数值分析复习题13

第一章

1.P，（2）,9 12：2，3，6，8（1）

1．数值计算中，误差主要来源于模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差.

?2.??3.141592653?, 近似值x?3.1416与精确值?比较,有( D )几位有效数字.

A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位

3.1416?0.31416?10?1,m??1详解：3.1416?3.141592653?0.000007347?0.00005?0.5?10

?4m?n??4,m??1,?n?53.??3.141592653?的5位有效数字,它的绝对误差限是( B ) A. 0.0005

B. 0.00005

C. 0.000005

D. 0.0000005

详解：3.1416-3.141592653=0.0000074<0.00005（最后一位是5）

4．已知e?2.718281828?，取近似值x?2.7182，那么x具有的有效数字是（A ） A. 4位 B. 5位 详解：与第二题类似，省略。

C. 6位

D. 7位

5．为了减少舍入误差，应将将2009?2008改写为 . （12009?2008）

6．要使15的近似值的相对误差限小于0.001％,要取几位有效数字。（P8）

15?3.?，取a1?3, ?r?1?10?n?1

2(a1?1)1?10?n?1?10?52?410?n?1?10?5 n?67．1）经过四舍五入得出x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430。问它们分别有几位有效数字？

2）求x1?x2?x4,的绝对误差限。(P7)

第二章

1.P44：3；5；6

1. 用二分法求方程在区间[1,3]内的根，进行一步后根的所在区间为 （1,2） ，进行两步后根的所在区间为 （1.5,2） 。（此题缺少条件，方程应为：2x?5x?1?0）

32．用牛顿法及弦截法求解方程f(x)?0的近似根时它们的的迭代公式分别为 。 牛顿法迭代公式：xn?1?xn?f(xn)xn?1?xn ，弦截法迭代公式：x?x??f(xn?1) n?2n?1f'(xn)f(xn?1)?f(xn)3. 迭代过程xk?1?21xk?2收敛于x*?33时，问其有几阶收敛速度。 3xk3．解 因为?(x)?21211x?2，??(x)??23,???(x)?64 3x3xx2?0 33 ??(33)?0,???(x33)? 故是二阶收敛。 （第一个不等于0的一阶导数阶数） 4. 判断用下列两种迭代格式

xk?1?xk?1?2xk?5,k?0,1,2,?2xk13(xk?5),k?0,1,2,? 2xk?1?32xk?5,k?0,1,2,?求方程

x3?2x?5?0

在[2,3]内的根的收敛性。 4． 解 1）?(x)?2x?5?2(x?5)1416????(x)?,?(2)??,?(3)??, ，

x2x3827 max|??(x)|?1，发散

2?x?32）?(x)?133(x?5)，??(x)?x2，??(2)?6?1，max|??(x)|?1，所以发散。

222?x?32?23）??(x)?(2x?5)3，max|??(x)|?0.94?1，所以收敛。

2?x?33函数对定义域封闭，并且一阶导数在定义域内均小于1，收敛；否则发散

第三章

1.P（2）；11（1）（2） 100：6，8，9，10（1）

?1???2. x?2,则 ||x||1? 6 , ||x||2? 14 , ||x||?? 3 。 ????3??向量范数定义：范数定义：1-||x||1?|x1|?|x2|?...?|xn|2222-范数定义：||x||2?x12?x2?x3...?xn

??范数定义:||x||??max(|xi|)?131???3．A?103则 ||A||?? 8 , ||A||1? 7 . ????34?1??矩阵范数定义：

|aii|??|aij|j?1j?i

n行范数（无穷范数）：每一行元素绝对值相加的最大值列范数（1范数）：每一列元素绝对值相加的最大值2-范数：AAT特征根最大值，再开根号4. 矩阵A的范数应满足下列四个条件：非负性，齐次性，三角不等式，相容性

5. 设A=(aij)n?n为对角占优阵，则矩阵A的元素应满足条件 。

6．用Doolittle、Crout分解法和平方根法求解下列线性方程组

?124??x1??4??266??x???5? ???2?????467????x3????6??7．试对下列线性方程组进行等价变换，确保雅克比迭代和高斯－赛德尔迭代法收敛,并写出迭代格式。

??x1?8x2?2x3?1???x1?x2?9x3?3 ?5x?2x?x?523?1

第五章

1.P178：1；2；4；10；14 详解：1.L1(x)?2．差分表

x?10x?01e?e??(x?1)?ex,0?11?0R2(x)?f??(?)x(x?1) 2xi f(xi) 一阶 二解 三阶 ?0.10.30.71.1 0.995?0.040?0.1500.955 ?0.190 0.029 ?0.0210.765?0.3110.454

等距离向前插值多项式（t?0）

N3(x)?N3(?0.1?0.4t)?0.995?令?0.1?0.4t?0.2，t??0.040?0.1500.029t?t(t?1)?t(t?1)(t?2) 1!2!3!3 4N3(0.2)?0.995??0.0403?0.150310.029315?(?)?(?)(?)?0.981

1!42!443!444?0.311?0.0210.029t?t(t?1)?t(t?1)(t?2) 1!2!3!等距离向后插值多项式（t?0）

N3(x)?N(1.1?0.4t)?0.454?31.1?0.4t?0.8，t??

4

N3(0.8)?0.454?4． ?0.3113?0.021310.029315(?)?(?)?(?)?0.688 1!42!443!444

xi 012 34f(xi) 一阶 二解 三阶 四解 0161646 30 7 880 42?886?65?1/3?71/3?35/6135N4(x)?0?16(x?0)?7x(x?1)?x(x?1)(x?2)?x(x?1)(x?2)(x?3)

36f(5)(?)x(x?1)(x?2)(x?3)(x?4) R4(x)?5!10．L2(x)?0(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1) ?3?4(?2)?(?3)2?(?1)3?1f(3)(?)(x?1)(x?1)(x?2) R2(x)?3!14.100=10，121=11，144=12 线性插值：

L1(x)?x?121x?10010?11

100?121121?100L1(115)?二次插值：

115?121115?10061510?11?10?11?10.71429

100?121121?1002121L1(x)?(x?121)(x?144)(x?100)(x?144)(x?100)(x?121)10?11?12

(100?121)(100?144)(121?100)(121?144)(144?100)(144?121)(115?121)(115?144)(115?100)(115?144)(115?100)(115?121)10?11?12(100?121)(100?144)(121?100)(121?144)(144?100)(144?121)

(?6)(?29)15(?29)15(?6)?10?11?12?10.7227621?4421?(?23)44?23L1(115)?2. 已知f(x)?8x8?7x6?2x3?9,则f[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]?( D )

A. 8

B. 7

C. 2

D. 0

3．已知f(x)?6x4?5x2?2x?1,则f[4,5,6,7,8]?( A )

A. 6

B. 5

C. 2

D. 1

fk(?)利用性质f[a0,a1,a2,...,an]?

k!4. 设f(1)?0, f(2)?4, f(3)?16, 则f[1,2]? 4 ，f[1,2,3]? 4 . 5．已知f(1)?1,f(2)?4,f(3)?2,则f(x)的分段线性插值函数为 .

f(1)?1,f(2)?4,f(3)?2。x?1?x?21?4?3x?2,x?(1,2)? ?1?22?1Ih(x)???x?34?x?22??2x?8,x?(2,3)?3?2?2?3 第六章

1. P222：3，4，6，9，13，19，22 编写相关算法的程序。 2. 试用法方程方法求y?e在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。

11?xa?a?edx?e?101??0?2,a0?0.873,a1?1.609,?(x)?0.873?1.609x] [答案：法方程为：?1?1a?1a?xexdx?101?0?3?2x3.试用Legendre多项式构造x在[?1,1]上的二次最佳平方逼近多项式。

4

111?124??dx?a0??xdx?a1??xdx?a2??xdx-1-1-1?-11111??23方程组??xdx?a0??xdx?a1??xdx?a2??x?x4dx-1-1-1?-1

1111???x2dx?a0??x3dx?a1??x4dx?a2??x2?x4dx?-1-1-1?-163*解得：S2(x)?x2?7353.已知函数表为

x ?20???1?0112 0 y ??1?2试用y?c0?c1x?c2x2按最小二乘原理拟合函数.

?y0??y??11111??1??,YT??y?,AT?A得到系数矩阵，AT?Y得到右边的矩阵

AT??xxxxx012342????22222??xxxxxy?01234??3??y??4??5010??c0??4?5832???????x] [答案: 法方程为：0100?c1??0,y?????357??????100342c???2???4.求y?arctanx在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。

1?1?a?a??ln201??242,a0?0.0429,a1?0.7918,?(x)?0.0429?0.7918x] [答案:正则方程为??1a?1a???101?342?25. 推导下列矩形求积公式：

?将f(x)在x?baf(x)dx?(b?a)f(a?bf??(?)3)??b?a?. 224a?b处taylor展开，得 2a?ba?ba?b1a?b2f(x)?f()?f'()(x?)?f''(?)(x?),??[a,b].

22222a?ba?bba?bf(x)dx?(b-a)f()?f'()(x?)dx?a22?a21ba?b2 +?f''(?)(x?)dx 2a2a?b1 ?(b-a)f()?f''(?)(b?a)3,??[a,b].22 b 6. 给出下面数据表

xi yi 3 5 4 4 5 2 6 1 7 1 8 2 求一多项式曲线,使其拟合给定的这组数据.（其实就是最小二乘法的拟合） 7. 证明是实值函数f(x)?[?baf(x)dx]是定义在C[a,b]上的范数。

212证明思路：非负性、齐次性、三角不等式

第七、八章 1. P256:1,2,4,7，10 2. P265：1,2

3. 用三点公式和五点公式求

f(x)?1(1?x)2在x?1.0,1.1和1.2处的导数值，并估计误差.f(x)的值由表给出.

x 1.0 1.1 y 0.250 0 0.266 8 三点公式：

1.2 0.206 6 1.3 0.189 0 1.4 0.173 6 1?f'(x)?(?3f(x0)?4f(x1)?f(x2))0?2h?1?(f(x2)?f(x0)) ?f'(x1)?2h?1?f'(x)?(f(x0)?4f(x1)?3f(x2))2?2h?五点公式：

??f??f????f???f??f??1(?25f(x0)?48f(x1)?36f(x2)?16f(x3)?3f(x4))12h1'(x1)?(?3f(x0)?10f(x1)?18f(x2)?6f(x3)?f(x4))12h1 '(x2)?(f(x0)?8f(x1)?8f(x2)?8f(x3)?f(x4))12h1'(x3)?(?f(x0)?6f(x1)?18f(x2)?10f(x3)?3f(x4))12h1'(x4)?(3f(x0)?16f(x1)?36f(x2)?16f(x3)?3f(x4))12h'(x0)?4.求积公式

2?10f(x)dx?1311f()?f(1)的代数精度为多少? 434311f()?f(1)精确成立0434

1311而f(x)?x3时，?0f(x)dx?4f(3)?4f(1)不精确成立，所以具有2阶代数精度f(x)?1,x,x时，?f(x)dx?5 .若f''(x)?0,证明用梯形公式计算积分?af(x)dx所得到的数值计算结果比准确值大，并说明其几何意义。 解：采用梯形公式计算积分时，余项为

bRT??f??(?)(b?a)3,??[a,b] 12又?f??(x)?0且b?a

?RT?0

又?RT?I?T

?I?T

即计算值比准确值大。

6.设f(x)在[a,b]二阶连续可导，使推导下面求积公式， 并证明余项如下

R[f]??baf(x)dx?b?a1[f(a)?f(b)]?(b?a)2[f'(a)?f'(b)] 2413(b?a)'f'?(?)?,6a( b,)f(x)在x?a点处用泰勒公式展开：f(x)?f(a)?f'(a)(x?a)?f''(?1)(x?a)2，两边同时在[a,b]上积分b?af(x)dx?(b?a)f(a)?1'1f(a)(b?a)2?f''(?1)(b?a)326f(x)在x?b点处用泰勒公式展开：f(x)?f(b)?f'(b)(x?b)?f''(?2)(x?b)2，两边同时在[a,b]上积分b?af(x)dx?(b?a)f(b)?b1'1f(b)(b?a)2?f''(?2)(b?a)326f''(?2)?f''(?1)b?a112''3相加除以2，得?f(x)dx?[f(a)?f(b)]?(b?a)[f(a)?f(b)]?(b?a)?[]a24621由于f(x)二阶导连续，所以余项为：R[f]?(b?a)3f''(?),??(a,b)6

第九章

1. P305：1,2,3，6,10,12,14,15 编写相关算法的程序。

2.用改进欧拉法求解处初值问题，要求取步长h=0.5,计算结果保留6位小数。

2ty?',0?t?2?y?1?2 ? 1?t??y(0)?0h??yi?1?yi??f(xi,yi)?f(xi?1,yi?1)?改进的欧拉法：?，xi?hi,x0?y0?0. 2??y0?y(x0),i?0,1,2,?,n?1?y??x?y?1,?x3. 对初值问题?y(0)?1,，取步长h?0.1，用四阶龙格-库塔法求y(0.2)的近似值，并与准确解y?x?e.

?在x?0.2的值进行比较。

ìh??y=y+(k1+2k2+2k3+k4)i+1i?6???k1=f(xi,yi)?????k=f(x+h,y+hk),其中x0=0,y0=1,h=0.1 í2ii1?22???hh?k=f(x+,y+k2)?3ii?22?????k4=f(xi+h,yi+hk3)1

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