数学金融学第七章多时段市场问题1

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数学金融学第七章多时段市场问题

第七章多时段市场问题

本章的目的是在前两章单时段市场理论的基础上讨论多时段市场的有关问题.可以想象在多时段市场的投资中,不同时段上的投资策略是可以不同的,也就是说,投资策略是随时间变化的.因此,动态特性是多时段市场问题区别于单时段市场问题的一个标志.所以,除了单时段市场情形中所出现的问题外,讨论多时段市场问题的要点是体现其动态特性问题,读者应该记住这一点.在学习本章时,如果读者有随机过程和控制理论的初步知识,则会感到轻松一些.

§7.1 多时段市场的一般描述

在这一节中,我们首先给出多时段市场一般的数学描述.

一、测度论中一些基本概念及相关定理

集合(样本空间), F为?的子

集全体,P为??,F?上的一个概率测度.又设Fi?i?0,1,2,?,k?为?的子集族,且

定义1.0 设有限个离散时刻0,1,2,?,k,设?为一个有限

??,F??F0?F1?F2???Fk?F, (1.1)

若对每个i?0,1,2,?,k子集族Fi.满足下述条件:

?A,B?Fi?A?B?Fi; (1.2) ??A?Fi???A?Fi.当(l.2)成立时,称Fi为一个域,称(1.1)为一个域流.集合Fi中的每个元素表示时刻i可能发生的一个事件.比如A???1,?2,?3?作为事件在时刻i发生,它表示在时刻i状态?1,?2,?3之一发生,因此, Fi称为时刻i的事件集.

现在,我们来略微仔细地看一下域流(1.1)的一些性质和意义.

m2定义1.0.1 对每个i?0,1,2,?,k,存在?的一个剖分F???A1,Ai,?,Ai??Fi,即 ii?Aij?Ail??,j?l,1?i,l?mi;?m ?ij??Ai??.?j?1 (1.3)

使得

A??Ai?F?i|Ai?A,?A?Fijji??, (1.4)

我们称上面的A1i,Ai2,?,Aim为Fi的生成元,称每个Aij为Fi中的基本事件,于是,F?i称为Fi的生成元集或基本事件集.

注1.0.2: 当?为一个有限集合时,对每一个Fi均存在?的一个剖分,该剖分包含在Fi内且满足(1.4).▲

(1.3)表明在任何时刻有且仅有一个Fi中的基本事件发生.从这个角度看,我们可以得知

?是由F惟一确定的.进一步,由(1.1)和(1.4),我们还可得上述基本事件集Fii?Aij?F?i?1,j?1,2,?,mi;? ?jjjj?A??Ai?1?Fi?1|Ai?1?Ai,j?1,2,?,mi.??i?? (1.5)

上面(1.5)表明Fi?1的生成元集F?i?1是Fi生成元集F?i的加细,即F?i中的每个元素均是一些F?i?1中元素的并集.为了理解它们的意义,我们举一个例子.

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例1.1 考虑三个时刻: 0,1,2,它们分别表示某个证券交易所某日的开盘时刻,前市收盘时刻(或中午)和当日全天收盘时刻，而时间区间[0,1]和[1,2]分别代表前市(上午)和后市(下午). 设样本空间,其中状态具有下述意义:

??1:某股票价格在[0,1]上涨1元，且在[1,2]再涨1元；???2:该股票价格在[0,1]上涨1元，但在[1,2]跌1元；???3:该股票价格在[0,1]下跌1元，但在[1,2]涨1元；??:该股票价格在[0,1]下跌1元，且在[1,2]再跌1元。?4

(l.6)

它们可以看作是时刻2 的基本事件.记

?F0???,??;???F1???,?,??1,?2?,??3,?4??; ???F2??的全体子集. (1.7)

则F0,F1,F2构成一个域流.易见,事件??1,?2?就是\该股票价格在[0,1]上涨1元\而事件

??3,?4?就是\该股票价格在[0, 1]下跌1元\它们是时刻1的基本事件.相应于(1.7)中Fi的生成

元集如下:

?F?0???,A1???;0???12 (1.8) ?F1??A1???1,?2?,A1???3,?4??;?234F?2??A1???1?,A2???2?,A2???3?,A2???4?,??2?可见,1 时刻的基本事件??1,?2? (即\不该股票价格在[0,1]上涨1元\是2时刻两个基本事件

??1?和??2?的并集.需要指出的是在任何时刻i实际发生的事件必定是某个基本事件.

对上面的例子,我们作如下考察.在时刻t=0来预测时刻t=2的状态,共有4 种可能:?1,?2,?3,?4.到了时刻t =1,假如事件??1,?2?已发生,则此时再预测时刻t=2的状态,只有两种可能了.所以,随着时间的推移,判断最终时刻事件发生的“确定性”增加了.

我们让Fi表示在时刻i人们能够获得的所有信息的全体。这个意思是人们可以在当前(时刻t =0)预测的所有在时刻t =i可能发生的基本事件.所以, Fi中包含了一系列互不相容的基本事件Aij,其概率P?Aij??0是已知的.关系式(1.1)恰好表明随时间推移,人们可获得的信息越来越多.

现在我们给定概率空间??,F,P?,并且给定一列时刻0,1,2,?和一个域流?Fi?i?0,每个Fi对应于时刻i的事件集,此时.我们称??,F,?Fi?i?0,P?为一个带域流的概率空间.下面的讨论都基于这个框架,不再重复说明.并且,为了方便起见,我们假定每个Fi的生成元集为

jm2jjA1?j?m,并且,(假如不然,我们可以去掉使得的 F?i??A1,A,?,APA?0PA?0?????iiiiiiii所有的结果将保持不变).

考虑一种债券.其价格是随着时间t 变化的,并且由于人们无法确定将来的利率,从而债券价格一般而言还是随机的,这样,债券价格是?t,??的函数?t,???B?t,??.当对每个固定的

t,??B?t,??是一个随机变量时,我们称B???为一个随机过程.为了叙述方便起见,我们设

B?0,???1,???, (1.9)

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并且,由于债券是“无风险”的,故应假设B???关于时间t是单调上升的,即

B?i?1,???B?i,???1,i?0,???, (1.10)

令

r?i,???B?i?1,???B?i,??B?i,??,i?0,???, (1.11)

称r?i,??为债券在[i,i＋1]上的利率.由(1.9)和(1.11)可得

iB(i?1,?)?B(i,?)[1?r(i,?)]? (1.12)

r?i,??一般是依赖于?的,即它是随机的.这样考虑是有必要的,因为利率是不断变动的,而且,

j?0?[1?r(j,?)]一般来说人们无法精确地断言将来的利率.但是,对任何一个给定的时刻i,以它为起始时刻的任何一种期限的利率在那个时刻应当是已知的.也就是说,基于i 时刻的所有信息(即知道Fi中所有基本事件是否发生),r?i,??是被确定的(不再随机).这在数学上可以如下描述:.

定义1.1.1 称r?i,??是一个Fi-可测的随机变量,如果

????|r?i,???a??Fi,?a?R, (1.13)

称随机过程r???是?Fi?i?0-适应的,如果(1.13)对所有的i?0都成立.

注1.1.2: 设A?F,P?A??1,?,?均是关于F-可测的随机变量.若?????????,??A,则我们可认为???.

下面我们就假设债券的利率过程r???是?Fi?i?0-适应的。

???A1,A2,?,Am?.设?:??R,则?是命题1.2 假定Fi为?上的一个域,其生成元集为FiiiiFi-可测的充要条件是它在每个Aij上是常数.

?j?Aij,使得对某个a?R, 证明: ?:设?是Fi-可测的,假如存在?j,? (1.14)

则集合A?????|?????a??Fi,且具有下述性质:

A?Ai??(?\\A)?Ai??j?(?j)?a??(?j)?,

j (1.15)

若 A??A?F?i|Aik?A,Aik?Aijki???1.15??A?Ai??与A?Ai??矛盾;

kjjj若

A?Ai?Ai?F?i|Ai?A,Ai?Aijkk???Aji?A????A??Ai??j与

???A??Aij???矛盾.

则A不可能有表示式(1.4).因此,A?Fi,从而?不是Fi-可测的,矛盾. : 假如?每个Aij上是常数,则对任何a?R,集合

A?????|?????a???Aj?Nji,其中N??ja?aj?????,??Aij,1?j?mi?,

故A?Fi,从而,?是Fi-可测的.▲

利用上面命题,我们可知当?是Fi?1-可测时,它未必是Fi可测的,其直观意义是存在当时刻到达i +1时才能知道而在此前并不知道的事件.从数学上讲,其原因是由于Fi?Fi?1,所以,

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可能存在生成元Aij?Fi?1,即Fi的生成元可能至少是两个Fi?1中的生成元之并.比如

Ai?Ai?1?Ai?1,k?li,此时,IjklAi?1k是Fi?1-可测的,但它不是Fi-可测的.另外,假如?是F0-可测的,

则?是常数.因为F?0????.

当Xi为随机过程时,X??X1,X2,?,Xn?称为一个向量值随机过程;X??X1,X2,?,Xn? 称为?Fi?i?0-适应的,如果每个Xi是Fi-可测的.由上面命题1.2,容易知道,我们有下面的推论.

推论1.3 向量值随机过程X??X1???,X2???,?,Xn????为?Fi?i?0-适应的,当且仅当对每个i,Xi在每个Aij上是一个常值向量.

在下面的讨论中,我们还需要所谓的条件数学期望的概念.现在先让我们比较直观地引人这个概念.假定??,F,?Fi?i?0,P?为一个带域流的概率空间,假设每个域Fi的生成元集为

m2jF?i??A1,Ai,?,Ai?,并且P?Ai??0 1?j?mi.设?是一个随机变量,它可能仅仅是F-可测ii的(未必关于任何Fi-可测).在当前时刻t=0,人们对?的预期就是普通的数学期望E???.现在要问,在当前时刻t=0,怎么来预测?在将来某个时刻t =i 的数学期望?

二、条件数学期望

我们首先要说明,?在将来某个时刻t = i 的数学期望会依赖于时刻t = i 的状态.为了说明这一点,我们来看一下例1.1中的情形.假定在0到1和1到2 股票涨跌l 元的概率均为1/2,则每个事件?i发生的概率均为1/4.我们假定所考虑的股票目前价格为10元,而令?为股票在时刻2的价格,则在当前时刻t =0,?的期望为

假如当前时刻来预测1时刻?的期望,则应该按如下方式考虑:

(1) 如果事件??1,?2?发生(即在时刻1,股价涨到11元),则?的期望(它依赖于事件??1,?2? 故记它为E???|??1,?2???)将是

(2) 如果事件??3,?4?发生(即在时刻1,股价跌到9 元),则?的期望(它依赖于事??3,?4?故记它为E???|??3,?4???)将是

E[?|{?3,?4}]?12(10?8)?（9元）E[?|{?1,?2}]?12(12?10)?11（元）E??14(12?10?10?8)?10(元)所以,如果我们定义随机变量?:??R如下:

则由命题1.2,?是F1可测的,并且它恰好是当前时刻预测将来时刻t=1时?的期望.我们注意到,?的确定已经用足了时刻的所有信息,即已知F1中的事件是否发生.因此,我们把?称为? 关于F1的条件数学期望,记作E??|F1?.由于事件??1,?2?和事件??3,?4?发生的概率均为1/2, 因此,

E??E??|F1????E??

?(?1)??(?2)?11?(?3)??(?4)?9???11?9??10?E???

21上述关系式并非偶然,它表明条件数学期望和数学期望之间的相容性.

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对于一般情形,我们引人下述定义.

定义1.4 对于给定的?,我们称随机变量?i为?关于的条件数学期望,如果?i是Fi-可测的,并且对任何的A?Fi均有

??(?)P(?)?????A??Ai(?)P(?) (1.16)

此时,我们记?i=E??|Fi?.

很容易看到上面的例子中的?就满足(1.16),建议读者自行验证一下,由此获得一些感性认识.需要提请读者注意的是,条件数学期望是依赖于概率空间上的域流和概率测度的.下面的结果给出了条件数学期望的具体计算公式.

命题1.5 假定??,F,?Fi?i?0,P?为一个带域流的概率空间,假设每个域Fi的生成元集为

m2jF?i??A1,Ai,?,Ai?,并且P?Ai??0,1?j?mi,设?是一个随机变量,则有 ii??1E??|Fi????????P????IAj??j?P?A???Aj?ij?1ii??mi?1??IAj??PAjE?i?j?1??i?mi??? (1.17) ???证明: 由于?i=E??|Fi?是Fi-可测的,故由命题1.2知.它在每个Aij?F?i上为常数,故我们可设

mi?i?j (l.18)

其中?i为待定常数.

j?1j??Ai??jiIAji??i???P?????iP?Aijj???????P?????j??Aiji?1P?Aji??????P???

??Aij然后,由关系式(1.16)(对A?Aij)可得

E??|Fi???i?mi??j?1jiIAji??1???????P????IAj??j??ijPAj?1??i???Ai?mi?1??IAj??PAjE?i?j?1??i?mi???.▲由 ???注1.5.1: 由注1.1.2及(1.17)证明过程说明了,E??|Fi?存在且唯一.

从(1.17),我们不难看出,如果?是Fi-可测的,则E??|Fi?=?.事实上,我们还可以证明下述更一般的结果.

命题1.6 设?,?为两个随机变量.

(3) E??E??|Fi????E???,E??|F0??E???,F0???,??

m2证明: (1) 设域Fi的生成元集为F?i??A1,Ai,?,Ai? (注意,注:1.0.2). ii对???,有??Aij,由?是Fi-可测的及命题1.2知,??????ij,故,由命题1.5知

E???|Fi?????1P?Aji?j??Ai?????P?????ij1P?Aji?j??Ai?P??????E??|Fi????

(2) 由条件数学期望定义易知(2)、(3)的结论成立.▲ 有了条件数学期望后,我们再引人一个重要的概念——鞅.

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三、鞅

定义1.7 假如一个?Fi?i?0-适应的随机过程X???具有下述性质:

E??X?j?|Fi???X?i?,0?i?j.

(1.21)

则称之为一个P-鞅.

由于条件数学期望是依赖于域流?Fi?i?0和概率测度P的,因此,鞍的定义是依赖于域流

?Fi?i?0和概率测度P的.也就是说,当概率空间上的域流或概率测度改变时,一个原来不是鞅的

随机过程可以变为一个鞍;反之.一个鞍可能不再是鞅(见复习与思考题3).在我们的框架下,域流是给定不变的,因此,我们不特别强调鞅对域流的依赖性;而仅仅强调它对概率测度的依赖性,故称之为P-鞅.鞅是一类重要的随机过程,以后我们会看到它的许多用处.

现在我们来考虑n种股票,设它们的价格为一个?Fi?i?0适应的(取值于的)随机过程

S?????S1???,S2???,?,Sn????,我们来解释一下该过程?Fi?适应性的含义.以股票1为例,在时 i?0T刻1,其价格为S1?1,??,由于在时刻1恰好有一个F1中的基本事件A1j?F?1发生,而由推论1.3,

S1?1,??在Ai上是常数,因此,S1?1,??被事件域F1完全确定,这恰恰体现了S1???的?Fi?i?0适应

j性的含义.给定时刻0,1,2,?,k和一个带域流的概率空间??,F,?Fi?i?0,P?,假定在此概率空间上,给定了?Fi?i?0适应的利率过程r???和由(1.12）给出债券价格过程B???,还给定了?Fi?i?0适应的股票价格过程S?????S1???,S2???,?,Sn????,此时,我们称一个多时段市场给定了. 现在再来考虑投资策略.我们假定所有的交易仅在时刻0,1,2,?,k进行,且不需要支付交易费.假如在整个投资时区[0,k]上除初始投资外没有新的资金注入,也没有资金撤回,这种投资方式称为是自融资的,我们将在下面给出自融资投资策略的严格定义。

对于单时段市场情形,策略Z?(z0,zT)T?R?Rn是一个常值向量,所以.它是F0测的.该策略是在时刻t =0 确定的,而它起作用的时刻是t=1(比如末定权益定价,最优投资等等).对于多时段市场问题,策略是一个取值于空间R?R的随机过程Z??,????z0??,??,z??,??nTTT?T.我们约

定Z?i,???(z0?i,??,z?i,??)T是在时刻t=i-1确定的,z0?i,??是[i-1 ,i ]上债券的持有量.而

z?i,????z1?i,??,z2?i,??,?,zn?i,???中的zj?i,??是[i-1,i ]第 j 种股票的持有股数,这个策

T略在时刻t=i 起作用.因此,我们引出以下一个重需要概念.

定义1.7.1 随机过程Z???满足如下条件:对每个i >0,Z?i?是Fi?1-可测的,即Z?i?的确定仅仅用到时刻: t=i-1及以前的信息,这样的过程称为是?Fi?i?0-可料的.

若策略过程Z???是?Fi?i?0-可料的.由(1.12）和r???的?Fi?i?0-适应性,我们可知债券价格过程B???也是?Fi?i?0-可料的.

假定Z?(z0,zT)T?R?Rn是某投资者的一个策略过程,,则初始交易完成后,下面的初值约束成立:

nV0?B?0?z0?1???S?0?z?1??B?0?z?1??S?0?z?1? (1.22)

Tjj0j?1其中,V0为该投资者的初始资产.类似于第5 章,我们可以引入策略过程Z???的价值过程如下:

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nV?i,?;Z??B?i,??z0?i,????j?1Sj?i,??zj?i,???B?i,??z0?i,???ST?i,??z?i,?? (1.23)

???,i?1,2,?,k.

四、策略过程Z???的自融资性

需要指出的是对i >1,上面(1.23)中定义的V?i,?,Z?是在时刻t=i 的交易尚未进行时策略的价值.综合以上说明和分析,我们给出下述严格的定义.

定义1.8 设0?i0?i1?k,随机过程Z???称为?i0,i1?上的一个策略过程,如果

?Z?i0?1?,?,Z?i1??

T是一个?Fi?i?0-可料过程,进一步,策略过程Z???称为是在?i0,i1?上自融资的,如果

?i,??z?i,???B?i,??z0?i?1,???ST?i,??z?i?1,??,i0?i?i1. (1.24)

值得注意的是,根据我们的约定,对于?i0,i1?上的一个策略过程Z???而言,Z?i0?是不需要

有定义的.上面(1.24)表明:在每个时刻t=i,交易前后策略的价值是不变的.按上面定义,单时段市场中的策略过程总是自融资的(因为i0?0,i1?1故(1.24)平凡地成立),因此,在讨论单时段市场的问题时,我们不必引人自融资的概念.另外,当考虑自融资策略时,我们不必区分交易前后策略的价值.

让我们考虑i0?0,i1?k的情形.定义(注意(1.11))

?B(i,?)?B(i,?)?B(i?1,?)?B(i?1,?)r(i?1,?) ，

?S(i,?)?S(i,?)?S(i?1,?)i?1,2,? (1.25)

B?i,??z0?i,???S则在自融资策略Z???下.投资者在?i?1,i?上的增益为：

?V(i,?,Z)?V(i,?,Z)?V(i?1,?,Z)

TT?B(i,?)z0(i,?)?S(i,?)z(i,?)?B(i?1,?)z0(i?1,?)?S(i?1,?)z(i?1,?)T

?B(i,?)0z(i?,?)S?(i,

T??B?i,??z0?i,????S?i,??z?i,??, (1.26)

)z?i(?B,(i)?1?,)z0(i?,?)S?i(?1,T

)z)?i(,上面第三个等式用到了自融资条件(1.24).相应于自融资策略过程Z???的累积增益(过程)定义为

ii0G(i,?,Z)?V(i,?,Z)?V(0,Z)???V(i,?,Z)??[?B(j,?)zj?1j?1(j,?)??S(j,?)z(j,?)]T(1.27)

类似于第5 章,我们将存款作为计价单位,引入贴现股价过程

S(i,?)?*S(i,?)B(i,?)?(S(i,?)TS1(i,?)S2(i,?),,?,n)B1(i,?)B2(i,?)Bn(i,?)i?0,1,2,?,??? (1.28)

?需要注意的是,S??0,???S??0??S?0?是一个确定性的Rn中向量(非随机的),而S?i,??是Rn

值的随机变量(i?1).策略过程Z???的贴现价值过程定义为

V(0,Z)?V(0,Z)?V0V(i,Z)?V(i,?,Z)?***

V(i,?,Z)B(i,?)?z0(i,?)?S(i,?)z(i,?)*Ti?1,2,?,??? (l.29)

由(l.24),我们可得,对于自融资策略Z???,

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V(i,?,Z)?z0(i,?)?S(i,?)z(i,?))?z0(i?1,?)?S(i,?)z(i?1,?)i?1,

**T*T (1.30)

这导致(比较(1.26))在自融资策略Z???下,投资者在[i-1,i ]上的贴现增益为:

i, ) (1.31) ??S(i,?)z(?因此,相应的累积贴现增益(过程)定义为

*T?V(i,?,Z)?V(i,?,Z)?V(i?1,?,Z)?S(i,?)z(i,?)?S(i?1,?)z(i,?)****T*TG??i,?,Z?????V?i,?,Z?????V?0,Z???????V?j,?,Z????

???j?1ii ??j?1?S??j,??Tz?j,??,i?, 1 (1.32)

值得注意的是G??i,?,Z????仅仅依赖于z???,而不依赖于z0???.

下面的命题给出了自融资策略的一种有用的刻画.

命题1.9 设0?i0?i1?k,z???为任何一个取值于Rn的?Fi?i?0-可料过程,V0为一个Fi-

0可测的随机变量,则存在取值于R的?Fi?i?0-可料过程z0???,使得Z?????z0???,z???T?T为一个

?i0,i1?上的自融资策略,且满足

V0(?)?B(i0,?)z0(i0?1,?)?S(i0,?)z(i0?1,?)???,

T (1.33)

证明: 我们定义(注意(1.30))

?V0???T?zi?1,???S?i0,??z?i0?1,??;??0?0B?i0,?? (1.34) ?T??z0?i?1,???z0?i,???S?i,????z?i,???z?i?1,????,i?i0?1.?易知,(1.33)等价于(1.34)中的第一式,而(1.24)等价于(1.34)中的第二式.另一方面,因为z???是

?Fi?i?0可料的,故由(1.34)定义的z0???是?Fi?i?0-可料的,因此,我们的结论成立.▲

我们将在7.3节中更细致地讨论市场的框架和特性.

§7.2 二叉树模型

在这一节中,我们介绍所谓的“二叉树模型”,它将使得我们对前面讨论的多时段问题有更清楚的认识.

一、单时段市场“二叉树模型”

先考虑单时段市场情形.假定有一种股票,它在时刻t=0的价格S?0??s1是已知的.假定在时刻t =1,有两个状态,记作?2和?3;它们发生的概率分别为p2,p3??0,1?(所以p2?p3?1),即 ,, (2.1)

假定在时刻t =1的股票价格满足

S(1,?2)?s2S(1,?3)?s3P(?2)?s2P(?3)?s3,, (2.2)

O 2

并假定

s2?s3 p1 , (2.3)

也就是说,股票价格以概率p2从s1变到s2,以概率.

p3从s2变到s3我们可以将上面的描述画成如下的图:

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p2 图2.1 O 3

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这称为一个二叉树枝,它有三个节点,分别用1,2和3 标号,节点1分叉为节点2和3.现在假定市场中还有一种债券,它的价格满足:

,, (2.4)

其中,r>0为利率.根据第5,章的讨论,当s1,s2,s3,p2,B0,r给定时,一个单时段市场就完全确定了,让我们在这个市场中讨论未定权益的定价问题.假定一个未定权益在时刻t=l的损益为

X1??i?,i?2,3.我们希望找到策略Z??z0,z??R2,使得

z0B(1)?z1S(1;?)?X1(?)???2,?3TB(0)?B0B(1)?B0(1?r), (2.5)

即

(2.6)

从(2.6)中可以解出(注意(2.3)):

X1(?2)s3?X1(?3)s2?z??0B0(1?r)(s3?s2)???z?X1(?3)?X1(?2)1?s3?s2??z0B0(1?r)?z1s2?X1(?2)??z0B0(1?r)?z1s3?X1(?3)

(2.7)

上述分析表明,当(2.3)成立时,任何未定权益X1都是可以复制的,因此,(2.3)保证了市场的完备性.由(2.7) ,我们可以进一步得到未定权益X1在时刻t =0的价格为

X0?z0B0?z1s1??11?r(X1(?2)s3?X1(?3)s2(1?r)(s3?s2)X1(?2)??s1X1(?3)?X1(?2)s3?s2s3?(1?r)s1s3?s2(1?r)s1?s2s3?s2

这里,

q1?0X1(?3))?(1?q0)[X1(?2)]?q0[X1(?3)]111?r1?r (2.8)

(1?r)s1?s2s3?s2 (2.9)

对于上述的单时段市场,我们有下面简单的结果.

命题2.1 上述单时段市场无套利当且仅当由(2.9)定义的q10??0,1?

证明: 上述单时段市场无套利?五,定理3.7该市场中的存在一个风险中性概率测度Q

,其中Q??3??q10??0,1?,

1?1??0??EQ??S????1?q10??s?s?qs?s21131????0???1?r??1?r?Q??2??1?q1?q1?00?1?r?s1?s2s3?s2??0,1?.▲

容易知道,q10??0,1?等价于

s2?s1(1?r)?s3, (2.14)

而(2.8)可以写成

X0?EQ[X11?r], (2.15)

二、多时段市场“二叉树模型”

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数学金融学第七章多时段市场问题

1.多时段市场“二叉树模型”

下面,我们来考虑多时段市场“二叉树模型”的情形.

设给定交易时刻0,1,2,?,k,在交易t?i(0?i?k)时刻, 有2i个状态,且在交易时刻t?i上每个状态发生情况下,交易时刻t?i?1可能发生也只发生可能另外两种状态(节点).记

iii?1Ni??2,2?1,?2?1?,0?i?k 又令交易t?k时刻,第jk?2k?1状态(jk?Nk)为Akj??jk?k?1?2kk?,记????,?,?,?12k2k?, 令,

Fk?F=??A|A为?的子集?,则F是一个?-域,而F?k?Akj|Akj??jk??k?1?2k?,jik?Nk?是Fk的

一个剖分.并将第jk?2k?1状态记为节点jk,jk视同于Akj,又设交易时刻t?i?0?i?k?1?的

ji?2?1状态(ji?Ni)为Aiiij?1?2i?Ai?1ii2(j?1?2)?Ai?1ii2(j?1?2),记生成元集F?i??Aij|ji?Ni?产生的

域为Fi,将第ji?2i?1状态记为节点ji,ji视同于Aij,当k?3时,见下图2.2

15 A315={ω8} 7 71514 A2= A3∪A3={ω7,ω8} 14 14A3={ω7} 3 A13=A26∪A27={ω5,ω6,ω7,ω8}

13 A313= {ω6} 6 A26= A313∪A A312={ω5,ω6}

A312= {ω5} 12 123 A0= A1∪A1={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,ω7,ω8}=Ω 1 A311= {ω4} 11

5 A25= A310∪A311={ω3,ω4} 我们假定 is?sj2j?Ni i?1,2,?,k 2j?1,,10 (2.18) A10 3=(ω3) 245,

现在假定股票的 ( A1= A2∪A2={ω1,ω2,ω3,ω4} 2 二叉树)价格过程为: S ( j ) ? s j?Nii?0,1,2,?,kij9 , , 9 A3=(ω2) ,

(2.19) 4 A24= A38∪A39={ω1,ω2} 8 A38= {ω1} 第 10 页共 40 页

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数学金融学第七章多时段市场问题

图2.2

记

?i?A?ijiji?2,2?1,?,2iii?1?1,i?0,1,2?,k?, (2.16)

在时刻t =0,只有一个(已知的)状态A10(节点1),时刻t=1有两个状态A12(节点2)A13(节点3)别发生的概率分别为p1和p2( p1?p2?1),时刻t =2的情形是这样的,如果状态A12(节点2)在时刻t=1发生,则状态A2(节点4),(节点5)将分别以概率发生p4和p5(p4?p5?1),而如果状态A13在422时刻t=1发生,则状态A6(节点6)A7(节点7)将分别以概率发生p6和p7(所以p6?p7?1);依此类推知,时刻t =i的每个节点ji?Ni,时刻t =i + l,再分叉为两个节点,标号为2ji和2ji?1.

令

Si?ji??S?i,??,??Aii (2.16.1)

j故, Si?ji??表示在时刻t =i,当状态Aij发生时的股票价格.

i没??Ak??,节点1到节点jk的路径是惟一的,此路径以节点序列j0,j1,?,jk表示,令 jkk?1P?????i?0pji?1,P?A???P???,A?F??A,

则,P是??,F?一个概率测度(证明类似()).综知上述我们称上述的节点集N0,N1,?,Nk和所有

Si?ji?,ji?Ni,i?0,1,2,?,k(满足(2.18)和(2.19 ))的总体为一个在带域流的概率空间

??,F,?F?ii?0,P?上的多时段市场的二叉树模型.

2. 多时段市场“二叉树模型”的欧式未定权益的定价

现在,再来考虑无风险的债券.对于多时段情形,我们设时间区间[i,i+1)上的无风险利率为ri它是依赖于i 的,则债券价格过程为：

i?1Bi?B(i)?B0?(1?rj)j?0,i?0. (2.20)

现在,我们考虑时何区间[0,k]上的一个欧式未定权益,它在到期时刻t=k的损益为Xk:

,需要注意的是时刻t=k可能发生的状态全体就是?k(它等同于Nk),因此,Xk是定义于

Nk?RNk的一个函数.假定该未定权益是可复制的,我们首先希望找出该未定权益在时刻t=k-1的价

格Xk?1: Nk?1?R,然后,Xk?1又可以看作时间区间［0,k-1]上的一个欧式未定权益.按照上面的思路,我们可以求出它在时刻t=k-2的价格,以此类推,最终可以求出X0——未定权益Xk在时刻t=0的价格.现在,让我们来具体实现这个思路.对每个节点j?Nk?1.它的两个分叉节点是

2j,2j?1?Nk.考虑以j,2j和2j十l为节点的一个二叉树枝及未定权益Xk|?2j,2j?1?(即Xk在?2j,

2j?1??Nk的限制).注意到在节点j?Nk?1和2j,2j?1?Nk处的股票价格分别为sj,s2j,s2j?1,

类似于单时段情形(见(2,8)和(2.9)),我们可以定义

qjk?1?(1?rk?1)sj?s2js2j?1?s2jk?1, (2.21)

11?rk?1Xk(2j)]?qj[k?1Xk?1(j)?(1?qj)[11?rk?1Xk(2j?1)], (2.22)

然后,我们可以一般地引人下述定义：

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?i?1?1?ri?1?sj?s2j;?qj?s2j?1?s2j??Xi?2j?Xi?2j?1??i?1i?1Xj?1?q?q; ?????i?1jj1?r1?ri?1i?1??j?N,i?k,k?1,?,2,1.i?1??? (2.23)

而复制策略为(比较(2.7)):

Xi?1(2j)s2j?1?Xi?1(2j?1)s2j?i?z0(j)?Bi(1?ri)(s2j?1?s2j)???zi(j)?Xi?1(2j?1)?Xi?1(2j)?s2j?1?s2j? (2.24)

当(2.18)成立时,上面(2.23)和(2.24)所有的量均是可以明确定义的.上面给出的是递推公式,可以容易地计算出未定权益在到期时刻t=k以前任何一个时刻t=i－1的价格和相应的复制策略.我们假设(比较(2.14))

s2j?sj(1?ri)?s2j?1j?Nii?0,1,2,?,k?1,,,

(2.25)

上式保证：

(2.26)

类似于单时段情形,我们可以证明(2.18)等价于市场的完备性,而(2.25)等价于市场无套利.

3. 一个带域流新的概率测度空间

构造F上的一个序列的概率测度Qi,i?1,2,?,k.对??Aij??,对应节点1到节点ji的

i0?qj?1j?Nii?0,1,2,?,k?1,,,

i路径是惟一的,此路径以节点序列j0,j1,?,ji表示,其中,

jl?Nl,0?l?i,j0?1. (2.27) 此路径上的相邻两节点jl和jl?1之间的路径段都联系着一个(由(2.23)定义的)概率qlj(当jl?1l为奇数时)或1?qlj(当jl?1为偶数时).我们在Ni?0?i?k?1?上定义Qi如下:

lQi????QiA?iji??Q?j???iil?0i?1jl?1?1j??1l??1?l?1?1????1?lq??1?q??jj22?ll?????i??,??Aji??, ????ji?Ni,1?i?k?1;Q0?1??1

(2.28.1)

显然,有

1i?1?Q?2i?2m??1?qi?Q2?m?;?iii?1?2?2mi?11?i?k,0?m?2?1. ?ii?1i?1Qi?2?2m?1??qiQi?1?2?m?.?2?2m?1??? (2.28.2)

下面验证Qk是F上的一个概率测度.我们仍然从Nk出发,由于Nk??2k,2k?1,?,2k?1?1?,并且对于节点2k?2m和2k?2m?1来讲,从节点1到它们的路径只有最后一段不相同,从节点1到它们共同的前一个节点2k?1?m的路径是相同的.因此,我们有(注意Nk中共有2k个节点)

k?12ijk?1?1k?1k?22ik?1?1k?1k?2?jk?NkQk?jk????qij?Nki?0??m?0q2k?2m?qi?0?2k?2m?i??m?0q2k?2m?1?qi?0i?2k?2m?1?i

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2k?1?1k?2i2k?1 ? ?m?0??q?i?0?m?i?qk?12k?1?2mk?1?q2k?1?2m?1???j?Nk?1Qk?1?j???j?Nk?2Qk?2?j???

?j?N1Q1?j??Q1?2??Q1?3??q2?q3?1, (2.30)

00而每个Qk????0,所以Qk是F上的一个概率测度.同理,Qi是Fi上的一个概率测度.令Q?Qk 则,上面构造的??,F,?Fi?i?0,Q?是一个带域流的新的概率空间. 令

Xi????Xi?ji?,??Aiij?ji?Ni??F?i,0?i?k, (2.36.1)

其中Xi?ji?由(2.23)给出.

当??Aij?ji?Ni?时,Si???和Xi???分别是时刻i的结点j的股票价格和未定权益值,不

i难知随机变量Si???、Xi???均是Fi-可测,0?i?k.

定理2.2 假定(2.25)成立,而qij?0?i?k?1,ji?Ni?由(2.23)给出.假没Xk:??R为?0,k?

i上的一个欧式未定权益在到期时刻的损益,Xi?0?i?k?1?由(2.23)给出,Si????0?i?k?和

Bi?0?i?k?分别由(2.36.2)和(2.36.1)给出,则BiSi和BiXi都是Q-鞅.特别地,未定权益Xk在

?1?1任何时刻i的价格为

?1?. Xi?BiEQ??BkXk|Fi? (2.37)

, (2.38)

证明 (i) 证明Bi?1Si是Q-鞅.为此只需证明

?1?1Bi?1Si?1????EQ?BSi|Fi?1?i?????,?????1?i?k设???,则?|Aij?1?F?i?1,ji?1?Ni?1,有??Aij?1

i?1i?1?1.17??2.33.1??EQ??BSi|Fi?1?????1i??2.36.1?1i?1QAi?1?j?ji?1???Ai?12j?Aii?1?BiSi????Q?????12j?1?Aii?1

?Bi?1ji?1i?1QA???s2jQAi2ji?1?s2j?1QAi2ji?1?1? ??????

?2.35??2.36???2.23?BiBi?1?1?1Qi?1?ji?1?1?ri?1?1i?1i?1?s2j?1?qij?1?Qi?1?ji?1??s2j?1qij?1Qi?1?ji?1?? ????2.23?i?1?s?qji?1s2ji?1?1?s2ji?1?2ji?1????

?2.36.1? ?Bsj?1i??1Bi?1Si?1???.

?1 (2.39)

i?1?X?2j?Q?Ai?????BX|F(ii) EQ?ii?1ii?12j??i?1Q?Aj??i?1Bi??X?2jii?1i?1?QA2ji?1?1????

??X?2j?1?qi?1?X?2j?1?qi?1?ii?1ji?1ii?1ji?1?1?ri??1i?1Bi?1??

?2.23??BXi?1?ji?1??2.36.2??Bi?1Xi?1???,

?1 (2.40)

故Bi?1Xi是Q-鞅,且(2.37)成立.▲

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我们注意到,若取i=0,且设B?0??1,则(2.37)变为

?1? X0?EQ?B?1X1F|?0??X1??E?, (2.4l) ?B1?这恰好就是第5 章中给出的单时段未定权益的风险中性定价原则下所确定的价格.由上面方式确定的概率测度Q 被称为该证券市场的一个等价鞅测度,我们将在下面一般地讨论它.

§7.3 多时段市场的一些性质以及欧式未定权益的定价

现在,我们接着本章第l节,详细地讨论多时段市场的一些性质,以及这种市场中的欧式未定权益的定价问题.

一、多时段市场的模型

给定有限个时刻0,1,2,?,k和一个带域流的概率空间??,F,?Fi?i?0,P?,其中,?????1,

?,?mk,F?Fk??,AA为?的子集????,Fk的剖分为:F?k??AkjAkj???j?,j?1,?,mk?,域

iFij?0?i?k?1?为时刻i的事件域,其生成元集为F?i??A1i,Ai2,?,Aim?,由(1.5)知,作为Fi中元

都可以表示为F?i?1中元素Al?Aij??1?l?lij?的集合的并集,即

Aji?1lijAi??A?All?1ji?1?, ?A?Alji?1?l?lji,1?j?mi???j??Ai?11?j?mi?1???mi?t?1???. l??Fi?1??ti (3.1)

我们视Akj?1?j?k?等同于?j.

以本章第2节的二叉树模型为例,Al?Aij?恰好是由节点Aij分叉出来的后续节点,而lij恰好是后续节点的个数.我们称每个Al?Aij?为事件Aij的后续事件,而称Aij为Al?Aij?的前期事件. 值得注意的是,任何基本事件的前期事件是惟一的.而一个事件的后续事件不一定惟一.由于股票价格S?????S1???,S2???,?,Sn????是?Fi?i?0-适应的,根据推论1.3,在每个Aij上是常值向量,记作S?i,Aij?,所以,

S?i,??=S?i,Ai?,??Ai,0?i?k,1?j?mi

jj (3.2)

这也恰好表明,在时刻i,当基本事件Aij发生时,股票价格S?i,Aij?是完全确定的.细心的读者也许发现,上述框架可以看作是一个多叉树模型,它是第2节中二叉树模型的一个自然推广.现在,对于i?1,我们考察在时刻i -1 事件Aij?1发生时,预测时刻i股票价格的情形.在时刻i -1,已知股

jjl票的价格为S?i?1,Aij?,而在下一个时刻i,事件Aij?1有个li?1后续事件,因此,股票的价格有i?1种

j可能.S?i,Al?Aij?1???Rn,1?l?li?1类似于第5章中的单时段情形,我们作如下等同:

S?i,Ai?1?j?Si,A1Aj?i?1??1????j?Si,Ali?1?Aj?i?1?1????Sni,A?1?A??ji?1j?Sni,Ai?1?Ai?1?lji?1ln??l??j?T??Si,A1Aj?i?1?????????Tjli?1??jSi,A?Ai?1??????????jl?n??R?i?1 , (3.3) ????其中S?i,A?Alji?1????S?i,A?A??,?,S?i,A?A???1ji?1Tj,1?l?li?1.

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j1jj?Si,A1Aj?S1?i?1,Ai?1??Sni,A?Ai?1??Sn?i?1,Ai?1???1i?1???j? ?S?i,Ai?1????????jjll?Si,Ai?1?Aj??S?i?1,Aj??Si,Ai?1?Aj??S?i?1,Aj??i?11i?1ni?1ni?1?1??jTli?1?njj ?, (3.4) ?Si,Ai?1?1Si?1,Ai?1?R??jTjn此处,1??1,1,?,1??Rli?1,并需要注意S?i?1,Ai??R. 1?????????????对于债券来讲，我们假定利率过程r???是?Fi?i?0-适应的,即r?i?是Fi-可测的(需要注意, 如果r???本身是确定性的,则它天然是?Fi?i?0适应的),从而,在时刻i-1事件Aij?1发生时,时间区间[i-1,i]上的利率(记作)r?i?1,Aij?1?是完全确定的.另一方面,在时刻i-1 事件Aij?1发生时,债券在时刻i-1 的价格(记作)B?i?1,Aij?1?是已知的.这样,在时刻i-1人们就能完全确定债券在i的价格(比较(1.12)):

jjjB?i,Ai?1??B?i?1,Ai?1??1?r?i?1,Ai?1??, ?? (3.5)

换言之,债券价格过程B???是?Fi?i?0-可料的(即r?i?是Fi-可测的).我们记债券?i?1,i?上的增益为(比较(1.25)):

?B(i,Ai?1)?B(i,Ai?1)?B(i?1,Ai?1)?B(i?1,Ai?1)r(i?1,Ai?1)jjjjj, (3.6)

?z0????现在,对于自融资投资策略Z??????,由它的?Fi?i?0? z??????j-可料性(Z?i?关于Fi?1-可测)得知,

Z?i?在每个Ai?1上均为常值向量(推论1.3).从而,我们可记

?z0?i,Aij?1???z0?i,???j?,??Aj,1?l?lj,1?j?m,i?1, Z?i,??????Z?i,Ai?1???i?1i?1i?1j? z?i,????? zi,A??i?1???? (3.7)

这样,由(1.23)可得,如果在时刻i-1事件Aij?1发生,则策略Z???在时刻i-1的价值(记作)

V?i?1,Ai?1,Z??Rjj可有如下表示:

jjjTjV?i?1,Ai?1,Z??B?i?1,Ai?1?z0?i,Ai?1??S?i?1,Ai?1?z?i,Ai?1?,

(3.8)

jjjZ???在时刻i的价值有li?1种可能(依赖于Ai?1因为事件Aij?1有li?1个后续事件,故此时预测策略

的后续事件Al?Aij?1?):

nV(i,A(Alji?1),Z)?B(i,Aji?1)z0(i,Aji?10ji?1)??Sa?1a(i,A(Ai?1))za(i,Ai?1)lji?1TljjVi,A?l?A?,Z??B?i,A?z?i,A??S?i,A?A??ji?1ji?1 jz?i,Ai?1?, (3.9)

记

?Vi,A1Aj,Z?i?1??jV?i,Ai?1,Z?????j?Vi,Ali?1?Aj?,Zi?1????????j??Bi,Ajzi,Aj1?Si,Ajzi,Aj?Rli?1,(3.10) ????????i?10i?1i?1i?1???第 15 页共 40 页

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其中,1??1,1,?,1??Rl,S?i,Aij?1??Rl为(比较(1.26))

?V?i,Aji?1?Tji?1j?ni?1由(3.3)给出.这样,投资策略Z???在[i-1,i ]上的增益

ji?1,Z??V?i,A ??B?j,Z??V?i?1,A?jji,Ai?1?zi,A1?S??0?i??1ji?1?,Z?1

i,i?A?1z?j, i,i?A?1j (3.11)

对于相应的贴现过程,我们有(注意(1.28))

S??i,A??ji?1?S?i,Ai?1?B?i,Ai?1?j?S1?i,Aij?1?S2?i,Aij?1?Sn?i,Aij?1???, (3.12) ??,,,j?B?i,Aj?B?i,Aj?B?i,Ai?1??i?1i?1??jjT?S?i,A?ji?1ji?1S?i,Ai?1??S?i?1,Ai?1???T?jj, ?S?i,Ai?1??1S?i?1,Ai?1???1jjB?i,Ai?1?B?i?1,Ai?1?,Z??V?i?1,Ai?1,ZjV??i?1,A??B?i?1,Ai?1?jj?z0?i,Ai?1??Sj??i?1,A?z?i,A??R, (3.13)

ji?1ji?1T V因此,

?V?i,Aji?1,Z??V?i,Ai?1,ZB?i,Ai?1?j?j??z0?i,Aji?1??1?S??i,A?z?i,A??Rji?1ji?1?li?1j,

???V?i,Ai?1,z??j?i,Ai?1,Z??Vjj??i,Ai?1,Z??Vj?ji?1,A,Z1?? i?1??S?i,Ai?1?z?i,Ai?1?,

(3.14)

值得注意的是?V??i,Aij?1,z?仅仅依赖于z???.而不依赖于z0???.

二、多时段市场的无套利和等价鞅测度

1. 多时段市场的无套利

下面的讨论都基于上述的市场模型,我们引人下述概念.

定义3.1 设0?i?i?,市场在?i,i??上存在套利,如果存在?i,i??上的一个自融资(见(1.24)) 投资策略Z???使得

V?i,?,Z??0,V??i?,Z?,??0?,??Zi??,??E,?V??, 0 (3.15)

此时,Z???称为?i,i??上的一个套利策略。当市场在?i,i??上不存在套利时,我们称市场在?i,i??上无套利.

值得注意的是,只有在自融资策略的范畴中谈论套利策略才有意义.对于一个多时段市场,我们可以问一个非常自然的问题:一个给定时间区间上市场的套利存在性与该区间的子区间上市场套利的存在性之间有什么关系?下面的命题给出了答案,这是多时段市场特有的结果。

命题3.2 假定市场在?i,i??上有套利,则在任何包含?i,i??的时间区上该市场有套利.

证明: 设市场在?i,i??上有套利,Z???为一个套利策略(定义于?i,i??).假定?j,j????i,i??,我们定义?j,j??上的策略如下:

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数学金融学第七章多时段市场问题

??0,0?, t?i;???t???Z?t?, i?t?i?;, Z???V?i?,?,Z?i???,0,t?i?.??????在?j,j??上是自融资的,并且,注意到B???关于t是单调上升的,我们有易见,Z (3.16)

??V???V?i,?,Z??0, ?j,?,Z???V?i?,?,Z?B?j?,???0,???, (3.17) V?j?,?,Z????E?V?i?,Z?B?j????E?V?i?,Z?B?i????0 E?V?j?,Z??????????是一个?j,j??上的套利策略.▲ 因此,Z反过来的结论叙述起来有点繁琐.从前面的讨论,我们看到,对于固定的i?1,考虑每个

Ai?1(1?j?mi?1),它的后续事件全体为Aj??A?|1?l?l? ?????lji?1ji?1ji?1F?i.易见,

Ti?1?Ai?1;Aj?ljl?A?,1?l?l?, (3.18 )

ji?1ji?1lji?1ji?1j构成一个以Aij?1为起始点的一个树叉分枝.对每个1?l?li?,我们定义 1Pi?1A??A???P?A?A??/P?A?, (3.19)

ji?1为从节点Aij?1到节点Al?Aij?1?的概率.这样就得到了与第5章中完全一样的一个单时段市场:

?Tji?1;Pi?1A??A??,S?i?1,A?,S?i,A?A??,1?l?l?, (3.20)

lji?1ji?1lji?1ji?1它称为原来多时段市场的一个单时段子市场.现在我们来叙述和证明命题3.2 的逆命题了.

命题3.3 假如多时段市场的每个单时段子市场均无套利,那么这个多时段市场必无套利. 证明: 反证法.假如在[0,k]上多时段市场有套,则存在套利策略Z???使得

V?0,Z??0,V?k,?,Z??0,????,

E??V?k,Z????0.

(3.21)

任取一个Akj?1?F?k?1,考虑其相应的单时段子市场

?Tjk?1;Pi?1A??A??,S?k?1,A?,S?k,A?A??,1?l?l?, (3.22)

ljk?1jk?1ljk?1jk?1我们分两种情形:

情形1. 如果

V?k,?,Z??0,??Al?Akj?1?, (3.23)

则 V?k,?,Z??V?k,Al?Akj?1?,Z??0,

则由单时段子市场(3.22)的无套利性可知

jjV?k?1,?,Z??V?k?1,Ak?1,Z??0,???Ak?1. (3.24)

情形2. 如果

V?k,?,Z??0,??Al?Akj?1?, (3.25)

lj,?AZ,?? 0则 V?k,?,Z??V?kAk?1?则由单时段子市场(3. 22)的无套利性可知

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数学金融学第七章多时段市场问题

jV?k?1,?,Z??V?k?1,Ak?1,Z??0,???Ak?1

j (3.26)

由(3.21)可知,至少存在一个j使得情形2出现,因此综合(3.24)和(3.26)可得:

V?0,Z??0,V?k?1,?,Z??0,????,E??V?k?1,Z????0, (3.27) 再利用归纳法,最终可以得到V?0,Z??0,与(3.21)矛盾.▲ 由第5 章的结果，我们知道每个单时段子市场无套利当且仅当它有一个风险中性概率测度.现在,我们要据此来构造整个时间区间上的一个“风险中性概率测度”.任取一个Aij?1?F?i?1以及它的后续事件全体?Al?Aij?1?|l?1??F?i,假定由它们构成的单时段市场是无套利的,则存在一个风险中性概率测度,定义于事件族?Al?Aij?1?|l?1?.显然,它是依赖于Aij?1的,所以,我们将它记作Q?i,Aij?1,??, 作如下等同：

Q?i,Aji?1T,???Qi,AT??ji?1,A1?A??,?,Q?i,Aji?1ji?1,Ali?1j?A???ji?1?Rli?1 j, (3.28)

由定义,下述关系式成立:

Q?i,Aji?1,???Tj1?1,Q?i,Ai?1,???S??i,A??0, (3.29)

ji?1上式也可写成:A?F?i?1

S?i,A?A???S?i?1,A?1??0 (3.30) ?Q?i,A,A?A???1,?Q?i,A,A?A?????ll?l?l?1l?1?,存在惟一的生成元序列: 下面,我们定义?上的概率测度如下:对任何A?Fk1??A0?A11?A22??Akk??1?Akk?A1jjjj, (3.31)

引入映照?,它将任何A?=Aii??F?i?0?i?k?映成A在时该i?1的前期事件(惟一),从而(?0j为恒等映照,即?0?A??A).即

?A=Aji=?0Aji??0?A?;ii??Aji?1??Aji??A;??i?i?1????;? (3.32) ?ji?tjijit(?(?(?(Ai))??(?(?(?(A));?Ai?t??Ai?????????????tt????;?1i??A0???A???.??????并且,

?AAii?????Aljjii,?Ai?F?i,0?i?k,1?l?li, (3.33)

jj上面(3.33)的意思是,任何F?i中的事件Aij,其后续事件的前期事件是该事件Aij本身,这是显然的.现在对对???????1,?,?m?,?A?F?k,有A????,则定义(比较(2.28 )),

kkQ?????Q?A???i?1Q?i,?k?1?i?A?,?k?i??A?????k?i??i?1kji?1jijk??, Qi,Ai?,A,A?A?F1ikk??? (3.34)

j(??A?=Akj00????k?1?A?=A11j?????A?=Aiij????11?A?=Akk??1j??0?A?=Akk

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?A)

另一方面,对任何A?Fk,存在互不相交的A,A,?,A?F?k使得A??Aj,我们自然地

12lj?1l定义

Q?A???Q?A?, (3.35)

jj?1l我们有下述重要的结果.

定理3.4 由(3.34)—(3.35)定义的Q 是??,Fk?上的一个概率测度,它满足

Q?A??0,?A?F?k, (3.36)

i?Q?A???i?1Q?i,?i??1?i??A?,?i?i?A??,?A?F?i?,1?i??k, (3.37)

并且对域流?Fi?k?i?0,贴现股价过程S????是一个Q-鞍.

证明: 10 由(3.34)容易看到(3.36)是成立的.

20 我们来证明(3.37).由(3.34)知(3.37)对i??k成立.

今对任何的Akj?1?F?k?1,由Akj?1??Al?Akj?1?、Al?Akj?1??F?k,1?l?lkj?1,

l?1lk?1j故 ??Al?Akj?1???Akj?1,则?k?1?i?Al?Akj?1????k?i??Al?Akj?1????k?i?Akj?1?,所以

Q?Ajk?1????3.35?????A??QAljk?1l?1jlk?1lk?1j?3.34?lk?1jk?l??l?1i?1jk?1Qi,?k?i?k?1?i?A?A??,??A?A???

ljk?1k?iljk?1jk?1ljk?10ljk?1???Q?i,?l?1i?1k?ii?1k?1k?1?i?A?A??,??A?A???Q?k,??A?A??,??A?A???

lk?1?i??Q?i,??A?,?jk?1k?1?A???Q?k,Ajk?1l?1lk?1jjk?1,Al?A??

jk?1?3.29???Q?i,??A?,?k?ijk?1i?1k?1k?1?i?A??, (3.38)

jk?1这就是i??k?1时的(3.37)式.运用递推方式,我们可以证明(3.37).

30 现在我们证明Q为?上的一个概率测度. 由

F?k?Al?Akj?1?|Akj?1?F?k?1,1?l?lkj?1??Akj|1?j?mk?,则

???Q????????jQ?AkjkAk?F?klk?1j????Q?i,?Ak?F?kjkk?1?i?A?,??A??

jkk?ijkljk?1i?1?jAk?1?F?k?1l?1???Q?i,?i?1k?1k?1?i?A?A??,??A?A???

ljk?1k?ilk?1j?jAk?1?F?k?1i?1??Q?i,?k?1k?1?i?A?A??,??A?A????Q?k,Aljk?1k?iljk?1l?1jk?1,Al?A??jk?1

?jAk?1?F?k?1i?1??Q?i,??A?,?k?ijk?1k?1?i?A??

jk?1第 19 页共 40 页

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?jAk?1?F?k?1?Q?Ak?1????jjA1?F?1?Q?A1j???Q?1,?,A1j??1, (3.39)

, (3.40)

jA1?F?140 证明S????是一个Q-鞍.我们只需证明

??????EQ??S?i?|Fi?1??S?i?1??EQ??S?i?|Fi?1??0,1?i?k??下面,我们仅对i=k进行证明(一般情形是类似的).由命题1.5可得: 对????,?Aij?1?F?i?1,有

??Ai?1,则

j??1????S?i,????S?i?1,????Q?????Iw??? ??EQ????w??S?i?|Fi?1???????Ai?1w?1Q?Ai?1????Awi?1??1?S??i,????S??i?1,????Q???? ????jjQ?Ai?1?li?1jjl???Ai?1??A?Ai?1?mi?l?1?1Q?Ai?1?jS?i,A?A???S?i?1,A??Q?A?A?? ?????lji?1?ji?1lji?1l?1jli?1?3.37??1Q?Ai?1?j??Q?w,?l?1w?1li?1jii?1?wS?i,A?A???S?i?1,A?? ?A?A??,??A?A???????lji?1i?wlji?1?lji?1?ji?1?1Q?Ajji?1??Q?w,?w?1i?1i?w?A?,?ji?1i?1?w?A???

ji?1l3.30???i?1???jlj?lj?j????Qi,Ai?1,A?Ai?1??Si,A?Ai?1??S?i?1,Ai?1????0,

???l?1????? (3.41)

于是S????是一个Q-鞅.▲

2. 多时段市场的等价鞅测度下面,我们引进一个重要的定义.

定义3.5 称Q为市场的一个等价鞅测度,如果Q是??,Fk?上与P等价的概率测度(即,对每个生成元Akj?F?k,都有Q?Akj??0),并且股票的贴现价格过程S????是一个Q-鞅.

由定理3.4知,由(3.34)——(3.35)定义的Q是所考虑多时段市场的一个等价鞅测度.我们再来进一步看一下等价鞅测度Q的金融学意义.由于S????关于Q是一个鞅,故对任何时刻t=i ,有

???S??0??EQ?S??i??EQ?Si|F??0??????, (3.42)

上式表明,假如事件是按照概率Q发生的,那么当前时刻t=0所能预期的任何一个将来时刻t=i

的股票贴现价格和当前的(贴现)价格完全一致的.事实上,还有更强的结论:在任何一个时刻t=i

??所能预期的任何一个时刻i以后的时刻l的股票贴现价格EQ??S?l?|Fi?与时刻i的股票贴现价格S??i?是完全一致的.也就是说,如果事件是按照概率Q发生的,那么在贴现的意义下,股票市场是“绝对公平”的,即没有期望意义下的“赔”和“赚”,因此,人们也称这样的Q是“风险中性”的。

值得注意的是,尽管Q和P是等价的,但是一般而言,它们是不相等的.从而,股票市场一般来说不是风险中性的.下面的命题很有用.

命题3.6 设Q是一个等价鞅测度,则对任何(?Fi?i?0-可料的)投资策略

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Z????z0???,z????T?T

它的贴现价值过程V??i,Z?是一个Q-鞅.

????证明：EQ??V?i,Z??V?i?1,Z?|Fi?1??EQ??S?i?z?i?|Fi?1?

???3.14?T 从而,V??i,Z?是一个Q-鞅.▲

z???可料性?EQ??S???i?T|Fi?1?z?i??Q等价鞅?0, (3.43)

在单时段市场的讨论中,我们有市场的无套利性和风险中性概率测度存在性之间的等价关系.对于多时段市场,我们也有类似的结果,它包含了单时段的情形.

定理3.7 多时段市场无套利当且仅当市场存在等价鞅测度.

证明: ?: 利用命题3.2和3.3,我们可得市场无套利当且仅当每个单时段子市场无套利. 然后,再利用定理3.4可知,此时市场存在等价鞅测度.

?: 设市场存在一个等价鞅测度Q.假如市场有套利,则存在一个套利策略Z???使得(3.21)

??,则?关于F0可测知.又F0???,??,于是由定义1.4知成立.令??EQ??V?k,Z?????EQ?V??k,Z?|F0?, Vk,Z?=EQ???????再由等价鞅测度的定义,

???EQ?V??k,Z?|F0??V??0,Z??V?0,Z??0, EQ?Vk,Z???????则 EQ?V?k,Z????? (3.44)

jAk?F?k?V??k,AZ,?Qkj?jkA?? 0再由Q和P的等价性以及V??k,Z?的非负性(见(3.21)的第二式),我们可得

V?k,Z??B?k?V??k,Z??0, (3.45)

这与(3.21)中第三式矛盾.▲

假如记L为(多时段)市场的等价鞅测度全体,则上述定理说:市场无套利当且仅当L? ?另外,容易看到,当k=1时,等价鞅测度就是第5章中的风险中性概率测度,而上述结论恰为单时段市场情形下的相应结论.

现在我们证明一个命题,它说明了(3.34)——(3.35)那种定义Q的方式的某种合理性.

?是??,F?上与P等价的概率测度,定义命题3.8 设QQi,A?ji?1,Al?A???ji?Al?Aj?Qi??Aj?Qi?1??,?1?i?k,1?j?mi?1,1?l?li?1, (3.46)

jj(1) Q?i,Aij?1,??是?Al?Aij?1?,1?l?li?1?上的一个概率测度;如果再按照(3.34)——(3.35)定

义Q, 则

??A?,?A?F, (3.47) Q?A??Qk??L,则每个单时段子市场Tj?Aj,Al?Aj?,1?l?lj均无套 (2) 如果L??,并且Q?i?1i?1i?1i?1?利,且由(3.46)定义的Q?i,Aij?1,??为该单时段子市场的一个风险中性概率测度.

证明: (1) 对任何的Akj?F?k由定义(见(3.34)——(3.35)和(3.46)),我们有

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Q?Ajk???Q?i,?i?1kk?1?i?????A?,??A????Q??A??/Q?jkk?ijkk?ijki?1kk?1?i?A??

jk??Aj?/Q??k?Aj??Q??Aj?/Q?????Q??Aj??Qkkkk??, (3.48)

于是(3.47)必成立.

??L,对??Aj,我们有(由命题1.5) (2) 当时Qi?1Smi??i?1,A??S?i?1,???Eji?1??Q?S??i?|Fi?1???? ????1?????EQS?i?|Fi?1?????Q?????IAiw?1??? ?????w???w?1Q?Ai?1????Awi?1??11???????????ESi,?|FQ?????i?1???Aj???Aj??jQjQQli?1S?????? ?i,???Q???Ai?1i?1???Ai?1?jjl?A?Ai?1?l?1i?1??S?i,A?A???lji?1l?1li?1j?Al?Aj?Qi?1??Aj?Qi?1????S?i,A?A??Q?A?, (3.49)

?lji?1ji?1l?1li?1j?jj?S?i,Ai?1???0,这表明Q?i,Ai?则,EQ?,?为该单时段子市场的一个风险中性概率测度.▲ 1???三、欧式未定权益的定价

现在来讨论欧式未定权益问题.

定义3.8.1 设Xl为一个Fl-可测的随机变量,0?l?k,我们将它设定为一个欧式未定权益在到期时刻t=l 的损益.为了方便起见,有时我们直接称Xl为(在时刻t =l 到期的)未定权益.类似于前面所讨论的,我们称该未定权益在[i,l]上是可复制的,如果存在一个定义于[i,l]的自融资投资策略Z???,使得

V?l,?,Z??Xl???,????, (3.50)

此时,Z???称为Xl的一个复制策略,对任何的j?i,i?1,?,l,V?j,?,Z?称为Xl在时刻j的价格.

下面的结果告诉我们,等价鞅测度可么帮助我们对未定权益进行定价. 命题3.9 设L?Xk???,则未定权益Xk在[0,k]上可复制当且仅当Q?EQ??Bk????不依赖于

?X?kFi?为该未定权益在时刻i Q?L,此时,B?i?EQ?Bk??????的价格.

证明: ?: 设Xk在[0,k]上可复制,则存在复制策略Z???,使得(3.50 )成立(l=k).对任何的

Q?L,由命题3.7(3.44),

????Xk????V?0,Z??V?0,Z??EQ??V?k,Z?|F0??EQ?V?k,Z???EQ?Bk?????, (3.51)

由于上式的最左面不依赖于Q?L,因此,最右面也不依赖于Q?L.

?: 10 证明对于Tkj?1??Akj?1,Al?Akj?1??,?1?j?mk?1,1?l?lkj?1?的单时段子市场上,未定权

益Xk在每个Tkj?1上可复制.

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假设未定权益Xk?Akj?1,Al?Akj?1??1?l?lkj?1在某个Tkj?1上不可复制. 由于L??,我们

??L.由命题3.8知,如(3.46)定义的Qj????Qk,Aj,?是单时段Tj上的一个任意固定一个Q?k?1?k?1k?1??风险中性概率测度.于是由第5 章的结果,由于Xk?Akj?1?在Tkj?1上的不可复制性,单时段子市场

Tk?1除了Qk?1以外,至少还存在另一个(定义于Ajj??A?|1?l?l?的)风险中性概率测度

ljk?1jk?1jk?1?jAl?Aj??Q?jk,Aj,Al?Aj?Qk?1k?1k?1k?1k?1jEQj?Xk?Ak?1????k?1?lk?1j????,l?1,?,llkj,使得

?Q?A?A??X?A?A??

jk?1ljk?1jk?1l?1?E?j?Xk?Akj?1???Qk?1??w现在对?Ak?F?k,我们定义

??A?A??X?A?A??, (3.51.1) ?Qjk?1ljk?1lkjk?1l?1lk?1??Aw?Qk??Aw?,Aw?Al?Aj?,1?l?lj;?Qkkk?1k?1??? (3.51.2)

jjljjwljj??Qk,Ak?1,A?Ak?1?Q?Ak?1?,Ak?A?Ak?1?,1?l?lk?1.??k?1????L 下面证明Q①

wAk?F?k???Aw??Qk?3.51.2?????Aw??QkjjwwlAk?F?k,Ak?AAk?1,1?l?lk?1???k,A?Qjk?1l?1lk?1jjk?1,Al??A? ?A??Qjk?1jk?1??是概率测度. 所以,Q??jjwwlAk?F?k,Ak?AAk?1,1?l?lk?1???Aw???Al?Aj??Q?Qkk?1l?1lk?1j?????Aw??1 QkwAk?F?kww② 对????,存在Ak?F?k?1,有??Ak?1,由命题1.5知 ?100?EQ???S??k?|Fk?1???????1??????????EQ???S?k?|Fk?1????Q???IAw??? ?w??Q?A????Aw?j?1w?1k?1k?1??1????? ??S??k?|Fk?1?????Q?E??Q??w0?Aw0Qmk?1?k?1????Ak?1??S当w0?j时,有EQ???k?|Fk?1???????1?Aw0Qk?1???0???Ak?1w????EQ?S?k?|Fk?1????????Q???

??EQ?S?k?|Fk?1?????????0;

k?1??S当w0?j时,有EQ???k?|Fk?1???????j1??Aj??jQk?1??Ak?1k?1???EQ???S?k?|F????? ?????Q??1??Aj?Qk?1lk?1jlk?1?El?1?Q??S??k?|F?jk?1jk?1?Al?Aj? ?Al?Akj?1?Qk?1?jk?1l?????3.51.2????k,A??S?k??A?A??Q?ll?1,A?A??jk?1?j为风险中性概率测度Qk?1?0

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???L. ??0.类似可证明E???S??i?|Fi?1??0,1?i?k?1,所以, Q所以,EQ???Sk|F??k?1Q?????Xk??3.51.2???Aw?X?Aw?/B?k,Aw? EQQ?????kkkk?1Bkjjw?wl??Ak?Fk,Ak?A?Ak?1?,1?l?lk?1???jk,Aj,Al?Aj?Q??Aj?XAl?Aj?/B?k,Aj? ??Qk?1k?1k?1k?1kk?1k?1l?1lk?1j?????Xk??3.46???Aw?X?Aw?/B?k,Aw? EQQ?????kkkk?1Bkjjw?wl??Ak?Fk,Ak?A?Ak?1?,1?l?lk?1????Aj?XAl?Aj?/B?k,Aj? +?Qkj?1?k,Akj?1,Al?Akj?1??Qk?1k?k?1?k?1l?1lk?1j于是,由(3.51.1)知,EQ??在每个Tkj?1上可复制.

?Xk??Xk??E????QBkBk????????,这样,Q?EQ??Xk??Bk??????L.所以,X 就依赖于Qk20 由10知,Xk在每个Tkj?1上可复制,则存在Z?k,Akj?1??Rn?1,使得

V?k,Z,Ak?1??z0?k,Ak?1?B?k,Ak?1??Sk,Ajjj?l?Ak?1?j?z?k,A??X?A?A??,

jk?1lkjk?1TT1?j?mk?1,1?l?lk?1,

j (3.52)

jjjjj显然Z?k?是Fk?1-可测的,此时,定义

Xk?1?Ak?1??V?k?1,Z,Ak?1??z0?k,Ak?1?B?k?1,Ak?1??S?k?1,Ak?1?z?k,Ak?1?.

j (3.53) ,则

由(3.52) 、(3.53)知,对Q?L,有EQ??XkEQ?|FBk????Xk?1, ?k?1?Bk?1????Xk?B?k??Xk?1B?k?1?|F?T???E?Sk|F??k?1?Q??k?1?z?k??0?则

?Xk??Xk?1?EQ???EQ??BkBk?1????????,

?Xk?1?EQ??也不依赖于Q?LBk?1????由于

?Xk?EQ??Bk????不依赖于Q?L,因此,

,所以,由10知,在对应

于Tkj?2??Akj?2,Al?Akj?2???1?j?mk?2,1?l?lkj?2?的单时段子市场上,未定权益Xk?1在每个Tkj?2上可复制.按照上面的方式递推得出:Xk在[0,k]上可复制.

30 当Xk在[0,k]可复制时,对任何的Q?L,我们有

?X?k?V?i,Z??EQ??V?k,Z?|Fi??EQ?BkFi?????????, (3.58)

?X?kFi?为该未定权益在时刻i的价格.▲ 从而,B?i?EQ?Bk??????第 24 页共 40 页

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四、多时段市场的完备性

类似于第5 章,如果任何未定权益Xl均是在[i, l ]上可复制的,则称市场在[i, l ]上是完备的.下面的结果是关于市场完备性的.

命题3.10 假如多时段市场的任何一个单时段子市场均是完备的,则这个多时段市场也是完备的.反之,假如多时段市场是完备的,且无套利,则它的任何一个单时段子市场均是完备的.

证明: 假如每个单时段子市场均是完备的,则对任何(Fk-可测的)未定权益Xk,必定存在定义于[k-1,k]上的策略Z???,使得

V?k,Z,???Xk???,???, (3.59)

对于Xk?1?V?k?1,?,Z?重复上述的过程,可得定义于[k-2, k-1]上的策略Z???使得

V?k?1,Z,???Xk?1???,???, (3.60)

利用归纳法,最终可知,未定权益Xk在[0, k]上是可复制的.

反之,假如多时段市场无套利,且存在一个单时段子市场是不完备的,则按照命题3.9的证明方法,我们可以构造两个不同的等价鞅测度,从而,存在一个不可复制的未定权益,故多时段市场在[0, k]上不完备,矛盾.▲

定理3.11 假如多时段市场无套利，则该市场完备当且仅当它存在惟一的等价鞅测度.

?Xk?证明: 假如存在惟一的等价鞍测度,则对任何未定权益Xk,映照Q?EQ??Bk????当然不

依赖于Q,因此,Xk必可复制,从而,市场完备.

反之,假如存在两个不同的等价鞍测度,则必存在一个未定权益Xk使得映照

?Xk?Q?EQ??依赖于Q.从而,该Xk?B?k??不可复制,故市场不完备.▲

§7.4 美式未定权益的定价问题

在这一节中,我们讨论另一类重要的未定权益——美式未定权益，它与前面第3节中讨论

的欧式未定权益有很大的不同,在第4 章中.读者对此己有一定的了解.本节所有的讨论均基于第1节引人的多时段市场,另外我们还需要一些准备,为此,先引入下述重要的定义.

一、停时和上(下)鞅

1. 停时

定义4.1 假如随机变量?具有下述性质:

???i??????|?????i??Fi,?0?i?k, (4.1) 则称之为一个?Fi?i?0-停时,简称停时.

停时是一类非常特殊的随机变量.每个常数i 均是一个停时,也存在非常数的停时和非停时的随机变量.由(4.1)可见,停时是依赖于域流?Fi?i?0的,当域流改变时,停时有可能发生变化

(见复习与思考题10).由于在本章中,域流是给定的,因此,简称停时不会引起混淆.我们记

??i,j????为?F?-停时|i???j?,i?jTii?0. (4.2)

我们来举一个停时的例子(回忆本章的例1.1).

例4.2 考虑三个时刻: 0,1,2,它们分别表示某个证券交易所某日的开盘时刻、前市收盘时

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刻(或中午)和当日全天收盘时刻.设样本空间????1,?2,?3，?4?,其中状态?i具有下述意义:

(4.3)

记

?F0???,??;???F1???,?,??1,?2?,??3,?4??; ???F2??的全体子集. (4.4)

则F0?F1?F2是一个域流.现在,一个经纪人受委托必须在时刻1或者2买进100 股股票A,具体买入的时刻按如下方式确定: 如果时刻1的股价比当前股价低至少1元,就在时刻1买进,否则,他不论价格在时刻2买进.于是,股票买入时刻是依赖于状态的,它由下式给出:

(4.5)

读者不难验证,上面的随机变量?满足(4.1),故它是一个?Fi?i?0停时.

我们对停时再作一些讨论。由于

i?2,???1,?2?(?)???1,???3,?4???i?????j?1?j?????i?1?????i?,0?i?k (4.6)

因此,(4.1)等价于

???i??????|?????i??Fi,?0?i?k, (4.7)

k由此进一步可知随机变量?是一个?Fi?i?0-停时,当且仅当

???iIi?1Ai,Ai????i??Fi,1?i?k, (4.8)

由此不难看到任何常数必为停时以及停时对域流?Fi?i?0-的依赖关系.

2.上(下)鞅

现在我们再引入下述的重要概念，它是定义1.7 的推广。

定义4.3 假定随机过程Y???是?Fi?i?0-适应的,并且具有下述性质:

E??Y?j?|Fi???Y?i?,?0?i?j?k, (4.9)

则称之为一个P-上鞅.如果(4.9)中的不等式换成“?”,则称为一个P -下鞅.

粗略地说,假如Y???是一个P-上鞍,则它在某种平均意义下是单调下降的;假如Y???是一个P -下鞅,则它在某种平均意义下是单调上升的;而假如Y???是一个P-鞅,则它在某种平均意义下是保持“常值”的.容易知道,任何一个P-鞍必定是一个P-上鞅.同时也是一个P -下鞅,但是,反之未必然(见复习与思考题11).另外,我们也可么看到,Y???是一个P-上鞅,当且仅当Y???是一个P-下鞅.由于(4.9)中条件数学期望是依赖于概率测度的,因此,P-上鞅是依赖于概率测度P的.当概率测度改变后(即便改成一个等价的概率测度),上鞅是有可能改变的.换句话说,如果P和Q 是两个概率测度,P-上鞅未必是Q-上鞅,即便P和Q 等价.另外,值得注意的是,由(4.9)可见，上鞅

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数学金融学第七章多时段市场问题

还依赖于域流?Fi?i?0,当域流改变时,上鞅有可能变化.不过,在本章中,域流是给定的,因此,在名称中省略?Fi?i?0不会引起混淆.

下面的结果是很有用的.

命题4.4 设X?????X?i?|0?i?k?为一个P-上鞅. (1) 任何?F?Xjj?i?0-可料过程a?????a?i?|0?i?k?,

X?l?1???,0?j?k?j???a?l???X?l??l?1, (4.10)

????是一个P-上鞅.进一步,如果X???是一个P-鞅,则不必假定a???的非如果a???是非负的,则X????必是一个P-鞅. 负性,X??i,k?,j?X?j???(?X?j???|j?i,i?1,?,k?)是[i,k]上的一个P-上鞅,(2) 对任何??T此处,j???min?j,??;当X???是一个P-鞅时,j?X?j???是[i,k ]上的一个P-鞅.

??i,j?,???成立 (3) 对任何?,??TE??X???|F????X???, (4.11)

此处，

F???A?F|A????j??Fj,?0?j?k? (4.12)

当X???是一个P-鞅时, (4.11)中等号成立。

证明: 我们只证明鞅的情形,上鞅的情形留作习题.

??j??0?j?k?是F-可侧的,当对任何0?j?k?1,我们有 (1) 显然,Xj?E?X??j?1?|Fj?j?a?j?1??X?j?1??X?j??|F???E?Xj?????????j??a?j?1?E?X?j?1??X?j?|F? ?Xj??

??X?j??a?j?1??X?j??X?j????X?j?, (4.13)

????是一个P-鞅. 所以可得X??i,k????为?F?-停时|i???k?, (2) 对任何??Tii?0j??jX?j????iX?i???l?i?1??X?l??X?l?1????X?i???l?i?1I???l???X?l??X?l?1???， (4.14)

此处,约定?????0.由于

l?i?1???j?????j?????j?1??Fccj?1, (4.15)

? ?, a?0;??c?1,?????j?;??|I??a???j,0?a?1;则由 I???j??????????????j?c???0,?????j?. ?, 1?a.?????|I???j?????a??Fj?1,

j因此,j?I???j??I???j?|j?i,i?1,?,k?是一个?F?j?i可料过程.这样,由已经证明的(1)知,

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j?X?j???是[i,k]上的一个P-鞅.

j(3) ① F?是一个域.事实上,对A,B?F?,有?A?B?????j??Fj;对A?F?,有

A????j?=???j???A????j???Fcj② F??F?. 事实上,当j?i时,对A?F?,有

?j?A????j??A???????l?????j?????l?i????A???l?i?l??????j??Fk?j.

?F③ X???是F?-可测的.事实上,

??X????a???X??????l?i?I???l?X?l??a??F?k,且

?X????a?????j??I???j?X??j??a?????j??Fj.

④ E?IX??X??????0. ?X???|F????X????对?A?F?,有E??A????对任何A?F?和0?j?k,

A?j??A????j?????j????A????j???????j??Fcj, (4.16)

显然,

kA??A?j?,A?j??A?j???,j12j?01?j2,0?j1,j2?k. (4.16.1)

当0?????1,由(4.16.1)知

E?IA?X???k???X????????X?????,???X?????,???P???

kA?j???A?I???X?j?1,???X?j,???P?????E??j?0??A?j?j?0?0, (4.17) ?E?X?j?1?F??X?j????j对于一般情形.我们定义

?j??????j?,0?j?k, (4.18)

则由于

??j?l?????l?????j?l??Fl,?l?0,

(4.19)

因此,每个?j均是停时.另一方面,由(4.18),

?????0??1??2????k?????0??j?1??j?1,0?j?k (4.20)

于是,由(4.17)可得

?k?1E?IA?X????X??????E?IA?X?????j?0?j?1??X????jj?? ??I?X????X??????0, (4.21) ?E???Aj?1j?0k?1这导致了等号成立形式的(4.11).▲

二、美式未定权益的定价和复制问题

现在,我们引入下述定义.

定义4.5 一份美式未定权益是一份合同,其持有者具有下述权利:如果他在时刻i购得,则

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??i,k?执行期权而获得收益????,其中,????为一个?F?-适应的随机他可以在任何时刻??Tii?0过程,t=k 称为该未定权益的到期时刻,?称为该未定权益的执行时刻.

??i,k?是一个停时,它表明在不同的状态下,具体执行时刻可上述定义中的执行时刻??T以不同的.为了方便起见,我们将上述的美式未定权益等同于????.

美式未定权益的定价和复制问题:

10 美式未定权益????在时刻i 被买卖时,其公平价格Y?i?应该是多少?

20 未定权益出售者是如何复制该未定权益的? 现在,让我们来作一些分析.

假如(美式)未定权益出售者在时刻i 以价格y 出售一份该种未定权益后,将所得款项y 投资于市场(可么想象,一般而言,时刻i 的价格y 是依赖于时刻i 所发生的状态的,所以,我们有理由假定y 是Fi-可测的.).设Z???为一个适当选取的定义于?i,k?的自融资策略,记相应的财富过程为V??,i,y,Z?,则V?i,i,y,Z??y.未定权益出售者期望通过自融资策略投资(在时刻i 出售未定权益得到的)初始财富y 所获得的财富能够冲抵由于未定权益持有者在任何时刻j??i,i?1,?,k?可能执行未定权益而使他(未定权益出售者)必须兑现的支付.因此,下式应该成立:

?j,i,y,Z????j?,i?j?k, (4.22) 由于Z???是自融资的,所以,类似于(1.31),我们有

???TV?j,i,y,Z??V?j?1,i,y,Z???S?j?z?j?, (4.25)

V于是,由递推可得(注意约定?????0)

l?i?1iV???yj,i,y,Z??B?j???Bi????j?l?i?1?S?T???l?z?l??,i?j?k??, (4.26)

综合(4.22)和(4.26)可知,未定权益的出售者期望选择自融资策略Z???使得

yB?i?j??l?i?1?S?T?l?z?l????j?B?j?????j?, (4.27)

由命题1.9,我们知道,这也等价于选择?Fi?i?0-可料过程z???使得(4.27)成立.由于未定权益持有者可能执行未定权益的时刻一般是依赖于所发生的状态(或事件),所似,(4.27)还需要加强为:

yB?i????l?i?1j?S?T?l?z?l?????????i,k? (4.28) ?????,???TB???我们假定市场无套利,于是存在一个等价鞅测度Q,这样,如果记

??j???l?i?1i?S?T?l?z?l?, (4.29)

??i,k?,有 (回忆约定????=0)则由命题4.4 (1),它是一个Q-鞅.再由命题4.4 (3),对任何的??Tl?i?1???T?EQ???S?l?z?l?Fi??EQ?????Fi????i??0, (4.30) ???l?i?1?因此,在(4.28)两边取EQ??|Fi?可得

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???i,k?, (4.31) ?EQ??|Fi?,???T??B?i?y从“公平”的角度讲,买主希望价格越低越好.因此,我们有理由引入下述的定义.

美式未定权益的定价和复制概念

定义4.6 假定多时段市场中存在惟一的等价鞅测度Q,

(1) 则美式未定权益????在时刻i=0,1,2,?,k 的最低卖出价格定义为:

??Y?i??max?EQ???B?i?????B??????????i,k??,0?i?kFi???T?????, (4.32)

称Y???为美式未定权益????的一个最低卖出价格过程;价格Y?i?称为是公平的;

??i,k?,使得 (2) 假如存在自融资策略Z????Z??,i?(它是依赖于i 的)和一个停时???TV??,Z,Y?i???????, (4.33)

此时,我们Y?i?称为未定权益????在时刻i 的一个公平价格;

(3)假如对每个0?i?k,公平价格Y???均存在,则称Y???为美式未定权益????的一个公平价格过程,此时,未定权益????称为是可复制的,Z??,i?称为它的一个复制策略.

按照我们的记号, (4.32)等价于下述式子:

Y??i??Y?i???maxEQ?????B?i????Fi????i,k?,0?i?k, (4.34) ?T?公平价格Y??i?的定价分析

下面,让我们来证明一个有用的结果.

命题4.7 设多时段市场存在惟一的等价鞅测度Q ,则由(4.34)定义的随机过程Y????满足下述关系:

? ???k?, i?k;??Y?i??? ????max??i?,EQY?i?1?Fi,0?i?k?1.?????? (4.35)

证明: 首先,对于 i?k, (4.35)是显然的.

??i,k?,我们有今对???TEQ???????Fi?????i??Fi?I???i????????i??I???i?EQ????i?1??Fi??

?i1? ?I???i????i??I???i?EQ?EQ??????i?1??F????F?i

????Y?i?1?Fi? ?I???i????i??I???i?EQ????3.34??Y?i??1Fi?, (4.36) ?max???i?E,Q???????i?1,k? (因为i?1????i?1??k,????i?1??j?????j?? 其中???i?1??max??,i?1??T??i?1??j??FY?j,0?j?k).从(4.36)可以推出

?Y?i?1?Fi??. (4.37) ?i??max????i?,EQ???第 30 页共 40 页

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??i?1,k?是一个有限集,由(4.34)可知,存在???T??i?1,k??T??i,k?,0?i?k?1,使反之,由于T得

Y??i?1???EQ??????F?i?1?, ? (4.38)

于是,两边取E??|Fi?,可得

????EQ?Y?i?1?Fi??EQ?EQ??????Fi?1?Fi??EQ??????Fi??Y?i?, ???????? (4.39)

而(4.34)本身又导致

Y??i?????i?,0?i?k, (4.40)

综合(4.37), (4.39)和(4.40),我们得到(4.35).▲

定义4.8 对于?Fi?i?0适应的随机过程?????,按(4.34)方式定义的随机过程Y????称作?????的Snell 包络.

我们有下述关于Snell 包络一般的结果.

引理4.9 假定?????为一个?Fi?i?0适应的随机过程, Y????为其Snell包络.

(1) 则Y????是满足(4.40)的最小的Q-上鞅.

(2) 令??i??min?j?i|Y?j????j??,0?i?k, (4.41) 则, ① 每个??i?均是停时;

② j?Y??j???i??(?Y??j???i??j?i,i?1,?,k?)是[i,k]上的一个Q-鞅;

???i,k??E??????i??F?. (4.42) ????Fi???T③ Y??i??maxEQ?Q?i???证明: (1) 由(4.35)知, ??Y?i??EQ?Y?i?1?Fi?,0?i?k?1, (4.43) ????所以,Y????是一个Q-上鞅.假如Y????为任何一个满足(4.40)的Q-上鞅,则有

??k?????k??Y??k?, (4.44) Y作归纳假定

??i??Y??i?, (4.45) Y则由Y????的Q-上鞅性质

??i?1??E?Y??i?F??E?Y??i?F?, (4.46) YQi?1Q?i?1???再由于Y????满足(4. 40),故

??i?1??max???i?1?,E?Y??i?F?YQi?1?????4.35??Y??i?1?, (4.47)

得证Y????的最小性.

(2) ① 由Y??k?????k?及(4.41)知,??i???i,i?1,?,k?的定义是明确的.又Y??j?,???j?

?0?j?k?关于Fj可测,则Y??j?????j?关于Fj可测,则

? ?, l?i;????i??l???l?1Y?j???j?0?Y?l???l?0,l?i.????i??l??Fl,

???????????????j?i第 31 页共 40 页

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??i,k?. 得证??i??Tj???i?② Y??j???i???Y?i????l?i?1?Y??l?1??Y??l?? ??j?Y??i???l?i?1??I???i??l??Yl?1?Y???l????, (4.48)

故, Y??j???i???j??i,k??关于Fj可测. 由于

???i??j?????i??j?1??Fj, (4.49)

因此,j?I???i??j?是?Fi?i?0可料的又是非负的.于是,由命题4.4(2)可以得到,j?Y??j???i??是一个Q-上鞅,为了证明它是一个Q-鞅.由(4.48)知

Y?c??j?1????i???Y?j???i????4.48????I???i??j?1??Yj?1?Y???j????, (4.50)

由(4.41)、(4.35)知

Y??j???EQ?Y?j?1?Fj?,??????i??j?1?, ?? (4.51)

由(4.50)和(4.51)知

Y???j?1????i???Y?j???i???I?????i?j?1??Y??j?1??E?Y??j?1?F??, (4.52) Q?j???????EQ?Y??j?1????i??Fj??Y?j???i???EQ?Y??j?1????i???Y?j???i??Fj? ???????I???i??j?1?EQ?Y?j?1??EQ?Y?j?1?Fj?Fj? ???????I???i??j?1?EQ?Y?j?1?Fj??EQ?EQ?Y?j?1?Fj?Fj??0????????, (4.53)

所以,j?Y??j???i??(?Y??j???i??j?i,i?1,?,k?)是[i,k]上的一个Q-鞅.

??i,k?,由于已经证明Y????是一个Q-上鞅,故由命题4.4(2)知, ③ 对任何??Tj?YY???j???i??也是一个Q-上鞅.于是由(4.40)知,

??i??4.48??Y?i????EQ?Y???k???Fi??②?EQ?Y?????Fi???4.40???EQ?????, (4.54) ?Fi??

则,

?EQ??????????Fi??Y?i??Y?i???i???EQ?Y?k???i??Fi??EQ?Y???i??Fi???????4.41????i,k?, ?EQ?????i??Fi?,???T?? (4.55)

??i,k?,得证(4.42).▲ 又??i??T??i,k?,以及F 引理4.10 设多时段市场存在惟一的等价鞅测度Q,则对任何停时??T?((4.12))可测的随机变量?,存在自融资策略过程Z???使得

?B??????EQ?B??????Fi??????l?i?1?S??l?Tz?l?,?0?i????1??0, (4.56)

此处,???1??0?max???1,0?.

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证明: 1) 设[0, k]上的欧式未定权益为

B?k??B?????i,k?, 随机变量?关于F-可测. ,其中停时??T?由于市场是完备的,因此,该欧式未定权益是可复制的,从而,存在一个自融资策略过程

Z????z0???,z????T?T,使得

?V??k,Z??V??k,Z??B??jB?k??. (4.57)

2) 另一方面,类似于(4.26),我们有

V??j,Z??V?i,Z????l?i?1j?S????Tz?l?,i?j?k, (4.58)

j因此,由z???的?F?j?i?-可料性,利用命题4.4(1)可得X?j???l?i?1?S????Tz?l?是一个Q-鞅

(S????是一个Q-鞅),则

???EQ?V?j?1,Z?Fj??EQ?V?i,Z?Fj??EQ?X??????j?1?Fj???V??i,Z??X??j??V??j,Z?,

故,j?V??j,Z?是一个Q-鞅.于是,由(4.57)知,

V?i,Z??EQ?V???3) 由B???的?Fi?i?0-可料性知,

????k,Z?Fi??EQ?B????1??Fi???. (4.59)

1B???B???也是?Fi?i?0-可料的,故

是一个Q-鞅,于是由定理

4.4(3)知?关于F?-可测和定理4.4(3)知,

EQ?V??由j?V???B????1??k,ZF??EF?, ???????B?????B??????????i,k??????,那么,由定理4.4(3)知 j,Z?是一个Q-鞅,取??k?T?4.58?????F??E???B????????EQ?V?k,Z?F???V??,Z??V?i,Z?????l?i?1?S??l?Tz?l?

?4.59????EQ??B?????Fi??????l?i?1?S??l?Tz?l?, (4.60)

我们就得到(4.56).▲

三. 美式未定权益的定价和复制的步骤

假定多时段市场存在惟一的等价鞅测度Q,设????为?i,k?上的一个美式未定权益。 (1) 它的公平价格过程由下式给出(与(4.32)相同):

??B?i?????Y?i??max?EQ??B???????????i,k??,0?i?kFi???T?????, (4.61)

(2) 对任何0?i?k,定义停时??i?如下(与(4.41)相同等价):

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??i??min?j?i|Y?j????j??,0?i?k; (4.62)

(3) 寻找自融资策略过程Z????Z??,i?复制欧未定权益我们有(注意(4.62)和(4.42))

Y?i??4.34?B?k?????i??B???i??,此时,对于0?i?k,

???????B?i?maxEQ?Fi??B?i?EQ??i,k???TB????????????i???Fi?; (4.63) ?B??i???????(4) 再由Y??i??V??i,Z?、上式和引理4.10知

V????i?,Z??Y?i??????i??S??l?Tz?l?

??i?l?i?1?EQ???????i??Fi????l?i?1?S????T????z?l????i????????i??. (4.64)

上面结果说明,在时刻i ,美式未定权益的公平价格为????,相应的复制策略为Z??,i?.值得注意,复制策略是依赖于时刻i 的,这与欧式未定权益有很大的差异.由(4.62)定义的停时是持有时刻i 购入该种未定权益后的最优执行时刻.

命题4.11 假如多时段市场存在惟一的等价鞅测度Q,设????为一个美式未定权益,且

????B???是一个Q-下鞅,则该美式未定权益的价格与欧式未定权益证明: 由于

????B?????k?B?k?的价格相同.

是一个Q-下鞅,所以

??EQ???Fi?F????k?????k???F??Fi?EQ?Fi??BkBk?????????????????k??Fi??Bk???????????????k??,?4.11?EQ?Fi??EQB???????, (4.65)

则

Y?i??4.32????????B?i?maxEQ?Fi??B?i?EQ??i,k???TB???????, (4.66)

上式右端恰好是欧式未定权益的价格??k?.▲

四. 美式看涨期权

我们来看一个具体情况.给定一个多时段市场,其利率为严格正的,考虑一个美式看涨期权,令

??i????S1?i??q??,0?i?k, (4.67)

?考察下面推导;对任何的0?i?j?k,

??????S?j?????j??S1?j?q?q?1??EQ?Fi??EQ??Fi?EQ???Fi???????BjB?j?B?j????B?j?B?j????????????????

?EQ?S??1??1??j?Fi?qEQ?Fi???B?j????B?i??B?j??S1?i???qB?i?, (4.68)

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由于上式左端总是非负的,因此得到

???j???S1?i???i?q?,0?i?j?k, (4.69) EQ?Fi????????BjBiB?i??B?i???????????所以,

??S1?i??q??Y?????B????是一个Q-下鞅.因而由命题4.11可得该美式未定权益的价格与欧式未定权益

是一样的.进一步,(4.66)和(4.69)表明

??EQ???k?Fi????i?,0?i?k???i??, (4.70)

因此,由(4.62)可得

??i??k,0?i?k, (4.71) 这意味着在上述情形下,美式看涨期权不应提前执行.这是我们以前用不同方法曾经得到过的一个结果.

§7.5 最优投资消费问题

在这一节中,我们讨论多时段市场中的最优投资消费问题.在第6 章中,我们曾经讨论过单时段市场中的最优投资和消费问题,本节中将主要叙述处理多时段问题的动态规划方法.我们仍然基于本章第1节引人的多时段市场.

一、最优投资问题

1. 基本假设

取定一个时刻i?0,我们假定初始资产v是Fi-可测的,任取?i,k?上的自融资策略过程

Z????z0???,z???V?T?T.相应的财富过程为(注意(4.26))

T?j,i,v,Z??B?j?z0?j??S?j??vz?j??B?j????B?j?j?l?i?1?S??l?T?z?l??,i?j?k?. (5.1)

下面的关系式是显然的,且很重要.

V?l,i,v,Z??V?l,j,V?j,i,v,Z?,Z?,0?i?j?l?k, (5.2)

从(5.1)式中第二个等式来说, (5.2)右端中第一个Z???为?i?1,j?上的自融资策略过程,第二个Z???为?j?1,l?上的自融资策略过程.(5.2)所示的关系通常称为动力系统的半群性质.

2. 问题

现在设u:R?R为一个效用函数,我们考虑下述问题.

问题5.1 对于任何的i??0,1,2,?,k?和Fi-可测的随机变量v,寻找?i,k?上的自融资策略Z???过程,使得

E?uV?k,i,v,Z?Fi??maxE?u?V?k,i,v,Z??Fi??U?i,v?, (5.3) ????Z???????这是个最优投资问题:我们希望在当前时刻0,对任何一个将来时刻i 都能够找到一个最优投资策略以极大化终端时刻k 财富的期望效用.由(5.1)可知,上述问题等价于寻找一个?Fi?i?0-可料过程z???,使得

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???v?Eu?B?k????Bi?????????max?Ez?????k?l?i?1?S????T???z?l???Fi?

?????????v?u?B?k???????B?i??k?l?i?1?S???T?????z?l???Fi?????????. (5.4)

我们称U?i,v?为最优值函数.值得注意的是,在我们的条件下,i?U?i,v?是一个?Fi?i?0-适应的随机过程.容易证明:对任何?Fi?i?0-适应的随机过程V???,i?U?i,V?i??也是?Fi?i?0-适应

的.

?是F的生成元集,由我们指出,如果?Aij|1?j?mi??FiiE??|Fi??1.17??1???E??IAjji?P?A??j?1i?mi??? ???知

E?uV?k,i,v,Z?Fi??maxE?u?V?k,i,v,Z??Fi??U?i,v? ????Z????1???E?IAjuV?k,i,v,Zj?P?Ai??ij?1?mi???????????max??Z????Aij?mi?1??E?IAju?V?k,i,v,Z??j?P?Ai??ij?1????????????????

?E?IAjuV?k,i,v,Z?i??max?E?I???????Z?u?V?k,i,v,Z???,1?j?mi. (5.5)

??从(5.1)容易看到,对于j?j,?Z?l,??|??Aij?对V?l,i,v,Z????,??Aij,没有影响,因此,(5.5)中的mi个关系式是解耦的(即,互相独立的).

?是F的生成元集,则由于v是F-可测的,故v在每个Aj上另外, 如果?Aij|1?j?mi??Fiiii为常数(记作vj),从而,

U?i,v???U?i,v?I, (5.6)

jj?1Aijmi这表明,如果U?i,v?对于v?R完全确定当且仅当对任何Fi-可测的v完全确定.

3. U?i,v?的递推公式.

下述结果给出了U?i,v?的递推公式.

定理5.2 对任何的0?i?j?k和Fi-可测的随机变量v,下述公式成立:

U?i,v??maxE?U?Z?????j,V?j,i,v,Z??F?5.2?i???, (5.7)

?j,i,v,Z?,Z??Fi??证明: 对任何?i,k?上的自融资策略过程Z???,我们有

E?u?V?k,i,v,Z???Fi???E?uV?k,j,V???E?E?uV?k,j,V?????j,i,v,Z?,Z??F?5.7?ij?F??i??

i?5.3??E?U??j,V?j,i,v,Z??F??maxE?U??Z???, (5.8) ?j,V?j,i,v,Z??F??第 36 页共 40 页

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数学金融学第七章多时段市场问题

由Z???的任意性及(5.3)可得

U?i,v??maxE?U?Z?????j,V?j,i,v,Z??Fi???, (5.9)

反之,在我们的框架下,自融资策略过程的个数是有限的,因此,对任何[i, j]上的自融资策略Z???,以V?j,i,v,Z?作为时刻j的初始财富,一定存在[j, k]上的自融资策略Z???(依赖于

V?j,i,v,Z?)使得 U?j,V?j,i,v,Z???5.3??E?uV?k,j,V???j,i,v,Z?,Z??Fj?, (5.10) ??F? ?i??于是,由条件数学期望的性质以及(5.2)

E?U??j,V?j,i,v,Z??Fi??E?E?uV?k,j,V??????j,i,v,Z?,Z??Fj?E?uV?k,j,V???j,i,v,Z?,Z???Fi??E?uVk,i,v,Z????5.2?????Fi??U?i,v?, (5.11) ???5.3???Z?l?,i?l?j;?其中,Z?l???.由Z???的任意性可得

??Z?l?,j?l?kU?i,v??maxE?U?Z?????j,V?j,i,v,Z??Fi???, (5.11.1)

综合(5.9)和(5.11.1),我们得到(5.7).▲

关系式(5.7)称为关于U?i,v?的Bellmon 动态规划方程,也称Bellmon 最优性原理.让我们来看一下它的含义.假定存在一个策略过程Z???满足:

U?i,v??E?uV?k,j,v,Z?Fi?,

???? (5.12)

则对任何i?j?k均有

E?uVk,j,V???5.7????j,i,v,Z?,Z??Fij??E?uVk,i,v,Z???????Fi??U?i,v?

?j?E?U??j,V?j,i,v,Z??F??E?E???i?uVk,j,V???, ?????j,i,v,Z?,Z??F?F?i????

?E?uVk,j,V?????j,i,v,Z?,Z??F (5.13)

?F?. (5.14)

?i???则

E?U??j,V?j,i,v,Z??Fi??E?E?uVk,j,V????????j,i,v,Z?,Z??Fj上式粗略地表明,当Z???是对应于(i, v)的最优策略过程时,它限制在?j,j?1,?,k?上是对应于?j,V?j,i,v,Z??的最优策略过程.也就是说: 整体最优必定局部最优,这就是Bellman 的动态规划方法的基本思想.

利用(5.7)和关于单时段市场最优投资问题的求解方式,我们就可以来求解问题5.1了.事实上,首先,我们在(5.7)中取 i= k 可得

U?k,v??u?v?,?v?R, (5.15) 现在,让我们求出U?k?1,v??u?v?,v?R,由(5.7),我们有

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数学金融学第七章多时段市场问题

U?k?1,v??maxE?u?V?k,k?1,v,Z??F?Z????k?1???, (5.16)

?, (5.17)

j?上面(5.16)两边均是Fk?1-可测的,因此,假如Fk?1的基本事件集合为F??Ak?1|1?j?mk?1?, k?1则(5.16)两边在每个Akj?1上均是常数,所以, (5.16)可以写成

jU?k?1,v??Ak?1??maxE?u?V?k,k?1,v,Z??F?Z????k?1??Akj?1??其中,对每个1?j?mk?1,

E?u?V?k,k?1,v,Z??F??1.17?1j?A?u?V?k,k?1,v,Z,???P???, (5.18) ?k?1??k?1?jP?Ak?1???Akj?1我们注意到,在时刻k-1,

v?z0?Ajk?1?B?k?1,A???z?A?S?k?1,A?, (5.19)

jk?1ijk?1ijk?1i?1jk?1ln所以,在时刻k有

V?k,k?1,v,Z,???z0?A?B?k,A???z?A?S?k,A?A??，

jk?1ijk?1lijk?1i?1n??A?A?,1?l?ljk?1jk?1, (5.20) ， (5.21)

此处，

jjjB?k,Ak?1??B?k?1,Ak?1??1?r?k?1,Ak?1????它是Fk?1-可测的.而?Al?Akj?1?|1?l?lkj?1?是Akj?1的后续事件全体,从而,我们得到mk?1个单时段市场的最优投资问题: 对每个1?j?mk?1,记

??j?Al?Aj?|1?l?lj;k?1k?1k?1??jlj?PA?Ak?1? 1?l?lk?1, (5.22) jlj?Pk?1A?Ak?1??.jPA??k?1????????而

E?u?V?k,k?1,v,Z??F??1P?Alk?1j?Ak?1??jk?1??5.18??1jP?Ak?1???Akj?1?u?V?k,k?1,v,Z,???P???

jk?1??lj??Ak?1?jl?A?Ak?1?ljk?1u?V?k,k?1,v,Z,???P???

?5.20???u?V?k,k?1,v,Z,A?A???ljk?1l?1PA??A???Eljk?1P?ATjk?1?Pk?1j?u?V?k,k?1,v,Z?????, (5.23)

因此,利用第6章的结果,在适当的条件下,我们可以求得最优解

Z?k,Ajk?1???z?k,A?,z?k,A?0jk?1jk?1?T,1?j?mk?1,

(5.24)

它满足:

jU?k?1,v??Ak?1??E?uV?k,k?1,v,Z?F?????Aj??Ej?uV?k,k?1,v,Z??k?1k?1Pk?1?????

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数学金融学第七章多时段市场问题

?EPjn????jjjljuzABk,A?zASk,AA?k?1???, (5.25) ?i?k?1?k?1???0?k?1??i?1????k?1??重复上述过程,我们就可以得到

U?i,v??Ai?,0?i?k,v?R,1?j?mi,

j (5.26)

以及

Z?i,Aji?1???z?i,A?,z?i,A?0ji?1ji?1T?T?R?R,1?i?k?1,1?j?mi?1,

n (5.27)

我们将上述结果归纳成下述定理.

定理5.3 问题5.1的最优投资策略过程由(5.27)给出,最优值函数由(5.26)给出.

二、最优投资消费问题

现在,我们引入另外一类问题.为此,先引人下述定义。

定义5.4 称一个非负的?Fi?i?0-适应过程C???为一个消费过程,此处,C?i?表示时刻i 的消费额.如果Z???为一个投资策略过程,C???为一个消费过程,则(Z???,C???)称为一个投资消费计划.

现在,我们来探讨一下投资消费计划(Z???,C???)的自融资性,假定在时刻0的初始财富为v.按直观的定义,所谓自融资即在整个考虑的时间段上,除了初始财富,没有资金的注入和抽走.对每个i?0,1,2,?,k,我们记时刻i 交易和消费前的财富为V?i?0,v,Z,C?,记交易和消费后的财富为V?i?0,v,Z,C?,则

?V???V??V???V?0?0,v,Z,C??0;?0?0,v,Z,C??V?0?0,v,Z,C??C?0???1?0,v,Z,C??B?1?z0?1??S?1?z?1?;B?1?z0?2??S?1?z?2?.TTB?0?z0?1??S?0?z?1?;T (5.28)

?1?0,v,Z,C??V?1?0,v,Z,C??C?1??因此,一般地,我们有

?V?i?0,v,Z,C??B?i?z?i??S?i?Tz?i?;0?T??V?i?0,v,Z,C??V?i?0,v,Z,C??C?i??B?i?z0?i?1??S?i?z?i?1?; ?1?i?k.?? (5.29)

于是,我们有下述定义,

定义5.5 投资消费计划(Z???,C???)是自融资的,如果(5.29)成立.

由(5.29)可知，

V?i?0,v,Z,C??V?i?0,v,Z,C??C?i?,1?i?k, (5.30)

并且

V?i?1?0,v,Z,C??V?i?0,v,Z,C????B?i?1??B?i???z0?i?1????S?i?1??S?i???z?i?1?

??B?i?1?z0?i?1???S?i?1?z?i?1?TT, (5.31)

这表明,对于任何自融资投资消费计划而言,在任何给定时刻i 财富的变动仅仅是由于消费C?i?的存在,而在任何两个相邻时刻之间财富的变化仅仅是由于证券价格的变动.综合(5.30)和(5.31),我们可得

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