云南省昆明市2017届高三上学期调研统测试卷

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项 是符合题目要求的.

21. 设集合A?x|x?3x?0,B??x|x?1?,则A?B?（ ）

??A．???,0???3,??? B．???,1???3,??? C．???,1? D．???,0? 2. 已知复数z满足?2?i?z?3?4i,则z?（ ）

A．2?i B．?2?i C．2?i D．?2?i

??????3. 已知向量a?x,3,b?x,?3,若2a?b?b,则a?（ ）

??????A． 1 B．2 C．3 D．2 4. 执行如图所示的程序框图,如果输入的a?1,b?1,那么输出的值等于（ ）

A．21 B．34 C．55 D．89 5. 已知函数f?x?是奇函数, 当x?0时,f?x??log2?x?1?, 则f??3??（ ） A． ?2 B．2 C． ?1 D．1

6. 如图，某几何体的三视图由半径相同的圆和扇形构成, 若府视图中扇形的面积为3?, 則该几何体的体积等于（ ）

A．8? B．

16?4? C．4? D．

331, 若直角三角形的两条直角边的长分别为a,b?a?b?,则57. 如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为

b?（ ） a

A．

1132 B． C． D． 32328. 为了得到函数y?sin2x?cos2x的图象, 可以将函数y?2cos2x的图象（ ）

3?3?个单位 B．向右平行移动个单位 883?3?C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位

44A．向左平行移动

x2y2??1的左顶点和右焦点, 点P在椭圆C上, 且9. 点A,F分别是椭圆C:1612PF?AF,则?AFP的面积为 （ ）

A． 6 B．9 C．12 D．18 10. 已知数列?an?满足:a1?2,an?1??an?1?1?1, 则a12? （ ）

?2A．101 B．122 C．145 D．170

x??2,x?111. 已知函数f?x???,若存在实数a,当x?2时,f?x??ax?b 恒

??ln?x?1?,1?x?2成立, 则实数b的取值范围是（ ）

A． ?1,??? B．?2,??? C．?3,??? D．?4,??? 12. 在平面直角坐标系xOy中, 以C?1,1?为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A,B两点, 点M,N分别在线段OA,OB上, 若,MN 与圆C相切, 则MN的最小值为（ ） A． 1 B．2?2 C．22?2 D．22?2

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

?x?1?0?13. 若x,y满足约束条件?x?y?0,则x?2y的取值范围是 ．

?x?y?4?0?14.?ABC 中,BC 边上的中线等于

1BC,且AB?3,AC?2,则BC? ． 3AB?2, 过直线B1D1的平面??平面A1BD,15. 如图, 在正方体ABCD?A1BC11D1中,

则平面?截该正方体所得截面的面积为 ．

16. 设点P,Q分别是曲线y?xe小值是 ．

?2x和直线y?x?2上的动点, 则P,Q两点间的距离的最

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）已知数列?an?的前n项和为Sn,a1?1,S2n?2an?an.

2（1）求数列?an?的通项公式；

（2）若bn?2n,求b1?b3?b5?...?b2n?1.

a18. （本小题满分12分）如图, 四棱锥P?ABCD中, 平面PAD?平面ABCD,

AB?CD,AB?BC,AB?PA?PD?3,CD?1,BC?4,E为线段AB上一点,

AE?1BE,F 为PD的中点. 2（1）证明:PE? 平面ACF; （2）求二面角A?CF?B的正弦值.

19. （本小题满分12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收

费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下： 消费次第 收费比例 第1次 第2次 第3次 第4次 ?5次 0.80 1 0.95 0.90 0.85 该公司从注册的会员中, 随机抽取了100位进行统计, 得到统计数据如下: 消费次第 频数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 60 20 10 5 5 假设汽车美容一次, 公司成本为150元, 根据所给数据, 解答下列问题: （1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率;

（2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润;

(3) 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 设该公司为一位会员服务的平均利润为

X元, 求X的分布列和数学期望E?X?.

20. （本小题满分12分）已知点F是拋物线C:y?2px?p?0?的焦点, 若点M?x0,1?在

2C上, 且MF?5x0. 4（1）求p的值;

（2）若直线l经过点Q?3,?1?且与C交于A,B(异于M)两点, 证明: 直线AM与直线

BM的斜率之积为常数.

21. （本小题满分12分）已知函数f?x??e?ax?3,曲线y?f?x?在点0,f?0?处的

x??切线方程为y??2.

（1）求实数a的值及函数f?x?的单调区间;

（2）用m表示不超过实数m的最大整数, 如:?0,3??0,??1,3???2, 若x?0时,

???m?x?ex?m?2, 求?m?的最大值.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

?如图, 在?ABC中,?BAC?90, 以AB为直径的?O交BC于点D,E是边AC上一点,

BE 与?O交于点F,连接DF.

（1）证明:C,D,F,E 四点共圆; （2）若EF?3,AE?5,求BD?BC的值.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是??6cos??2sin??1??0,以极点为平面直角坐标系的原

点，极轴为x轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy中, 直线l经过点

P?3,3?,倾斜角???3.

（1）写出曲线C直角坐标方程和直线l的参数方程; （2）设l与曲线C相交于A,B两点, 求AB的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f?x??x?m?x?1,其中m?0. m（1）当m?1时, 解不等式f?x??4; （2）若a?R,且a?0,证明:f??a??f??1???4. a??

云南省昆明市2017届高三上学期摸底调研统测数学（理）

试题参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

1-5.DADCA 6-10.ABBBC 12.BD 二、填空题（每小题5分，共20分）

13.?3,7? 14.32 15.6 16.2 三、解答题

2217.解：（1）S2n?2an?an，则S2?a1?a2?2a1?a1，又a1?1，得a2?2，等差数列

?an?的公差d?a2?a1?1，所以数列?an?的通项公式为an?n.

（2）bn?2an?2n,所以数列?b2n?1?是首项为2,公比为4的等比数列,

2n?14?1?. ?3?b1?b3?b5?...?b2n?1?18. 解：（1）证明: 连接CE,DE,设DE?AC?O,连接

FO,?AE?1BE,AB?3,CD?1,AB?CD,?AE?CD,?四边形AECD为平行四边形, 2且O是DE的中点, 又?F为PD的中点,?OF?PE,?OF? 平面ACF,PE?平面

ACF,?PE?平面ACF.

（2）取AD的中点G,连接PG,由PA?PD得PG?AD,?平面PAD?平面ABCD,平面PAD?平面ABCD?AD,PG?AD,,?PG?平面ABCD,在Rt?CBE中,

CE?CB2?EB2?42?22?25, 在等腰?PAD中,

AD?25,?PG?PA?AG?3?222?5?2?2, 以C为坐标原点, 分别以CD,CB????所在直线为x轴,y 轴,GP 为z轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系C?xyz,由

题知,

??3??????3????????A?3,4,0?,B?0,4,0?,D?1,0,0?,P?2,2,2?,F?,1,1?,?CF??,1,1?,CB??0,4,0?,CA??3,4,0??2??2?

????????CB?n?0设n??x1,y1,z1?是平面CBF的法向量, 则????,即????CF?n?0?4y1?0??,?n??2,0,?3?. ?3x1?y1?z1?0??2???????3x2?4y2?0???CA?m?0??设m??x2,y2,z2?是平面CAF的法向量, 则????,即?3得???x2?y2?z2?0???CF?m?0?2??m??4,?3,?3?.

??????n?m17326,?二面角A?PB?C的正弦值为. ?cos?n,m??????2626n?m19. 解：（1）100位会员中, 至少消费两次的会员有40人, 所以估计一位会员至少消费两次的概率为P?40?0.4. 10050?40?452（2）该会员第一次消费时, 公司获得利润为200?150?50(元), 第2 次消费时, 公司获得利润为200?0.95?150?40(元), 所以, 公司这两次服务的平均利润为(元).

(3) 由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时, 利润为50元,当会员仅消费2次时, 平均利润为45元,当会员仅消费3次时, 平均利润为40元,当会员仅消费4次时, 平均利润为35元,当会员仅消费5次时, 平均利润为30元,故X的所有可能取值为50,45,40,35,30,X的分布列为:

X 50 0.6 45 0.2 40 0.1 35 0.05 30 0.05 P X数学期望为E?X??50?0.6?45?0.2?40?0.1?35?0.05?30?0.05?46.25(元).

pp5,则x0??x0,解得x0?2p,又点M?x0,1?2241在C上, 代入C:y2?2px,得2px0?1,解得x0?1,p?.

220. 解：（1）由抛物线定义知MF?x0?（2）由（1）得M?1,1?,C:y?x,当直线l经过点Q?3,?1?且垂直于x轴时, 此时

2A3,3,B3,?3,

则直线AM的斜率kAM?????3?1?3?1,直线BM的斜率kBM?,所以22kAM?kBM??3?13?11???.当直线l不垂直于x轴时, 设A?x1,y1?,B?x2,y2?, 222则直线AM的斜率kAM?y1?1y1?11,同理直线BM的斜率?2?x1?1y1?1y1?1kBM?1111,设直线l的斜率为k?k?0?,,?kAM?kBM???y2?1y1?1y2?1y1y2?y1?y2?1且经过

综上, 直线AM与直线BM的斜率之积为?1. 2x21. 解：（1）函数f?x?的定义域为???,???,因为f'?x??e?a,由已知得

f'?0??0,?a??1,由f'?x??ex?1?0得x?0,由f'?x??0得x?0,所以函数f?x?的单调递增区间为?0,???,单调递减区间为???,0?.

xex?2（2）x?0时, 不等式?m?x?e?m?2等价于m?x,令

e?1xex?ex?x?3?xex?2x,由（1）得ux?e?x?3在?0,???上单调g?x??x,?g'?x????2xe?1?e?1?递增，又因为u?1??0,u?2??0,?g'?x?在?0,???上有唯一零点x0,且1?x0?2,当

x??1,x0?时,g'?x??0,

当x??x0???时,g'?x??0, 所以g?x?的最小值为g?x0?, 由g'?x0??0得

ex0?x0?3,?g?x0??x0?x0?3??2?x0?1,由于1?x0?2,?2?g?x0??3,因为

x0?2m?g?x0?,所以?m?最大值为2.

22. 解：（1）证明: 连接AD,?AB是?O的直径,

??ADB?90?,??DAB??DBA?90?,

??BAC?90?,??C??DBA?90?,??C??DAB,

??BD?BD?,??DAB??DFB,??C??DFB??DFE??DFB?180?, ??DFE??C?180?,?C,D,F,E四点共圆.

（2）连接AF.?AB是?O的直径,

?AF?BE,??BAC?90?,?AE2?EF?EB,?52?3EB,

即

EB?253,?BF?253?3?163,?C,D,E,F四点共圆?BD?BC?BF?BE?16254003?3?9

23. 解：（1）曲线C化为:?2?6?cos??2?sin??1?0, 再化为直角坐标方程为

x2?y2?6x?2y?1?0,化为标准方程是?x?3?2??y?1?2?9,直线l的参数方程为?1??x?3?tcos???x?3??3,即?2t(t为参数). ????y?3?tsin?3???y?3?32t,

3??1??（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得?t???4?t??9,整理得:

??22????22t2?43t?7?0,

??43?4?7?20?0,则t1?t2??43,t1?t2?7,所以

??2AB?t1?t2??t1?t2??4t1?t2?48?28?25. 224. 解：（1）当m?1时, 由f?x??x?1?x?1,由f?x??4得,

?x??1, x?1?x?1?4,???x?1?1?4?或???1?x?1?x?1,或???2?x??1或?x?x?1或

?x?1?x?1?4?x?1?x?1?41?x?2,?x???2,2?.

（2）证明:f??a??f?1111?1???a?m??a???m??,?maam?a?11??m?a??2?aa???f??a??1111?a????a??2??mama??a?m?

?1?f???4. ?a?

3??1??（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得?t???4?t??9,整理得:

??22????22t2?43t?7?0,

??43?4?7?20?0,则t1?t2??43,t1?t2?7,所以

??2AB?t1?t2??t1?t2??4t1?t2?48?28?25. 224. 解：（1）当m?1时, 由f?x??x?1?x?1,由f?x??4得,

?x??1, x?1?x?1?4,???x?1?1?4?或???1?x?1?x?1,或???2?x??1或?x?x?1或

?x?1?x?1?4?x?1?x?1?41?x?2,?x???2,2?.

（2）证明:f??a??f?1111?1???a?m??a???m??,?maam?a?11??m?a??2?aa???f??a??1111?a????a??2??mama??a?m?

?1?f???4. ?a?

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