高中三角函数必修4竞赛专用题

高中三角函数必修4竞赛专用题

1(如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数

y=Asin(ωx+φ)+b.

(1)求这段时间的最大温差.

(2)写出这段曲线的函数解析式.

22(设二次函数f(x)=x+bx+c(b,c?R),已知不论、β为何实数恒有f(sin)?0和f(2+cosβ)?0. ,,

(1)求证:b+c=,1;

(2)求证c?3;

(3)若函数f(sin)的最大值为8，求b，c的值. ,

53,23(是否存在实数a，使得函数y=sinx+a?cosx+a,在闭区间,0，,上的最大值是1,若存822在，求出对应的a值;若不存在，试说明理由.

4(用一块长为a，宽为b(a,b)的矩形木板，在二面角为的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试,

问应怎样围才能使谷仓的容积最大,并求出谷仓容积的最大值.

,5(函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( ) 2

A.非奇非偶函数

B.仅有最小值的奇函数

C.仅有最大值的偶函数

D.既有最大值又有最小值的偶函数

1,,cosx6(函数f(x)=()在,,π，π,上的单调减区间为_________. 3

,,,7(设ω,0，若函数f(x)=2sinωx在,,，,上单调递增，则ω的取值范围是_________. 34

8(有一块半径为R，中心角为45?的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问:工人师傅是怎样选择矩形的四点的,并求出最大面积值.

,,9(设,?x?，求函数y=log(1+sinx)+log(1,sinx)的最大值和最小值. 2264

22 1(不查表求sin20?+cos80?+cos20?cos80?的值. 3

1

122(设关于x的函数y=2cosx,2acosx,(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足

f(a)=的a值，并对此2时的a值求y的最大值.

,23(已知函数f(x)=2cosxsin(x+),sinx+sinxcosx 33

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值;

,,7,,1-1(3)若当x?,，,时，f(x)的反函数为f(x)，求f(1)的值. 1212

2x，3log4(已知cos+sinβ=，sin+cosβ的取值范围是D，x?D，求函数y=的最小值，3,,14x，102并求取得最小值时x的值.

,,,，,2,5(已知方程x+4ax+3a+1=0(a,1)的两根均tan、tanβ，且，β?(,)，则tan的,,222值是( )

141A. B.,2 C. D. 或,2 232

3,16(已知sin=，?(，π)，tan(π,β)= ，则tan(,2β)=_________. ,,,522 3,,,,,335,7(设?()，β?(0，)，cos(,)=，sin(+β)=，则

sin(+β)=_________. ,,,54444413

,,33128(已知,β,,,cos(,β)=,sin(+β)=,,求sin2的值

_________. ,,,,52413

2sin130:，sin100:(1，3tan370:)9(不查表求值: .

1，cos10:

2sin2x，2sinx,,,317710(已知cos(+x)=，(,x,,，求的值. 541241,tanx 1,cos(,),,,,82,4sin(,)11(已知,β=π，且?kπ(k?Z).求的最大值及最大值时的条件. ,,,,344csc,sin22

12(如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60?，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.

112，,, 1(已知?ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B.，cosAcosCcosB

2

A,C求cos的值. 2

2(在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30?东，俯角为60?的B处，到11时10分又测得该船在岛北60?西、俯角为30?的C处。

(1)求船的航行速度是每小时多少千米;

(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有

多远,

11A,C，3(已知?ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB(). 2cosAcosC

(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域;

(2)判断其单调性，并加以证明;

(3)求这个函数的值域.

4(给出四个命题:(1)若sin2A=sin2B，则?ABC为等腰三角形;(2)若

sinA=cosB，则?ABC为直角

222三角形;(3)若sinA+sinB+sinC,2，则?ABC为钝角三角形;(4)若

cos(A,B)cos(B,C)cos(C,A)=1，则?ABC为正三角形.以上正确命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

ACACtan，tan，3tantan5(在?ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为

__________. 2222

446(在?ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=,，sinB=，则

cos2(B+C)=__________. 35

7(已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.

8(如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的

sin,距离 r的平方成反比，即I=k?，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么2r

怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮,

7B，C24sin2cos,A,9(在?ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，. 22

(1)求角A的度数;

(2)若a=，b+c=3，求b和c的值. 3

10(在?ABC中，?A、?B、?C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又?A,?

,C=，试求?A、?B、?C的值. 2

3

11(在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落

在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD?AB的值.

0，1(如图:一根木棒AB长2米，斜靠在墙壁AC上，ABC=， 60A如果棒的两端A、B分别沿AC、CB方向滑动至、， ABA111D

D1(32),且=米，则棒的中点D随之运动至 AA1

所经过的路程是( )米, D1CBB1

,,,,A. B. C. D. 243412,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ABACABAC1().0，,BC..,2.已知非零向量与满足且则,ABC为( ) AB,,,,,,,,,,,,,,,,AC2ABACABAC

(A)等边三角形 (B)直角三角形

(C)等腰非等边三角形 (D)三边均不相等的三角形

ba,23(设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时

aaaaaa，，,0bbbaii123123i123

o针旋转后与同向，其中，则 30i,1,2,3bi

A( B( ,，，,bbb0bbb,，,0123123

C( D( bbb，,,0bbb，，,0123123,,,,,,,2||2||0ab,,xaxab，，,,||04.已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 abx

( )

,,,,2,A.[0,] B. C. D. [,][,][,],,63336

5(如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则

( ) ,ABC,ABC111222

A(和都是锐角三角形 B(和都是钝角三角形 ,ABC,ABC,ABC,ABC111222111222 C(是钝角三角形，是锐角三角形 ,ABC,ABC111222

D(是锐角三角形，是钝角三角形 ,ABC,ABC111222

,ABCca,2cosB,6.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则

7., cot20:cos10:，3sin10:tan70:,2cos40:

8(如图，已知?ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是

边AB、AC上的点，线段MN经过?ABC的中心G，

,,2设，MGA,,() ,,,33A(1) 试将?AGM、?AGN的面积(分别记为S与1

S) 2

表示为,的函数

11，(2) 求y,的最大值与最小值 22NSS12G

M 4

CB

9(如图3,D是直角?ABC斜边BC上一点,AB=AD,记?CAD=,?ABC=. ,,

(1)证明 ; sincos20,,，,A

(2)若AC=DC,求的值. ,3

α

β

B D

C 图3

,2,10.已知函数f(x)=A(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称sin(),,x，,2轴间的距离为2，并过点(1，2).

，，，，fx,a,b，c29. (2006年湖北卷)设函数，其中向量

，，，，a,sinx,,cosx,b,sinx,,3cosx

，，c,,cosx,sinx,x,R .

(?)求函数的最大值和最小正周期; ，，fx

d(?)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长，，y,fx

d度最小的.

5

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