平抛、圆周和天体运动

题型1 运动的合成与分解问题

例1 质量为2 kg的质点在竖直平面内斜向下做曲线运动，它在竖直方向的速度图象和水

平方向的位移图象如图1甲、乙所示，下列说法正确的是

( )

甲 乙

图1

A．前2 s内质点处于失重状态 B．2 s末质点速度大小为4 m/s

C．质点的加速度方向与初速度方向垂直 D．质点向下运动的过程中机械能减小

物体在光滑水平面上，在外力F作用下的v－t图象如图2甲、乙所示，从

图中可以判断物体在0～t4的运动状态

( )

甲 乙

图2

A．物体一直在做曲线运动

B．在t1～t3时间内，合外力先增大后减小 C．在t1、t3时刻，外力F的功率最大 D．在t1～t3时间内，外力F做的总功为零 答案 ABD

题型2 平抛运动问题的分析

例2 如图3，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，

飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为

( )

图3

A. C.

3gR 23gR

2

B. D.

33gR

23gR

3

(2013·北京·19)在实验操作前应该对实验进行适当的分析．研究平抛运动的

实验装置示意图如图4所示．小球每次都从斜槽的同一位置无初速度释放，并从斜槽末端水平飞出．改变水平板的高度，就改变了小球在板上落点的位置，从而可描绘出小球的运动轨迹．某同学设想小球先后三次做平抛运动，将水平板依次放在如图1、2、3的位置，且1与2的间距等于2与3的间距．若三次实验中，小球从抛出点到落点的水平位移依次为x1、x2、x3，机械能的变化量依次为ΔE1、ΔE2、ΔE3，忽略空气阻力的影响，下面分析正确的是

( )

图4

A．x2－x1＝x3－x2，ΔE1＝ΔE2＝ΔE3 B．x2－x1＞x3－x2，ΔE1＝ΔE2＝ΔE3 C．x2－x1＞x3－x2，ΔE1＜ΔE2＜ΔE3 D．x2－x1＜x3－x2，ΔE1＜ΔE2＜ΔE3 题型3 圆周运动问题的分析

例3 (2013·重庆·8)如图5所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平

转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g.

图5

(1)若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；

(2)若ω＝(1±k)ω0，且0＜k?1，求小物块受到的摩擦力大小和方向．

如图6所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，

现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速度v0，若v0＝ 在圆轨道上能够上升到的最大高度(距离底部)的说法中正确的是

10

gR，则有关小球3

( )

图6

v20

A．一定可以表示为

2gC．可能为R

4R

B．可能为

35

D．可能为R

3

题型4 万有引力定律的应用

例4 某行星自转周期为T，赤道半径为R，研究发现若该行星自转角速度变为原来的两倍，

将导致该星球赤道上的物体恰好对行星表面没有压力，已知万有引力常量为G，则以下说法中正确的是

( )

4π2R3

A．该行量质量为M＝

GT23

B．该星球的同步卫星轨道半径为r＝4R

16mπ2R

C．质量为m的物体对行星赤道地面的压力为FN＝ T2D．环绕该行星做匀速圆周运动的卫星线速度必不大于7.9 km/s

这个要注意啊：．“天体自转”模型——天体绕自身中心的某一轴以一定的角速度

匀速转动．这种模型中往往要研究天体上某物体随天体做匀速圆周运动问题，这时向心力是天体对物体的万有引力和天体对物体的支持力的合力，在天体赤道上，则会有Fn＝F万－FN.

(2013·山东·20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分

别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为 A.C.n3T k2n2T k

B.D.n3T knT k

( )

4． 平抛运动与圆周运动组合问题的综合分析

审题示例

(15分)如图7所示，一粗糙斜面AB与圆心角为37°的光滑圆弧BC相切，经过C点的切线方向水平．已知圆弧的半径为R＝1.25 m，斜面AB的长度为L＝1 m．质量为m＝1 kg的小物块(可视为质点)在水平外力F＝1 N作用下，从斜面顶端A点处由静止开始，沿斜面向下运动，当到达B点时撤去外力，物块沿圆弧滑至C点抛出，若落地点E与C点间的水平距离为x＝1.2 m，C点距离地面高度为h＝0.8 m．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2)求：

图7

(1)物块经C点时对圆弧面的压力； (2)物块滑至B点时的速度； (3)物块与斜面间的动摩擦因数．

一长l＝0.80 m的轻绳一端固定在O点，另一端连接一质量m＝0.10 kg

的小球，悬点O距离水平地面的高度H＝1.00 m．开始时小球处于A点，此时轻绳拉直处于水平方向上，如图8所示．让小球从静止释放，当小球运动到B点时，轻绳碰到悬点O正下方一个固定的钉子P时立刻断裂．不计轻绳断裂的能量损失，取重力加速度g＝10 m/s2.求：

图8

(1)当小球运动到B点时的速度大小；

(2)绳断裂后球从B点抛出并落在水平地面的C点，求C点与B点之间的水平距离； (3)若OP＝0.6 m，轻绳碰到钉子P时绳中拉力达到所能承受的最大拉力断裂，求轻绳能承受的最大拉力．

(限时：45分钟)

一、单项选择题

1． (2013·江苏·2)如图1所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度

的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是

( )

图1

A．A的速度比B的大

B．A与B的向心加速度大小相等

C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小 答案 D

2． 如图2所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是以O为圆心的一段圆弧，位

于竖直平面内．现有一小球从一水平桌面的边缘P点向右水平飞出，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入轨道．OA与竖直方向的夹角为θ1，PA与竖直方向的夹角为θ2.下列说法正确的是

( )

图2

A．tan θ1tan θ2＝2 B．cot θ1tan θ2＝2 C．cot θ1cot θ2＝2 D．tan θ1cot θ2＝2 答案 A

3． 在光滑水平桌面中央固定一边长为0.3 m的小正三棱柱abc，俯视如图3.长度为L＝1 m

的细线，一端固定在a点，另一端拴住一个质量为m＝0.5 kg、不计大小的小球．初始时刻，把细线拉直在ca的延长线上，并给小球以v0＝2 m/s且垂直于细线方向的水平速度，由于光滑棱柱的存在，细线逐渐缠绕在棱柱上(不计细线与三棱柱碰撞过程中的能量损失)．已知细线所能承受的最大张力为7 N，则下列说法中不正确的是

( )

图3

A．细线断裂之前，小球速度的大小保持不变 B．细线断裂之前，小球的速度逐渐减小 C．细线断裂之前，小球运动的总时间为0.7π s D．细线断裂之前，小球运动的位移大小为0.9 m 答案 B

4． (2013·广东·14)如图4，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行

星做匀速圆周运动，下列说法正确的是

( )

图4

A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的运行周期比乙的小 C．甲的角速度比乙的大

D．甲的线速度比乙的大 答案 A

5． 2013年2月15日中午12时30分左右，俄罗斯车里雅宾斯克州发生天体坠落事件．如

图5所示，一块陨石从外太空飞向地球，到A点刚好进入大气层，由于受地球引力和大气层空气阻力的作用，轨道半径渐渐变小，则下列说法中正确的是

( )

图5

A．陨石正减速飞向A处

B．陨石绕地球运转时角速度渐渐变小 C．陨石绕地球运转时速度渐渐变大 D．进入大气层陨石的机械能渐渐变大 答案 C 二、多项选择题

6．(2013·新课标Ⅱ·21)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图6，某公路急转弯处是

一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处

( )

图6

A．路面外侧高内侧低

B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动

C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动 D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小 答案 AC

7． 某同学学习了天体运动的知识后，假想宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系．如图7

所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动．如果两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F.则

( )

图7

A．每颗小星受到的万有引力为(3＋9)F B．每颗小星受到的万有引力为(3

＋9)F 2

C．母星的质量是每颗小星质量的3倍 D．母星的质量是每颗小星质量的33倍 答案 AC

8． 地球自转正在逐渐变慢，据推测10亿年后地球的自转周期约为31 h．若那时发射一颗

地球的同步卫星W2，与目前地球的某颗同步卫星W1相比，以下说法正确的是(假设万有引力常量、地球的质量、半径均不变) A．离地面的高度h2>h1 B．向心加速度a2>a1 C．线速度v2v1 答案 AC

9． 我国自主研发的“北斗卫星导航系统”是由多颗卫星组成的，其中有5颗地球同步卫

星．在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，如图8所示，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则

( )

( )

图8

A．该卫星的发射速度必定大于11.2 km/s B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度小于7.9 km/s C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的动能小于在Q点的动能 D．在轨道Ⅱ上的运行周期大于在轨道Ⅰ上的运行周期 答案 BD 三、非选择题

10．如图9所示，质量M＝2 kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m＝1 kg的小球通过

长L＝0.5 m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v0＝4 m/s，g取

10 m/s2.

图9

(1)若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向；

(2)在满足(1)的条件下，小球在最高点P突然离开轻杆沿水平方向飞出，试求小球落到水平轨道的位置到轴O的距离；

(3)若解除对滑块的锁定，小球通过最高点时的速度大小v′＝2 m/s，试求此时滑块的速度大小．

答案 (1)2 N 竖直向上 (2)15

m (3)1 m/s 5

11．如图10所示，水平地面和半径R＝0.5 m的半圆轨道面PTQ均光滑，质量M＝1 kg、

长L＝4 m的小车放在地面上，右端点与墙壁的距离为s＝3 m，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平．现有一质量m＝2 kg的滑块(可视为质点)以v0＝6 m/s的水平初速度滑上小车左端，带动小车向右运动，小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上．已知滑块与小车上表面的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2.

图10

(1)求小车与墙壁碰撞时滑块的速率； (2)求滑块到达P点时对轨道的压力；

(3)若圆轨道的半径可变但最低点P不变，为使滑块在圆轨道内滑动的过程中不脱离轨道，求半圆轨道半径的取值范围．

答案 (1)4 m/s (2)68 N 竖直向下 (3)R≤0.24 m或R≥0.60 m

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