概率统计简明教程习题答案（工程代数 - 同济版）

习题一解答

1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：

(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A?{两次出现的面相同}；

(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A?{一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A?{寿命在2000到2500小时之间}。 解 (1) ??{(?,?),(?,?),(?,?),(?,?)}， A?{(?,?),(?,?)}. (2) 记X为一分钟内接到的呼叫次数，则

??{X?k|k?0,1,2,??}， A?{X?k|k?0,1,2,3}.

(3) 记X为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则

??{X?(0,??)}， A?{X?(2000,2500)}.

2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设A?{取得球的号码是偶数}，B?{取得球的

号码是奇数}，C?{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：

(1)A?B；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)AC；(6)B?C；(7)A?C. 解 (1) A?B??是必然事件； (2) AB??是不可能事件； (3) AC?{取得球的号码是2，4}；

(4) AC?{取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；

(5) AC?{取得球的号码为奇数，且不小于5}?{取得球的号码为5，7，9}；

(6) B?C?B?C?{取得球的号码是不小于5的偶数}?{取得球的号码为6，8，10}； (7) A?C?AC?{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10} 3. 在区间[0,2]上任取一数，记A??x(2)AB；(3)AB；(4)A?B.

解 (1) A?B??x?1??1?x?1?，B??x?x??2??43?求下列事件的表达式：(1)A?B；?，2??1?x??43??; 2?1?????x1?x?2??3??; 2? (2) AB??x0?x??? (3) 因为A?B，所以AB??；

(4)A?B?A??x0?x???11或1?x?2??B??x?x?2??4???13或?x?2??42???113x0?x?或?x?1或?x?2?? 4. 用事件A,B,C的

422??运算关系式表示下列事件：

(1) A出现，B,C都不出现（记为E1）； (2) A,B都出现，C不出现（记为E2）； (3) 所有三个事件都出现（记为E3）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）； (5) 三个事件都不出现（记为E5）； (6) 不多于一个事件出现（记为E6）； (7) 不多于两个事件出现（记为E7）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。 解 (1)E1?ABC； (2)E2?ABC； (3)E3?ABC； (4)E4?A?B?C；

(5)E5?ABC； (6)E6?ABC?ABC?ABC?ABC； (7)E7?ABC?A?B?C；(8)E8?AB?AC?BC.

5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，

i?1,2,3，试用Ai表示下列事件：

(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品；

(4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。

解 (1)A1?A2； (2)A1A2A3； (3)A1A2A3；

(4)A1?A2?A3； (5)A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3.

6. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，i?1,2,3，B?{三次射击恰好命中二次}，C?{三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和C。

解 B?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 C?A1A2?A1A3?A2A3

习题二解答

1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

?50??45??5?AA解 这是不放回抽取，样本点总数n??记求概率的事件为，则有利于的样本点数k???3??，?2????1??. 于

??????是

?45??5????????k?2??1???45?44?5?3!?99

P(A)??n50?49?48?2!392?50????3???2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求

(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；

(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。

解 本题是有放回抽取模式，样本点总数n?7. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D.

225?5?(ⅰ)有利于A的样本点数kA?5，故 P(A)????

49?7?5?210(ⅱ) 有利于B的样本点数kB?5?2，故 P(B)?2?

49720(ⅲ) 有利于C的样本点数kC?2?5?2，故 P(C)?

497?5355??. (ⅳ) 有利于D的样本点数kD?7?5，故 P(D)?49772223．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3

的概率；(2) 最大号码是3的概率。

解 本题是无放回模式，样本点总数n?6?5. (ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为2?3，所求概率为

2?31?. 6?55(ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为2?2，所求概率为

2?22?. 6?5154．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：

(1) 2只都合格；

(2) 1只合格，1只不合格； (3) 至少有1只合格。

解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为A,B,C，则

?4???2??4?3?22?P(A)???? ?6?6?5?25??2?????4??2???1????1??4?2?28?????P(B)??

6?515?6????2???注意到C?A?B，且A与B互斥，因而由概率的可加性知

P(C)?P(A)?P(B)?2814?? 5151525．掷两颗骰子，求下列事件的概率：

(1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为A,B,C,样本点总数n?6 (ⅰ)A含样本点(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)

?P(A)?61? 626105? 6218181? 362(ⅱ)B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) ?P(B)?(ⅲ)C含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。

?P(C)?6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。

3解 记求概率的事件为A，样本点总数为5，而有利A的样本点数为5?4?3，所以

P(A)?5?4?312?. 25537．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：

(1) 事件A：“其中恰有一位精通英语”； (2) 事件B：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件C：“其中有人精通英语”。

?5??3??2??3???1????2??2?3?3!63?????(1) P(A)???；

5?4?3105?5????3????2??3???2????1???????3?3!?3；

(2) P(B)?5?4?310?5????3???解 样本点总数为????

(3) 因C?A?B，且A与B互斥，因而

339??. 51010 所围成的三角形内，而落在这三角形内各点8．设一质点一定落在xOy平面内由x轴、y轴及直线x?yS?A11 处的可能性相等，计算这质点落在直线x?1/3的左边的概率。 y 解 记求概率的事件为A，则SA

为图中阴影部分，而|?|?1/2，

P(C)?P(A)?P(B)?11?2?155|SA|???????

22?3?2918最后由几何概型的概率计算公式可得

2? h P(A)?|SA|5/185??. |?|1/29O 1/3 图2.3

1 x 9．（见前面问答题2. 3）

10．已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，求

(1)P(A),P(B)；(2)P(A?B)；(3)P(AB)；(4)P(BA),P(AB)；(5)P(AB). 解 (1)P(A)?1?P(A)?1?0.4?0.6，P(B)?1?P(B)?1?0.6?0.4； (2)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?0.6； (3)P(AB)?P(A)?0.4；

(4)P(BA)?P(A?B)?P(?)?0, P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?0.6?0.4; (5)P(AB)?P(B?A)?0.6?0.4?0.2.

11．设A,B是两个事件，已知P(A)?0.5，P(B)?0.7，P(A?B)?0.8，试求P(A?B)及P(B?A).

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)，因而P(AB)?P(A)?P(B)

?P(A?B)?0.5?0.7?0.8?0.4. 于是，P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB) ?0.5?0.4?0.1；P(B?A)?P(B?AB)?P(B)?P(AB)?0.7?0.4?0.3.

解

注

意

到

习题三解答

1．已知随机事件A的概率P(A)?0.5，随机事件B的概率P(B)?0.6，条件概率P(B|A)?0.8，试求

P(AB)及P(AB).

解 P(AB)?P(A)P(B|A)?0.5?0.8?0.4

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)

?1?0.5?0.6?0.4?0.3

2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。 解 p?10?9?90819??.

100?99?9899?9810783．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19 (1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

解 记A?{基金}，B?{股票}，则P(A)?0.58,P(B)?0.28,P(AB)?0.19

P(AB)0.19??0.327.

P(A)0.58P(AB)0.19??0.678. (2) P(A|B)?P(B)0.284．给定P(A)?0.5，P(B)?0.3，P(AB)?0.15，验证下面四个等式：

(1) P(B|A)?P(A|B)?P(A),P(A|B)?P(A), P(B|A)?P(B)，P(B|A)?P(B). P(AB)0.151???P(A) 解 P(A|B)?P(B)0.32

P(AB)P(A)?P(AB)0.5?0.150.35????0.5?P(A)

P(B)1?P(B)0.70.7P(AB)0.15 P(B|A)???0.3?P(B)

P(A)0.5 P(A|B)? P(B|A)?P(AB)P(B)?P(AB)0.3?0.150.15????P(B)

P(A)1?P(A)0.50.55．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是

0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。

解 B?{迟到}，A1?{坐火车}，A2?{坐船}，A3?{坐汽车}，A4?{乘飞机}，则 B?题意

?BA，且按

ii?14P(B|A1)?0.25，P(B|A2)?0.3，P(B|A3)?0.1，P(B|A4)?0.

由全概率公式有：

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.3?0.25?0.2?0.3?0.1?0.1?0.145

i?14 6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：

(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。

解 (1) 记B?{该球是红球}，A1?{取自甲袋}，A2?{取自乙袋}，已知P(B|A1)?6/10，

P(B|A2)?8/14，所以

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?(2) P(B)?161841???? 21021470147? 24127．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。

解 0.25?0.05??0.35?0.04?0.4?0.02

?0.0125?0.0140?0.008?0.0345?3.45%

8．发报台分别以概率0.6，0.4发出\?\和\?\，由于通信受到干扰，当发出\?\时，分别以概率0.8和0.2收到\?\和\?\，同样，当发出信号\?\时，分别以0.9和0.1的概率收到\?\和\?\。求(1) 收到信号\?\的概率；(2) 当收到\?\时，发出\?\的概率。

解 记 B?{收到信号\?\}，A?{发出信号\?\} (1) P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

?0.6?0.8?0.4?0.1?0.48?0.04?0.52

P(A)P(B|A)0.6?0.812??.

P(B)0.52139．设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A,B,C(2) P(A|B)?生产的概率。

解 为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D?{次品}，因此

P(D)?P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C) ?0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02

?0.014?0.008?0.0345 ?0.0125 P(A)P(D|A)0.25?0.05P(A|D)???0.362

P(D)0.0345P(B)P(D|B)0.35?0.04P(B|D)???0.406

P(D)0.0345

P(C)P(D|C)0.4?0.02??0.232

P(D)0.034510．设A与B独立，且P(A)?p,P(B)?q，求下列事件的概率：P(A?B)，P(A?B)，P(A?B). 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?q?pq P(C|D)? P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?1?q?p(1?q)?1?q?pq P(A?B)?P(AB)?1?P(A)P(B)?1?pq

11．已知A,B独立，且P(AB)?1/9,P(AB)?P(AB)，求P(A),P(B). 解 因P(AB)?P(AB)，由独立性有

P(A)P(B)?P(A)P(B)

从而 P(A)?P(A)P(B)?P(B)?P(A)P(B) 导致 P(A)?P(B)

再由 P(AB)?1/9，有 1/9?P(A)P(B)?(1?P(A))(1?P(B))?(1?P(A))2 所以 1?P(A)?1/3。最后得到 P(B)?P(A)?2/3.

12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。

解 记 B?{命中目标}，A1?{甲命中}，A2?{乙命中}，A3?{丙命中}，则 B??A，因而

ii?13?3?21118?P(B)?1?P?A?1?P(A)P(A)P(A)?1????1?? 123??i?32399.?i?1?13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的

概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。 1 2 解 记 A?{通达}，

Ai?{元件i通达}，i?1,2,3,4,5,6

3 4 则 A?AA?AA?AA， 所以

5 6 P(A)?P(A1A2)?P(A3A4)?P(A5A6)

图3.1 ?P(A1A2A3A4)?P(A3A4A5A6)?P(A1A2A5A6)?P(A1A2A3A4A5A6)

123456?3(1?p)2?3(1?p)4?(1?p)6

14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。

?5?32解 p??2?3??(0.2)(0.8)?0.051.

??15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。

32解 p???3??(0.2)???2???0.8?(0.2)?0.008?0.096?0.104.

????16．设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率P(A).

?3??3?解 记Ai?{A在第i次试验中出现}，i?1,2,3. p?P(A)

?3?193依假设 ??P?A?1?P(AAA)?1?(1?p)?i123??27?i?1?83所以， (1?p)?， 此即 p?1/3.

2717．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。

解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 Ai?{第i道工序为次品}，

i?1,2,3. 则次品率

?3?p?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?0.98?0.97?0.95?1?0.90307?0.097

?i?1?18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。 解 记 A?{译出密码}， Ai?{第i人译出}，i?1,2,3. 则

?3?P(A)?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3) ?i?1??1?0.75?0.65?0.6?1?0.2925?0.707519．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？

?10??1?63解 (1) ? ； ?????5?2256????10610???1?(2) ???k???2?.

k?4????20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：

(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。 解 (1) 1?(1?0.75)?1?(0.25)?24410255 2562?4?27?3??1?22?(0.75)(0.25)?6???(2) ? ?????2?44128??????81?3?(3) (0.75)4????

4256??

习题四解答

1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。

4i,i?0,1,2,3,4,5； 155?i2,i?0,1,2,3； （2）pi?61（3）pi?,i?2,3,4,5；

4i?1,i?1,2,3,4,5。 （4）pi?25（1）pi???解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证pi是否满足下列二个条件：其一条件为

pi?0,i?1,2,?，其二条件为?pi?1。

i依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为

5?94???0；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为66520p??1。 ?i25i?1c2. 试确定常数c，使P?X?i??i,?i?0,1,2,3,4?成为某个随机变量X的分布律，并求：P?X?2?；

25??1P??X??。

2??2p3?

16ccc?成为某个随机变量的分布律，必须有，由此解得； ?1?i312i2i?0（2） P?X?2??P?X?0??P?X?1??P?X?2?

16?11?28 ? ?1????31?24?315?16?11?12?1（3）P??X???P?X?1??P?X?2??????。

2231???24?31解 要使

3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个

球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。

解 X可能取的值为-3，1，2，且P?X??3??X 概率 X的分布函数

0 x??3

4111,P?X?1??,P?X?2??，即X的分布律为 326-3 1 2 1 31 21 6F?x??P?X?x?=

1 ?3?x?1 35 1?x?2

6 1 x?2

4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。

解 依题意X可能取到的值为3，4，5，事件?X?3?表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的

11?；事件?X?4?表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个?5?10??3?????3??4???1??1??2??2??3?????6。

球可在1、2、3号球中任选，此时P?X?4???；同理可得P?X?5??1010?5??5??????3??3?????X的分布律为

X 3 4 5 136 概率 101010X的分布函数为

0 x?3

1 F?x?? 3?x?4

104 4?x?5

10 1 x?5

5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。 解 依题意X服从参数n?5,p?0.6的二项分布，因此，其分布律

只能为1号，2号，即P?X?3???5?k5?kP?X?k????k??0.60.4,k?0,1,?,5，

??具体计算后可得

X 0 1 2 3248144 概率 31256256253 4 5 216 625162 625243 3125

6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。

（1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。

解 （1）设事件Ai,i?1,2,?表示第i次抽到的产品为正品，依题意，A1,?,An,?相互独立，且

P?Ai??10,i?1,2,?而 13P?X?k??PA1?Ak?1Ak?PA1?PAk?1即X服从参数p????????3?P?Ak?????13?k?110,k?1,2,? 1310的几何分布。 13（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，

103?105P?X?1??,P?X?2???,1313?1226

3?2?1053?2?1?101P?X?3???,P?X?4???.13?12?1114313?12?11?10286X的分布律为

X 1 2 3 4 概率 10 135 265 1431 286（3）X可能取到的值为1，2，3，4， 103?1133P?X?1??,P?X?2???,1313?13169

3?2?12723?2?16P?X?3???,P?X?4???.13?13?13219713?13?132197所求X的分布律为

X 1 2 3 概率 4 10 1333 16972 21976 2197由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。 7. 设随机变量X~B?6,p?，已知P?X?1??P?X?5?，求p与P?X?2?的值。

?6?k6?k解 由于X~B?6,p?，因此P?X?6????k??p?1?p?,k?0,1,?,6。

??由此可算得 P?X?1??6p?1?p?,P?X?5??6p5?1?p?,

5即 6p?1?p??6p5?1?p?, 解得p?

526?261； 2

?6??1??1?6?5?1?15?此时，P?X?2???。 ??????????2?222!264???????? 8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。

11解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为，因此X服从n?4,p?的二项分布，即

22k4?k?4??1??1?P?X?k????k???2??2?,k?0,1,2,3,4

??????由此可得X的分布函数

0， x?0

1 ， 0?x?1

165 F?x?? ， 1?x?2

16

11， 2?x?3 1615 ， 3?x?4

16

1， x?4

9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数??4的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？

解 设至少要进n件物品，由题意n应满足 P?X?n?1??0.99,P?X?n??0.99, 即 P?X?n?1??nn?14kk?0?k!e?4?0.99

4k?4P?X?n???e?0.99

k!k?0查泊松分布表可求得 n?9。

10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。

,p?0.0001解 设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从n?1000的二项分布，即

X~B?1000,0.0001?，由于n较大，p较小，因此也可以近似地认为X服从??np?1000?0.0001?0.1的泊松分布，即X~P?0.1?，所求概率为

P?X?2??1?P?X?0??P?X?1?0.10?0.10.11?0.1 ?1?e?e0!1!?1?0.904837?0.090484?0.004679.11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。

解 设事件Ai表示第i次试验成功，则P?Ai??0.75，且A1,?,An,?相互独立。随机变量X取k意味着前k?1次试验未成功，但第k次试验成功，因此有

P?X?k??PA1?Ak?1Ak?PA1?PAk?1P?Ak??0.25k?10.75

所求的分布律为 k X 1 2 ? ? 0.25?0.75 0.75 概率 ? ? 0.25k?1?0.75 12. 设随机变量X的密度函数为 f?x?? 2x， 0?x?A 0， 其他， 试求：（1）常数A；（2）X的分布函数。

??????解 （1）f?x?成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为f?x??0；其二为???f?x?dx?1，因

??此有?02xdx?1，解得A??1，其中A??1舍去，即取A?1。

（2）分布函数

AF?x??P?X?x?????f?x?dx

x???0dx =

xx?0x???0dx??02xdx???0dx??02xdx??10dx001x0 0?x?1

x?1x?0 = x2 0?x?1

1x?113. 设随机变量X的密度函数为f?x??Ae分布函数。

解 （1）系数A必须满足???Ae???x?x（1）系数A；（2）P?0?X?1?；（3）X的,???x???，求：

?xdx?1，由于e为偶函数，所以

?x?x?x???Aedx?2?0Aedx?2?0Aedx?1 ??????解得A?

1； 2

11?x（2）P?0?X?1???0e（3）F?x?????x2f?x?dx

111dx??0e?xdx?1?e?1；

22??1?xx?0???2edx =

01?xx1?xx?0???2edx??02edxx1xx?0???2edx =

01x1x?xedx?ex?0???2?02dxx1xx?0e2 =

11?1?e?xx?0221xx?0e2 =

1?x1?ex?0214. 证明：函数

x2x?0x?2cf?x?? ce （c为正的常数）

??0为某个随机变量X的密度函数。

证 由于f?x??0，且???f?x?dx??????x?0??x?x22cdx?x2?2cd??ce???0e????x????e2c??2?x22c???1，

0因此f?x?满足密度函数的二个条件，由此可得f?x?为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数

0.5exx?0f?x?? 0.25 0?x?2 0x?2对应的分布函数F?x?的表达式。

解 当x?0时，F?x?????f?x?dx????0.5exdx?0.5ex

xx当0?x?2时，F?x?????f?x?dx????0.5exdx??00.25dx?0.5?0.25x

x0x当x?2时，F?x?????0.5exdx??00.25dx??20dx?0.5?0.5?1

02x综合有

x?0;0.5ex,F?x?? 0.5?0.25x, 0?x?2;

x?2.1,16. 设随机变量X在?1,6?上服从均匀分布，求方程t2?Xt?1?0有实根的概率。

解 X的密度函数为

f?x??

1, 1?x?6； 5

0, 其他.

方程t2?Xt?1?0有实根的充分必要条件为X2?4?0，即X2?4，因此所求得概率为

461PX2?4?P?X??2或X?2??P?X??2??P?X?2??0??2dx?。

55?? 17. 设某药品的有效期X以天计，其概率密度为

20000, x?0; f?x?? 3?x?100? 0， 其他.

求：(1) X的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率。

0,解 (1) F?x?????f?x?dx=

xxx?0; 20000

dx,?0?x?10?03x?0.0,x?0; = 10000

1?,x?0.?x?100?2(2)P?X?200??1?P?X?200??1?F?200??1??1? 18. 设随机变量X的分布函数为

0,x?0??Fx?

1??1?x?e?x,x?0求X的密度函数，并计算P?X?1?和P?X?2?。

解 由分布函数F?x?与密度函数f?x?的关系，可得在f?x?的一切连续点处有f?x??F??x?，因此

????1?? 。 2??200?100??910000x?0xe?x,f?x??

其他0,所求概率P?X?1??F?1??1??1?1?e?1?1?2e?1；

P?X?2??1?P?X?2??1?F?2??1?1??1?2?e?2?3e?2。

?? 19. 设随机变量X的分布函数为F?x??A?Barctanx,???x???，求(1) 常数A,B；(2)PX?1；(3) 随机变量X的密度函数。

解：(1)要使F?x?成为随机变量X的分布函数，必须满足limF?x??0,limF?x??1，即

x???x?????lim?A?Barctanx??0lim?A?Barctanx??1

x???x???A?计算后得

?2B?0

B?121A?2解得

1B?A???1111,B?时，F?x???arctanx也满足分布函数其余的几条性质。 2?2?（2） P?X?1??P??1?X?1??F?1??F??1?

另外，可验证当A???11?11??arctan1???arctan??1?? 2??2??1?1??????????? ?4??4?2（3）X的密度函数

f?x??F??x??1,???x???。 2?1?x?? 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从??x1的指数分布，其密度函数为f?x?? 5x?01?5e, ，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。 5其他0（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；

（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。

1解 （1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从??的指数分布，且顾客等待

5时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为

1?P?X?10???10e5dx?e?2；

5（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从n?5,p?e?2的二项分布，所求概率为

P?Y?1??P?Y?0??P?Y?1???x?5??2???0??e?????1?e?0?25?5??2?2???1??e1?e????4

P?X??0.78?；（4）P?X?1.55?；（5）P?X?2.5?。

解 查正态分布表可得

（1）P?X?2.2????2.2??0.9861；

21. 设X服从??0,1?，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P?X?2.2?；（2）P?X?176?；（3）

?1?4e?21?e?2????4（2）P?X?1.76??1?P?X?1.76??1???1.76??1?0.9608?0.0392； （3）P?X??0.78?????0.78??1???0.78??1?0.7823?0.2177； （4）PX?1.55?P??1.55?X?1.55????1.55?????1.55?

??P?X?2.5??1?P?X?2.5??1??2??2.5??1?

???1.55???1???1.55???2??1.55??1?2?0.9394?1?0.8788 （5）

P?X??2.8?；（4）P?X?4?；（5）P??5?X?2?；（6）P?X?1?1?。

?2?2??2.5??2?1?0.9938??0.0124。

22. 设X服从???1,16?，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P?X?2.44?；（2）P?X??1.5?；（3）

?b????a???解 当X~??,?2时，P?a?X?b?????????，借助于该性质，再查标准正态分布函数表可

??????求得

?2.44?1?（1）P?X?2.44????????0.86??0.8051；

4??????1.5?1?（2）P?X??1.5??1?????1????0.125?

4???1??1???0.125?????0.125??0.5498；

??2.8?1?（3）P?X??2.8?????????0.45??1???0.45??1?0.6736?0.3264；

4???4?1???4?1?（4）P?X?4????????????1.25?????0.75?

44???????1.25??1???0.75??0.8944?1?0.7734?0.6678； ?2?1???5?1?（5）P??5?X?2????????????0.75?????1?

44???????0.75????1??1?0.7734?0.8413?1?0.9321；

??2?1??0?1??（6）PX?1?1?1?PX?1?1?1?P?0?X?2??1??????????

44???????1???0.75????0.25??1?0.7724?0.5987?0.8253。

23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布??2.05,0.01?，合格品的规格规定为2?0.2，求该厂滚珠的合格率。

????解 所求得概率为

?2.2?2.05??1.8?2.05?P?2?0.2?X?2?0.2?????????0.1?0.1??????1.5?????2.5????1.5??1???2.5? ?0.9332?1?0.9938?0.92724. 某人上班所需的时间X~??30,100?（单位：min）已知上班时间为8：30，他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。

解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为

?40?30?P?X?40??1?????1???1??1?0.8413?0.1587；

10??（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从n?5,p?0.1587的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为

?5??5?054?????????P?Y?1???0.1587?0.8413?0.1587?0.8413?0.8192。 ?1??1?????

习题五解答

1??1. 二维随机变量?X,Y?只能取下列数组中的值：?0,0?,??1,1?,??1,?,?2,0?，且取这些组值的概率依次为

3??1115,,,，求这二维随机变量的分布律。 631212解 由题意可得?X,Y?的联合分布律为

X\\Y -1 0 0 0 1 31 121 1 31 0 0 652 0 0 122. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字1,2,2,3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求?X,Y?的分布律及P?X?Y?。

解 X可能的取值为1,2,3，Y可能的取值为1,2,3，相应的，其概率为

1?211?11P?X?1,Y?1??0,P?X?1,Y?2???,P?X?1,Y?3???,4?364?3122?112?112?11P?X?2,Y?1???,P?X?2,Y?2???,P?X?2,Y?3???,

4?364?364?3611?21P?X?3,Y?1??,P?X?3,Y?2???,P?X?3,Y?3??0.124?36或写成

X\\Y 1 2 1 0 2 3 1 61 61 61 121 6

1 0 61P?X?Y??P?X?1,Y?1??P?X?2,Y?2??P?X?3,Y?3??。

63

3. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：

X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量?X,Y?的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。

解 （1）在放回抽样时，X可能取的值为0,1，Y可能取的值也为0,1，且

8?8168?24P?X?0,Y?0???,P?X?0,Y?1???,10?102510?1025

2?842?21P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,10?102510?1025或写成

X\\Y 0 1 0 1 1 1216 254 254 251 25（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为

8?7288?28P?X?0,Y?0???,P?X?0,Y?1???,10?94510?945

2?882?11P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,10?94510?945或写成

X\\Y 0 1 0 1 4. 对于第1题中的二维随机变量?X,Y?的分布，写出关于X及关于Y的边缘分布律。

解 把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为 X -1 0 2 概率 按列相加得Y的边缘分布律为

Y 概率 0 28 458 458 451 455 121 61 31 125 121 5. 对于第3题中的二维随机变量?X,Y?的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于X及关于Y的边缘分布律。

解 在有放回情况下X的边缘分布律为 X 0 1 概率 Y的边缘分布律为

Y 概率 0 1 7 121 34 54 51 51 5

在无放回情况下X的边缘分布律为

X 概率 Y的边缘分布律为

Y 概率 0 1 0 1 4 54 51 51 56. 求在D上服从均匀分布的随机变量?X,Y?的密度函数及分布函数，其中D为x轴、y轴及直线y?2x?1围成的三角形区域。

解 区域D见图5.2。

易算得D的面积为S?12?1?12?14，所以

函数

f?x,y??

4,0,

?x,y??D其他

y ?X,Y?的分布函数

1 F?x,y???yx?????f?x,y?dxdy

当x??12或y?0时，F?x,y??0； 当

?12?x?0,0?y?2x?1时, F?x,y???yx10dy?y?14dx?4xy?2y?y2； -1 ? 0 1 x 22 图5.2 当?1?x?0,y?2x?1时，F?x,y???x2x?122?1dx?04dy?4x?4x?1；

2当x?0,0?y?1时，F?x,y???y00dy?y?14dx?2y?y2； 2当x?0,y?1时，F?x,y???02x?1?1dx?04dy?1

2综合有

0, x??12或y?0

4xy?y2?2y, ?12?x?0且0?y?2x?1 F?x,y?? 4x2?4x?1, ?12?x?0且y?2x?1

2y?y2, x?0且0?y?1 1, x?0且y?1

7. 对于第6题中的二维随机变量?X,Y?的分布，写出关于X及关于Y的边缘密度函数。解 X的边缘密度函数为

f??X?x?????f?x,y?dy

2x?1= ?04dy,?1 2?x?0 = 4?2x?1?,?1?x?00,其他0, 2

其他Y的边缘密度函数为

fY?y???????f?x,y?dx

0= ?y?14dx,?1?1?y?,2

0?y其他 =

20,

0?y?1其他

0,?X,Y?的密度

8. 在第3题的两种情况下，X与Y是否独立，为什么？

164416，而P?X?0?P?Y?0????，即255525P?X?0,Y?0??P?X?0?P?Y?0?；容易验证P?X?0,Y?1??P?X?0?P?Y?1?,

P?X?1,Y?0??P?X?1?P?Y?0?,P?X?1,Y?1??P?X?1?P?Y?1?，由独立性定义知X与Y相互独立。

284416在无放回情况下，由于P?X?0,Y?0??，而P?X?0?P?Y?0????，易见

455525P?X?0,Y?0??P?X?0?P?Y?0?，所以X与Y不相互独立。

解 在有放回情况下，由于P?X?0,Y?0??9. 在第6题中，X与Y是否独立，为什么？

?11??1??1?4?11??1??1?解 f??,??4，而fX????2,fY???，易见f??,??fX???fY??，所以X与Y不相互独

?43??4??3?3?43??4??3?立。

10. 设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律： X -2 -1 0 0.5 Y -0.5 1 3 概率 写出表示?X,Y?的分布律的表格。 解 由于X与Y相互独立，因此

1 41 31 121 3 概率 1 21 41 4PX?xi,Y?yj?P?X?xi?PY?yj,i?1,2,3,4,j?1,2,3,

????例如P?X??2,Y??0.5??P?X??2?P?Y??0.5??其余的联合概率可同样算得，具体结果为 X\\Y -2 111?? 428-0.5 1 3 111 81616111-1 612121110 2448481110.5 6121211. 设X与Y是相互独立的随机变量，X服从?0,0.2?上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求?X,Y?的联合密度函数及P?X?Y?。

解. 由均匀分布的定义知

5,0?x?0.2fX?x??

0,其他由指数分布的定义知

y?05e?5y,fY?y??

其他0,因为X与Y独立，易得?X,Y?的联合密度函数

y 0?x?0.2,y?025e?5y,f?x,y??fX?x?fY?y??

其他0,概率P?X?Y????f?x,y?dxdy，

其中区域G???x,y?|x?y?见图5.3，经计算有

GP?X?Y???0dx?025e?5ydy??051?e?5xdx?e?1。

12. 设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为

0.2x0.2?? 0.2 x 图5.3 x?0,y?0ke??3x?4y?,f?x,y??

其他0,求：（1）系数k；（2）P?0?X?1,0?Y?2?；（3）证明X与Y相互独立。

解 （1）k必须满足??????f?x,y?dxdy?1，即?0dy?0ke??3x?4y?dx?1，经计算得k?12；

????2????（2）P?0?X?1,0?Y?2???0dy?012e??3x?4y?dx?1?e?31?e?8；

1????（3）关于X的边缘密度函数

??x?012e??3x?4y?dy,?0 fX?x?????f?x,y?dy?

??0,其他x?03e?3x,=

其他0,同理可求得Y的边缘密度函数为

x?04e?4y, fY?y??

其他0, 易见f?x,y??fX?x?fY?y?,???x???,???y???，因此X与Y相互独立。

13. 已知二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为

0?x?1,0?y?xk?1?x?y,f?x,y??

0,其他（1）求常数k；（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立？

解 （1）k满足??????f?x,y?dxdy?1，即?0dx?0k?1?x?ydy?1解得k?24；

????1x（2）X的边缘密度函数

x0?x?124?1?x?ydy,? fX?x?????f?x,y?dy? 0??0,其他0?x?112x2?1?x?,=

其他0,Y的边缘密度函数为

fY?y?? ?y24?1?x?ydx, 0?y?1

10,2其他0?y?112y?1?y?, =

其他0,1111131927?11? （3）f?,??24???，而fX?x??12???,fY?y??12???，易见

24342241616?24??11??1??1?f?,??fX??fY??，因此X与Y不相互独立。 ?24??2??4?14. 设随机变量X与Y的联合分布律为 X\\Y 0 1 2b 0 253a 1 25122 25253且P?Y?1|X?0??，（1） 求常数a,b的值；（2）当a,b取（1）中的值时，X与Y是否独立？为什么？

523231217解 （1）a,b必须满足??pij?1，即，另外由条件概率?b?a????1，可推出a?b?2525252525j?1i?1定义及已知的条件得

P?X?0,Y?1?b3P?Y?1|X?0????

2P?X?0?5?b25

31714，结合a?b?可得到a?， 25252514a?25即

3b?25143517（2）当a?时，可求得P?X?0??，易见 ,b?,P?Y?0??252525252P?X?0,Y?0???P?X?0?P?Y?0?

25由此解得b?因此，X与Y不独立。

15. 对于第2题中的二维随机变量?X,Y?的分布，求当Y?2时X的条件分布律。

解 易知p?2?P?Y?2??1，因此Y?2时X的条件分布律为 2X|Y=2 概率 1 2 3 p121? p?23p221? p?23p321? p?23?1?16. 对于第6题中的二维随机变量?X,Y?的分布，求当X?x,???x?0?时Y的条件密度函数。

?2?解 X的边缘密度函数为（由第7题所求得）

14?2x?1?,??x?0fX?x?? 2

0,其他?1?由条件密度函数的定义知当X?x,???x?0?时Y的条件密度函数为

?2?4,0?y?2x?1f?x,y?fY|X?y|x??? 4?2x?1?

fX?x?其他0,10?y?2x?1, = 2x?1

其他0,

习题六解答

1. 设X的分布律为

X 概率 -2 -0.5 0 2 4 11111 84863求出：以下随机变量的分布律。（1）X?2；（2）?X?1；（3）X2。

解 由X的分布律可列出下表 概率 1 8-2 0 3 4 1 4-0.5 1.5 1.5 0.25 1 80 2 1 0 1 62 4 -1 4 1 34 6 -3 16 X X?2 ?X?1 X2 由此表可定出

（1）X?2的分布律为

X?2

0

3 22 4 6

概率

（2）?X?1的分布律为

1 8-3 1 4-1 1 81 1 63 21 44 16 1 33 ?X?1 概率 （3）X2的分布律为

1 30 1 61 41 41 81 8X2 概率 1 8117其中PX2?4?P?X?2??P?X??2????。

86247 241 3??2. 设随机变量X服从参数??1的泊松分布，记随机变量Y? 解 由于X服从参数??1的泊松分布，因此

0,若X?1;1,若X?1,试求随机变量Y的分布律。

1k?1e?1P?X?k??e?,k?0,1,2,?,

k!k!e?1e?1??2e?1； 而 P?Y?0??P?X?1??P?X?0??P?X?1??0!1!P?Y?1??P?X?1??1?P?X?1??1?2e?1。 即Y的分布律为

Y 0 1 概率 2e?1 1?2e?1

0?x?1;2x,3. 设X的密度函数为f?x?? 求以下随机变量的密度函数：（1）2X；（2）?X?1；（3）X2。

0,其他,解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果y?g?x?为单调可导函数，则也可利用性质求得。

（1）解法一：设Y?2X，则Y的分布函数

y??FY?y??P?Y?y??P?2X?y??P?X??

2??00yy?0?02yyy22= ?02xdx 0??1 = 0?y?2

24y?11y?221?02xdxy0?y?2fY?y??FY??y?? 2

其他0y1解法二：y?2x，x??h?y?，而h??y??，则

22fY?y??fX?h?y??h??y?

y1y?,0??1 = 22 20,其他2?

y0?y?2, = 2

其他0（2）设Y??X?1，则x?1?y?h?y?,h??y???1，Y的密度函数 其他00?1?y?12?y?1? = 其他0fY?y??fX?h?y??h??y??

2?1?y????1?

0?1?y?1

（3）设Y?X2，由于X只取?0,1?中的值，所以y?x2也为单调函数，其反函数h?y??因此Y的密度函数为

y,h??y??11，2yfY?y??fX?h?y??h??y??

1,0,2y?0,11,0?y?12y

其他 =

其他4. 对圆片直径进行测量，测量值X服从?5,6?上的均匀分布，求圆面积Y的概率密度。

1解 圆面积Y??X2，由于X均匀取?5,6?中的值，所以X的密度函数

4fX?x??

0?y?1

1,5?x?6; 0,其他.且y??x2为单调增加函数?x??5,6??，其反函数

14h?y??Y的密度函数为

4y??2y?1,,h??y??2111， ?2?y?y??6; ?y ?0,其他,125,??y?9?; = ?y 4

其他.0,fY?y??fX?h?y??h??y?? 5. 设随机变量X服从正态分布??0,1?，试求随机变量的函数Y?X的密度函数fY?y?。

25?2y 解 X~??0,1?，所以fX?x??12?e?x22,???x???，此时y?x2不为单调函数不能直接利用性质求出

fY?y?。须先求Y的分布函数FY?y?。

FY?y??P?Y?y??PX?y?

2P?y?X?yy1?x22P?y?X?y??fX?x?dx??edx.

?y?y2?1?2y11?2y1e?e,y?0; fY?y??FY??y?? 2?2y2?2y其他,0,??0?y?0;

y?0,y???

1 =

2?y0,e,?2y

y?0;其他.

X6. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数Y?e的密度函数fY?y?。

x?0;e?x,解 fX?x??

其他.0,y?ex的反函数h?y??lny,h??y??fY?y??fX?h?y??h??y??

e?lny0,1，因此所求的Y的密度函数为 y1,lny?0; y

其他,1,y?1;2 = y

其他.0,7. 设X服从??0,1?，证明?X?a服从?a,?2,其中a,?为两个常数且??0。

1?x22e,???x???，记Y??X?a，则当??0时，y??x?a证明 由于X~??0,1?,所以fX?x??2?y?a1,h??y??为单增函数，其反函数h?y??,因此Y的密度函数为????fY?y??fX?h?y??h??y??12?即证明了?X?a~?a,?2。

e1?y?a????2???2?1????12??e??y?a?22?2,???y???，

1,若X?；08. 设随机变量X在区间??1,2?上服从均匀分布，随机变量Y? 0,若X?；0

?1,若X?0.试求随机变量函数Y的分布律。

1?1?x?2;,解 X~R??1,2?，则f?x?? 3

其他.0,011而 P?Y??1??P?X?0???dx?；

?133P?Y?0??P?X?0??0；

212P?Y?1??P?X?0???dx?。

033因此所求分布律为

Y 概率 9. 设二维随机变量?X,Y?的分布律

X\\Y １ ２ -1 0 0 1 1 3１ 2 3３ ２ 1 41 81 4０ 1 8０

11 ０ 88３

求以下随机变量的分布律：（１）X?Y；（２）X?Y；（３）2X；（４）XY。

解 概率 1 111?44 188 ０ ０ 18 8 ０ X,Y? ?1,1? ?1,2? ?1,3? ?2,1? ?2,2? ?2,3? ?3,1? ?3,2? ?3,3? X?Y ２ ３ ４ ３ ４ ５ ４ ５ ６ X?Y ０ -１ -2 1 0 -1 2 1 0 XY 1 2 3 2 4 6 3 6 9 从而得到 （1）

X?Y ２ ３ ４ ５ 概率 13114 8 4 8 （２）

X?Y -２ -1 0 1 2 概率 1 111184 4 4 8

（３）从联合分布律可求得Ｘ的边缘分布律为 Ｘ １ ２ ３ 概率 5118 8 4 由此得2X的分布律为

Ｘ ２ ４ ６ 概率 518 184 （４）

XY 1 2 3 6 概率 134 8 14 18 １０. 设随机变量Ｘ、Ｙ相互独立，X~B???1,1??1?4??,Y~B??1,4??,

（１） 记随机变量Z?X?Y，求Z的分布律； （２） 记随机变量U?2X，求U的分布律。

从而证实：即使Ｘ、Ｙ服从同样的分布，X?Y与2X的分布并不一定相同，直观地解释这一结论。

解（１）由于X~B???1,1?4??,Y~B???1,1??1?4??，且Ｘ与Ｙ独立，由分布可加性知X?Y~B??2,4??，P?Z?k??P?X?Y?k????2???1?k?3?2?k?k?????4????4??,k?0,1,2,经计算有

Z ０ １ ２ 概率 96116 16 16 （２）由于

X ０ １ 概率 1 344 即

因此

U?2X 概率 ０ ２ 1 43 4

易见X?Y与2X的分布并不相同。直观的解释是的X?Y与2X的取值并不相同，这是因为X与Y并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也不同。 １１. 设二维随机变量?X,Y?的联合分布律为

X\\Y １ ２ ３ １ ２ ３ （１） 求U?max?X,Y?的分布律； （２） 求V?min?X,Y?的分布律。

解 （１）随机变量U可能取到的值为１，２，３中的一个，且

1 92 92 9０ ０ ０ 1 92 91 91P?U?1??P?max?X,Y??1??P?X?1,Y?1??;9P?U?2??P?max?X,Y??2??P?X?1,Y?2??P?X?2,Y?1??P?X?2,Y?2?211?0???;993P?U?3??P?max?X,Y??3?综合有

?P?X?1,Y?3??P?X?2,Y?3??P?X?3,Y?1??P?X?3,Y?2??P?X?3,Y?3??0?0?2215???;9999U 概率 １ ２ ３ 1 91 35 9（２）随机变量V可能取到的值为１，２，３中的一个，且 P?V?1??P?min?X,Y??1??P?X?1,Y?1??P?X?1,Y?2??P?X?1,Y?3??P?X?2,Y?1??P?X?3,Y?1?同理可求得1225??0?0???;999911P?V?2??,P?V?3??,综合有

39V 概率 １ ２ ３ １２. 设二维随机变量?X,Y?服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线x?0,y?0，x?2,y?2所围成的区域，求X?Y的分布函数及密度函数。

解 ?X,Y?的联合密度函数为

5 91 31 9

y Dz 2 -2 0 2 x 图6.2 ?1?,f(x,y)??4??FZ?z??P?Z?z?0?x?2,0?y?2;0,其他. 设Z?X?Y，则Z的分布函数

?P?X?Y?z? ?Dzz??f?x,y?dxdy y 2 Dz 其中区域Dz???x,y?:x?y?z?，

当z??2时，积分区域见图6.2，此时

FZ?z????0dxdy?0

Dz当?2?z?0时，积分区域见Dz图6.3，

此时

1FZ?z????f?x,y?dxdy???dxdy4DzDz?1?区域Dz?的面积 411122???2?z???2?z?428?其中Dz?是区域Dz限在0?x?2,0?y?2中当0?z?2时，积分区域Dz见图6.4，此时

图6.3 -2 0 2 x y 2 z y 2 的那部分。

1FZ?z????f?x,y?dxdy???dxdy4DzDz?1??区域Dz?的面积42D 1?1???4???2?z??4?2?12?1??2?z?8其中Dz?是区域Dz限在0?x?2,0?y?2中

?

-2 0 2 x D 图6.4 z的那部分。

-2 0 2 x 图6.5

当z?2时，积分区域Dz见图6.5，此时

FZ?z????f?x,y?dxdy?1。

Dz综合有

0,1?2?z?0;?2?z?2,8 FZ?z??

121??2?z?,0?z?2;8z?2,1,Z的密度函数

z??2;1?2?z?0;?2?z?,41fZ?z??FZ??z?? ?2?z?, 0?z?2;

40,其他.13. 设?X,Y?的密度函数为f?x,y?，用函数f表达随机变量X?Y的密度函数。 解 设Z?X?Y,则Z的分布函数

FZ?z??P?Z?z??P?X?Y?z??对积分变量y作变换u?x?y，得到

z?xzx?y?z??f?x,y?dxdy??????dx?z?x??f?x,y?dxdy。

???f?x,y?dy??f?x,u?x?du

????z于是 FZ?z??Z?F?z?????????z???????f?x,u?x?dx?du???????f?x,u?x?dudx，交换积分变量x,u的次序得

从而，Z的密度函数为fZ?z??f?x,z?x?dx，

把X与Y的地位对换，同样可得到Z的密度函数的另一种形式fZ?z??

习题七解答

1. 设X的分布律为，

X -1 0 ?????f?z?y,y?dy。

1 21 2 1 概率 321 61 6112 1 4求（1）EX，（2）E(?X?1)，（3）E(X)，（4）DX。 解 由随机变量X的分布律，得 X -X+1 X2 -1 2 1 0 1 0 1 21 21 41 0 1 2 -1 4 P 所以

1 31 61 61 121 41111111??0????1??2? 362612431111112?????0??(?1)? E??X?1??2??136261243111111352???4? E?X??1??0????1

3646124243512972?(E(X2)?)?(?) D(X)?E(X)24372) E?X??(?1?

另外，也可根据数学期望的性质可得：

12E??X?1???E?X??1???1?

332.设随机变量X服从参数为????0?的泊松分布，且已知E??X?2??X?3???2，求?的值。

解

2?D?X???E?X????5E?X??6?2????5??4?0??2

解 X~B?10,0.4?

所以 E?X??10?0.4?4,D?X??10?0.4?0.6?2.4

2E??X?2??X?3???EX2?5X?6?EX2?5E?X??6?2

????3. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求X的数学期望EX2。

2??故 EX2?D?X???E?X???2.4?42?18.4

4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？

解 设随机变量Y表示平均收益（单位：万元），进货量为a吨

x?a3X??a?X?Y= x?a3a则

2??E?Y?????4x?a?2000a400011dx??3adxa200020001?2a2?14000a?80000002000要使得平均收益E?Y?最大，所以

??2a2?14000a?8000000???0

得 a?3500（吨）

??

5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望E?X?和方差D?X?。

解 X的可能取值为0，1，2，3，有

P?X?0??0.9?0.8?0.7?0.504P?X?1??0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398P?X?2??0.1?0.2?0.7?0.9?0.2?0.3?0.1?0.8?0.3?0.092P?X?3??0.1?0.2?0.3?0.006所以X的分布律为

E?X??0?0.504?1?0.398?2?0.092?3?0.006?0.6X Pr 0 0.504 1 0.398 2 0.092 3 0.006 EX2?02?0.504?12?0.398?22?0.092?32?0.006?0.82

D?X??0.82??0.6??0.461?x6. 设X的密度函数为f?x??e，求（1）E?X?；（2）EX2。

2??1?x解 （1）E?X???x?edx?0

??2????1221?xx2e?xdx?2 （2）E?X???x?edx?2???0222????注：求解（1）时利用被积函数是奇函数的性质，求解（2）时化简为的指数分布随机变量的二阶原点矩。

7. 某商店经销商品的利润率X的密度函数为f(x)?????0x2e?xdx可以看成为是服从参数为1

?2(1?x),0?x?1，求EX,DX。

其他?01x?2(1?x)dx? ?0312EX? （2）? ??0x2?2(1?x)dx?16112122故D(X)?E(X)?(E(X))??()?

6318解 （1）E?X??18. 设随机变量X的密度函数为

f?x?? e?x x?0

0 x?0

?2X求E?X?、E?2X?、EX?e、D?X?。

??解

E?X?????0xe?xdx?1E?2X??2E?X??2

????14E?X?e?2X??E?X??E?e?2X??1??e?2xe?xdx?1??e?3xdx?1??0033E?X2?????0x2e?xdx?22

D?X??E?X2???E?X???19. 设随机变量?X,Y?的联合分布律为

1 0.2 0.1 求E?X?、E?Y?、E?X?2Y?、E?3XY?、D?X?、D?Y?、cov?X,Y?、?X,Y。 解 关于X与Y的边缘分布律分别为： X 0 1 Pr 0.5 0.5 E?X??0?0.5?1?0.5?0.5

Y Pr 0 0.7 1 0.3 X\\Y 0 1 0 0.3 0.4 EX???02

2?0.5?1?0.5?0.522D?X??0.5??0.5??0.25E?Y??0?0.7?1?0.3?0.3EY2?02?0.7?12?0.3?0.3D?Y??0.3??0.3??0.21E?X?2Y??E?X??2E?Y??0.5?2?0.3??0.12??

E?3XY??3E?XY??3?0?0?0.3?0?1?0.2?1?0?0.4?1?1?0.1??3?0.1?0.3cov?X,Y??E?XY??E?X??E?Y??0.1?0.5?0.3??0.05cov?X,Y?D?X?D?Y?2e?2x0?X,Y???0.050.250.21x?0x?0??21214e?4y0

10. 设随机变量X,Y相互独立，它们的密度函数分别为

fX?x??

求D?X?Y?。

fY?y??

y?0 y?0解 X~E?2?，所以D?X??11?， 22411Y~E?4?，所以D?Y??2?，

164D?X?Y??D?X??D?Y??5。 16X,Y相互独立，所以

（2）E??3X?2Y?；（3）E?XY?的值。

解 先画出A区域的图

-1 x

11. 设?X,Y?服从在A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线x?y?1?0所围成的区域，求（1）E?X?；

y 0 x A y -1

-1-y ?x,y??A

??f?x,y?? 2

0 其他

fX?x???f?x,y?dy???

?

fY?y??0?x?12dy?2?1?x??1?x?0

0 其他

?0????f?x,y?dx? ?2dx?2?1?y? ?1?y?0

?1?y0 0 其他

1E?X???x?2?1?x?dx???1301E?Y???y?2?1?y?dy???13?1??1?1E??3X?2Y???3E?X??2E?Y???3?????2??????3??3?300012E?XY????xy2dydx???x?1?x?dx??1?1?x?112

12. 设随机变量?X,Y?的联合密度函数为

f?x,y?? 12y2 0?y?x?1

0 其他 求E?X?,E?Y?,E?XY?,EX2?Y2,D?X?,D?Y?。

解 先画出区域0?y?x?1的图

y 1

??fX?x???f?x,y?dy?????

?x12y2dy?4x3

00?x?1

G 其他

fY?y???????f?x,y?dx?0 1 x

?122y12ydy?12y?1?y? 0?y?1

0 其他

E?X???1x?4x340dx?5 E?Y???1y?12y2?1?y?dy?305 E?XY???1?Xxy?12y2100dydx?2E?X2?Y2??E?X2??E?Y2???1230x?4xdx??1y2?12y2?1?y?dy?160152D?X??E?X2???E?X??2?4?6??4?2?5???75

D?Y??E?Y2???E?Y??2?6?3?2115???5???7513. 设随机变量X,Y相互独立，且E?X??E?Y??1,D?X??2,D?Y??3，求D?XY?。

解

D?XY??E?X2Y2???E?XY??2??E?X2?E?Y2???E???X??E?Y??2?D?X???E?X??2D?Y???E?Y??2???E?X??2?E?Y??2

??2?1??3?1??1?1?1114. 设D?X??25,D?Y??36,?X,Y?0.4，求（1）D?X?Y?；（2）D?X?Y?。

解：（1）D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YD?X?D?Y? ?25?36?2?0.4?25?36?85 （2）D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YD?X?D?Y?

?25?36?2?0.4?25?36?37

15. 设随机变量X,Y相互独立，X~N(1,1)，Y~N(?2,1)，求E(2X?Y),D(2X?Y)。

解 E(X)?1,D(X?)1;EY(?)?2D,Y?(

0

E(2X?Y)?2E(X)?E(Y)?2?1?(?2)?0D(2X?Y)?2D(X)?D(Y)?4?1?1?52

16. 验证：当(X,Y)为二维连续型随机变量时，按公式EX?????????????????????????xf(x,y)dydx及按公式EX??xf(x)dx????算得的EX值相等。这里，f(x,y)、f(x)依次表示(X,Y),X的分布密度。 证明 EX?????x(f,x)ydy?d?x?????(x)dx x(,f)xydyxfdx?? 17. 设X的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计P{X?EX?7.5}的值。 解 P{X?EX?7.5}?式估计PX?Y?6的值。

解 E?X?Y??E?X??E?Y???2?2?0

D(X)2.51?? 227.57.522.518. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等

??D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YD?X?D?Y??1?4?2???0.5?1?4?3所以

P?X?Y?6??P?X?Y?0?6??P?X?Y?E?X?Y??6? ?D?X?Y?1?212621. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1

年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。

?，保险公司亏本当且仅当2000X?10?3000，即X?15。于是，解 设死亡人数为X,X~B?3000,0.001由棣莫弗—拉普拉斯定理，公司亏本的概率为

?X?np15?np???P?X?15??P??np?1?p?np?1?p????15?3??x?3 ?p????3?0.9991.73??1???6.93??0

习题九解答

1. 设X1,X2,?,X6是来自服从参数为?的泊松分布P???的样本，试写出样本的联合分布律。 解 f?x1,x2,?,x6??e???x1x1!n

?e???x2x2!???e???x6x6!

?e

?6??6

?xi

i?1

?x!

ii?1

x1,x2,?,x6?0,1,2,?

2. 设X1,X2,?,X6是来自?0,??上的均匀分布的样本，??0未知 （1）写出样本的联合密度函数；

（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？

T1?X1?X2???X6,T2?X6??,T3?X6?E?X1?,T4?max?X1,X2,?,X6?

6（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 解

（1）f?x1,x2,?,x6?? ? 0?x1,x2,?,x6?? 0 其他

（2）T1和T4是，T2和T3不是。因为T1和T4中不含总体中的唯一未知参数?，而T2和T3中含有未知参数?。

?61n161（3）样本均值X??Xi??Xi??0.5?1?0.7?0.6?1?1??0.8

ni?16i?16221n16样本方差S???Xi?X????Xi?X?

ni?16i?11222222???0.3???0.2????0.1????0.2???0.2???0.2??0.0433 62??样本标准差S?S2?0.0433?0.2082。

22 3. 查表求?0，(12)?.990.01(12)，t0.99(12)，t0.01(12)。

22解 ?0.99(12)?26.217，?0.01(12)?3.571，t0.99(12)?2.6810，t0.01(12)??2.6810。

4. 设T~t?10?，求常数c，使P?T?c??0.95。

解 由t分布关于纵轴对称，所以P?T?c??0.95即为P?T??c??0.05。 由附表5.6可查得?c?1.81，所以c??1.81。

5. 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体?0,?2的样本，试证： （1）

??1?22?n?； X~??i2i?1n1?n?2X1?。 （2）??i?~??2n??i?1?证明：

1n2?Xi?222????（1）独立同分布于?0,1，由?分布的定义，???~?n，即2?Xi~??n?。

?i?1?i?1???2Xin2?n?XX2????iinn1???i?1?~?2?1?，~??0,1?，Xi?~?2?1?。（2）易见，?Xi~?0,n?2，即i?1由?2分布的定义，即 ??222??n?i?1i?1??n??n???? 6. 设X1,X2,?,X5是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个Xi?i?1,2,?,5?都服从??0,1?。

n2??2（1）试给出常数c，使得cX12?X2服从?2分布，并指出它的自由度；

??（2）试给出常数d，使得d 解

X1?X22X3?2X4?2X5服从t分布，并指出它的自由度。

2（1）易见，X12?X2即为二个独立的服从??0,1?的随机变量平方和，服从?2?2?分布，即c?1；自由度为2。

X?X2~??0,1?。 （2）由于X1?X2~??0,2?，则12X?X2222222又X3与X3相互独立，则 ?X4?X5~?2?3?，1?X4?X52?即

?X1?X2?2X322X5?2X4??3~t?3?

62X1?X22X3?2X4?2X5~t?3?

6，自由度为3。 2 7. 设?X1,X2,?,Xn?是取自总体X的一个样本，在下列三种情况下，分别求E?X?,D?X?,ES2：（1）X~B?1,p?；（2）X~E???；（3）X~R?0,2??，其中??0。 解

即d???（1）X~B?1,p?

E?X??p,E?X2??p,D?X??p?1?p?

?1n?1nE?X??E??Xi???E?Xi??p?ni?1?ni?1p?1?p??1n?1n D?X??D??Xi??2?D?Xi??

nnni?1?i?1?2?1?n21?n?1n?2?E?S??E???Xi?X?n??E??Xi?nX????E?Xi2??nE?X2???ni?1?n?i?1?n?i?1?2?21?n???D?Xi???E?Xi???nD?X??E?X??n?i?1?2????????p?1?p?1?2???np?n??p??n?n??????1???1??p?1?p??n?（2）X~E???

E?X??E?X??1

?1,D?X??1?2,?1D?X??2n?1?n222ES???D?Xi???E?Xi???nD?X???E?X??n?i?1（3）X~R?0,2??，其中??0

E?X???

??????1????????1?1?n??2D?X???23

E?X???D?X???23n21?n2??1??22ES???D?Xi???E?Xi???nD?X???E?X?????1-?n?i?1??n?3 8. 某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：

（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率； （2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。 解

（1）引入新变量：

Xi? 1，第i个样本居民年收入超过1万 0，第i个样本居民年收入没超过1万

其中i?1,2,?,n,n?1600

易见：p?P?Xi?1??0.1

又因n?1600??N?100000，故可以近似看成有放回抽样，X1,X2?,Xn相互独立。

????????E?Xi??0.1,??D?Xi??0.1?0.9?0.3

??2??样本中年收入超过1万的比例即为X，由于n?1600较大，可以使用渐近分布求解，即X~????,n?，所求概

??

率即为

?n?X???40?0.11?0.1???P?X?11%??1?P?X?0.11??1?P?????0.3??

?4??1?????1?0.9082?0.0918?3?（2）同（1）解法

引入新变量：

Xi? 1，第i个样本居民受过高等教育 0，第i个样本居民未受过高等教育

其中i?1,2,?,n,n?1600

p?P?Xi?1??0.2

??0.2,??0.2?0.8?0.40.4?????1?????1??2??1??1?2?0.8413?1?0.6826答：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918； （2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。

习题十解答

40?0.19?0.2?P?19%?X?21%??P????n?X???40?0.21?0.2????? 0.4?1. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：

（1）X~B?n,p?，其中p未知，0?p?1； （2）X~E???，其中?未知，??0。

??X。 解 （1）E?X??p，故p的矩估计量有p另，X的分布律为P?X?x??px?1?p?故似然函数为

1?x,x?0,1，

L?p??pi?1?Xin?1?p?n??Xii?1n

对数似然函数为：

n?n???lnL?p????Xi?lnp??n??Xi?ln?1?p?

i?1?i?1????Xn??XidlnL?p?i?1ii?1令 ???0

dpp1?p1n???Xi?X。 解得p的最大似然估计量pni?1可以看出p的矩估计量与最大似然估计量是相同的。

11??1。 （2）E?X??，令?X，故?的矩估计量???X另，X的密度函数为

x?0?e??xfX?x??

x?00故似然函数为

nL???? ?e0对数似然函数为

???Xii?1nnn

Xi?0,i?1,2,?,n其他

lnL????nln????Xi

dlnL???nn???Xi?0d??i?1??n?1。 解得?的最大似然估计量?nX?Xii?1i?1n可以看出?的矩估计量与最大似然估计量是相同的。

2. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为?的泊松分布，其中?未知，??0，求?的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值 X 0 1 2 3 4 17 20 10 2 1 频数 求?的矩估计值与最大似然估计值。 ??X。 解 E?X???，故?的矩估计量?由样本观测值可算得

X?0?17?1?20?2?10?3?2?4?1?1

50??另，X的分布律为

P?X?x??e故似然函数为

?xx!n,x?0,1,2,?

L????e?n?对数似然函数为

??Xii?1X1!?Xn!,Xi?0,1,2,?,i?1,2,?,n

n?n?lnL?????n????Xi?ln???ln?Xi!?i?1?i?1?dlnL?????n?d??Xii?1n

?n?0??解得?的最大似然估计量??Xii?1?X，

n??1。 故?的最大似然估计值?3. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，其中X服从区间?0,??的均匀分布，其中??0未知，求?的矩估计。

224. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，X的密度函数为

2x0?x??f?x?? ?2

其他0其中??0未知，求?的矩估计。

2x22???3X。 解 E?X???0x?2dx??，令??X，故?的矩估计量为?3?325. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，X的密度函数为

0?x?1???1?x?f?x??

其他0其中??0未知，求?的矩估计和最大似然估计。

1?2X??1??11解 E?X???0x????1?x?dx?，令，另，似然函数 ?X，故?的矩估计量为???X?1??2??2解 E?X???，令

???2X。 ?X，故?的矩估计量?

???1?n?Xi?L???? i?10对数似然函数为

nn

0?Xi?1其他

lnL????nln???1????lnXin??lnXi?0d???1i?1???1?n??1?1。 解得?的最大似然估计量为?nX?XindlnL????i?1

i?16. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为p的几何分布，即

P?X?x??p?1?p?x?1,?x?1,2,3,??，其中p未知，0?p?1，求p的最大似然估计。

n解 似然函数 L?p??p?1?p?i?1对数似然函数

?Xi?nn

?n?lnL?p??nlnp???Xi?n?ln?1?p??i?1?dlnL?p?n??dpp?Xi?ni?1n

1?p?0??解得p的最大似然估计量为p7. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布E???，其中??0未知，现在观测到六个时间间隔数据（单

位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。

解 根据习题1的结果，?的矩估计和最大似然估计量都为为

1。 X1，故平均时间间隔的矩估计和最大似然估计都X1，即为X。 ??由样本观测值可算得X?1?1.8?3.2?4?8?4.5?2.5??4。 6x1??8. 设总体X的密度函数为f?x;???e,????x????，其中??0未知，设X1,X2,?,Xn是取自这个

2?总体的一个样本，试求?的最大似然估计。

解 似然函数 L????对数似然函数为

1?2??ne?i?1?nXi?，

lnL?????nln?2???n1??Xii?1ndlnL???n???i?12?0d???1n?得?的最大似然估计量为???Xi。

ni?19. 在第3题中?的矩估计是否是?的无偏估计？

1n2n??2n??E?2X??2E?X??2E???X?EX?解 E???i????? innni?1i?12?i?1?故?的矩估计量2X是?的无偏估计。

10. 试证第8题中?的最大似然估计是?的无偏估计。

?Xi

??

?1n?1n???E??Xi???E?Xi? 证明：E???ni?1?ni?11n??1??1n??1??????x?edx??2?0x?e?dx?? ni?12?ni?12?1n???Xi是?的无偏估计。 故?的最大似然估计?ni?111. 设X1,X2,X3为总体X~??,?2的样本，证明

111?1?X1?X2?X3?632

212?2?X1?X2?X3?555都是总体均值?的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。

xx??11?1??1??E?X1?X2?X3? 证明 E??32?6?111?E?X1??E?X2??E?X3?632

?111??????E?X??E?X????632?12?2??2??E?X1?X2?X3?E??55?5?212?E?X1??E?X2??E?X3? 555?212??????E?X??E?X????555??1,??2都是总体均值?的无偏估计。 所以?X?X?X?1??D?1?2?3? 又 D??32??6111D?X1??D?X2??D?X3?3694

11177???????D?X??D?X???21818?3694?12?2??2??D?X1?X2?X3?D??55?5?414?D?X1??D?X2??D?X3? 25252599?D?X???22525?2??D???1?，所以二个估计量中??2更有效。 可见D????2?12. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X~?0,?2的一个样本，其中?2?0未知，令?的相合估计。

??1n2?2是?2试证??Xi，

ni?1?证明 易见E?又

??2?1n2?1n?E??Xi???EXi2??2

?ni?1?ni?1??1?2?Xi2~?2?n?，

i?1n?1由第九章公式（9），D?2???Xi2??2n，

i?1n??

2??1n2????D?2?Xi??2?故 D?。 n?ni?1??由切比雪夫不等式，当n??，对任给??0，

?2D?2?42222

???????P???0??，即是的相合估计。 22?n?1. 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布??,0.22，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求?的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。

????解 由于?2?0.22已知，所以选用?的1??置信区间?X?u1??,X?u1???。 22nn??当1???0.9，查表得u1???u0.95?1.64，当1???0.99，查表得u1???u0.995?2.576。x?14.95,n?6,

??244??????22?0.20.2?代入数据得?的双侧0.9置信区间观测值为?14.95?1.64?,14.95?1.64??，即为?14.82,15.08?。

66??0.2??，即为?14.74,15.16?。

66??2. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布??,?2，?未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对?和?作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求?的双侧0.95

?的双侧0.99置信区间观测值为?14.95?2.576??0.2,14.95?2.576???置信区间和方差?2的双侧0.9置信区间。

解 由于?和?都未知，故?的1??双侧置信区间为

?S*S*??n?1?,X?t1???n?1??， ?X?t1??22nn???2的1??双侧置信区间为

??22nSnS??， ,22????n?1????n?1??2?1?2?代入数据得

22x?65.14,s2?108.41,s*?11.25,t0.975?6??2.45,n?7,?0.95?6??0.05?6??1.635，

7??7?108.417?108.41?,?2的0.9双侧置信区间观测值为??，即为?60.3,464.14?。 12.5921.635??3. 随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的s*?11，设子弹速度服从正态分布??,?2，求这种子弹

?的0.95双侧置信区间观测值为?65.14?2.45??11.25,65.14?2.45?11.25??，即为?54.74,75.54?。 7???速度的标准差?和方差?2的双侧0.95置信区间。

?*2*2?????n?1Sn?1S?，代入数据得解 由于?未知，故?的双侧置信区间为?2,2????n?1????n?1??2?1?2?22n?9,S*2?121,?0.975?8??17.535,?0.025?8??2.18，

2

?2的0.95双侧置信区间观测值为?值为

??8?1218?121?,?，即为?55.204,444.037?。故?的0.95双侧置信区间观测

?17.5352.18?55.204,444.037，即为?7.43,21.07?。

?4. 已知某炼铁厂的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布??,?2，且标准差??0.108。现测量五炉铁水，其含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%），试求未知参数?的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。

解 由于??0.108已知，故?的1??单侧置信下限为X?u1??????n，?的1??单侧置信上限为

X?u1????n，代入数据得x?4.364(%),u0.95?1.645,n?5，故?的0.95单侧置信下限观测值为

4.364?1.645?0.1085?4.285，?的0.95单侧置信上限观测值为4.364?1.645?0.1085?4.443。

5. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布??,?2，现抽查了25天，得x?170元，s*?30元，求职工每天医疗费均值?的双侧0.95置信区间。

???S*S*?解 由于?未知，故?的1??双侧置信区间为?X?t1??,X?t1???，代入数据得22nn??x?170,s*?30,n?25,t0.975?24??2.0639，故?的0.95双侧置信区间观测值为

2

?3030?170?2.0639,170?2.0639??，即为?157.4,182.6?。

2424??6. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量x?501g，已知其总体标准差?1?5g；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量y?498g，已知其总体标准差?2?4g，求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差?1??2的双侧0.99置信区间。

解 由于?1?5g,?2?4g已知，故?1??2的1??的双侧置信区间为

22???12?2?12?2?X?Y?u1??? ?,X?Y?u1???22mnmn????22代入数据得x?501,y?498,m?10,n?20,?1故?1??2的0.99双侧置信区间观?25,?2?16,u0.995?2.576，

测值为?501?498?2.576???25162516??,501?498?2.576??，即为??1.68,7.68?。 10201020??1021027. 为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命X和Y，随机的抽取甲、乙两种显像管各10只，得数据x1,?,x10和y1,?,y10（单位：104h），且由此算得x?2.33,y?0.75，??xi?x??27.5,??yi?y??19.2，假定两种显

i?1i?1像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道它们的方差相等。试求两个总体均值之差?1??2的双侧0.95

置信区间。

22解 由于?1??2??2未知，故?1??2的1??双侧置信区间为

?1111??,X?Y?t1???m?n?2?Sw?? ?X?Y?t1???m?n?2?Sw22mnmn????n122??m2????X?X?Y?Y其中Sw?， ??ii?m?n?2?i?1?i?1?代入数据得x?2.33,y?0.75,m?10?n,sw?1.611,t0.975?18??2.1009，故?1??2的0.95双侧置信区间观测值为

?1111??,2.33?0.75?2.1009?1.611??, ?2.33?0.75?2.1009?1.61110101010????即为?0.066,3.094?。

8. 在3091个男生，3581个女生组成的总体中，随机不放回地抽取100人，观察其中男生的成数，要求计算样本中男生成数的SE。

解 由于样本大小n?100相对于总体容量N?6672来说很小，因此可使用有放回抽样的公式。

3091??50?5。 ??46?54?50，标准差SE的估计为SE样本成数x?100??46，估计?66721009. 抽取1000人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的百分数，样本中有543人拥有私人汽车，（1）求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE；（2）求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间。

543??54.3?45.7?49.8， 解 x??100?54.3(%),?1000

??498?1.575,u??SE??u故SE0.975?1.575?3.087， 1?21000所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间观测值为?51.213,57.387?。

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