时，1
|
1|
<
-x，从而0
)
1(
lim2
=
-
∞
→
k
x
k
，1
lim=
∞
→
k
k
x，迭代序列}
{
k
x收敛，且收敛于方程的解。
11．求分别用下列迭代格式求解方程()0
m x
f x x e
==时的收敛阶。
（1）Newton迭代格式
1
()
'()
k
k k
k
f x
x x
f x
+
=-；（2）迭代格式
1
()
'()
k
k k
k
f x
x x m
f x
+
=-。
解：显然0
≠
m，否则()0
m x
f x x e
==没意义。
易知Newton迭代格式
1
()
'()
k
k k
k
f x
x x
f x
+
=-收敛于0
=
α，又
（1）
2
11
()(1)
'()
m x
k k k
k k k m m x
k k
f x m x x
x e
x x x
f x mx x e m x
+-
-+
=-=-=
++
m
m
x
m
x
m
x
x
m
x
x
m
x
x
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
1
1
lim
)1
(
lim
lim
2
1
-
=
+
+
-
=
-
+
+
-
-
=
-
-
∞
→
∞
→
+
∞
→α
α
∴Newton迭代格式
1
()
'()
k
k k
k
f x
x x
f x
+
=-的收敛阶为1
=
p
（2）迭代格式
2
1
()
'()
k k
k k
k k
f x x
x x m
f x m x
+
=-=
+
m
x
m
x
x
m
x
x
x
k
k
k
k
k
k
k
k
k
1
1
lim
)
0(
lim
)
(
lim
2
2
2
1=
+
=
-
+
-
=
-
-
∞
→
∞
→
+
∞
→α
α
∴迭代格式
1
()
'()
k
k k
k
f x
x x m
f x
+
=-的收敛阶为2
=
p
12．当初值取为下列各值时，用下山Newton迭代求解方程组
3
3
x
x
-=是否收敛？
若收敛，收敛于哪一个根？
（1）
1.5
x=-（2）
0.5
x=
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
13
解：由下山Newton 迭代格式13)(')(231---=-=+k k k k k k k k k x x x x x f x f x x λλ
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
14
习题三
1．1分别用高斯消元法和列选主元法解方程组（精确到小数点后四位）：
123
123
123
0.26410.17350.86420.7521
0.94110.01750.14630.6310
0.86410.42430.07110.2501
x x x
x x x
x x x
++=-
??
??
-+=
??
??
--+=
??
解：高斯消元法：
()
0.26410.17350.86420.7521
|0.94110.01750.14630.6310
0.86410.42430.0710.2501
A b
-
??
?
=-
?
?
--
??
=
0.2641 0.1735 0.8642 -0.7521
0 -0.6358 -2.9332 3.3111
0 0.1434 2.8986 -2.2107
??
?
?
?
??
0.2641 0.1735 0.8642 -0.7521
0 -0.6358 -2.9332 3.3111
0 0 2.2372 -1.4640
??
?
= ?
?
??
T
( 0.7315, -2.1889, -0.6544)
x=
高斯列选主元消元法
()
0.26410.17350.86420.7521
|0.94110.01750.14630.6310
0.86410.42430.0710.2501
A b
-
??
?
=-
?
?
--
??
0.94110.01750.14630.6310
0.26410.17350.86420.7521
0.86410.42430.0710.2501
-
??
?
=-
?
?
--
??
0.9411 -0.0175 0.1463 0.6310
0 0.1784 0.8231 -0.9292
0 -0.4404 0.2054 0.8295
??
?
= ?
?
??
0.94110.01750.14630.6310
0 -0.4404 0.2054 0.8295
0 0.1784 0.8231 -0.9292
-
??
?
= ?
?
??
0.9411-0.01750.1463
0-0.44040.20540.8295
000.9064-0.
5931
??
?
= ?
?
??
()
x=0.7315, -2.1889,-0.6544 T
2．分别用高斯消元法和列选主元法解方程组
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
15
12
12
1.133 5.281 6.414,
24.14 1.21022.93
x x
x x
+=
?
?
-=
?
解：高斯消元法
() 1.1330 5.2810 6.4140
A|b
24.14 -1.210 22.93
??
= ?
??
=
1.1330 5.2810 6.4140
0 -113.7284 -113.7284
??
?
??(1,1)T
x=
列选主元法
() 1.1330 5.2810 6.4140
A|b
24.14 -1.210 22.93
??
= ?
??
24.14 -1.210 22.93
1.1330 5.2810 6.4140
??
= ?
??
24.1400 -1.2100 22.9300
0 5.3378 5.3378
??
= ?
??
(1,1)T
x=
3.方程组Ax=b 经过一次Gauss消元后,系数矩阵A=()(1),1n ij i j
a
=
, 变为
(1)
11
(2)
*
a
A
??
?
??
,其中
(2)
A=()(2),2n ij i j
a
=
为(n-1)?(n-1)矩阵.其元素为
(2)
ij
a=(1)
ij
a-(1)(1)
11
i j
a a/(1)
11
a, ,i j=2,3,n.
证明下面结论:（1）当A对称正定时, (2)
A也对称正定;
（2）当A对角占优时, (2)
A也对角占优.
证明:（1）因为A对称,所以(1)(1)
i j ji
a a
=;
(2)
ij
a=(1)
ij
a-(1)(1)
11
i j
a a/(1)
11
a=(1)(1)(1)(1)
1111
/
ji j i
a a a a
-=(2)
ji
a
故(2)
A对称;
A正定, ∴(1)
11
a>，又
(1)
11
(2)
*
a
A
??
?
??
=
1
L A
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
16其中:
(1)
21
(1)
11
1
(1)
1
(1)
11
10
1
n
a
a
L
a
a
??
?
?
-
?
= ?
?
?
?
- ?
??
显然,
1
L非奇异;对任何x 0
≠, 有:
1
L x≠
A正定, ∴()()
1111
()0
T T T
L x A L x x L AL x
=>，∴
11
T
L AL正定;
又:
11
T
L AL=
(1)
11
(2)
a
A
??
?
??
而(1)
11
a>故(2)
A正定;
(1)当A对角占优时, (1)(1)
||||
n
ii ij
i j
a a
≠
≥∑
(2)(2)
||||
n
i i i j
i j
a a
≠
-∑(1)(1)(1)(1)(1)(1)
11111111
,2
|/||/|
n
ii i i ij i j
i j j
a a a a a a a a
≠=
=---
∑
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
11111111
(1)
,2
11
1
||||
n
ii i i ij i j
i j j
a a a a a a a a
a≠=
??
=---
??
??
∑
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
11111111
(1)
,2
11
1
||||(||||)
n
ii i i ij i j
i j j
a a a a a a a a
a≠=
??
≥--+
??
??
∑
(1)(1)(1)(1)(1)
1111
(1)
,2,1
11
1
||(||)||
n n
ii ij i j
i j j i j j
a a a a a
a≠=≠=
??
=--
??
??
∑∑
(1)(1)(1)(1)(1)
1111
(1)
,2,1
11
1
||(||)||||
n n
ii ij i j
i j j i j j
a a a a a
a≠=≠=
??
=--
??
??
∑∑
(1)(1)(1)(1)(1)
11111
(1)
,2
11
1
||(||)||||
n
ii ij i
i j j
a a a a a
a≠=
??
≥--
??
??
∑
(1)(1)
11
(1)
,1
11
1
||||
n
ij
i j j
a a
a≠=
??
≥-
??
??
∑0≥
故(2)
A对角占优
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
174.证明(1)两个单位上(下)三角形矩阵的乘积仍为单位上(下) 三角形矩阵;
(2)两个上(下)三角形矩阵的乘积仍为上(下) 三角形矩阵.
证明:
(1) 不妨考虑证单位下三角矩阵,单位上三角矩阵证明方法相同
设AB=C 其中:
00
1;1;()
,,
ij n n
i j i j
j i j i
A j i
B j i
C c
a j i
b j i
?
??
>>
??
=====
??
??
<<
??
，，
，，
当i<j 时
ij
c
1
n
ik kj
k
a b
=
=∑
1
(,0
i
ik kj ik
k
a b k i a
=
=>=
∑时）
1
,0
kj
n i
ij ik kj ik kj
k k j
j i k b
c a b a b
==
>≥=
==
∑∑
=0（时）
当i>j时
当i=j时，
1
1
n
ii ik ki ii ii
k
c a b a b
=
===
∑
1
n i
ij ik kj ik kj
k k j
c a b a b
==
==
∑∑
当i>j时
，所以,C为单位上三角矩阵
(2)证明方法类似(1)
5．证明单位上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上(下)三角形矩阵;
非奇异上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上(下)三角形矩阵;
证明:……………………………………………………………………
6.用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组
（1）
1
2
3
4
22351
12124
25327
13230
x
x
x
x
---
??
????
?
? ?
- ?
? ?
=
?
? ?
-
?
? ?
????
??
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
18解：
1
1
1
2
131
1
211
2
L
??
?
?
-
?
= ?
-
?
?
- ?
??
(0)
X
2235
51
1
22
33
22
3
U
--
??
?
?
?
= ?
-
?
?
?
??
1
7
2
9
2
3
y
-
??
?
?
?
= ?
- ?
?
?
-
??
2
1
2
1
x
??
?
- ?
=
?
?
-??（2）
1
2
3
4
12342
1491610
18276444
11681256190
x
x
x
x
??
????
?
? ?
?
? ?
=
?
? ?
?
? ?
????
??
解：
1
11
131
1761
L
??
?
?
=
?
?
??
1234
2612
624
24
U
??
?
?
=
?
?
??
2
8
18
24
y
??
?
?
=
?
?
??
1
1
1
1
x
-??
?
?
=
?
-
?
??
（3）
1
2
3
4
81362718252
361166268148
2762984474
186********
x
x
x
x
--??
????
?
? ?
-- ?
? ?
=
?
? ?
--
?
? ?
--
????
??
解：
9
410
358
2617
L
??
?
- ?
=
?
-
?
--
??
28
26
15
7
y
??
?
?
=
?
?
??
4
3
2
1
x
??
?
?
=
?
?
??
（4）
1
2
3
4
4 2.42312.280
2.4 5.444 5.816.928
24 5.217.4522.957
3 5.87.4519.6650.945
x
x
x
x
??
????
?
? ?
?
? ?
=
?
? ?
?
? ?
????
??
解
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
19
2
1.22
1 1.4 1.5
1.52
2.13
L
??
?
?
=
?
?
??
6.14
4.78
6.75
6
y
??
?
?
=
?
?
??
1.2
0.8
1.7
2
x
??
?
- ?
=
?
?
??
7．求解矩阵方程
123412
47101446
142231451417
X
-
????
? ?
=-
? ?
? ?
-
????
。
解；X=
1
123412
47101446
142231451417
--
????
? ?
-
? ?
? ?
-
????
=
111
000
101
??
?
= ?
?
-
??
8．用追赶法解线性代数方程组
213
1315
1113
213
X
????
? ?
? ?
=
? ?
? ?
????
。
解：
1
2
b=
2
3
b=
3
1
b=
4
1
b=
2
1
a=
3
1
a=
4
2
a=
1
1
c=
2
1
c=
3
1
c=
11
2
l b
==
111
/1/2
u c l
==
2221
5
2
l b a u
=-=
222
2
/
5
u c l
==，
3332
3
5
l b a u
=-=，
333
5
/
3
u c l
==，
4443
7
3
l b a u
=-=-1
3
2
y=
22122
7
()/
5
y d y a l
=-=
33233
8
()/
3
y d y a l
=-=，
44344
()/1
y d y a l
=-= 44
1
x y
==
3334
1
x y u x
=-=
2223
1
x y u x
=-=
1112
1
x y u x
=-=
∴
1
1
1
1
x
??
?
?
=
?
?
??
10证明等价关系：
121
1
||||||||||||||||
x x x x
n∞
≤≤≤
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