昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案

昆明理工大学 数值分析考试题

昆明理工大学数值分析考试题 （07）

一．填空（每空3分，共30分）

1． 设

2． 若f(x)?6x7?x4?3x?1，则f[20,21,...27]? ，f[20,21,...28]? 。 3． A=?xA?0.231是真值xT?0.229的近似值，则xA有 位有效数字。

?10??,则?31??A1= ；

A?= ；

A2=

cond2(A)= 。

4． 求方程5．设xx?f(x)根的牛顿迭代格式是 。

n?10?5%，则求函数f(x)?x的相对误差限为 。

?210???T6．A=?12a?,为使其可分解为LL（L为下三角阵，主对角线元素>0），a的取值范

?0a2???围应为 。

7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。 （注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。）

二．推导与计算

（一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。（12分）

x f(x) f'(x)

0 1 1 2 3 2 3 （二）已知x??(x)和??(x)满足???(x)-3??1。请利用?(x)构造一个收敛的简单迭代函数?(x)，使xk?1??(xk),k?0,1,......收敛。（8分）

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（三）利用复化梯形公式计算I等份。（8分）

??e?xdx，使其误差限为0.5?10?6，应将区间[0，1]

012?10a0???（四）设A= b10b，detA≠0，推导用a，b表示解方程组AX=f的Seidel(G-S) 迭????0a5??代法收敛的充分必要条件。（10分）

（五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS型求积公式

?10f(x)dx?A1f(x1)?A2f(x)2。（10分） x?y'?f(x,y)（六）对微分方程初值问题?

y(x)?y00?（１） 用数值积分法推导如下数值算法：

yn?1?yn?1?h(fn?1?4fn?fn?1)，其中3fi?f(xi,yi)，(i?n?1,n,n?1)。（8分）

（２） 试构造形如

yn?1?a0yn?a1yn?1?h(b0fn?b1fn?1), 的线形二步显格式差分?f(xn,yn),fn?1?f(xn?1,yn?1)。试确定系数a0,a1,b0,b1，使

格式，其中fn

差分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并指明方法是多少阶。（14分）

（考试时间2小时30分钟）

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（08）

一、填空（每空3分，共30分）

1．若开平方查6位函数表，则当x=30时，x2?1的误差限为 。 2．若f(x)?anxn?1,(an?1),则f[x0,x1,...xn]= 。 3．若

?x3,0?x?1? S(x)??1是3次样条函数，则 32?(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c,1?x?3?2 a= ，b= ，c= 。

?12?4．A=??,则‖A‖1= ；‖A‖2= ；Cond2(A)= 。

?22?5．考虑用复化梯形公式计算?e?xdx，要使误差小于0.5?10?6，那么[0，

0121]应分为 个子区间。

6．?(x)?x?a(x2?5),要使迭代法x??(x)局部收敛到x??5，即在邻

域|x?5|?1时，则a的取值范围是 。

二、计算与推导

1、用追赶法解三对角方程组Ax?b，其中

?2?100??1???12?10??0??，b???。 （12分） A???0?12?1??0??????00?12??0?

2、已知一组试验数据 t 1 2 3 y 4.00 6.40 8.00 t请确定其形如y?的拟合函数。（13分）

at?b3、确定系数，建立如下 GAUSS型求积公式

4 8.80 5 9.22 ?10f(x)dx?A1f(x1)?A2f(x)2。（13分） x

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4、证明用Gauss-seidel迭代法求解下列方程组

?3 ??0???2021?2x1???1?x??2?2??x?3???????1????4时，对任意的初始向量都收敛；若要求???1???x*?x(k)10?4，需要迭代几次（推导时请统一取初始迭代向量

x(0)?(000)T）？（13分）

5、试用数值积分法或Taylor展开法推导求解初值微分问题 y'?f(x, y),y(x?)的如下中点公式：a0n?1 yn?2?yn?2hf(6、试推导?

（考试时间2个半小时）

bax,n?1（14分） y及其局部截断误差。)?dc（5分） f(x,y)dydx的复化Simpson数值求积公式。

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（09）

一、（填空(每空3分,共36分)

?x3?x2,0?x?11．S(x)??3是以0，1，2为节点的三次样条函数， 2?2x?bx?cx?1,1?x?2则b= ，c= 。

2．设f(x)?4x3?2x?1，则差商f[0,1,2,3]? ，f[0,1,2,3,4]? 。

3．函数f(x)?3x3?2x2?4x?5在[-1，1]上的最佳2次逼近多项式是 ，最佳2次平方逼近多项式是 。 4．A???a?12?，当a满足条件 时，A可作 LU分解；当a满足 ??21?T条件 时，A可作 A?L?L分解；

???5．A???????111222?1?1102222?1201210?1?2?1?2?，则A? ，cond(A)? 。

2??0??1?2?6．求方程x?cosx根的newton迭代格式是 。 7．用显式Euler法求解y??80y,y(0)?1，要使数值计算是稳定的，应使 步长0

'

二、计算与推导

3一、计算函数f(x)?sin(nx)在x?0.0001附近的函数值。当n=100时，试计算在相对误

*差意义下f(x)的条件数，并估计满足?r(f(x*))?0.1%时自变量的相对误差限和绝对误差限。（12分）

二、有复化梯形，复化simpson公式求积分

1*?0exdx的近似值时，需要有多少个节点，才能

保证近似值具有6位有效数字。（12分）

四、确定求解一阶常微分初值问题的如下多步法

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